2021年湖南省長(zhǎng)沙市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）

2021年湖南省長(zhǎng)沙市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）-選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的..（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z「Z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，z『l+i,則Z1Z2=（）A.2B.-2C.1+iD.1-i.（5分）設(shè)全集U=R，函數(shù)f（x）=lg（|x+l|-1）的概念域?yàn)锳,集合TOC\o"1-5"\h\zB={x|sinnx=0},則（［心）nB的子集個(gè)數(shù)為（ ）A.7B.3C.8D.93.（5分）函數(shù)￡（乂）=52（3乂+牛）（3>0,0<5<1!）的圖象中相鄰對(duì)稱tt的距離為2L,若角中的終邊通過(guò)點(diǎn)⑶蜴），則”的值為（ ）2 工”「A.在B.時(shí)C.2D.2V324.（5分）如圖所示的莖葉圖（圖一）為高三某班50名學(xué)生的化學(xué)考試成績(jī)，圖（二）的算法框圖中輸入的af為莖葉圖中的學(xué)生成績(jī)，則輸出的m,n別離是（ ）A.m=38,n=12B.m=26,n=12C.m=12,n=12D.m=24,n=105.（5分）設(shè)不等式組3y>s表示的平面區(qū)域?yàn)椋?不等式（x+2）2+、冥+y式4（y-2）2<2表示的平面區(qū)域?yàn)椤?，對(duì)于％中的任意一點(diǎn)M和02中的任意一點(diǎn)N,|MN|的最小值為（ ）A.Ib.M.2D.3工2 4TOC\o"1-5"\h\z.（5分）若函數(shù)f（x）=（2f）耳的圖象如圖所示，則m的范圍為（ ）A.（-oo,-1）B.（-1,2）C.（0,2） D.（l,2）.（5分）某多面體的三視圖如圖所示，則該多面體各面的面積中最大的是（）A.llB.VlC.ViD.^2 2.（5分）設(shè)等差數(shù)軸J的前n項(xiàng)和為Sn,且知足S2021>0,S2021<0,對(duì)任意正整數(shù)n,都有忖拒同，則k的值為（ ）A.1006B.1007C.1008D.1009.（5分）已知非零向量OE二知足|羨百巾二4,（￡「）??-r）=0,若對(duì)每一個(gè)肯定的E，目的最大值和最小值^離為m,n,則m-n的值為（）A.隨后|增大而增大B.隨〉|增大而減小C.是2D.是4TOC\o"1-5"\h\z10.（5分）已知如圖所示的三棱錐D-ABC的四個(gè)極點(diǎn)均在球0的球面上，△ABC和^DBC所在平面彼此垂直，AB=3,AC』,BOCD=BD=2有，則球。的表面積為（ ）A.4兀B.12nC.16nD.36n2 2（5分）已知雙曲線C：工匚二1（a>0,b>0）的右極點(diǎn)為A,0為坐標(biāo)2 121ab原點(diǎn)，以A為圓心的圓與雙曲線C的某漸近線交于兩點(diǎn)P,Q,若NPAQ=60。，且質(zhì)二3而，則雙曲線C的離心率為（ ）A.-ZB.-ZC. D.?斤4 3 2（5分）已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若對(duì)任意的x￡[0,1],總存在唯一的y￡[-1,1],使得x+y2ey-a=0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A.[1,e]B.（1+1,e]C.（1,e]D.[1+1,e]e e二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）.（5分）已知a>0, 展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為15,則Vx'J=，工+h+VZJ）dir?（5分）設(shè)a,b￡R,關(guān)于x,y的不等式|x|十|y|<1和ax+4byN8無(wú)公共解,則ab的取值范圍是.（5分）正項(xiàng)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且2%二.，%（n金N*）,設(shè)口3 41%二"1）八3上，則數(shù)列｛cn｝的前2021項(xiàng)的和為.2 2.（5分）已知F是橢圓C：1+?二=1的右核心，P是C上一點(diǎn)，A（-2,1）,204當(dāng)4APF周長(zhǎng)最小時(shí)，其面積為.三、解答題（本大題共5小題，共70分.解承諾寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明進(jìn)程或演算步驟.）.