三角形的五心三條高(中)線交于一點(diǎn)的證明

三角形三條高線交于一點(diǎn)的證明證法一：運(yùn)用同一法證三條高兩兩相交的交點(diǎn)是同一點(diǎn)。已知：△ABC的兩條高BE、CF相交于點(diǎn)O，第三條高AD交高BD于點(diǎn)Q，交高CF于點(diǎn)P。求證：P、Q、O三點(diǎn)重合證明：如圖，∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠AEB=∠AFC=90°又∵∠BAE=∠CAF∴△ABE∽△ACF∴，即AB·AF=AC·AE又∵AD⊥BC∴△AEQ∽△ADC，△AFP∽△ADB∴，即AC·AE=AD·AQ，AB·AF=AD·AP∵AB·AF=AC·AE，AC·AE=AD·AQ，AB·AF=AD·AP∴AD·AQ=AD·AP∴AQ=AP∵點(diǎn)Q、P都在線段AD上∴點(diǎn)Q、P重合∴AD與BE、AD與CF交于同一點(diǎn)∵兩條不平行的直線只有一個(gè)交點(diǎn)∴BE與CF也交于此點(diǎn)∴點(diǎn)Q、P、O重合。證法二：連結(jié)一頂點(diǎn)和兩高交點(diǎn)的線垂直于第三邊，運(yùn)用四點(diǎn)共圓性質(zhì)。已知：△ABC的兩條高AD、BE相交于點(diǎn)O，第三條高CF交高AB于點(diǎn)F，連結(jié)CO交AB于點(diǎn)F。求證：CF⊥AB。證明:∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓∴∠1＝∠ABE同理∠2＝∠1∴∠2＝∠ABE∵∠ABE+∠BAC＝90°，∴∠2+∠BAC＝90°即CF⊥AB。注：證法一和證法二是證明共點(diǎn)線的常用方法。證法三：證明兩條高的交點(diǎn)在第三條高線上，建立直角坐標(biāo)系運(yùn)用代數(shù)方法證明。證明：如圖6，以直線BC為x軸，高AD為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0,a),B(b,0),C(c,0),由兩條直線垂直的條件xCxCDOyABFE則三條高的直線方程分別為：解（2）和（3）得∴這說(shuō)明BE和CF得交點(diǎn)在AD上，所以三角形的三條高相交于一點(diǎn)。注：有時(shí)候考慮直角坐標(biāo)系這一有力的數(shù)形結(jié)合工具可以有效地解決問(wèn)題。證法四：轉(zhuǎn)化為證明另一個(gè)三角形的三條中垂線（或中線）交于一點(diǎn)。已知：AD、BE、CF是△ABC的三條高。求證：AD、BE、CF相交于一點(diǎn)。證明：過(guò)點(diǎn)A、B、C分別作BC、AC、AB的平行線ML、MN、NL∵AM∥BC，MB∥AC∴四邊形AMBC是平行四邊形∴AM＝BC同理，AL＝BC∴AM＝AL∵AD⊥ML∴AD是ML的垂直平分線同理，BE、CF分別是MN、NL的垂直平分線而三角形的三條垂直平分線相交于一點(diǎn)∴AD、BE、CF相交于一點(diǎn)。注：三角形的三條中線（可中垂線、角平分線）相交于一點(diǎn)，這事實(shí)學(xué)生容易理解，也不難證明，把證明三角形的三條垂線相交于一點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一三角形的三條中線（中垂線）相交于一點(diǎn)，這種化陌生為熟悉、化難為易的轉(zhuǎn)化方法必須讓學(xué)生理解掌握。證法五：運(yùn)用錫瓦（Ceva）定理證明。已知：AD、BE、CF是△ABC的三條高。求證：AD、BE、CF相交于一點(diǎn)。證明：如圖，∵AD⊥BC于E，BE⊥AC于E∴△ABD∽△CBF∴（1）同理，由△ADC∽△BEC得，（2）由△AFC∽△AEB（3）三式相乘得即∴AD、BE、CF相交于一點(diǎn)。注：錫瓦定理是證明共點(diǎn)線的有力工具，雖然中學(xué)不作要求，但對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生不妨引導(dǎo)他們自己研究，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。錫瓦定理可以用梅涅勞（Menelaus）定理證明，而梅涅勞定理可以由平行線分線段成比例定理輕松得到。在適當(dāng)情況下適當(dāng)?shù)膯l(fā)有利于學(xué)生思維的擴(kuò)散，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。證明三角形三條中線交于一點(diǎn)法一、設(shè)△ABC的兩條中線BD、CE交于點(diǎn)G,連結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于M

(我們只要能證明點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)即可),作BN‖CE交AM延長(zhǎng)線于N,連結(jié)CN.

因?yàn)镋是AB中點(diǎn),BN‖CE,所以點(diǎn)G是AN中點(diǎn)(平行線等分線段定理),又因?yàn)辄c(diǎn)D是AC的中點(diǎn),所以GD‖CN(三角形中位線定理),因此四邊形BNCG是平行四邊形,所以BC、GN互相平分,即點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),AM是BC邊上的中線.

由于中線具有唯一性,這就證明了△ABC的三條中線AM、BD、CE交于所設(shè)點(diǎn)G.法二、用向量法證明三角形ABC的三條中線交于一點(diǎn)P，并且對(duì)任意一點(diǎn)O有向量OP=1/3（向量OA+向量OB+OC向量）注意：要求用向量法，不使用坐標(biāo)假設(shè)兩條中線AD,BE交與P點(diǎn)連接CP,取AB中點(diǎn)F連接PFPA+PC=2PE=BPPB+PC=2PD=APPA+PB=2PF三式相加2PA+2PB+2PC=BP+AP+2PF3PA+3PB+2PC=2PF6PF+2PC=2PFPC=-2PF所以PC,PF共線，PF就是中線所以ABC的三條中線交于一點(diǎn)P連接OD,OE,OFOA+OB=2OFOC+OB=2ODOC+OC=2OE三式相加OA+OB+OC=OD+OE+OFOD=OP+PDOE=OP+PEOF=OP+PFOA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP+1/2AP+1/2BP+1/2CP由第一問(wèn)結(jié)論2PA+2PB