有限元分析基礎(chǔ)

武漢理工大學(xué)教務(wù)處制PAGE24有限元分析基礎(chǔ)有限元法概述在機(jī)械設(shè)計中，人們常常運用材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等理論知識分析機(jī)械零構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問題。但對一些復(fù)雜的零構(gòu)件，這種分析常常就必須對其受力狀態(tài)和邊界條件進(jìn)行簡化。否則力學(xué)分析將無法進(jìn)行。但這種簡化的處理常常導(dǎo)致計算結(jié)果與實際相差甚遠(yuǎn)，有時甚至失去了分析的意義。所以過去設(shè)計經(jīng)驗和類比占有較大比重。因為這個原因，人們也常常在設(shè)計中選擇較大的安全系數(shù)。如此也就造成所設(shè)計的機(jī)械結(jié)構(gòu)整體尺寸和重量偏大，而局部薄弱環(huán)節(jié)強(qiáng)度和剛度又不足的設(shè)計缺陷。近年來，數(shù)值計算機(jī)在工程分析上的成功運用，產(chǎn)生了一門全新、高效的工程計算分析學(xué)科——有限元分析方法。該方法徹底改變了傳統(tǒng)工程分析中的做法。使計算精度和計算領(lǐng)域大大改善。§1.1有限元方法的發(fā)展歷史、現(xiàn)狀和將來歷史有限元法的起源應(yīng)追溯到上世紀(jì)40年代（20世紀(jì)40年代）。1943年R.Courant從數(shù)學(xué)的角度提出了有限元法的基本觀點。50年代中期在對飛機(jī)結(jié)構(gòu)的分析中，誕生了結(jié)構(gòu)分析的矩陣方法。1960年R.W.Clough在分析彈性力學(xué)平面問題時引入了“FiniteElementMethod”這一術(shù)語，從而標(biāo)志著有限元法的思想在力學(xué)分析中的廣泛推廣。60、70年代計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，極大地促進(jìn)了有限元法的發(fā)展。具體表現(xiàn)在：1）由彈性力學(xué)的平面問題擴(kuò)展到空間、板殼問題。2）由靜力平衡問題——穩(wěn)定性和動力學(xué)分析問題。3）由彈性問題——彈塑性、粘彈性等問題?，F(xiàn)狀現(xiàn)在有限元分析法的應(yīng)用領(lǐng)域已經(jīng)由開始時的固體力學(xué)，擴(kuò)展到流體力學(xué)、傳熱學(xué)和電磁力學(xué)等多個傳統(tǒng)的領(lǐng)域。已經(jīng)形成了一種非常成熟的數(shù)值分析計算方法。大型的商業(yè)化有限元分析軟件也是層出不窮，如：SAP系列的代表SAP2021（StructureAnalysisProgram）美國安世軟件公司的ANSYS大型綜合有限元分析軟件美國航天航空局的NASTRAN系列軟件除此以外，還有MASTER、ALGO、ABIQUES、ADINA、COSMOS等。將來有限元的發(fā)展方向最終將和CAD的發(fā)展相結(jié)合。運用“四個化”可以概括其今后的發(fā)展趨勢。那就是：可視化、集成化、自動化和網(wǎng)絡(luò)化?！?.2有限元法的特點機(jī)械零構(gòu)件的受力分析方法總體說來分為解析法和數(shù)值法兩大類。如大家學(xué)過的材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等就是經(jīng)典的解析力學(xué)分析方法。在這些解析力學(xué)方法中，彈性力學(xué)的分析方法在數(shù)學(xué)理論上是最為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊环N分析方法。其解題思路是：從靜力、幾何和物理三個方面綜合考慮，建立描述彈性體的平衡、應(yīng)力、應(yīng)變和位移三者之間的微分方程，然后考慮邊界條件，從而求出微分方程的解析解。其最大的有點就是，嚴(yán)密精確。缺點就是微分方程的求解困難，很多情況下，無法求解。數(shù)值方法是一種近似的計算方法。具體又分為“有限差分法”和“有限元法”。“有限差分法”是將得到的微分方程離散成近似的差分方程。通過對一系列離散的差分方程求解，得到最終的力學(xué)問題近似解。其優(yōu)點就是：計算簡單收斂性好。缺點是：計算程序無法標(biāo)準(zhǔn)化，在不能獲得整個問題的微分方程時，該方法不能運用。由于其是將微分方程轉(zhuǎn)為差分方程，所以它是一種數(shù)學(xué)近似?！坝邢拊ā钡幕舅枷刖褪恰跋确趾蠛稀被蛘摺盎麨榱悖址e零為整”。與有限差分不同，它是在力學(xué)模型上進(jìn)行近似處理，也就是（分塊近似）。