（12分）4ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，且加?隊(duì)二口，ginZBAC^-^-，3AB=32，BD=三.（I）求AD的長(zhǎng)；（口）求cosC..（12分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，△ADE,^BCF均為等邊三角形，EF〃AB,EF=AD=1aB.2（1）過(guò)BD作截面與線段FC交于點(diǎn)N,使得AF〃平面BDN,試肯定點(diǎn)N的位置，并予以證明；（2）在（1）的條件下，求直線BN與平面ABF所成角的正弦值.19.（12分）2021年7月9日21時(shí)15分，臺(tái)風(fēng)“蓮花”在我國(guó)廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登岸，造成165.17萬(wàn)人受災(zāi)，5.6萬(wàn)人緊急轉(zhuǎn)移安置，288間衡宇倒塌，46.5千公頃農(nóng)田受災(zāi)，直接經(jīng)濟(jì)損失12.99億元.距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺(tái)風(fēng)的影響，適逢暑假，小明調(diào)查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺(tái)風(fēng)造

成的經(jīng)濟(jì)損失，將搜集的數(shù)據(jù)分成［0，2000］，（2000，4000］，（4000，6000］，（6000，8000］，（8000，10000］五組，并作出如下頻率散布直方圖：（工）試按照頻率散布直方圖估量小區(qū)平均每戶居民的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（口）小明向班級(jí)同窗發(fā)出倡議，為該小區(qū)居民捐錢.現(xiàn)從損失超過(guò)4000元的居民中隨機(jī)抽出2戶進(jìn)行捐錢援助，設(shè)抽出損失超過(guò)8000元的居民為￡戶，求￡的散布列和數(shù)學(xué)期望；（田）臺(tái)風(fēng)后區(qū)委會(huì)號(hào)召小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐錢，小明調(diào)查的50戶居民捐錢情況如表，按照表格中所給數(shù)據(jù)，別離求b,c,a+b,c+d,a+c,b+d,a+b+c+d的值，并說(shuō)明是不是有95%以上的把握以為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是不是到4000元有關(guān)？經(jīng)濟(jì)損失不超過(guò)經(jīng)濟(jì)損失超過(guò)合計(jì)經(jīng)濟(jì)損失不超過(guò)經(jīng)濟(jì)損失超過(guò)合計(jì)4000元 4000元捐 a=30 b款超過(guò)500元捐 c d=6款不超過(guò)500元合計(jì)0.0250.0100.005 0.001P 0.15 0.10 0.050.0250.0100.005 0.001(K2三k)k2.072 2.706 3.841 5.0246.6357.879 10.828附:臨界值表參考公式：,n(ad-bc)'附:臨界值表參考公式：,(a+b)(c+d)(a+c)(b-l-d)(12分)已知拋物線C的極點(diǎn)為原點(diǎn)，其核心F(0,c)(c>0)到直線I：x-y-2=0的距離為謔，設(shè)P為直線I上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線2PA,PB,其中A,B為切點(diǎn).(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)P(x°,y°)為直線I上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線I上移動(dòng)時(shí)，求|AF|?|BF|的最小值.(12分)已知函數(shù)f(x)=J^+be-x,點(diǎn)M(0,1)在曲線y=f(x)上，且曲線在點(diǎn)M處的切線與直線2x-y=0垂直.(1)求a,b的值；(2)若是當(dāng)x/0時(shí)，都有f(x)>^^+ke-x,求k的取值范圍.已工-1請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，若是多做，則按所做的第一題記分.［選修44坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程己知曲線J的參數(shù)方程是(巾為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸成立坐標(biāo)系，曲線C2的坐標(biāo)系方程是p=2,正方形ABCD的極點(diǎn)都在C2上，且A,B,C,D依逆時(shí)針順序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2,2L).