冪函數(shù)經(jīng)典例題

例1、下列結(jié)論中，正確的選項是( )A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(0,0)，(1,1)B．冪函數(shù)的圖象能夠出現(xiàn)在第四象限1αC．當(dāng)冪指數(shù)α取1,3，2時，冪函數(shù)y＝x是增函數(shù)D．當(dāng)冪指數(shù)α＝－1時，冪函數(shù)y＝xα在定義域上是減函數(shù)解析當(dāng)冪指數(shù)α＝－1時，冪函數(shù)y＝x－1的圖象不經(jīng)過原點，應(yīng)選項A不正確；因為所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，應(yīng)選項B不正確；而當(dāng)α＝－時，y＝x－1在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上是減函數(shù)，但它在定義域上不是減函數(shù)．答案C例、已知冪函數(shù)fx＝t3t＋x1＋t－t2t∈是偶函數(shù)且在，＋2()(－1)5(732)(Z)(0∞)上為增函數(shù)，求實數(shù)t的值．剖析對于冪函數(shù)y＝xαα∈，α≠的奇偶性問題，設(shè)pp、q互(R0)q(||||p質(zhì))，當(dāng)q為偶數(shù)時，p必為奇數(shù)，y＝xq是非奇非偶函數(shù)；當(dāng)q是奇數(shù)時，y＝pxq的奇偶性與p的值相對應(yīng)．fx是冪函數(shù)，∴t3－t＋＝，解∵( )11∴t＝－1,1或0.7當(dāng)t＝0時，f(x)＝x5是奇函數(shù)；2當(dāng)t＝－1時，f(x)＝x5是偶函數(shù)；828當(dāng)t＝1時，f(x)＝x5是偶函數(shù)，且5和5都大于0，在(0，＋∞)上為增函數(shù)．82故t＝1且f(x)＝x5或t＝－1且f(x)＝x5.點評如果題中有參數(shù)出現(xiàn)，一定要注意對參數(shù)的分類議論，尤其對題中的條件∈Z賜予足夠的重視．例3、如圖是冪函數(shù)y＝xm與y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則( )A．-1<n<0<m<1n－m．－n，m．n－，mB．<1,0<<1C1<<0>1D<1>1解析在(0,1)內(nèi)取同一值x0，作直線x＝x0，與各圖象有交點，則“點低指數(shù)大”．如圖，m，n－0<<1<1.答案B點評在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)的指數(shù)越大，圖象越湊近x軸；在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)的指數(shù)越大，圖象越遠(yuǎn)離x軸．1例、已知x2x，求x的取值范圍．4>32121錯解由于x≥，x∈，則由xx，可得x∈R.03R>3錯因剖析上述錯解原因是沒有掌握冪函數(shù)的圖象特點，尤其是y＝xα在>1和0<α<1兩種情況下列圖象的散布．正解1作出函數(shù)y=x2和y=x3的圖象(如右圖所示)，易得x<0或x>1.例、函數(shù)fx22＋m－是冪函數(shù)，且當(dāng)x∈，＋∞時，fx)＝(m－m－1)xm3(0)5()(是增函數(shù)，求f(x)的解析式．剖析解答此題可嚴(yán)格根據(jù)冪函數(shù)的定義形式列方程求出m，再由單一性確定m.解根據(jù)冪函數(shù)定義得2m－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，當(dāng)m＝2時，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函數(shù)；mfx)＝x－3，＋∞)上是減函數(shù)，不切合要求．故f(x)＝當(dāng)＝－1時，(在(0x3.點評冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，其中α為常數(shù)，其本質(zhì)特點是以冪的底x為自變量，指數(shù)α為常數(shù)(也能夠為0)．這是判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)．對本例來說，還要根據(jù)單一性驗根，免得增根．21變式已知y＝(m＋2m－2)x2＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n的值．m－12m－＝m＋122解2，由題意得m－1≠02n－3＝0m＝－3解得3，n＝23所以m＝－3，n＝2.例6、比較下列各組中兩個數(shù)的大?。?3－2－2（1）1.55，1.75；（2），；（3）(－1.2)3，(－1.25)3．3解析：（1）考察冪函數(shù)y＝x5的單一性，在第一象限內(nèi)函數(shù)單一遞增，33∵＜，∴1.55＜1.75，3（2）考察冪函數(shù)y＝2的單一性，同理（）先將負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)x3冪可知它是偶函數(shù)，－2－2－2－2－2－2－2∵－3＝1.23，－3＝1.253，又1.23＞1.253，∴－3(1.2)(1.2)(1.25)21.253．點評：比較冪形式的兩個數(shù)的大小，一般的思路是：（1）若能化為同指數(shù)，則用冪函數(shù)的單一性；（2）若能化為同底數(shù)，則用指數(shù)函數(shù)的單一性；（3）若既不能化為同指數(shù)，也不能化為同底數(shù)，則需尋找一個適合的數(shù)作為橋梁來比較大小．例7、比較下列各組數(shù)的大小55717(1)3－2與－2；(2)－8－8與－98.剖析比較大小問題一般是利用函數(shù)的單一性，當(dāng)不便利用單一性時，可用0與1去比較，這種方法叫“搭橋”法．5解(1)函數(shù)y＝x－2在(0，＋∞)上為減函數(shù)，5又3<，所以3－2>－2.717711171(2)－8－8＝－88，函數(shù)y＝x8在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又8>9，則88>978，17進(jìn)而－8－8<－98.點評比較大小的題，要綜合考慮函數(shù)的性質(zhì)，特別是單一性的應(yīng)用，更善于運用“搭橋”法進(jìn)行分組，常數(shù)0和1是常用的參數(shù)．變式比較下列各組數(shù)的大?。?－3－3與－6－3；222，(－5與－3.2222π2π2解(1)－3－3＝3－3，－6－3＝6－3，22π，∵函數(shù)y＝x－在(0，＋∞)上為減函數(shù)，又∵3>632222π2π2∴－3－3＝3－3<6－3＝－6－3.22223(2)5>15＝1,0<－3<1－3＝1，(－5<0，22所以(－5<－3<5.例8、已知冪函數(shù)y＝x3m－9(m∈N*)的圖象對于y軸對稱，且在(0，＋∞)mm上函數(shù)值隨x的增大而減小，求知足(a＋1)－3<(3－2a)－3的a的范圍．解∵函數(shù)在(0，＋∞)上遞減，∴3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，∴m＝1,2.又函數(shù)圖象對于y軸對稱，∴3m－9為偶數(shù)，故m＝1，11∴有(a＋1)－3<(3－2a)－3.1又∵y＝x－3在(－∞，0)，(0，＋∞)上均遞減，∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a，23解得3<a<2或a<－1.點評