具體做法：把連續(xù)體模型轉(zhuǎn)為由有限個單元組成的離散體模型，離散體模型之間通過一些節(jié)點聯(lián)系。對于每一個離散體個體選擇簡單的函數(shù)近似表示其中的物理變化規(guī)律（如位移等），運用力學(xué)方程推導(dǎo)單元的平衡方程組，然后集合所有的方程組形成表征整體結(jié)構(gòu)的方程組，引入邊界條件，求取最后問題的解。優(yōu)點：概念清晰、易于學(xué)習(xí)理解，適用性強(qiáng)，便于電算化。缺點：計算精度受單元劃分的影響較大?！?.3有限元分析的一般過程為了能夠了解有限元分析的全貌，我們就一個簡單的例子，來分析一下有限元分析的三個過程：結(jié)構(gòu)離散化、單元分析、整體分析。結(jié)構(gòu)離散化在該階段中，要完成把連續(xù)結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散的力學(xué)模型。處理的好壞，直接影響到最后分析結(jié)果的正確與否、計算的精度和計算的效率。根據(jù)模型的傳力特性和分析的目標(biāo)，正確選擇單元類型。通常單元分為：一維單元、二維單元和三維單元。所謂一維單元就是指所求物理量僅隨一個坐標(biāo)變量而變化的單元。如桁架、平面剛架和空間剛架單元。一維單元：桿單元、梁單元。二維單元：三角形單元、四邊形單元（平面類問題）三維單元：四面體單元、六面體單元等（空間問題）計算精度和計算效率：取決于單元劃分的形狀、大小和分布狀況。通常單元愈多、愈密集，計算精度愈高，但計算效率愈低。有限元分析工作就是要在精度和效率兩者之間做到有機(jī)的統(tǒng)一。單元分析進(jìn)行單元分析的目的是為了到處表征單元力學(xué)特性的“單元剛度矩陣”。一般說來該過程有三種方法：直接法。虛功原理法（變分法）。加權(quán)余數(shù)法。直接法概念淺顯，易于理解物理含義。變分法需要泛函的數(shù)學(xué)知識，其推導(dǎo)過程具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念。加權(quán)余數(shù)法適用于泛函不存在的應(yīng)用范圍。本教材將運用虛功原理方程結(jié)合彈性力學(xué)和材料力學(xué)中的知識來推求幾種常見單元的單剛計算公式?，F(xiàn)在先看一個簡單的階梯軸的軸向拉伸問題例：如圖所示的變截面直桿，受拉力P，運用有限元方法分析其變形。取任意單元，長度為l，面積為A，單元內(nèi)任意一點的軸向位移和其位置坐標(biāo)成正比，即u=a0+a1x其中a0、a1為待定系數(shù)。由于桿的兩個端點節(jié)點1、2是單元上的點，所以它們應(yīng)該滿足上述方程。節(jié)點1，x1=0，∴u1=a0+a1×0=a0節(jié)點2，x2=l，∴u2=a0+a1×la1=(u2-u1)/l將求出的結(jié)果帶入方程并整理，就得：式中：N1、N2是形函數(shù)[N]形函數(shù)矩陣{δ}e節(jié)點位移向量由位移與應(yīng)變的關(guān)系知道：將上面推出的位移表達(dá)式代入，可得：上式中的[B]稱為應(yīng)變矩陣或幾何矩陣。運用材料力學(xué)中的虎克定律，可以將應(yīng)變和應(yīng)力聯(lián)系起來。單向應(yīng)力狀態(tài)的虎克定律為××其中[S]稱為應(yīng)力矩陣。利用虛功方程可以建立力與位移之間的關(guān)系，也就是單剛方程。在后面我們將會推導(dǎo)出它的一般形式如下：式中：{F}e為單元節(jié)點力向量，對我們這個例子應(yīng)為[U1U2]T。[K]e為單元剛度矩陣。后面將推導(dǎo)出它的計算公式為[D]矩陣是彈性矩陣。對于一維單元來說，就是E。所以我們這兒討論的例題：求得單剛矩陣，也就完成了單元分析?？偨Y(jié)單剛矩陣推導(dǎo)的步驟，應(yīng)該分為四步：假定單元內(nèi)位移變化的近似規(guī)律，即選擇位移模式。運用幾何關(guān)系，推求位移與應(yīng)變的關(guān)系。應(yīng)用物理規(guī)律，把應(yīng)變與應(yīng)力聯(lián)系起來。運用虛功方程的力與位移關(guān)系，求出單剛矩陣。單元分析是整個有限元分析的核心。不同的單元因為其力學(xué)特性不同，而具有不同的單元剛度矩陣，我們這本教材就是要學(xué)習(xí)幾種常用單元矩陣的推導(dǎo)和計算。了解各種單元的力學(xué)特性，為以后選擇單元類型打好基礎(chǔ)。整體分析由各單元剛度矩陣組集成整個結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣。