機(jī)械振動(dòng)技術(shù)基礎(chǔ)課件

機(jī)械振動(dòng)技術(shù)基礎(chǔ)課件第1頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五圖3—1幾種常見(jiàn)的二自由度系統(tǒng)模型于圖3—1。

本章利用一系列具體實(shí)例引人二自由度系統(tǒng)最基本的概念，并展示其物理直觀。多自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論的嚴(yán)格推導(dǎo)和證明則在下一章討論。

第2頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.2運(yùn)動(dòng)微分方程

例3.1圖3—2(a)是一個(gè)典型的二自由度彈簧、阻尼器質(zhì)量系統(tǒng)，是工程實(shí)際結(jié)構(gòu)經(jīng)力學(xué)抽象后得到的動(dòng)力學(xué)模型，在任一瞬間，m1和m2的位置可用x1和x2兩個(gè)廣義(獨(dú)立)坐標(biāo)描述，即選廣義坐標(biāo)（x1,x2）如圖，故系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。我們用牛頓第二定律建立它的運(yùn)動(dòng)微分方程。分別在m1，m2建立坐標(biāo)系O1x1,

O2x2以描述m1，m2的振動(dòng)。坐標(biāo)原點(diǎn)O1,O2分別取m1，m2的靜平衡位置，向右為坐標(biāo)正向。運(yùn)動(dòng)x1和x2是微幅的，系統(tǒng)是線(xiàn)性的。圖3-2第3頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五這種用矩陣寫(xiě)出的運(yùn)動(dòng)微分方程與單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程相似，如果將數(shù)認(rèn)為是一階方陣和一維向量，二者在形式上就統(tǒng)一了。第4頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程與方程(3.2)在形式上完全一樣，只是矩陣均是n階矩陣，向量均為n階向量。第5頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五圖3—2第6頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第7頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第8頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第9頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第10頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.3不同坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)微分方程第11頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第12頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第13頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第14頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第15頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第16頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第17頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第18頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.4無(wú)阻尼自由振動(dòng)第19頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第20頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第21頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第22頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第23頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第24頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第25頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第26頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第27頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第28頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由上例可以看到，二自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)在某些特定的初始條件下的自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。此時(shí)振動(dòng)的特點(diǎn)是，系統(tǒng)的兩個(gè)自由度(振動(dòng)體)以相同的頻率振動(dòng)，同時(shí)達(dá)到極值，同時(shí)為零，它們之間的相位差為零或，它們的坐標(biāo)之比是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)而與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)。我們稱(chēng)這種振動(dòng)為系統(tǒng)的固有振動(dòng)。固有振動(dòng)時(shí)的頻率稱(chēng)為系統(tǒng)的固有頻率，坐標(biāo)之比稱(chēng)為固有振型，簡(jiǎn)稱(chēng)振型，振型與固有頻率是一一對(duì)應(yīng)的。二自由度系統(tǒng)存在兩種頻率的固有振動(dòng)，因此有兩個(gè)固有頻率，兩個(gè)固有振型。二自由度系統(tǒng)在任意初始條件下的無(wú)阻尼自由振動(dòng)是這兩個(gè)固有振動(dòng)的線(xiàn)性組合。許多時(shí)候可以用圖形直觀顯示固有振動(dòng)時(shí)各個(gè)坐標(biāo)之間的相互位置關(guān)系，稱(chēng)為振型圖

第29頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五上例振型圖如圖3—5所示:

圖3—51、振型圖的物理意義：橫坐標(biāo)表示系統(tǒng)各點(diǎn)的靜平衡位置，縱坐標(biāo)表示各點(diǎn)的振幅比；2、第二振型在彈簧k1上有一個(gè)始終保持不動(dòng)的點(diǎn)，稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)）第30頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五不用對(duì)稱(chēng)條件而直接從系統(tǒng)的微分方程出發(fā)求出系統(tǒng)的固有頻率和振型：

圖3—4(a)

