期望效用函數(shù)理論與單期定價模型

期望效用函數(shù)理論與單期定價模型第1頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五第1章期望效用函數(shù)理論與單期定價模型1.期望效用函數(shù)理論2.投資者的風險偏好和風險度量3.單期定價模型本章內容概覽第2頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1序數(shù)效用函數(shù)1.1.1偏好關系第3頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.1偏好關系第4頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.2字典序例如：設選擇集第5頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.2字典序問題驗證上述的二元關系是否是一偏好關系？第6頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.2字典序第7頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.2字典序第8頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.3效用函數(shù)效用函數(shù)定義第9頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.4偏好關系的三條重要性質性質1（序保持性）第10頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五證明字典序具有性質1必要性第11頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五證明字典序具有性質1（續(xù)）必要性因此第12頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五證明字典序具有性質1（續(xù)）必要性則根據(jù)向量運算法則第13頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五證明字典序具有性質1（續(xù)）必要性第14頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五證明字典序具有性質1（續(xù)）充分性根據(jù)字典序的定義，可能有以下兩種情況第15頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五證明字典序具有性質1（續(xù)）充分性故第16頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.4偏好關系的三條重要性質性質2（中值性）第17頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五證明字典序不具有性質2根據(jù)字典序定義，我們有第18頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五證明字典序不具有性質2（續(xù)）這說明字典序不具有性質2。第19頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.4偏好關系的三條重要性質性質3（有界性）第20頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.1.5序數(shù)效用函數(shù)存在定理定理1.1第21頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五序數(shù)效用函數(shù)存在定理證明由性質3，此時定理顯然成立。因為B存在偏好關系，只有3種情況：第22頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五序數(shù)效用函數(shù)定理證明第23頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五必要性第24頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五第25頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五由性質1（序保持性），第26頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五充分性由保序性，第27頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五充分性此時由U的定義，由性質1第28頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五必要性若不然，由結論1，第29頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五充分性第30頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五說明設U是效用函數(shù)，注1序數(shù)效用函數(shù)不是唯一的，但是都具有如下性質：第31頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五說明注2在字典序上不存在與字典序相一致的效用函數(shù)。注3第32頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五利用數(shù)學歸納法證明注3第33頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五利用數(shù)學歸納法證明注3（續(xù)）第34頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五利用數(shù)學歸納法證明注3（續(xù)）第35頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2期望效用函數(shù)第36頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五引言在1.1節(jié)中，我們討論了當選擇對象是確定的，且滿足偏好關系的三條性質（序保持性、中值性和有界性）的條件下，序數(shù)效用函數(shù)的存在性定理。本節(jié)將把效用概念推廣到選擇對象包含不確定（風險）的情形。假設投資者在形如下面的“彩票”中選擇，收益（盈利或獎金數(shù)額）用表示，對應的概率為第37頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.1彩票及其運算彩票概念：隨機變量的概率分布可用向量表示為第38頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.1彩票及其運算結論第39頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.1彩票及其運算性質定義復合性抽彩為：可以證明第40頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.1彩票及其運算性質則第41頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.2彩票集合上的偏好關系第42頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.2彩票集合上的偏好關系性質1（保序性）第43頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.2彩票集合上的偏好關系性質2(中值性)性質3(有界性)第44頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）第45頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）證明第46頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）證明（續(xù)）由效用函數(shù)的構造性定義即證畢。第47頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）（3）的推廣推廣到n個彩票相加的情形由效用函數(shù)的定義可見，上面定義的效用函數(shù)不唯一。第48頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理命題1.1第49頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理命題1.1證明令由定理1.2，效用函數(shù)U滿足定理1.2的性質(3)，于是第50頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理命題1.1證明續(xù)因此，在不考慮正仿射變換情況下，這一類效用函數(shù)是唯一的，稱它為基數(shù)效用函數(shù)。第51頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對離散的有限狀態(tài)這時把選擇集看成所有輸出的概率分布律組成的集合第52頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對離散的有限狀態(tài)為方便，定義第53頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對連續(xù)的狀態(tài)空間第54頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對連續(xù)的狀態(tài)空間第55頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對連續(xù)的狀態(tài)空間第56頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)定理1.3第57頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.5伯瑞特率問題：假設資產(chǎn)市場上的所有投資者都具有馮.諾依曼—莫根斯坦效用函數(shù)，但效用函數(shù)的具體形式可以不一樣，是否存在一個基于效用的度量，它能夠用來對所有具有不同效用的個體進行共同的比較呢？伯瑞特（Pratt）回答了這個問題。第58頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.5伯瑞特率定義假設投資者具有vonNeumann-Morgenstern效用函數(shù)，給定vonNeumann-Morgenstern效用函數(shù)V(x),第59頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.5伯瑞特率命題1.2證明：第60頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.2.5伯瑞特率命題1.2定義為對風險厭惡程度的度量，稱為Arrow-Pratt風險厭惡測度或者絕對風險厭惡。第61頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3投資者的風險類型及風險度量