整個結(jié)構(gòu)有三個節(jié)點，首先將單元剛度矩陣擴(kuò)充為3X3的矩陣，移動各元素使之與單剛矩陣中的元素位置相對應(yīng)，如下：然后直接相加。把各單元的節(jié)點力向量組集成總的節(jié)點載荷向量。根據(jù)邊界條件，修改總剛度矩陣，獲得總剛方程組。邊界條件修改之前的總剛方程：修改以后（采用置“0，1”法）求解方程組，得出總的節(jié)點位移向量。解得的解是：有了節(jié)點位移，再回代到前面單元推導(dǎo)過程中的公式×和××，就可以求得每個單元的應(yīng)變和應(yīng)力了。從這個簡單的例子，我們了解了有限元法求解力學(xué)問題三大步驟中的內(nèi)容，想必很多同學(xué)會說，這樣復(fù)雜，如果運用材料力學(xué)的知識，我還來得快些。但是大家不要忘記，有限元的計算很多都是編程完成，而且現(xiàn)在很多的商業(yè)軟件都已經(jīng)完成了很多的工作。我們學(xué)習(xí)有限元主要是了解它的原理，并對常見單元的力學(xué)特性有所了解，這樣對于以后運用有限元起到幫助作用。所以下面章節(jié)的內(nèi)容，就是圍繞這個主題展開。要達(dá)到這個目的，我們還必須學(xué)習(xí)必要的彈性力學(xué)知識。對彈性力學(xué)知識的學(xué)習(xí)，也對我們以后把握問題的本質(zhì)有幫助。

平面問題平面問題在力學(xué)研究的課題中屬彈性力學(xué)的范疇。該類問題不僅本身具有典型性，而且在機(jī)械零構(gòu)件的分析中，也是應(yīng)用得非常廣泛。所以這類問題也稱之為經(jīng)典的力學(xué)問題。我們知道，實際的機(jī)械零構(gòu)件都是具有三維空間尺寸的物體，理應(yīng)作為三維對象處理，但是當(dāng)物體的幾何形狀和受力狀態(tài)處于某些特定的情況下，近似地簡化為平面問題，不僅可以大大簡化計算的工作量，而且其精度也完全能夠滿足所要求。如：直齒圓柱齒輪可在垂直與孔軸線的截平面內(nèi)作平面應(yīng)力分析就足以了解整個齒輪的受力狀態(tài)；大壩的橫斷面可作平面應(yīng)變分析來了解整個大壩受力情況等。本章是全書的重點，在這里不僅介紹彈性力學(xué)的基本知識。還將系統(tǒng)地講解有限元的基本概念、原理和方法。是學(xué)習(xí)以后各章節(jié)的基礎(chǔ)。§2.1外力、應(yīng)力、應(yīng)變和位移外力、應(yīng)力、應(yīng)變和位移的概念在材料力學(xué)中已經(jīng)學(xué)習(xí)過，由于這些概念在彈性力學(xué)、有限元法中具有和在材料力學(xué)中不同的規(guī)定，彈性力學(xué)中的規(guī)定和有限元法是完全相同的，所以在這里我們將按照彈性力學(xué)的習(xí)慣表達(dá)方法把他們集中的加以闡述。外力外界作用在物體上的作用力，可以分為兩大類：體積力分布在物體體積內(nèi)的力。如：重力、慣性力和磁性力等。單位體積的體力在坐標(biāo)軸上的分量X、Y、Z，稱為體力分量。符號規(guī)定為沿坐標(biāo)軸正向的為正，沿負(fù)向的為負(fù)。面力作用在物體表面的力。如輪壓、水壓等。它又可細(xì)分為集中力與分布力。面力在坐標(biāo)軸上的投影，表示為X、Y、Z。符號沿正軸為正，負(fù)軸為負(fù)。應(yīng)力彈性體受到外力作用后，內(nèi)部產(chǎn)生的抵抗變形的內(nèi)力。以彈性體中P點為定點的微單元體來考察。所謂微單元體，就是圖中PA、PB、PC的邊長分別為dx、dy和dz。以下簡稱這樣的微單元體為微元體。微元體每個面上的應(yīng)力都可以分解為三個應(yīng)力分量。以圖中紅面為例，分別是σx、τxy、τxz。應(yīng)力命名的規(guī)則：以應(yīng)力所在面垂直的坐標(biāo)軸為第一個下標(biāo)，應(yīng)力指向為第二下標(biāo)。如果下標(biāo)相同就用一個下標(biāo)表示。符號規(guī)定：正面上的應(yīng)力與坐標(biāo)軸同向為正，反之為負(fù)。負(fù)面上的應(yīng)力與坐標(biāo)軸反向為正。反之為負(fù)。所謂正面就是面的外法向與坐標(biāo)軸同向為正。反之為負(fù)面。作用在兩個相互垂直的面上，并且垂直與該兩面交線的剪應(yīng)力互等。即：τxy=τyx；τyz=τzy；τxz=τzx如此以來，代表P點應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分量應(yīng)有6個，它們是：位移任一點的位置移動用u、v、w表示它在坐標(biāo)軸上的三個投影分量。符號規(guī)定：沿坐標(biāo)軸正向為正，反之為負(fù)。應(yīng)變彈性體內(nèi)各點的位移在受力后一般是不相同的。各點之間距離的改變，從而使物體形狀發(fā)生變化，即所謂的變形。