2023年中考數(shù)學(xué)專題《平行線四大模型》含答案解析

專題03平行線四大模型（知識(shí)解讀）【專題說明】歷年中考考試中，有不少題目都考查了平行線的性質(zhì)及應(yīng)用，現(xiàn)汲取四大模型，供同學(xué)們賞析，希望能到達(dá)指導(dǎo)學(xué)習(xí)之目的?！痉椒记伞磕Ｐ鸵弧般U筆”模型點(diǎn)P在EF右側(cè)，在AB、CD內(nèi)部“鉛筆”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P+∠AEP+∠PFC=360°結(jié)論2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，則AB∥CD.模型二“豬蹄”模型（M模型）點(diǎn)P在EF左側(cè)，在AB、CD內(nèi)部“豬蹄”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP+∠CFP；結(jié)論2：若∠P=∠AEP+∠CFP，則AB∥CD.模型三“臭腳”模型點(diǎn)P在EF右側(cè)，在AB、CD外部“臭腳”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；結(jié)論2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，則AB∥CD模型四“骨折”模型點(diǎn)P在EF左側(cè)，在AB、CD外部·“骨折”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；結(jié)論2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，則AB∥CD.【典例分析】【模型1“鉛筆”模型】【典例1】如圖，直線a∥b，點(diǎn)M、N分別在直線a、b上，P為兩平行線間一點(diǎn)，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360° B．300° C．270° D．180°【答案】A【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PA∥a，則a∥b∥PA，∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故選：A．【變式1-1】把一塊等腰直角三角尺和直尺按如圖所示的方式放置，若∠1＝32°，則∠2的度數(shù)為（）A．20° B．18° C．15° D．13°【答案】D【解答】解：如圖，過點(diǎn)O作OP∥AB，則OP∥AB∥CD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠3+∠4＝45°，∴∠1+∠2＝45°，∴∠2＝45°﹣∠1＝45°﹣32°＝13°．故選：D．【典例2】問題情境：（1）如圖1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度數(shù)．（提示：如圖2，過P作PE∥AB）問題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出α、β、∠DPC之間的數(shù)量關(guān)系．（提示：三角形內(nèi)角和為180°）【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，∴∠PAB+∠APE＝180°，∠EPC+∠C＝180°，∴∠APE＝180°﹣120°＝60°，∠EPC＝180°﹣130°＝50°，∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝60°+50°＝110°；（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）①當(dāng)P在OA延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；②當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β，①當(dāng)P在OA延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；②當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β，理由：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【變式2-1】已知，AB∥CD，試解決下列問題：（1）如圖1，∠1+∠2＝；（2）如圖2，∠1+∠2+∠3＝；（3）如圖3，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）；（2）過點(diǎn)E作一條直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；（3）過點(diǎn)E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD，∴AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1+∠AEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFC+∠4＝180°；∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；（4）根據(jù)上述規(guī)律，顯然作（n﹣2）條輔助線，運(yùn)用（n﹣1）次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．即可得到n個(gè)角的和是180°（n﹣1）．【變式2-2】如圖，已知BQ∥GE，AF∥DE，∠1＝50°．（1）求∠AFG的度數(shù)；（2）若AQ平分∠FAC，交BC于點(diǎn)Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度數(shù)．【解答】解：（1）∵BQ∥GE，∠1＝50°，∴∠E＝∠1＝50°，∵AF∥DE，∴∠AFG＝∠E＝50°；（2）過點(diǎn)A作AM∥BQ，由（1）得∠AFG＝∠E＝50°，∵BQ∥GE，∴AM∥BQ∥GE，∴∠FAM＝∠AFG＝50°，∠MAQ＝∠Q＝15°，∴∠FAQ＝∠FAM+∠MAQ＝65°，∵AQ平分∠FAC，∴∠QAC＝∠FAQ＝65°，∴∠MAC＝∠QAC+∠MAQ＝80°，∵AM∥BQ，∴∠ACB＝∠MAC＝80°．【模型2“豬蹄”模型（M模型）】【典例3】【問題背景】同學(xué)們，觀察小豬的豬蹄，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)熟悉的幾何圖形，我們就把這個(gè)圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系．【問題解決】（1）如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．則∠AEC＝．【問題探究】（2）如圖2，AB∥CD，線段AD與線段BC交于點(diǎn)E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度數(shù)．【問題拓展】（3）如圖3．AB∥CD，線段AD與線段BC相交于點(diǎn)G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，過點(diǎn)D作DF∥CB交直線AB于點(diǎn)F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度數(shù)．【解答】解：（1）延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠AFC＝∠C＝28°，∵∠AEC是△AEF的一個(gè)外角，∴∠AEC＝∠A+∠AFC＝∠A+∠C＝70°，故答案為：70°；（2）利用（1）的結(jié)論可得：∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°，∴∠AEC＝∠BED＝90°，∵EF平分∠BED，∴∠BEF＝∠BED＝45°，∴∠BEF的度數(shù)為45°；（3）∵BC∥DF，∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝124°，∵DG平分∠CDF，∴∠CD