(1)求點(diǎn)A,B,C,D的直角坐標(biāo)；(2)設(shè)p為c1上任意一點(diǎn)，求|pa"pb|2+|pc|2+|pd|2的取值范圍.［選修45不等式選講］設(shè)f(x)=|x|-|2x-1|,記f(x)>-1的解集為，(1)求集合M；(2)已知a￡M,比較a2-a+1與1的大小.2021年湖南省長(zhǎng)沙市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（5分）設(shè)復(fù)數(shù)ZjZ2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，z『l+i,則Z1Z2=（ ）A.2B.-2C.1+iD.1-i【解答】解：復(fù)數(shù)Z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，Z『l+i,所以Z2=17,Azxz2=（1+i）（1-i）=2.故選：A.（5分）設(shè)全集U=R,函數(shù)f（x）=lg（|x+11-1）的概念域?yàn)锳,集合B={x|sinnx=0},則（^a）nB的子集個(gè)數(shù)為（ ）A.7B.3C.8D.9【解答】解：*|x+l|-l>0,得 即x<-2或x>0.AA={x|x<-2或x>0},貝比心={x|-2<x<0}；由sinnx=0,得：Tix=kn,k￡Z,x=k,k￡Z.則B={x|sirmx=0}={x|x=k,k￡Z},則（［uA）nB={x|-2<x<0}n{x|x=k,kez}={-2,-1,0}.??.（［uA）nB的元素個(gè)數(shù)為3.???（［uA）nB的子集個(gè)數(shù)為：23=8.故選：C.（5分）函數(shù)f（x）=sin（cox+4））（⑴>0,0<4）<n）的圖象中相鄰對(duì)稱軸的距離為號(hào)，若角力的終邊通過(guò)點(diǎn)絡(luò)，必），則f（手）的值為（ ）A.烏B.“C.2D.2^3【解答】解：由題意相鄰對(duì)稱軸的距離為四，可得周期T=m那么⑴=2,2角力的終邊通過(guò)點(diǎn)絡(luò)，必），在第一象限.即tan^=—,34）=—6故得f（x）=sin（2x+2L）6rTtri,JT. /TT,JU\TT\/~3貝I］干f——戶sin（————）=cos——=工'4' 2 & 6 2故選：A4.（5分）如圖所示的莖葉圖（圖一）為高三某班50名學(xué)生的化學(xué)考試成績(jī)，圖（二）的算法框圖中輸入的斗為莖葉圖中的學(xué)生成績(jī)，則輸出的m,n別離是（）A.m=38,n=12B.m=26,n=12C.m=12,n=12D.m=24,n=10【解答】解：由程序框圖知：算法的功能是計(jì)算學(xué)生在50名學(xué)生的化學(xué)考試成績(jī)中，成績(jī)大于等于80的人數(shù)，和成績(jī)小于80且大于等于60的人數(shù)，由莖葉圖得，在50名學(xué)生的成績(jī)中，成績(jī)大于等于80的人數(shù)有80,80,81,84,84,85,86,89,90,91,96,98,共12人，故n=12,由莖葉圖得，在50名學(xué)生的成績(jī)中，成績(jī)小于60的人數(shù)有43,46,47,48,50,51,52,53,53,56,58,59,共12人，則在50名學(xué)生的成績(jī)中，成績(jī)小于80且大于等于60的人數(shù)有50-12-12=26,故m=26故選：B.yC耳5.（5分）設(shè)不等式組的？篁表示的平面區(qū)域?yàn)?。j不等式（x+2）2+（y-2）；篁十2<2表示的平面區(qū)域?yàn)殪?，?duì)于中的任意一點(diǎn)M和。2中的任意一點(diǎn)N,|MN|的最小值為（ ）A.返B.返C.6D.3422 4【解答】解：不等式組3公>,表示的平面區(qū)域?yàn)椤?,不等式（x+2）2+（y-2）、國(guó)十yK。2<2表示的平面區(qū)域?yàn)橐?jiàn),如圖：對(duì)于Q1中的任意一點(diǎn)M和％中的任意一點(diǎn)N,|MN|的最小值就是可行域內(nèi)的點(diǎn)O與圓的圓心連線減去半徑，所以，IMN|的最小值為：，厚行他=杳.故選：C.6.(5分)若函數(shù)f(x)二段區(qū)的圖象如圖所示，則m的范圍為( )2,x+mA.(…，-i)b.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)【解答】解：..?當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0,?.2-m>0,故m<2.2TOC\o"1-5"\h\zF(x) .