而物體的形狀總可以用它各部分的長度和角度表示。長度的改變稱為正應(yīng)變ε，角度的改變稱為剪應(yīng)變γ。以微元體三個棱邊的線伸長和角度的變化，就分別有和6個應(yīng)力分量相對應(yīng)的6個應(yīng)變分量，即：為與前面符號規(guī)定一致，這里對剪應(yīng)變的符號規(guī)定如下：正應(yīng)變伸長為正，縮短為負(fù)；剪應(yīng)變使直角變小為正，變大為負(fù)。§2.2兩類平面問題前面我們講過，實際受力物體都是三維的空間物體，作用在其上的外力，通常也是一個空間力系，其應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移也都是x、y、z三個變量的函數(shù)。但是當(dāng)所考察的物體具有某種特殊的形狀和特殊的受力狀態(tài)時，就可以簡化為平面問題處理。彈性力學(xué)中的平面問題有兩類。平面應(yīng)力問題當(dāng)物體的長度與寬度尺寸，遠(yuǎn)大于其厚度（高度）尺寸，并且僅受有沿厚度方向均勻分布的、在長度和寬度平面內(nèi)的力作用時，該物體就可以簡化為彈性力學(xué)中的平面應(yīng)力問題。我們分析以下其應(yīng)力特征。當(dāng)z=±t/2時，有σz=0、τzx=0、τzy=0。由于板較薄（相對于長度和寬度尺寸），外力沿板厚又是均勻分布的，根據(jù)應(yīng)力應(yīng)連續(xù)的假定（彈性力學(xué)中的基本假定），所以可以認(rèn)為，整個板的各點均有σz=0、τzx=0、τzy=0。如此以來，描述空間問題的6個應(yīng)力分量也就變?yōu)榱?個，即而且這些應(yīng)力分量僅是x、y兩個變量的函數(shù)。平面應(yīng)變問題當(dāng)物體是一個很長、很長的柱形體，其橫截面沿長度方向保持不變，物體承受平行于橫截面且沿長度方向均勻分布的力時，該問題就可以簡化為平面應(yīng)變問題處理。分析其應(yīng)力特征。假定其長度方向為無限長，那么任一橫截面都可以看作是物體的對稱面，如此則有該面上的點都有w=0，也就是橫截面上的所有點都不會發(fā)生Z方向的位移。由這一點可以推出也就有εz=0、τzx=0、τzy=0。和平面應(yīng)力相比較，平面應(yīng)變是εz=0，那么是否也就有σz=0呢？可能有同學(xué)想σ=Eε，當(dāng)然也就有σz=0，這是錯誤的。平面應(yīng)變狀態(tài)下σz≠0的。雖然不等于零，但它也不是一個獨立的變量了，它由σx、σy的大小而決定。如此以來，獨立的應(yīng)力分量同平面應(yīng)力問題一樣也是3個：兩類問題的比較幾何特征平面應(yīng)力厚度＜＜長度、寬度平面應(yīng)變厚度＞＞長度、寬度為便于說明可講上述長度看作為厚度受力特征外力都必須在其面內(nèi)且不沿厚度方向變化應(yīng)力特征平面應(yīng)力σz=0、τzx=0、τzy=0。εz≠0自由變形（無約束）平面應(yīng)變σz≠0但不是自變量、τzx=0、τzy=0。εz=0總以上比較可以看出，平面應(yīng)力是真正的2維（平面）應(yīng)力狀態(tài)，而平面應(yīng)變卻不是，而是3維應(yīng)力狀態(tài)，只不過σz不是獨立變量而是隨橫截面平面應(yīng)力分量而定。獨立變化的應(yīng)力分量只有3個，類似于平面應(yīng)力狀態(tài)?！?.3平衡微分方程彈性力學(xué)求解問題是從靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面綜合考慮的。所以我們首先微元體應(yīng)該滿足的平衡條件——平衡微分方程。我們以平面問題為例推導(dǎo)，看看它應(yīng)該具有什么形式。首先對平面問題的微元體進(jìn)行受力分析圖，如左所示。物體靜力平衡的條件是：∑Fx(y)=0；∑M=0。先看∑Fx=0展開化簡得同理可求得∑Fy=0滿足得條件，由∑M=0，列出方程如下：化簡后得：略去微量項，可得：。這就是前面所將的剪應(yīng)力互等。對于平面應(yīng)變問題，微元體的前后面還有正應(yīng)力σz，不過它們是互等的。對于推導(dǎo)出來的結(jié)果，沒有任何影響。所以平面問題的平衡微分方程就是：寫成矩陣形式§2.4幾何方程考察平衡微分方程，其中具有三個未知變量σx、σy、τxy，，而只有兩個方程，方程具有無數(shù)個解。表明僅從靜力學(xué)關(guān)系無法求解該方程。我們必須從其它方面尋求幫助。彈性體在受到外力后，會發(fā)生位移和形變，從幾何上描述彈性體各點位移于應(yīng)變之間的關(guān)系，就是彈性力學(xué)中的又一個重要方程——幾何方程。