(1)解決與冪函數(shù)相關(guān)的綜合題時，一定要考慮冪函數(shù)的定義．

(2)冪函數(shù)y＝xα，由于α的值不同，單一性和奇偶性也就不同．2－m－m∈的圖象與x軸、y軸都無公共點，變式已知冪函數(shù)y＝xm3(Z)2且對于y軸對稱，求m的值，且畫出它的圖象．2解由已知，得m－2m－3≤0，∴－1≤m≤3.又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3，當(dāng)m＝0或m＝2時，y＝x－3為奇函數(shù)，其圖象不對于y軸對稱，不切合題意．當(dāng)m＝－1或m＝3時，有y＝x0，其圖象如圖①所示．當(dāng)m＝1時，y＝x－4，其圖象如圖②所示．練習(xí)一、選擇題1．下列命題：①冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)和點(0,0)；②冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限；③n＝0時，y＝xn的圖象是一條直線；④冪函數(shù)y＝xn，當(dāng)n時，是增函>0數(shù)；⑤冪函數(shù)y＝xn，當(dāng)n<0時，在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減?。渲姓_的選項是()A．①和④B．④和⑤C．②和③D．②和⑤答案D2．下列函數(shù)中，不是冪函數(shù)的是( )A．y＝2xB．y＝x－1C．y＝xD．y＝x2答案A111，則使f(x)＝xα為奇函數(shù)且在3．設(shè)α∈－2，－1，－，，，1，2，3232(0，＋∞)內(nèi)單一遞減的α值的個數(shù)是( )A．1B．2C．3D．4答案

A4．當(dāng)x∈(1，＋∞)時，下列函數(shù)圖象恒在直線

y＝x

下方的偶函數(shù)是

(

)1A．y＝x2B

．y＝x－2

C．y＝x2

D．y＝x－1答案B225．如果冪函數(shù)y＝(m－3m＋3)·xm－m－2的圖象可是原點，則m的取值是( )A．－1≤m≤2B．m＝1或m＝2C．m＝2D．m＝1答案B2m－3m＋3＝1解析由已知2m－m－2≤0∴m＝1或m＝2.122＋x，y＝x≠中冪函數(shù)的個數(shù)為．在函數(shù)y＝2，y＝x，y＝x1(0)( )6x2A．1B．0C．2D．3答案C解析依據(jù)冪函數(shù)的定義判斷，應(yīng)選C.．冪函數(shù)fx的圖象過點，1，那么f(8)的值為()7( )42A．26B．64答案C解析設(shè)f(x)＝xα11α1(α為常數(shù))，將4，點代入得＝4，∴α＝－，f(x)222112x－2，∴f(8)＝8－2＝4.8．下列函數(shù)中，值域為[0，＋∞)的函數(shù)是()A．y＝x．y＝x2．y＝x－2D．y＝logaxa，且a≠1)2BC(>0答案B解析根據(jù)函數(shù)圖象，選B.二、填空題11．若冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點9，3，則f(25)＝_____________.1答案5αα11解析設(shè)f(x)＝x，則9＝3，α＝－2.1f(25)＝25－2＝5.2．設(shè)冪函數(shù)y＝xα______________．答案[0，＋∞)