(x2+in)2Vf(x)有兩個(gè)絕對(duì)值大于1的極值點(diǎn)，，m-X2=O有兩個(gè)絕對(duì)值大于1的解，故選：D.7.(5分)某多面體的三視圖如圖所示，則該多面體各面的面積中最大的是( )A.11B.迎C.丑D.在2 2【解答】解：由多面體的三視圖得：該多面體為如圖所示的四棱錐P-ABCD,其中底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面PAD，平面ABCD,點(diǎn)P到平面ABCD的距離為1,，AB，平面PAD,.\AB±PA,**,PA=^J12+(i+i)2=Vs???該多面體各面的面積中最大的是△PAB的面積：sapab=|xlxV5-故選：C..(5分)設(shè)等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S”，且知足S2021V0,對(duì)任意正整數(shù)n,都有同|三同|,則k的值為( )A.1006B.1007C.1008D.1009【解答】解：由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得S202X= j =1007(a1007+ai008)>0，

9100791007+91008>0同理由S202i<0可得2015%。8<0,可得a1008<0,??久007〉。，京008<°，且憶1007?>憶1008??寸任意正整數(shù)n,都有憶』三同|,，k的值為1008故選：C..（5分）已知非零向量:，E，W知足令-訝=1訝=4,（二-W）?（b-c）=0,若對(duì)每一個(gè)肯定的E，GI的最大值和最小值別離為m,n,則m-n的值為（ ）A.隨后|增大而增大B.隨后|增大而減小C.是2D.是4【解答】解：假設(shè)奈（4,0）、森（2,26）、鼻（x,y）,,**(a-c)?(b-C)=0?/.(4-x,-y)?(2-x,2\f3-Y)=X2+y2-6x-2^37+8=0,即(x-3)2+(y-近)2=4,???知足條件的向量工的終點(diǎn)在以(3,筋)為圓心、半徑等于2的圓上,???GI的最大值與最小值別離為m=2+2Q,n=2V3-2,m-n=4,故選：D.10.（5分）已知如圖所示的三棱錐D-ABC的四個(gè)極點(diǎn)均在球0的球面上，△ABC和^DBC所在平面彼此垂直，AB=3,40/BOCD=BD=2如，則球。的表面積為（ ）A.4兀B.12nC.16nD.36n【解答】解：VAB=3,AC=Vj,BC=2g,.\AB2+AC2=BC2,.\AC±AB,???Aabc的外接圓的半徑為互:△ABC^ADBC所在平面彼此垂直，???球心在BC邊的高上，設(shè)球心到平面ABC的距離為h,則h2+3=R2=（1X入月-h）2,.\h=l,R=2,???球0的表面積為4tiR2=16ti.故選：C.2 2（5分）已知雙曲線C：2匚二1（a>0,b>0）的右極點(diǎn)為A,0為坐標(biāo)2,Z1ab原點(diǎn)，以A為圓心的圓與雙曲線C的某漸近線交于兩點(diǎn)P,Q,若NPAQ=60。，且礫3命則雙曲線C的離心率為（ ）A.亞B.亞C旺D.V?4 3 2【解答】解：設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y二且x,A（a,0）,aP（m,m），（m>0）,a由國(guó)=3而，可得Q（3m,迎L）,aJ'2~~圓的半徑為r=|PQ|=卜心+"卬=2m?工,Va2aPQ的中點(diǎn)為H（2m,駟），aTOC\o"1-5"\h\z由AH^PQ,可得2bm=一2,a（2m-a） b3 2解得m=七，r=V.2c2 cA到漸近線的距離為d-Jml;或,777^■=則|PQl=2j/_dZ=r，即為d二區(qū)r,即有或二區(qū)?”.2 c2c可得b=_E,a2

故選C.TOC\o"1-5"\h\z（5分）已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若對(duì)任意的x￡0,1],總存在唯一的ye[-l,1],使得x+y2ey-a=0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A.[1,e]B.[iJ,e]C.（1,e]D.[1+1,e]e e【解答】解：由x+y2ey-a=0成立，解得y2ey=a-x,，對(duì)任意的xe[0,1]，總存在唯一的ye[-1,1],使得x+y2ey-a=0成立，.*.a-1三（-1）2e-i,且a-0<12Xei,解得i&WaWe,其中a=l+L時(shí)，y存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，因此舍去，a的取值e e范圍是CLJ,e故選：B.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）（5分）已知a>0,（哀6展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為15,則J北（3+3 ,3r-6【解答】解：由）6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為[二千，（-1）r*a6-K-令『=0,求得r=2,故常數(shù)項(xiàng)為煽屋二15,可得好1，因 此 原 式 為」L d"2JJ(k2+^4-k2)dx=2(f'JK2ds+f#Jd，)=求+