仍然取截面的微元體ABCD，AB、CD邊長為dx、dy，厚度為“1”位移u、v都是x、y的函數(shù)，即u(x,y)、v(x,y)，偏導(dǎo)數(shù)、表示位移分量u、v沿坐標(biāo)軸x的變化率，偏導(dǎo)數(shù)、表示位移分量u、v沿坐標(biāo)軸y的變化率，設(shè)A點的位移為u、v，那么B’點的位移就是：同理的D’點的位移分量由于α角在位移和形變很微小的情況下非常小，所以A’B’≈A’B”線段AB位移后的總伸長量為A’B’-AB=A’B”-AB=uB’-uA=-u=∴，同理可得剪應(yīng)變由α、β兩個角度組成由于，所以，同理可得∴綜合以上幾何方程，并將它們寫成矩陣形式：由以上方程可以看出，當(dāng)彈性體的位移分量確定以后，由幾何方程可以完全確定應(yīng)變，反過來，已知應(yīng)變卻不能完全確定彈性體的位移。這是因為物體產(chǎn)生位移的原因有兩點：變形產(chǎn)生的位移。因運動產(chǎn)生的位移。因此彈性體有位移不一定有應(yīng)變，有應(yīng)變就一定有位移?！?.5物理方程描述彈性體內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的方程，我們稱之為物理方程，也叫材料的本構(gòu)方程。彈性力學(xué)通常研究的是各向同性材料，在三維應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。當(dāng)彈性體處于小變形條件下，正應(yīng)力只會引起微元體各棱邊的伸長或縮短，而不會影響棱邊之間角度的變化，剪應(yīng)力只會引起角度的變化而不會引起各棱邊的伸長或縮短。因此運用力的疊加原理、單向虎克定律和材料的橫向效應(yīng)（泊松效應(yīng)），我們就可以很容易的推導(dǎo)出材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的虎克定律，也就是通常所說的廣義虎克定律。式中，E——材料線彈性模量G——材料剪切彈性模量μ——材料橫向收縮系數(shù)，即泊松系數(shù)。三者不是獨立的。具有以下關(guān)系：這些參數(shù)都是材料的固有屬性系數(shù)，可以通過查材料手冊獲得。如：鋼材的彈性模量E＝196～206GPa之間，通常取2.1×105MPa，μ＝0.24～0.28之間，也取為0.3進(jìn)行計算，G＝79GPa。將以上空間問題的物理方程運用到平面問題，其形式如下：平面應(yīng)力問題的物理方程前面分析已知，平面應(yīng)力問題有σz=0、τzx=0、τzy=0。所以：從以上物理方程，也論證了我們前面說的εz≠0的結(jié)論，但由于它是由x和y方向應(yīng)力產(chǎn)生的附加無約束變形，所以通常不予以考慮。在有限元分析中更多的是運用應(yīng)變表示的應(yīng)力關(guān)系，所以我們將上式變形一下：以上方程的矩陣表達(dá)形式為：簡記為：式中：{σ}、{ε}為該問題的應(yīng)力、應(yīng)變向量。[D]為彈性矩陣。它是一個對稱矩陣，且只與材料的彈性常數(shù)有關(guān)。平面應(yīng)變問題的物理方程因為εz=0所以由空間物理方程的第三式得：，代入（1）、（2）式得同理變型為應(yīng)變表示應(yīng)力的形式：矩陣形式：也可簡記為平面應(yīng)變問題的彈性矩陣不同于平面應(yīng)力問題的彈性矩陣，比較可以發(fā)現(xiàn)只需將平面應(yīng)力問題彈性矩陣[D]中的材料常數(shù)E換為E/(1-μ2)，μ換為μ/(1-μ)就得到了平面應(yīng)變問題的彈性矩陣。其實彈性矩陣的這種轉(zhuǎn)換方法，是彈性力學(xué)中將平面應(yīng)力結(jié)果，轉(zhuǎn)換到平面應(yīng)變問題結(jié)論的一般方法。因為在兩種平面問題的描述方程中（平衡微分方程、幾何方程和物理方程），只有物理方程是不同的。§2.6邊界條件求解彈性力學(xué)問題實際就是在確定邊界條件下，求解8個基本方程（平面問題而言），以確定8個未知變量。所以從數(shù)學(xué)的角度看，就是求解偏微分方程的邊值問題。邊界條件的給出通常是各式各樣的。大體可以分為三類：第一類邊值問題給定物體的體力和面力條件，確定彈性體的應(yīng)力場和位移場。此類問題邊界以力的形式給出，所以也稱為應(yīng)力邊界條件。我們可以來考察一下應(yīng)力邊界的一般形式：是在Sσ面上給出的力的分量。平面問題如左圖所示，設(shè)陰影部分的微元體弧長為ds，厚度為單元厚度“1”，其法線與X軸的夾角為θ，由陰影部分微元體的平衡條件可以推出：化簡后得：此即為平面問題應(yīng)力邊界方程。第二類邊值問題給出彈性體的體力和物體表面各點得位移條件，確定彈性體得應(yīng)力場和位移場。由于以位移給出已知得邊界條件，所以也稱為位移邊界問題。一般得位移邊界條件為：在Su面上。第三類邊值問題給定彈性體得體力和一定邊界上得面力，其余邊界上的位移，確定其應(yīng)力場和位移場。