生活中的幾何

生活中的幾何"幾何”這個詞在漢語里是"多少？”的意思，但在數(shù)學里"幾何”的涵義就完全不同了。"幾何"這個詞的詞義來源于希臘文，原意是土地測量，或叫測地術(shù)。幾何是人們對現(xiàn)實世界思維的抽象圖形化表示。它在現(xiàn)實生活中的應用有很多。比如水桶總是圓柱形的，這個是考慮到在同樣條件下圓柱形的體積更大，可以裝更多的水，而且可以讓桶的邊緣受力勻稱。再比如你看艦艇上的海軍一般是張開雙腿，手背向后站著，這是由于人張開雙腿后和地面加起來組成一個三角形，而三角形的穩(wěn)定性是最好的。再說人們吃飯時，尤其是大型家宴，用的桌子一般是圓的，由于在面積肯定時，只有圓的周長最大，一張桌子可以容納的人也就最多。再說人在出行時吧，你總是抬一只腳就放下一只腳，不會兩個腳同時抬起與放下，由于抬一只腳就放下一只腳相當于人的下半身與地面總是構(gòu)成三角形可以輕易地穩(wěn)定自己，而你在跳時很費勁而且簡潔摔跤，由于那時你整個人相對于地面就一條直線，沒有穩(wěn)定性。幾何學和算術(shù)一樣產(chǎn)生于實踐，也可以說幾何產(chǎn)生的歷史和算術(shù)是相像的。在遠古時代，人們在實踐中積累了特別豐富的各種平面、直線、方、圓、長、短、款、窄、厚、薄等概念，并且逐步熟識了這些概念之間、它們以及它們之間位置關(guān)系跟數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系，這些后來就成了幾何學的基本概念。正是生產(chǎn)實踐的需要，原始的幾何概念便逐步形成了比較粗淺的幾何學問。雖然這些學問是零散的，而且大多數(shù)是閱歷性的，但是幾何學就是建立在這些零散、閱歷性的、粗淺的幾何學問之上的。幾何學是數(shù)學中最古老的分支之一，也是在數(shù)學這個領(lǐng)域里最基礎(chǔ)的分支之一。古代中國、古巴比倫、古埃及、古印度、古希臘都是幾何學的重要發(fā)源地。大量出土文物證明，在我們我國的史前時期，人們已經(jīng)把握了很多幾何的基本學問，看一看遠古時期人們使用過的物品中那許很多多精致的、對稱的圖案的繪制，一些簡潔設(shè)計但是講究體積和容積比例的器皿，都足以說明當時人們把握的幾何學問是多么豐富了。幾何之所以能成為一門系統(tǒng)的學科，希臘學者的工作曾起了特別關(guān)鍵的作用。兩千多年前的古希臘商業(yè)富強，生產(chǎn)比較發(fā)達，一批學者熱心追求科學學問，爭論幾何就是最感愛好的內(nèi)容，在這里應提及的是哲學家、幾何學家柏拉圖和哲學家亞里土多德對進展幾何學的貢獻。柏拉圖把規(guī)律學的思想方法引入了幾何，使原始的幾何學問受規(guī)律學的指導逐步趨向于系統(tǒng)和嚴密的方向進展。柏拉圖在雅典給他的同學講授幾何學，已經(jīng)運用規(guī)律推理的方法對幾何中的一些命題作了論證。亞里土多德被公認是規(guī)律學的創(chuàng)始人，他所提出的"三段論”的演繹推理的方法，對于幾何學的進展，影響更是巨大的。到今日，在初等幾何學中，仍是運用三段論的形式來進行推理。但是，盡管那時候已經(jīng)有了特別豐富的幾何學問，這些學問仍舊是零散的、孤立的、不系統(tǒng)的。真正把幾何總結(jié)成一門具有比較嚴密理論的學科的，是希臘杰出的數(shù)學家歐幾里得。歐幾里得在公元前300年左右，曾經(jīng)到亞歷山大城教學，是一位受人敬重的、溫良敦厚的教育家。他酷愛數(shù)學，深知柏拉圖的一些幾何原理。他特別詳盡的搜集了當時所能知道的一切幾何事實，依據(jù)柏拉圖和亞里士多德提出的關(guān)于規(guī)律推理的方法，整理成一門有著嚴密系統(tǒng)的理論，寫成了數(shù)學史上早期的巨著——《幾何原本》?！稁缀卧尽返暮甏髿v史意義在于，它是用公理法建立起演繹的數(shù)學體系的最早典范。在這部著作里，全部幾何學問都是從最初的幾個假設(shè)除法、運用規(guī)律推理的方法綻開和敘述的。也就是說，從《幾何原本》發(fā)表開頭，幾何才真正成為了一個有著比較嚴密的理論系統(tǒng)科學方法的學科。