12=求+

12xix3)=|^+3,故答案為：vw+.t（5分）設(shè)a,b￡R,關(guān)于x,y的不等式|x|+|y|<1和ax+4by^8無(wú)公共解，則ab的取值范圍是[-16,16].【解答】解：關(guān)于x,y的不等式|x|+|y|<1表示的可行域如圖的陰影部份：可-1),(-1,0),行域與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（1,0）,（-1),(-1,0),關(guān)于X,y的不等式|x|+|y|<l和ax+4byN8無(wú)公共解，則ax+4byN8表示的范圍在可行域外側(cè)，當(dāng)a>0,b>0時(shí)知足題意，可得2三1,反三1,可得0<abW16,ba當(dāng)a>0,b<0時(shí)知足題意，可得區(qū)）：1，可得：-2Wb<0,0<a<8

b a可得-16<ab<0,當(dāng)a<0,b>0時(shí)知足題意，可得23i，&4—i，可得：0<bW2,-8<a<0ba可得-16<ab<0,當(dāng)a<0,b<0時(shí)知足題意，可得&<_i，可得：-2Wb<0,-8<aba<0,A0<ab<16,當(dāng)ab=0時(shí)，不等式|x|十|y|<1和ax+4by^8無(wú)公共解；故ab的取值范圍是：［-16,16］；故答案為：［-16,16］.（5分）正項(xiàng)數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S”，且那廣己/十%（n￡N*）,設(shè)號(hào)，則數(shù)列Q的前25項(xiàng)的和為—筮―【解答】解：正項(xiàng)數(shù)列同｝的前n項(xiàng)和為年且科7+%（心N*）①,則：”5 2+ ②,已3口+1社n+l+an4-l②一①得：2%十戶％十J-/31an'整理得：an整理得：an+l_an=1,當(dāng)n=l時(shí)，￡￡］二aJ+aj解得：a1=l,所以：數(shù)列｛3｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)歹列.則an=1+n-1=n,所以：s所以：s二旦Fl(n+l)n2+n ?則：%二（-1產(chǎn)數(shù)列｛c，的前2021項(xiàng)的和為：幾皿役二一(1+工)+(1+工)+,「+n 囪16u+2;l23Jk201620177=-1+---，2017=_2Q162017,故答案為：磔殳20172 2(5分)已知F是橢圓C："+2_=1的右核心，P是C上一點(diǎn)，A(-2,1),204當(dāng)4APF周長(zhǎng)最小時(shí)，其面積為4.2 2【解答】解：橢圓C：—+J^_=1的a=2“，b=2,c=4,204設(shè)左核心為F'(-4,0),右核心為F(4,0).△apf周長(zhǎng)為|af|+|ap|+|pf|=|af|+|ap|+(2a-IpH=|AF|+|AP|-|PF'|+2a^|AF|-|AF'|+2a,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F三點(diǎn)共線，即P位于x軸上方時(shí)，三角形周長(zhǎng)最小.此時(shí)直線AF'的方程為尸點(diǎn)(x+4),代入X2+5y2=20中，可求得P(0,2),故SAp=SpF，F(xiàn)-S=1X2X8-lx1X8=4.△APFaPFF aAFF2 2故答案為：4.三、解答題(本大題共5小題，共70分.解承諾寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明進(jìn)程或演算步驟.)(12分)4ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，且而?標(biāo)二口，式n/BM心匹，3AB=3匹BD=V3.(I)求AD的長(zhǎng)；(II)求cosC.【解答】解：(])由標(biāo)二獗得：AD1AC,所以winBAC=win(-^-十/BAD)二c□AI?所以seBAD二挈?(2分)在4ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2-2AB*AD*cosBADipAD2-8AD+15=0,（4分）解之得AD=5或AD=3,由于AB>AD,所以AD=3.（6分）（口）在4ABD中，由正弦定理可知， BD二皿，sinBAEsinADB又由gcisBAD二烏2，可知sinBAD。