由于邊界以力和位移兩種形式給出，所以也稱為混合邊界問題。針對不同的邊界條件，彈性力學(xué)求解的方法也有所不同?！?.7彈性力學(xué)的解題方法（解析法）應(yīng)力法由于第一類問題的邊界條件以應(yīng)力形式給出，所以以應(yīng)力作為基本的未知量的求解過程，就是人們通常所說的應(yīng)力法。由于平衡方程中有三個未知量，而只有兩個平衡微分方程，必須找出另外一個包含應(yīng)力分量的方程，才能求得方程解?？紤]到彈性體變形前是一個連續(xù)體，變形后也應(yīng)是連續(xù)體的基本假設(shè)，所以要求微元體的變形一定要協(xié)調(diào)，才能使變形前、后，不會發(fā)生裂縫、重疊等現(xiàn)象。要使變形協(xié)調(diào)，就要研究幾何方程。前面介紹的平面問題幾何方程如下：分別對εx、εy、求y、x的二階偏導(dǎo)，然后相加：上式表明三個應(yīng)變分量之間應(yīng)滿足的連續(xù)性條件，我們稱之為形變協(xié)調(diào)方程（相容方程）。通過物理方程，使上述的形變協(xié)調(diào)方程換成應(yīng)力表示的形式，使之與平衡微分方程就構(gòu)成了應(yīng)力法中需要求解的方程組。具體我們來看看：利用物理方程消去相容方程中的形變分量（以平面應(yīng)力為例）利用平衡微分方程，消去上述公式中的剪應(yīng)力eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,1)式對X求偏導(dǎo)，eq\o\ac(○,2)式對y求偏導(dǎo)，然后兩者相加代入相容方程，化簡對于平面應(yīng)變而言，運用前面講過的物理方程的轉(zhuǎn)換方法，只需將上式中的μ代以μ/(1-μ)就可以了。最終求解的方程組平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題三個微分方程，三個未知變量，再考慮邊界條件，即可求得。如果是單連體（只具有唯一的封閉邊界）的對象，滿足了以上方程組后就是實際的解。但對于多連體（具有多個封閉邊界）的對象，中還包含有待定系數(shù)，這些待定系數(shù)會導(dǎo)致位移的解出現(xiàn)多值性。所以對于多連體的問題，還應(yīng)考慮位移的單值條件，才能最終確定。該部分的內(nèi)容可以參見徐芝綸編的《簡明彈性力學(xué)教程》中圓環(huán)受均布壓應(yīng)力的情況（P87）位移法位移法主要針對第二類邊界條件問題求解。解題步驟：1）改寫物理方程使之成為應(yīng)變表示應(yīng)力的形式2）應(yīng)用幾何方程表示以上得到公式中的應(yīng)變3）將它們代入平衡微分方程經(jīng)整理最后得到的位移法求解平面應(yīng)力問題方程為：兩個未知量，兩個方程，再加以邊界條件即可求得問題的解。以上介紹的解析法中，應(yīng)力法和位移法是求解彈性力學(xué)問題的基本方法。但都需要解聯(lián)立的偏微分方程組。求解過程中的數(shù)學(xué)難度，常常導(dǎo)致這種求解是無法進(jìn)行的。由于應(yīng)力法在體力為常量的情況下可以進(jìn)一步簡化為求解一個單獨的微分方程的問題，所以應(yīng)力法在解析法中相對應(yīng)用較多。但即使這樣，在應(yīng)力法中，也常常采用逆解法或半逆解法。§2.8常體力情況下應(yīng)力法的簡化、應(yīng)力函數(shù)及實例分析我們前面講述了彈性力學(xué)的三大方程，及應(yīng)用這三大方程的應(yīng)力法和位移法解題步驟。但是也說了要求解這些聯(lián)立的偏微分方程在數(shù)學(xué)上是存在很大難度的。很多情況下，根本無法進(jìn)行。那么彈性力學(xué)如何在實際中進(jìn)行應(yīng)用，它們和我們前面學(xué)過的材料力學(xué)區(qū)別究竟在哪里？我們將通過這一節(jié)的學(xué)習(xí)，一方面了解如何應(yīng)用這些彈性力學(xué)的方程求解問題，另一方面加深對力學(xué)概念的理解，建立力學(xué)分析問題的直觀感覺，為建立有限元模型打好基礎(chǔ)。我們知道在大多數(shù)情況下，我們分析的對象，體力是常數(shù)，它不隨x、y坐標(biāo)變化。如此以來，前面講解的第三個方程（應(yīng)力表示的相容方程），就可以簡化為了：簡記為：以上方程稱為拉普拉斯微分方程，數(shù)學(xué)上也稱之為調(diào)和方程，滿足調(diào)和方程的函數(shù)稱之為調(diào)和函數(shù)，及這里的。是拉普拉斯算子。