2017高等代數(shù)第3章課件

Zhanglizhuo-§3.5矩陣Zhanglizhuo-一、矩陣的行秩與二、初等變換對矩陣行秩、列秩的影響、矩陣的秩與其最高階非零子式的關(guān)一、矩陣的行秩與引言為了求向量組的秩，我們來考慮矩陣，矩陣的行((Zhanglizhuo-設(shè)J是一個(gè)45階梯形 eJ00

0000

2 e300 a1b2c30，于是a1b2c3是J的主元，12345Zhanglizhuo-先求J的列秩。由 c2a1b2c3 a1b1c1 3a1b1c10bc ,2,200c3 Zhanglizhuo- 因000 000 000000 向量 b1 c1 d10 b c d

b1 c1 e10 b c e ,2,2,

2與 ,2,2,2都線性相關(guān)0 0 c3 d3

0 0 c3 e3 因此123是12345的一個(gè)極大線性無關(guān)組，從而矩陣的列秩rank{1,2345}=3。Zhanglizhuo-再求J的行 a1b2c3因此a1b1c10

1a1b1c1d1e1,2(0b2c2d2e2),3(00c3d3線性無關(guān)，又4=O，因此123是1234的一個(gè)Zhanglizhuo- cd 0002J2

10J的行秩=J的列秩=J的非零行數(shù)Zhanglizhuo-同理可證Zhanglizhuo-二、初等行變換對矩陣行秩、列秩的影【證】設(shè)矩陣A的行向量組為1ijm，設(shè)1,…,i,…,ki+j…,顯然B的行組可由A的行組線性表出，又由A的行組可由B的行組線性表出，即二向量組等Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-設(shè)矩陣A經(jīng)初等行變換變成矩陣B，且設(shè)Bj1j2jr列構(gòu)成B的列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，則A的第j1,j2,…,jr列構(gòu)成A的列向量組的一個(gè)極大線性Zhanglizhuo-12n，則齊次線性方齊次線性由于C經(jīng)初等行變換變成D，因此上述兩個(gè)方程組同Zhanglizhuo-從而12n線性相12n線性相特別地，若x1=k1x2=k2xn=kn是上方程組的非零解，

k3

kn 此時(shí)也

k3kn Zhanglizhuo-j1,j2,…,jr列組成的矩陣A1變成了矩陣B的第j1,j2,…,jr換下，A的第j1,j2,…,jr,k列組成的矩陣A2變成了B的第j1,j2,…,jr,k列組成的矩陣B2,由題設(shè),B2的列向量組線性相關(guān),于是由(1)知,A2的列向量組線性相關(guān)，故A的第j1,j2,…,jr列構(gòu)成A列組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。從而A的列秩=r=B的列秩。Zhanglizhuo-【注】矩陣的初等行變換不改1、矩陣的2、矩陣的列向量組的線性相關(guān)3、矩陣的4、矩陣的任部分列向量間的線性相關(guān)Zhanglizhuo-0 0 0 0 001212

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 Zhanglizhuo-A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩Zhanglizhuo-定義1矩陣A的行秩與A的列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩，記rank(A)Zhanglizhuo-推論5設(shè)矩陣A經(jīng)過初等行變換化成階梯形矩陣JA的秩等于J的非零行的數(shù)目。設(shè)J的主元所在的第j1,jr列，則A的第j1j2jr列構(gòu)成A的列向量組的一Zhanglizhuo-上述方法也可用來解決下列問10只要把每個(gè)向量寫成列向量，組成一個(gè)矩陣20Zhanglizhuo-推論6rank(AT)=rank(A)【證】AT的行(列)向量組是A的列(行)向量組，因Zhanglizhuo-矩陣也有初等列變；ikii上述三種變換稱為矩陣的初等列變換Zhanglizhuo-換變成矩陣BT，于是據(jù)推論6和定理2，Zhanglizhuo-三、矩陣的秩與矩陣的最高階非零子式 Ai1,i2,…,第j1,j2,…,jr列線性無關(guān)，它們組成矩陣A2，則A2是r級矩陣，且A2的列向量組線性無關(guān)，因此A20A有一個(gè)r階子式A20Zhanglizhuo-設(shè)t>r，且tmin{m,n}，任取A的一個(gè)t階子Ak1,k2,,ktl,l,, 設(shè)A的列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān) 所以A的第l1l2lt列可以

1

,,j j

線性表由Ak1,k2,,kt由l,l,, 線性相Zhanglizhuo-于是

Ak1,k2,,l,l,,

綜上述得，A的秩為A的最高階非零子式的階【注】求矩陣秩的又一方確定矩陣的非零子式的最高階Zhanglizhuo-推論 一個(gè)n級矩陣A的秩等于n當(dāng)且僅當(dāng)A0【證】n級矩陣A的秩等于A的非零子式的最高階數(shù)為A0Zhanglizhuo-依推論9，方陣A為滿秩矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A0Zhanglizhuo-推論 設(shè)mn矩陣A的秩為r，則A的不等于零的r 【證】設(shè)A的秩為rAk1k2,kr l,l ,

0,從而這r階子 列線性無關(guān),由于A的列秩為r,因此A的第l1l2lr列類似可證A的行向量組的極大線性無關(guān)組的結(jié)論。Zhanglizhuo-10矩陣的秩=矩陣的行秩==其行空間的維數(shù)=其列空間的維數(shù)=非零子式的最高階20矩陣的非零子式所在的行(列)都線性無關(guān)Zhanglizhuo-例1設(shè)向量-7 1 3 5 -4-2 - 1 3 -2 , , , , 1

5 -

-7

1-

8 4

0

- 【解】以12345為列向量組成矩陣A，對A施以Zhanglizhuo- 4 1 2 A

000

3 0 rank(A)=3，所以1,25為12345的一個(gè)Zhanglizhuo-000100011000A410，8110 Zhanglizhuo-【歸納方法】先以向量組為列組成矩陣20Zhanglizhuo-例2設(shè)向量

，

51

1p2

10p p為何值時(shí)，該向量組線性無關(guān)？并在此時(shí)將向p為何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)？并在此時(shí)求出Zhanglizhuo-【解】以1,2,3,4,為列組成矩陣A，對其施以初等12112110211560101A

4 003 p 3

p p當(dāng)p2時(shí),rank(A)=4,即1,2,3,4線性無Zhanglizhuo-繼續(xù)對所得矩陣施以初等行變

3p4

p2

00 p

p

p1p2可由1,2,3,4線性表出23p4p1 p p