（8分）所以siMDB;運(yùn)浮/（10分）bu.:：?j T[-因?yàn)?ADB=十NC，即匚口式二咚（12分）（12分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，4ADE,ABCF均為等邊三角形，EF〃AB,EF=AD=1t\B.2（1）過(guò)BD作截面與線段FC交于點(diǎn)N,使得AF〃平面BDN,試肯定點(diǎn)N的位置,并予以證明；（2）在（1）的條件下，求直線BN與平面ABF所成角的正弦值.【解答】解：（1）當(dāng)N為CF的中點(diǎn)時(shí)，AF〃平面BDN.證明：連結(jié)AC交BD于M,連結(jié)MN.???四邊形ABCD是矩形，.?.M是AC的中點(diǎn)，是CF的中點(diǎn)，，MN〃AF,又AFC平面BDN,MNu平面BDN,，AF〃平面BDN.（2）過(guò)F作FO,平面ABCD,垂足為0,過(guò)。作x軸，AB,作y軸，BC于P,則P為BC的中點(diǎn).以。為原點(diǎn)，成立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=1,貝ljBF=1,FP=返,VEF=liT\=l,.*.0P=i（AB-EF）=1,OOF=^.2 2 2 2 2AA（L- 0）,B（X上，0）,C（-工，L0）,F（0,0,亞），N（-1,TOC\o"1-5"\h\z2 2 22 22 2 44 4AAB=（0,2,0）,AF=（』直,返），而=（一旦，-1,返）.22 2 4 4 4設(shè)平面ABF的法向量為藍(lán)（x,y,z）,則￡絲二°,；n,AF二。2產(chǎn)。 _3^~2 ,令Zf/~^得口:（2,0,血），.??n，BN=-l,|門|二加，IBNl=^--/.cos<n,麗〉二工?服二-返.|n||BM| 3???直線BN與平面ABF所成角的正弦值為|cos<^,麗〉|=迎.319.（12分）2021年7月9日21時(shí)15分，臺(tái)風(fēng)“蓮花”在我國(guó)廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登岸，造成165.17萬(wàn)人受災(zāi)，5.6萬(wàn)人緊急轉(zhuǎn)移安置，288間衡宇倒塌，46.5千公頃農(nóng)田受災(zāi)，直接經(jīng)濟(jì)損失12.99億元.距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺(tái)風(fēng)的影響，適逢暑假，小明調(diào)查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失，將搜集的數(shù)據(jù)分成[0,2000],（2000,4000],（4000,6000],（6000,8000],（8000,10000]五組，并作出如下頻率散布直方圖：（I）試按照頻率散布直方圖估量小區(qū)平均每戶居民的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）;（口）小明向班級(jí)同窗發(fā)出倡議，為該小區(qū)居民捐錢.現(xiàn)從損失超過(guò)4000元的居民中隨機(jī)抽出2戶進(jìn)行捐錢援助，設(shè)抽出損失超過(guò)8000元的居民為￡戶，求￡的散布列和數(shù)學(xué)期望；（田）臺(tái)風(fēng)后區(qū)委會(huì)號(hào)召小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐錢，小明調(diào)查的50戶居民捐錢情況如表，按照表格中所給數(shù)據(jù)，別離求b,c,a+b,c+d,a+c,b+d,a+b+c+d的值，并說(shuō)明是不是有95%以上的把握以為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是不是到4000元有關(guān)？經(jīng)濟(jì)損失不超過(guò) 經(jīng)濟(jì)損失超過(guò) 合計(jì)4000元 4000元

a=30500元d=6捐 cd=6款不超過(guò)500元合計(jì)(K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：臨界值表參考公式：，K2(K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：臨界值表參考公式：，K2n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(m+c)〔b+d〕’【解答】解：(I)記每戶居民的平均損失為3元，則：x=(1000X0.00015+3000X0.0002+5000X0.00009+7000X0.00003+9000X0.00003)X2000=3360...(2分)(H)由頻率散布直方圖，得：損失超過(guò)4000元的居民有：(0.00009+0.00003+0.00003)X2000X50=15戶,??.￡的可能取值為0,1,2,p(￡=o)=y=羽，C土.