歐幾里得的《幾何原本》歐幾里得的《幾何原本》共有十三卷，其中第一卷講三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關(guān)系，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件；其次卷講如何把三角形變成等積的正方形；第三卷講圓；第四卷爭論內(nèi)接和外切多邊形；第六卷講相像多邊形理論；第五、第七、第八、第九、第十卷敘述比例和算術(shù)得里論；最終敘述立體幾何的內(nèi)容。從這些內(nèi)容可以看出，目前屬于中學課程里的初等幾何的主要內(nèi)容已經(jīng)完全包含在《幾何原本》里了。因此長期以來，人們都認為《幾何原本》是兩千多年來傳播幾何學問的標準教科書。屬于《幾何原本》內(nèi)容的幾何學，人們把它叫做歐幾里得幾何學，或簡稱為歐式幾何。《幾何原本》最主要的特色是建立了比較嚴格的幾何體系，在這個體系中有四方面主要內(nèi)容，定義、公理、公設(shè)、命題（包括作圖和定理X《幾何原本》第一卷列有23個定義，5條公理，5條公設(shè)。（其中最終一條公設(shè)就是聞名的平行公設(shè)，或者叫做第五公設(shè)。它引發(fā)了幾何史上最聞名的長達兩千多年的關(guān)于"平行線理論"的爭論，并最終誕生了非歐幾何。）這些定義、公理、公設(shè)就是《幾何原本》全書的基礎(chǔ)。全書以這些定義、公理、公設(shè)為依據(jù)規(guī)律地綻開他的各個部分的。比如后面消失的每一個定理都寫明什么是已知、什么是求證。都要依據(jù)前面的定義、公理、定理進行規(guī)律推理賜予認真證明。關(guān)于幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設(shè)所要求的已經(jīng)得到了，分析這時候成立的條件，由此達到證明的步驟；綜合法是從以前證明過的事實開頭，逐步的導出要證明的事項；歸謬法是在保留命題的假設(shè)下，否定結(jié)論，從結(jié)論的反面動身，由此導出和已證明過的事實相沖突或和已知條件相沖突的結(jié)果，從而證明原來命題的結(jié)論是正確的，也稱作反證法。歐幾里得《幾何原本》的誕生在幾何學進展的歷史中具有重要意義。它標志著幾何學已成為一個有著比較嚴密的理論系統(tǒng)和科學方法的學科。從歐幾里得發(fā)表《幾何原本》到現(xiàn)在，已經(jīng)過去了兩千多年，盡管科學技術(shù)日新月異,但是歐幾里得幾何學照舊是中同學學習數(shù)學基礎(chǔ)學問的好教材。由于歐氏幾何具有鮮亮的直觀性和有著嚴密的規(guī)律演繹方法相結(jié)合的特點，在長期的實踐中表明，它巳成為培育、提高青、少年規(guī)律思維力量的好教材。歷史上不知有多少科學家從學習幾何中得到好處，從而作出了宏大的貢獻。少年時代的牛頓在劍橋高校四周的夜店里買了一本《幾何原本》，開頭他認為這本書的內(nèi)容沒有超出常識范圍，因而并沒有認真地去讀它，而對笛卡兒的“坐標幾何"很感愛好而用心攻讀。后來，牛頓于1664年4月在參與特列臺獎學金考試的時候遭到落選，當時的考官巴羅博士對他說：〃由于你的幾何基礎(chǔ)學問太貧乏，無論怎樣用功也是不行的。"這席談話對牛頓的震驚很大。于是，牛頓又重新把《幾何原本》從頭到尾地反復進行了深化鉆研，為以后的科學工作打下了堅實的數(shù)學基礎(chǔ)。近代物理學的科學巨星愛因斯坦也是精通幾何學，并且應用幾何學的思想方法，開創(chuàng)自己爭論工作的一位科學家。愛因斯坦在回憶自己曾走過的道路時，特殊提到在十二歲的時候"幾何學的這種明晰性和牢靠性給我留下了一種難以形容的印象”。后來，幾何學的思想方法對他的爭論工作的確有很大的啟示。他多次提出在物理學爭論工作中也應在規(guī)律上從少數(shù)幾個所謂公理的基本假定開頭。在狹義相對論中，愛因斯坦就是運用這種思想方法，把整個理論建立在兩條公理上：相對原理和光速不變原理。