這樣以來常體力情況下的應(yīng)力法方程就是：以上方程都不含有材料常數(shù)E、μ，所以平面應(yīng)力和平面應(yīng)變兩類問題具有相同的方程，這表明：在單連體問題中，只要邊界相同、受同樣的分布外力，應(yīng)力分布與材料無關(guān)；也與是平面應(yīng)力還是平面應(yīng)變的狀態(tài)無關(guān)。以上結(jié)論的意義：eq\o\ac(○,1)彈性力學(xué)平面解答的應(yīng)用范圍加寬。eq\o\ac(○,2)為實驗應(yīng)力分析提供了理論依據(jù)（光彈實驗）下面我們考察平衡方程：其解由其次微分方程的通解，加上任意一組特解組成。特解我們可以很容易找到。如：所以現(xiàn)在關(guān)鍵是找其次方程的通解。由第一個方程，可得：，由數(shù)學(xué)微分理論，該式是一個函數(shù)全微分的充要條件。所謂全微分就是有一個函數(shù)且同理由第二式可得：由剪應(yīng)力公式又知存在一個函數(shù)φ，可以使∴故：由于應(yīng)力與函數(shù)φ存在這樣的關(guān)系，因此函數(shù)φ即是應(yīng)力函數(shù)。我們用應(yīng)力函數(shù)來表示相容方程：上式表明φ是重調(diào)和函數(shù)。前面講過在彈性力學(xué)中，常用逆解法和半逆解法。所謂逆解法就是設(shè)定各種滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)，運用σx、σy與φ的關(guān)系，求得應(yīng)力分量，再考察其滿足何種邊界條件，從而知曉這樣的應(yīng)力函數(shù)可以解決什么問題。所謂半逆解法就是根據(jù)彈性體的邊界形狀和受力關(guān)系，設(shè)定部分應(yīng)力分量為何種形式的函數(shù)，從而確定應(yīng)力函數(shù)φ，在運用應(yīng)力函數(shù)求出所有的應(yīng)力分量，根據(jù)邊界條件確定應(yīng)力分量應(yīng)具有的最終形式。下面我們來看一個半逆解法的例子。運用逆解法求簡支梁受均布載荷的應(yīng)力分布。由材料力學(xué)知，彎曲應(yīng)力主要由彎矩M引起，剪應(yīng)力由剪力引起，而擠壓應(yīng)力由分布載荷q引起?，F(xiàn)在q為不隨x變化的常量。因此我們設(shè)σy不隨x坐標(biāo)變化，即，因此我們對x積分：上式中f1(y)、f2(y)是待定函數(shù)。由于應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程，所以：eq\o\ac(○,1)代入到式eq\o\ac(○,1)中考察上式可以看出它是一個x的二次方程，所以一般情況下只有兩個根。也就是說只有兩個位置能夠滿足上式。但我們對相容方程的要求是絕對滿足。也就是要求在整個梁的范圍內(nèi)都滿足。所以只有該方程的系數(shù)項和自由項全部為零。即：∴eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)公式中的A.、B、C…K都是待定系數(shù)。公式eq\o\ac(○,3)、eq\o\ac(○,4)中分別省掉了常數(shù)項和一次項、常數(shù)項。這是由于f1(y)和f2(y)分別是應(yīng)力函數(shù)中x的一次項和常數(shù)項的原因，這樣處理不會對應(yīng)力分量產(chǎn)生影響。最后求出的應(yīng)力函數(shù)為：由應(yīng)力與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系，可以求出各個應(yīng)力分量：由于以上求得的應(yīng)力分量滿足了平衡方程和相容方程，所以只需根據(jù)邊界確定A…K的系數(shù)，就求得了該問題的解。根據(jù)對稱性，知道為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以有E=F=G=0通常梁的跨度遠(yuǎn)大于梁的深度，因此上下邊界是主要邊界，它們必須滿足。將它們代入的表達(dá)式，并且考慮E=F=G=0以上四個方程解四個未知數(shù)，求得：B=0將他們代回到應(yīng)力分量的表達(dá)式中，也就有：左右兩個邊界，由于前面已經(jīng)考慮了對稱性，所以這個僅考慮優(yōu)邊界。沒有水平力。要x=l時，σx=0，考察σx的表達(dá)式，除非q=0。而這和已知條件相違背。所以在這個邊界上我們只能要求部分滿足。運用圣維南原理運用等效力系代替它。（這樣產(chǎn)生的誤差只在力作用點附近較大）。運用的等效力系就是合成力系為平衡力系：合力等于0合力矩等于0由第一個條件得K=0，（奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為零）；由第二個條件得可以證明剪應(yīng)力的合力為-ql。