第6課時(shí)空間向量與立體幾何一輪復(fù)習(xí)講義

第6課時(shí)空間向量與立體幾何考點(diǎn)點(diǎn)擊空間向量及其運(yùn)算，空間向量的應(yīng)用考向定位空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)運(yùn)算，是高考考查的重點(diǎn)，多以選擇、填空為主；利用空間向量證明平行與垂直問(wèn)題；利用空間向量求空間角是重中之重，多以解答題的形式出現(xiàn)?？季V解讀1、空間向量及其運(yùn)算①了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。②掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示。③掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。2、空間向量的應(yīng)用①理解直線的方向向量與平面的法向量。②能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系。③能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）。④能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用?？键c(diǎn)精講一、空間向量的線性運(yùn)算1．空間向量的概念空間向量的概念包括空間向量、相等向量、零向量、向量的長(zhǎng)度（模）、共線向量等．2．空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算平面向量中的三角形法則和平行四邊形法則同樣適用于空間向量的加（減）法運(yùn)算．加法運(yùn)算對(duì)于有限個(gè)向量求和，交換相加向量的順序其和不變．三個(gè)不共面的向量的和等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體的對(duì)角線所表示的向量．加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足運(yùn)算律：①交換律，即；②結(jié)合律，即；③分配律，即及（其中均為實(shí)數(shù)）．3．空間向量的基本定理（１）共線向量定理：對(duì)空間向量的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．（２）共面向量定理：如果空間向量不共線，則向量c與向量共面的充要條件是，存在惟一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使．（３）空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使．其中是空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量，該定理可簡(jiǎn)述為：空間任一向量p都可以用一個(gè)基底惟一線性表示（線性組合）．4．兩個(gè)向量的數(shù)量積兩個(gè)向量的數(shù)量積是，數(shù)量積有如下性質(zhì)：①（e為單位向量）；②；③；④．?dāng)?shù)量積運(yùn)算滿足運(yùn)算律：①交換律，即；②與數(shù)乘的結(jié)合律，即；③分配律，即．二、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算1．空間直角坐標(biāo)系若一個(gè)基底的三個(gè)基向量是互相垂直的單位向量，叫單位正交基底，用表示；在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底，可建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，作空間直角坐標(biāo)系時(shí)，一般使∠x(chóng)Oy=135°（或45°），∠yOz=90°；在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，稱(chēng)這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系（立體幾何中建立的均為右手系）．2．空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)運(yùn)算給定空間直角坐標(biāo)系O－xyz和向量a，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組使，則叫作向量a在空間的坐標(biāo)，記作．對(duì)空間任一點(diǎn)A，存在惟一的，點(diǎn)Ａ的坐標(biāo)，記作分別叫Ａ的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)．3．空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律（1）若，則，，，，．（2）若，則．即一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)．4．直線的方向向量與向量方程（１）位置向量：已知向量a，在空間固定一個(gè)基點(diǎn)O，作向量，則點(diǎn)A在空間的位置被所惟一確定，稱(chēng)為位置向量．（２）方向向量與向量方程：給定一個(gè)定點(diǎn)Ａ和一個(gè)向量，再任給一個(gè)實(shí)數(shù)t，以A為起點(diǎn)作向量，則此向量方程稱(chēng)為動(dòng)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)直線l的參數(shù)方程，向量a稱(chēng)為直線l的方向向量．三、直線、平面的法向量及向量在平面內(nèi)的射影如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面，則稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面（記作），向量a叫做平面的法向量．法向量有兩個(gè)相反的方向．法向量的具體應(yīng)用方法，可以歸結(jié)為：1．