第31頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第32頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第33頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第34頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第35頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第36頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第37頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第38頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第39頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第40頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第41頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第42頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第43頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第44頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第45頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五我們知道，三維空間中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)沿相互垂直的三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立的，三個(gè)方向的能量彼此之間不相互交換，質(zhì)點(diǎn)的總能量為三個(gè)方向能量之和。如果將振型視為向量空間的一個(gè)方向向量，上面的分析表明，振動(dòng)能量可以按振型分解，如同三維空間中的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和能量可以按相互垂直的三個(gè)方向分解一樣。這意味著在振動(dòng)中系統(tǒng)的各階固有振動(dòng)如同三維空間中的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一樣，也是相互獨(dú)立的，彼此沒(méi)有能量交換。

第46頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第47頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五圖3—7

第48頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五總結(jié)：二自由度系統(tǒng)具有兩個(gè)固有頻率。當(dāng)系統(tǒng)按其中任一固有頻率做自由振動(dòng)時(shí)，稱(chēng)之為主振動(dòng)。主振動(dòng)是一種簡(jiǎn)諧振動(dòng)。發(fā)生主振動(dòng)時(shí)，其兩個(gè)坐標(biāo)（響應(yīng)）和振幅之間具有確定的比例，亦即振幅比決定了整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)形態(tài)，故稱(chēng)為主振型。所以二自由度系統(tǒng)的特點(diǎn)是具有兩個(gè)與固有頻率相對(duì)應(yīng)得主振型。在任意起始條件下的自由振動(dòng)的響應(yīng)，一般是由這兩個(gè)不同頻率的主振動(dòng)的疊加。其結(jié)果不一定是簡(jiǎn)諧振動(dòng)(只有在特殊的初始條件下才是)。但系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)是頻率與激勵(lì)頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。當(dāng)激勵(lì)頻率接近于系統(tǒng)的任一固有頻率時(shí)就發(fā)生共振，共振時(shí)的振型就是與固有頻率相對(duì)應(yīng)得主振型，此時(shí)系統(tǒng)的兩個(gè)坐標(biāo)的振幅將趨于最大者。補(bǔ)充：由特征值和相應(yīng)的特征矢量所確定的振動(dòng)系統(tǒng)特性的表征，稱(chēng)為振動(dòng)（運(yùn)動(dòng)）模態(tài)，它是機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的一種表征，它是由系統(tǒng)的特征值和相應(yīng)的特征矢量所確定。每種模態(tài)就代表一種類(lèi)型運(yùn)動(dòng)的形態(tài)，例3.3的每個(gè)振動(dòng)體有4個(gè)模態(tài)函數(shù)，可畫(huà)出圖形，這4個(gè)模態(tài)的線(xiàn)性組合構(gòu)成個(gè)振動(dòng)體的振動(dòng)（運(yùn)動(dòng)）。第49頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期五補(bǔ)充：系統(tǒng)自由振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)模態(tài)稱(chēng)為固有振動(dòng)模態(tài)，它是實(shí)模態(tài)，無(wú)阻尼機(jī)械系統(tǒng)的固有模態(tài)稱(chēng)為正則模態(tài)。系統(tǒng)在最低固有頻率時(shí)的模態(tài)稱(chēng)為基本固有模態(tài)，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)二級(jí)固有頻率的振動(dòng)模態(tài)稱(chēng)為二級(jí)振動(dòng)模態(tài)，所以二自由度系統(tǒng)振動(dòng)微分方程組的基本解組表示系統(tǒng)的基本固有振動(dòng)模態(tài)和二階振動(dòng)模態(tài)，這就是基本解組的物理意義。無(wú)阻尼機(jī)械系統(tǒng)在某一給定振動(dòng)模態(tài)下，中性面（或中性軸）上的點(diǎn)偏離其平衡位置的最大位移所描述的圖形稱(chēng)為給定振動(dòng)模態(tài)的振型。各點(diǎn)振型值通常要按選定點(diǎn)的偏離值進(jìn)行歸一化。本書(shū)選第一點(diǎn)的偏離值進(jìn)行正則化處理，用振幅比表示振型。振型是個(gè)重要的動(dòng)態(tài)物理量，

模態(tài)分析法：