的圖象經(jīng)過點(8,4)

，則函數(shù)

y＝xα

的值域是解析

22由4＝8α，得α＝3，∴y＝x3≥0.如下圖是冪函數(shù)y=xα在第一象限內(nèi)的圖象，已知α取±2，±四個值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的α依次為.1答案2，2，－2，－2．若冪函數(shù)y＝f(x的圖象經(jīng)過點(2，2)，則f(25)的值是________．4)答案5解析設(shè)y＝xα，∵點(2，2)在y＝xα的圖象上，α111∴2＝2，∴α＝2，∴f(x)＝x2.故f(25)＝252＝5.．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)的圖象一定不經(jīng)過第________象限．5答案四2512310326．把下列各數(shù)23，3－3，－3，5，23，按由小到大的排列次序為__________________．235110322答案－3<3－3<5<23<23.．已知冪函數(shù)fx1a＋f－a，則a的取值范圍是((1)<(107)22)________．答案3<a<5解析11f(x)＝x－＝(x>0)，由圖象知x∈(0，＋∞)時為減函數(shù)，又f(a2x1)<f(10－2a)，a＋1>0，a>－1，∴10－2a>0，得a<5，∴a3<<5.a＋1>10－2a.a>3.三、解答題211．求函數(shù)y＝x5＋2x5＋4（x≥－32）值域．1解析：設(shè)t＝x5，∵x≥－32，∴t≥－2，則y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．當(dāng)t＝－1時，ymin＝3．21∴函數(shù)y＝x5＋2x5＋（x≥－）的值域為［，＋）．4323點評：這是復(fù)合函數(shù)求值域的問題，應(yīng)用換元法．222．已知f(x)＝(m＋2m)·xm＋m－1，m是何值時，f(x)是(1)正比率函數(shù)；反比率函數(shù)；(3)二次函數(shù)；(4)冪函數(shù)．解(1)若f(x)為正比率函數(shù)，則2m＋m－1＝12，∴m＝1.m＋2m≠0若f(x)為反比率函數(shù)，則2m＋m－1＝－12，∴m＝－1.m＋2m≠0若f(x)為二次函數(shù)，則2m＋m－＝－1±1312，∴m＝22.m＋2m≠02(4)若f(x)為冪函數(shù)，則m＋2m＝1，∴m＝－1±2。13．已知點(2，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點－2，4在冪函數(shù)g(x)的圖象上，問當(dāng)x為何值時，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．解設(shè)f(x)＝xα，由題意得：2＝(2)2?α＝2，f(x)＝x2.同理可求：g(x)=x-2，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=f(x)與y=g(x)的圖象，如下圖．由圖象可知：(1)當(dāng)x>1或x<-1時，f(x)>g(x)．(2)當(dāng)x=±1時，f(x)=g(x)．(3)當(dāng)-1<x<0或0<x<1時，f(x)<g(x)．4．已知函數(shù)y＝(a2－3a＋2)xa2－5a＋5(a為常數(shù))．a(chǎn)為何值時此函數(shù)為冪函數(shù)？a為何值時此函數(shù)為正比率函數(shù)？a為何值時此函數(shù)為反比率函數(shù)？解(1)由題意，得a2－3a＋2＝1，即a2－3a＋1＝0.解得a＝3±53±52，即a＝2時，此函數(shù)為冪函數(shù)；a2－5a＋5＝1，由題意，得a2－3a＋2≠0.解得a＝4，即a＝4時，此函數(shù)為正比率函數(shù)；a2－5a＋5＝－1，由題意，得a2－3a＋2≠0.解得a＝3，即a＝3時，此函數(shù)為反比率函數(shù)．5．已知函數(shù)y＝415－2x－x2．（1）求函數(shù)的定義域、值域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）求函數(shù)的單一區(qū)間．解析：這是復(fù)合函數(shù)問題，利用換元法律t＝－x－x2，則y＝4t，152（1）由15－2x－x2≥0得函數(shù)的定義域為［－5