概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)多維隨機(jī)變量連續(xù)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)多維隨機(jī)變量連續(xù)第1頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五⑶P(0

<

X

1,

0

<Y

2)例4(P88例4)試求：⑴常數(shù)C;⑵分布函數(shù)F(x,y);⑶P(0<X1,

0<Y2)與P(YX).解⑴由規(guī)范性知：∴C=12;⑵記為G

yxoGGP(X

Y)

第2頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五例5

設(shè)r.v.(X,Y)的聯(lián)合d.f.

為其中k

為常數(shù).求常數(shù)k;

P(X+Y1),P(X<0.5);

聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);

邊緣d.f.

與邊緣分布函數(shù)例5第3頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五y=x10xy解令D(1)第4頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五x+y=1y=x10xy(2)0.5x+y=1y=x10xyy=x10xy0.5第5頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五的分段區(qū)域y=x10xyD第6頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)0

x<

1,0y<

x

時(shí)，1(3)當(dāng)x<0或y<0時(shí),

F(x,y)=0當(dāng)0

x<1,xy<1時(shí)，v=u10uv第7頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)0

x<1,y1時(shí)，v=u10uv1第8頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)x

1,0y<1時(shí)，v=u10uv1當(dāng)x

1,y1時(shí)，第9頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五F(x,y)=0,x<0或y<0y4,0

x<1,0y<

x

，2x2y2–y4,

0

x<1,x

y<1，2x2–x4,0

x<1,y1，y4,x

1,0y<1，1,x

1,y1，第10頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五(4)=0,x<0，2x2–x4,0

x<

1,1,x

10,y<0y4,0y<

1,

1,y1=第11頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五第12頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五

yxoG設(shè)G是平面上的有界區(qū)域,其面積為S.若二維隨機(jī)變量

(X,Y)的概率密度為則稱(X,Y)在G上服從均勻分布.

向平面上有界區(qū)域

G

內(nèi)任投一質(zhì)點(diǎn)，四、兩個(gè)常見的二維分布1.均勻分布B若質(zhì)點(diǎn)落在

G

內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的形狀及位置無關(guān).則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)(X,Y)在G上服從均勻分布..第13頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五若二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度其中均為常數(shù),2.正態(tài)分布則稱(X,Y)服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布.記作(X,Y)～N().且第14頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五§2邊緣分布聯(lián)合分布F(X,Y)（X,Y）整體地看局部地看FY(y

)FX(x

)XY二維聯(lián)合分布F(X,Y)全面地反映了二維隨機(jī)變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律.問題：二者之間有什么關(guān)系嗎?分別稱為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)但作為一維隨機(jī)變量,X,Y也有自己的分布函數(shù).由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布反之?轉(zhuǎn)化為一維時(shí)的情形第15頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五FX(

x

)=F(x,+)X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y

),則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)為二、連續(xù)型二維隨機(jī)變量的邊緣概率密度(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為則(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為第16頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五例2設(shè)(X,Y)的概率密度是解求邊緣密度.分段函數(shù)積分應(yīng)注意其表達(dá)式

yx01y

=

xy

=

x2

在求連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度時(shí)，往往要對聯(lián)合密度在一個(gè)變量取值范圍上進(jìn)行積分.當(dāng)聯(lián)合密度是分段函數(shù)時(shí)，在計(jì)算積分時(shí)應(yīng)特別注意積分限.第17頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五

yx-a0

a

例3(P93

例6)

設(shè)(X,Y

)服從橢圓域上的均勻分布,求(1)

求(X,Y

)的邊緣密度函數(shù)解(1)由題知(X,Y)的概率密度為同理可得(2)

(2)

,其中A為區(qū)域:X與Y不服從均勻分布二維均勻分布的兩個(gè)邊緣密度未必是均勻分布的二維正態(tài)分布的邊緣密度仍服從正態(tài)分布

yxa0

a

Ax+y=a第18頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五解例4

(P94例7)求二維正態(tài)分布的邊緣密度.～～二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣密度仍是正態(tài)分布均與

無關(guān)逆命題成立嗎？由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布請看下例第19頁，共21頁，2023年，2月20日，星期五例5(P96)

若二維隨機(jī)變量(

X,Y)的概率密度為求邊緣密度函數(shù)

解同理～～但反之不真二維正態(tài)分布性質(zhì)二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣密度仍是正態(tài)分布的正態(tài)分布的聯(lián)合分布未必是正態(tài)分布但反之不真第20頁，共2