在幾何學進展的歷史中，歐幾里得的《幾何原本》起了重大的歷史作用。這種作用歸結(jié)到一點，就是提出了幾何學的"依據(jù)"和它的規(guī)律結(jié)構(gòu)的問題。在他寫的《幾何原本》中，就是用規(guī)律的鏈子由此及彼的綻開全部幾何學，這項工作，前人未曾作到。但是，在人類熟識的長河中，無論怎樣高超的前輩和名家，都不行能把問題全部解決。由于歷史條件的限制，歐幾里得在《幾何原本》中提出幾何學的"依據(jù)"問題并沒有得到徹底的解決，他的理論體系并不是完善無缺的。比如，對直線的定義實際上是用一個未知的定義來解釋另一個未知的定義，這樣的定義不行能在規(guī)律推理中起什么作用。又如，歐幾里得在規(guī)律推理中使用了"連續(xù)”的概念，但是在《幾何原本》中從未提到過這個概念。現(xiàn)代幾何公理體系人們對《幾何原本》中在規(guī)律結(jié)果方面存在的一些漏洞、馬腳的發(fā)覺，正是推動幾何學不斷向前進展的契機。最終德國數(shù)學家希爾伯特在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，在他1899年發(fā)表的《幾何基礎(chǔ)》一書中提出了一個比較完善的幾何學的公理體系。這個公理體系就被叫做希爾伯特公理體。希爾伯特不僅提出了一個完善的幾何體系，并且還提出了建立一個公理系統(tǒng)的原則。就是在一個幾何公理系統(tǒng)中，實行哪些公理，應包含多少條公理，應考慮如下三個方面的問題：第一,共存性（和諧性）,就是在一個公理系統(tǒng)中，各條公理應是不沖突的，它們和諧而共存在同一系統(tǒng)中。其次，獨立性，公理體系中的每條公理應是各自獨立而互不依附的，沒有一條公理是可以從其它公理引伸出來的。第三，完備性，公理體系中所包含的公理應是足夠能證明本學科的任何新命題。這種用公理系統(tǒng)來定義幾何學中的基本對象和它的關(guān)系的爭論方法，成了數(shù)學中所謂的”公理化方法"，而把歐幾里得在《幾何原本》提出的體系叫做古典公理法。公理化的方法給幾何學的爭論帶來了一個新奇的觀點，在公理法理論中，由于基本對象不予定義，因此就不必探究對象的直觀形象是什么，只特地爭論抽象的對象之間的關(guān)系、性質(zhì)。從公理法的角度看，我們可以任意地用點、線、面代表詳細的事物，只要這些詳細事物之間滿意公理中的結(jié)合關(guān)系、挨次關(guān)系、合同關(guān)系等，使這些關(guān)系滿意公理系統(tǒng)中所規(guī)定的要求，這就構(gòu)成了幾何學。因此，凡是符合公理系統(tǒng)的元素都能構(gòu)成幾何學，每一個幾何學的直觀形象不止只有一個，而是可能有無窮多個，每一種直觀形象我們把它叫做幾何學的解釋，或者叫做某種幾何學的模型。平常我們所熟識的幾何圖形，在爭論幾何學的時候，并不是必需的，它不過是一種直觀形象而已。就此，幾何學爭論的對象更加廣泛了，幾何學的含義比歐幾里得時代更為抽象。這些,都對近代幾何學的進展帶來了深遠的影響。大量出土文物證明，在我們我國的史前時期，人們已經(jīng)把握了很多幾何的基本學問，看一看遠古時期人們使用過的物品中那許很多多精致的、對稱的圖案的繪制，一些簡潔設(shè)計但是講究體積和容積比例的器皿，這些都證明白當時人們把握的幾何學問是多么豐富，同時也證明白當時的經(jīng)濟是相當?shù)陌l(fā)達。幾何在我們的生活中無處不在。幾何性在空間中的意義幾何學是設(shè)計師最基本技能和手段設(shè)計所制造的空間和形體必定表現(xiàn)為幾何形體。幾何形體使用與組合，反應各時代建筑藝術(shù)特征。從古希臘到安靜、樸實的古羅馬建筑，從多變的、強力度的哥特式建筑到中世紀，文藝復興時期以及后來的巴洛克式、法國古典主義、洛可可等，無不有著明顯的幾何形體，空間也一樣動感，怪異。"當古典建筑在變向極致時，卻漸漸離開了空間最基本的幾何單純性的直率表達。"□現(xiàn)代建筑空間的重大問題必將在幾何學基礎(chǔ)上加以解決。