第62頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.1投資者的風險類型引例第63頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.1投資者的風險類型引例第64頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.1投資者的風險類型引例第65頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.1投資者的風險類型引例第66頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.1投資者的風險類型引例第67頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.2馬科維茨風險溢價基本概念第68頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.2馬科維茨風險溢價基本概念第69頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.2馬科維茨風險溢價第70頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.2馬科維茨風險溢價例1.1第71頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.2馬科維茨風險溢價例1.1第72頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風險厭惡函數(shù)馬科維茨風險溢價和效用函數(shù)之間的關系由風險溢價的定義等號的左邊寫為第73頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風險厭惡函數(shù)馬科維茨風險溢價和效用函數(shù)之間的關系式（1.3.7）兩邊取期望，得第74頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風險厭惡函數(shù)第75頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風險厭惡函數(shù)馬科維茨風險溢價和效用函數(shù)之間的關系第76頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風險厭惡函數(shù)第77頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五相對風險厭惡第78頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.4雙曲絕對風險厭惡函數(shù)（HARA）稱形如的函數(shù)為雙曲絕對風險厭惡函數(shù)。因此是一條雙曲線，因此稱這類函數(shù)為絕對雙曲風險厭惡函數(shù)。第79頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.4雙曲絕對風險厭惡函數(shù)（HARA）其風險容忍函數(shù)為（1）當r=1時，則是線性函數(shù)，是風險中性者的效用函數(shù)。是二次效用函數(shù)。一般寫成第80頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.4雙曲絕對風險厭惡函數(shù)（HARA）是指數(shù)效用函數(shù)。它具有常相對風險厭惡和遞減絕對風險厭惡。第81頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.3.4雙曲絕對風險厭惡函數(shù)（HARA）這是對數(shù)效用函數(shù)，它是等彈性邊際效用函數(shù)第82頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.4均值方差效用函數(shù)

第83頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.4.1資產(chǎn)的收益率資產(chǎn)收益絕對收益百分比收益第84頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五絕對收益概念注：絕對收益是一個描述收益大小的概念，它不能更合理地比較不同資產(chǎn)收益的大小。第85頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五百分比收益概念第86頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五資產(chǎn)總收益概念注：資產(chǎn)總收益是某一個時期從期末到期初的收益，與時間的跨度有關。第87頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五年平均收益概念第88頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五連續(xù)復合收益概念第89頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)定義第90頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)性質第91頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)性質第92頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)性質第93頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.5隨機占優(yōu)

第94頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.5.1隨機占優(yōu)準則（SD準則）第一類投資者一階隨機占優(yōu)準則第二類投資者二階隨機占優(yōu)準則第95頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.5.2一階隨機占優(yōu)定義性質第96頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.4證明必要性反證法，若不然，由分布函數(shù)的右連續(xù)，第97頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.4證明必要性于是第98頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.4證明充分性因為第99頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.5.3二階隨機占優(yōu)定義性質第100頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.5證明必要性第101頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.5證明-必要性續(xù)1第102頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五于是第103頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.5充分性證明所以第104頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五風險關系A和B的收益率圖1.3風險關系A和B的收益率的密度函數(shù)第105頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6單期無套利資產(chǎn)定價模型

第106頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五內容提要1.6單期無套利資產(chǎn)定價模型1.6.1單期確定性無套利定價模型1.6.2單期不確定性無套利定價模型套利機會單期確定性定價模型兩種資產(chǎn)多種資產(chǎn)第107頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.1單期確定性無套利定價模型1.套利機會第108頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.1單期確定性無套利定價模型第109頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.1單期確定性無套利定價模型第110頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.1單期確定性無套利定價模型第111頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.1單期確定性無套利定價模型第112頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.1單期確定性無套利定價模型定理1.6第113頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.6證明因為市場不存在套利機會，所以第114頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.6證明續(xù)投資組合的收益率為第115頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.6證明續(xù)其中證畢第116頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.1單期確定性無套利定價模型單期資產(chǎn)定價問題：是已知時刻1資產(chǎn)的價格，確定時刻0資產(chǎn)的價格。第117頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.1單期確定性無套利定價模型2.單期確定性定價模型證明第118頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.7套利定價定理證明第119頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五定理1.7套利定價定理證明續(xù)第120頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.2單期不確定性無套利定價模型1.兩資產(chǎn)情形第121頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.2單期不確定性無套利定價模型兩種基本證券構造資產(chǎn)組合：則無論是上漲還是下跌，資產(chǎn)組合的價值都和風險資產(chǎn)的價格一樣。第122頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.2單期不確定性無套利定價模型基本證券的定價公式第123頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五基本證券的定價公式（續(xù)）那么第124頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五基本證券的定價公式（續(xù)）第125頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五基本證券的定價公式舉例第126頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五基本證券的定價公式舉例（續(xù)）第127頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五1.6.2單期不確定性無套利定價模型2.n種資產(chǎn)情形第128頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價模型第129頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價模型

套利資產(chǎn)組合資產(chǎn)組合稱為套利資產(chǎn)組合，第130頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價模型無風險投資組合（或稱套期保值資產(chǎn)組合）第131頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價模型套利機會第132頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五離散狀態(tài)下的套利機會第133頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價模型狀態(tài)價格向量第134頁，共153頁，2023年，2月20日，星期五N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價模型