空間的線線、線面、面面垂直關(guān)系，都可以轉(zhuǎn)化為空間兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題來(lái)解決（１）設(shè)a、b分別為直線的一個(gè)方向向量，那么；（２）設(shè)a、b分別為平面的一個(gè)法向量，那么；（３）設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為b，那么．2．空間圖形的平行關(guān)系包括直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行，都可以用向量方法來(lái)研究（１）設(shè)a、b是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為a、b，那么．（２）直線與平面平行可轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量垂直，也可用共面向量定理來(lái)證明線面平行問(wèn)題．（３）平面與平面平行可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量平行．高.考-資.源-網(wǎng)3．在立體幾何中，涉及的角有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等．關(guān)于角的計(jì)算，均可歸結(jié)為求兩個(gè)向量的夾角空間角主要有：①線線角：異面直線所成角轉(zhuǎn)化為兩條直線所在向量的夾角；②線面角：直線AB與平面所成角為，其中是平面的法向量；③面面角：二面角的大小為或，其中是兩個(gè)半平面的法向量．斜線與平面所成角是斜線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角（最小角定理）．與最小角定理聯(lián)系密切的一個(gè)重要公式是，要注意其應(yīng)用！4．立體幾何中涉及的距離問(wèn)題較多，如點(diǎn)與線的距離，點(diǎn)、線與面的距離，兩異面直線的距離等，都是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，若用向量來(lái)處理這類(lèi)問(wèn)題，則思路簡(jiǎn)單，解法固定可利用實(shí)現(xiàn)距離與向量之間的轉(zhuǎn)化．設(shè)e是直線l的一個(gè)單位方向向量，線段AB在l上的投影是，則有，由此可求點(diǎn)到線，點(diǎn)到面的距離問(wèn)題．空間距離主要有：①點(diǎn)面距：設(shè)n是平面的法向量，，則B到的距離為；②線線距：設(shè)n是兩條異面直線的公垂線的向量，若A，B分別是在上的任意一點(diǎn)，則的距離為；③線面距、面面距．與前面求法相同．基礎(chǔ)自測(cè)在下列命題中：①若、共線，則、所在的直線平行；②若、所在的直線是異面直線，則、一定不共面；③若、、三向量?jī)蓛晒裁?，則、、三向量一定也共面；④已知三向量、、，則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為．其中正確命題的個(gè)數(shù)為 A．0 B．1 C．2 D．32．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是 A．有相同起點(diǎn)的向量 B．等長(zhǎng)向量 C．共面向量 D．不共面向量3．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于 A． B． C． D．4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，則 A．+－ B．－+ C．－++ D．－+－5．已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，則向量與之間的夾角為 A．30° B．45° C．60° D．以上都不對(duì)6．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），則BC邊上的中線長(zhǎng)為 A．2 B．3 C．4 D．5參考答案ACDDCB熱點(diǎn)題例例1、如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F(xiàn)分別CD、PB的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：EF平面PAB；（Ⅱ）設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成角的正弦值大小.ABCDEFxyzP解析：（Ⅰ）證明：建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)AD=PD=1，AB=（），則E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),.得，，.由，得，即，ABCDEFxyzP同理，又，所以，EF平面PAB.（注：此小問(wèn)所用即向量法證明線面垂直）（Ⅱ）解：由，得，即.得，，.有，，.設(shè)平面AEF的法向量為，由，解得.于是.設(shè)AC與面AEF所成的角為，與的夾角為.則.所以，AC與平面AEF所成角的正弦值大小為.方法點(diǎn)評(píng)：設(shè)是平面的法向量，是平面的一條斜線，則與平面所成的角為與法向量成角的余角。即例2、如圖,在直四棱柱中,已知,,.(I)設(shè)是的中點(diǎn),求證:;(II)求二面角的余弦值.解:(I)連結(jié)，則四邊形為正方形，，且，為平行四邊形，.（另：向量法證明線面平行：易得，可求得面的一個(gè)法向量為，由，又，所以）(II)以D為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得，取，則.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得，取,則.由圖知該二面角為銳角，所以所求的二面角的余弦值為方法：設(shè)是二面角的面的法向量，則就是二面角的平面角或補(bǔ)角的大小。例3、如圖，四面體ABCD中，O、E分別BD、BC的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=2，（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的余弦值大?。唬á螅┣簏c(diǎn)E到平面的距離.(I)證明：連結(jié)OC.

∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=.

而AC=2,∴AO2+CO2=AC2,∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.∴AO平面BCD.（Ⅱ）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，，0)，A(0,0,1),E(,,0),∴∴異面直線AB與CD所成角的大小為（Ⅲ）解：設(shè)平面ACD的法向量為=(x,y,z),則 ∴令y=1，得=(-)是平面ACD的一個(gè)法向量.又∴點(diǎn)E到平面ACD的距離h=（注：考試中的點(diǎn)面距離大都可以使用等體積法簡(jiǎn)單求得）方法：如右圖求出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，再求出已知點(diǎn)與平面內(nèi)任一點(diǎn)構(gòu)成的向量的坐標(biāo)，那么到平面的距離例4、如圖，在長(zhǎng)方體中，求平面的距離。解：，同理，建立如圖直角坐標(biāo)系，,設(shè)為平面的法向量，則，不妨設(shè)設(shè)兩平行平面間的距離為則等于到平面的距離例5、如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)，又BO=2,PO=,PB⊥PD.設(shè)點(diǎn)M在棱PC上，問(wèn)M點(diǎn)在什么位置時(shí)，PC⊥平面BMD.解析：平面又，，由平面幾何知識(shí)得：以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，設(shè)，由于三點(diǎn)共線，得，即由對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例有，則（這里揭示出了設(shè)線上一點(diǎn)的方法）平面，，得，所以。，故則M點(diǎn)是靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)。提醒：向量法特別要注意運(yùn)算問(wèn)題，在得點(diǎn)坐標(biāo)、計(jì)算法向量、數(shù)量積、模的時(shí)候一定要小心。強(qiáng)化訓(xùn)練1、如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCD－A1B1C1D1的對(duì)角線BD1上，∠PDA=60°（1）求DP與CC1所成角的大??；（2）求DP與平面AA1D1D所成角的大小。2、如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，,,,為的中點(diǎn)。（Ⅰ）求異面直線AB與MD所成角的大?。唬á颍┣簏c(diǎn)B到平面OCD的距離。ABCDOO1ABOCO1D3、如圖1，已知ABCDOO1ABOCO1D（Ⅰ）證明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小。4、如圖,在六面體中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形,平面,平面ABCD，DD1=2。(Ⅰ)求證:與AC共面，與BD共面.(Ⅱ)求證:平面(Ⅲ)求二面角的大小.5、如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，，為中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．6、如圖，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直線與直線所成的角為60°.（Ⅰ）求證：平面⊥平面;（Ⅱ）求二面角的大小;（Ⅲ）求三棱錐的體積.參考答案1、解：如圖，以為原點(diǎn)，為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系．則，．連結(jié)，．在平面中，延長(zhǎng)交于．設(shè)，由已知，由ABCDPxyzABCDPxyzH（Ⅰ）因?yàn)椋裕磁c所成的角為．（Ⅱ）平面的一個(gè)法向量是．因?yàn)?，所以．可得與平面所成的角為．2．解：作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1)設(shè)與所成的角為,,與所成角的大小為(2)設(shè)平面OCD的法向量為,則即取,解得設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值,,.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為3．解:（I）證明由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1. 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA⊥OB.故可以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO1 所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 如圖3，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是A（3，0，0）， B（0，3，0），C（0，1，）,O1（0，0，）.從而， 所以AC⊥BO1.（II）解：因?yàn)樗訠O1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一個(gè)法向量.設(shè)是0平面O1AC的一個(gè)法向量，由得.設(shè)二面角O—AC—O1的大小為，由、的方向可知，>， 所以cos，>=4.解（向量法）：以D為原點(diǎn)，以DA,DC,所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則有A（2，0，0），B（2，2