如圖(5，在空間設(shè)計的趨勢下，要最大限度地約簡材料，純化表面，去除一切非本質(zhì)的因素，把生命與空間交織在一起。通過極端簡化的形式，可以最大程度地制造平衡，通過單純的形式，將多層次的簡單的景色呈現(xiàn)出來。要取得這樣效果，有必要回到光明與黑暗的相互融合來表現(xiàn)形式的方式，并且豐富空間。幾何大致有三種構(gòu)成關(guān)系：距離關(guān)系；比例、尺度數(shù)學關(guān)系；組合關(guān)系。在任何設(shè)計中，體塊的整體性是個法則，空間尤為重要。幾何體及其組合能給人親切感，這是人類從事社會生產(chǎn)以來最直覺的體現(xiàn)。此時讓我想起包豪斯時期建筑以及室內(nèi)空間、產(chǎn)品的設(shè)計，是種功能主義和經(jīng)濟理論主義至上的典范，從某種意義上說丟失了作品共性。有種劇烈的感覺，也盼望從平面中去探求空間，平面與空間有某種內(nèi)在聯(lián)系，空間是可以轉(zhuǎn)換的。建筑審美的幾何特性美學家馬克斯?迪索(MaxDessior)在其所著《美景與藝術(shù)理論》書中，提出了他自己的藝術(shù)分類體系。在他的藝術(shù)分類表中，建筑被列為自由藝術(shù)一聯(lián)想不明確，不具有現(xiàn)實形式的藝術(shù)，空間藝術(shù)——靜止的和并列的藝術(shù)以及造型藝術(shù)以空間形象作為效果手段的藝術(shù)。一個強調(diào)了建筑所具有的空間或體積特性的位置，有的甚至更明確了指出建筑具有內(nèi)在空間的獨特屬性。如圖(61這個位置是由建筑的社會功能需求這一基本要素打算的，同時也顯示了建筑藝術(shù)與其它各門藝術(shù)最重要的區(qū)分，建筑既然具有豐富多彩的內(nèi)部空間結(jié)合，便會因之產(chǎn)生萬千就幻的外部形體表現(xiàn)，反映在建筑設(shè)計的各種視圖中，平面圖形，二維或三維的空間形體也好，它們的性質(zhì)和應用恰是幾何學的爭論范疇。在建筑歷史的演進過程中，曾經(jīng)消失過五花八門的建筑觀，它們對建筑有著不同的解釋，對建筑的進展起到不同的推動作用。譬如，在希臘古典埋藏，哲學家、數(shù)學家畢達哥拉斯(Pythagoras)首先提出“黃金分割”的理論；意大利晚期文藝復興時期的重要建筑理論家中的拉等奧(AadreaPaladio)曾經(jīng)指出：”……建筑因而像個完整的、完全的軀體，它的每一個器官都和相適應……。”當然，進展到極端形式，則是一個"完整的，完全的"人像去取代柱子以支撐上部的結(jié)構(gòu)構(gòu)件。因此，從建筑藝術(shù)的角度動身，以幾何的觀點去對待建筑構(gòu)成，不但完全符合建筑內(nèi)部空間的內(nèi)涵，而且不必介入建筑論戰(zhàn)的是非曲直。由于建筑師無論持何種觀點，他總是無法回避建筑的幾何特性。建筑大師勒?柯布西耶(Lecorbusier)也同樣贊美幾何形體，貶期的現(xiàn)代主義與后現(xiàn)代主義建筑作品中同樣體現(xiàn)劇烈?guī)缀喂残?。如圖(71人們的建筑觀曾經(jīng)并不斷翻新，建筑的幾何特性卻從來不曾被轉(zhuǎn)變。人們可以極其簡潔地從中辨認出各種基本幾何圖形以及它們的組合。約翰?波特曼(JohnPortman)的洛杉磯好運旅館——圓形，貝聿銘的華盛頓美國我國美術(shù)館——三角形。對古代建筑的立面構(gòu)圖進行分析，試圖去解釋建筑師的立面創(chuàng)作意圖，探求立面中的比例關(guān)系。那些經(jīng)典作品便被選擇作為例證，即如雅漠的中間提濃神病、羅馬的萬神廟、巴黎的凱旋門等。僅僅指出建筑的幾何特性能夠經(jīng)予人們不同于其它各門藝術(shù)的審美感受是不夠的，由于感受本身既可以是正面的確定的，也可以是反面的否定的兩種相反體驗。關(guān)于減弱建筑幾何特性的建筑裝飾建筑裝飾的目的，無非是為了使建筑在人們對其進行審美的過程中，能夠給人以審美愉悅。黑格爾曾經(jīng)說過："建筑首先要適應一種需要，而且是一種與藝術(shù)無關(guān)的需要。所以單為滿意這種需