p(5=1)='C3p(5=1)='C3C12123聯(lián)35r之P(￡二2)=V*35???￡的散布列為：EE=0X-^l+1X11+2XX=_235 35 355(in)如圖：經(jīng)濟(jì)損失不超過(guò)經(jīng)濟(jì)損失超過(guò)合計(jì)4000元4000元捐款超過(guò)30939500元捐款不超5611過(guò)500元合計(jì)351550K2』l>'30X6-9X5)2-4.046>3.841,39XHX35X15所以有95%以上的把握以為捐錢數(shù)額是不是多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是不是4000元有關(guān).…(12分)20.(12分)已知拋物線C的極點(diǎn)為原點(diǎn)，其核心F(0,c)(c>0)到直線I：x-y-2=0的距離為且1,設(shè)P為直線I上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線2PA,PB,其中A,B為切點(diǎn).(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y°)為直線I上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線I上移動(dòng)時(shí)，求|AF|?|BF|的最小值.【解答】解：(D核心F(0,c)(c>0)到直線I：x-y-2=0的距離I-c二2|三！旦工解得c=i,近近2所以拋物線C的方程為x2=4y.

⑵設(shè)虱由(1)得拋物線C的方程為/工,所以切線PA,PB的斜率別離為11⑵設(shè)虱由(1)得拋物線C的方程為/工,所以切線PA,PB的斜率別離為11q町'工建所以PA：yA2A￥4 1工]聯(lián)立①②可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(土學(xué)11;二；224,即沏J1；",,又因?yàn)榍芯€PA的斜率為上工尸21直線AB的斜率，"二V0丁寸町整理得Hl-所以直線AB的方程為vs2121整理得耳防戈,叼工口小；，即尸丸—口，即yo=xo-2,因?yàn)辄c(diǎn)P(x°,y°)為直線I即yo=xo-2,所以直線AB的方程為xox-2y-2yo=O.%1，1Ml二9%1，1Ml二9君+「IafHbf|二§4+1)(1工)1)二,工：工介十(帝君)+1而孫工2+1[(11+工2)-2町工21+1'由(2) x1+x2=2x0，乂22=4丫0，x0=y0+2,lAf|-|￡F|=yo+j(4KQ-8y0)+l=Ko+yo-2y0+l=(ya+2^2+yQ-2y0+l■■.2里口十2F口十5二2【九■■.2里口十2F口十5二2【九)冷?所以當(dāng)先二_1時(shí)，|AF|?|BF|的最小值為旦.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=qes+l且曲線在點(diǎn)M處的切線與直線2x-y=0垂直.2+be-x,點(diǎn)M(0,1)在曲線y=f(x)上，(1)求a,b的值;（2）若是當(dāng)x/0時(shí)，都有f（x）>^^+ke-x,求k的取值范圍.F-1【解答】解：（1）f（X）=絡(luò)匚+be-x的導(dǎo)數(shù)為esfl-ase由切線與直線2x-y=0垂直，可得f(0)=1,f(0)=-1,2即有b=l?