即最終求得的結(jié)果，加以整理：由于厚度為“1”，此時其慣性矩，靜矩（計算見圖）任意一點的彎矩剪力所以上式中的應(yīng)力分量可以改寫為：各項應(yīng)力的分布σx第一項為主應(yīng)力項，與材料力學(xué)中的結(jié)果完全一致。第二項為應(yīng)力修正項。當(dāng)L/h＞4時，僅占主項的1/60；當(dāng)L/h=2時，僅占主項的1/15。所以對于深梁的工程構(gòu)件不容忽視第二項的影響?！?.8虛功方程從前一節(jié)深梁的例子，我們可以看到，彈性力學(xué)解析求解的過程是非常復(fù)雜的。這樣的求解對實際工程情況說來，很多情況根本是不可能的。所以長期以來，技術(shù)人員就一直探求數(shù)值求解的方法。有限元法是其中最成功的方法。為分析單元特性和簡化分析過程，我們還需了解單元的能量關(guān)系。因為在力學(xué)上，很多時候從能量的角度分析，可以大大簡化分析的過程。應(yīng)變能的概念有材料力學(xué)知，彈性體在受到外力作用發(fā)生變形的過程中，彈性體內(nèi)部會存儲變形勢能——應(yīng)變能。在單向應(yīng)力場中，單位體積的應(yīng)變能的計算可以表示為：對于平面問題，有三個應(yīng)力分量和與之對應(yīng)的應(yīng)變分量。由于在小變形情況下，正交力系互不影響，由力的疊加原理，所以該種情況的應(yīng)變能為：其中：整個彈性體的應(yīng)變能：上式也表示應(yīng)力在應(yīng)變上所做的總功。虛功原理和虛功方程在理論力學(xué)中，我們曾經(jīng)學(xué)到一個虛功原理，也稱虛位移原理。其基本思想就是：假定加在物體上一個可能的、任意的、微小的位移，在平衡條件下，物體的約束反力所做虛功應(yīng)等于外力所做虛功。因為能量必須守恒。在這里所說的可能的虛位移是指位移必須滿足的約束條件。任意的是指位移的方向和類型是隨意的。把這一原理運用到現(xiàn)在的彈性體中，衡量彈性體應(yīng)滿足的平衡能量關(guān)系就是：假定加在彈性體上一個可能的、任意的、微小的位移，在平衡條件下，彈性體內(nèi)的應(yīng)變能應(yīng)等于外力所做虛功。同樣是因為能量必須守恒。運用這一原理，我們可以推到有限元中廣泛用到的虛功方程。假定彈性體發(fā)生、的虛位移，則由幾何方程得：現(xiàn)考察彈性體微元體和邊界處微元體上的力所做虛功：eq\o\ac(○,1)內(nèi)部微元體上的力所做虛功左面的應(yīng)力虛功右面的應(yīng)力虛功左、右兩面上的虛功之和（略去高階微量，并考慮）同理得剪應(yīng)力的虛功之和體力X的虛功同樣的考慮Y方向的以及以及體力Y的虛功，然后疊加成內(nèi)部微元體上的虛功如下：eq\o\ac(○,2)邊界上的微元體設(shè)斜邊中點處的虛位移、，形心處的應(yīng)力為、、那么在直角邊上的應(yīng)力和位移均有一個負(fù)的增量，如圖所示，虛功計算為：（略去了高階微量）同理的dy直角邊上的剪應(yīng)力虛功為：代入已有的幾何關(guān)系：，斜面上面力的虛功體積力的虛功同樣的方法求得另一面上正應(yīng)力與剪應(yīng)力的虛功，全部相加即得斜邊微元體上的虛功之和為：支反力處的虛位移為零，所以支反力不做功，將dw1+dw2，并對整個體積積分，可以得到整個彈性體內(nèi)的總虛功：根據(jù)平衡微分方程和靜力邊界條件，上式的第一、第二項都是零，所以彈性體的總虛功為：根據(jù)能量守恒，它應(yīng)與外力的虛功相等由于該等式引入了平衡方程和邊界方程，所以上式虛功方程等價于靜力平衡條件（內(nèi)部和邊界微元體）。不同之處在于它是一種能量的表示形式。為了便于有限元中方便運用，引入廣義力和物理方程，虛功方程變形為：綜合以上推到過程，虛功方程表達(dá)的物理概念就是：“若彈性體處于平衡狀態(tài)，那么外力在虛位移上作的虛功應(yīng)等于應(yīng)力在應(yīng)變上作的虛應(yīng)變功，或者說等于虛應(yīng)變能”?！?.9平面問題單元劃分有限元法在平面問題進(jìn)行分析時，才采用三角形單元和四邊形單元、或者矩形單元，三角形單元的優(yōu)點是簡單且對結(jié)構(gòu)的不規(guī)則邊界逼近好，而矩形單元卻更能反映實際彈性體內(nèi)部的應(yīng)力應(yīng)變變化。這兩點我們會逐漸向大家說明。所以一般說來，有限元分析，單元劃分的密度和單元種類選取，對計算結(jié)果起重要作用。一般單元劃分越密集，結(jié)果越精確。單元多也導(dǎo)致求解的線性方程組階數(shù)增高，要求計算機(jī)的內(nèi)存也更大，計算的時間也越長，分析的效率就越低。解決這一矛盾的方法就是在應(yīng)力集中區(qū)域單元劃分密集一些，應(yīng)力變化梯度小的位置，劃稀疏些，這樣就能兼顧精度與效率的關(guān)系。一般的原則是：根據(jù)結(jié)構(gòu)的受力和支承特點，按對稱和反對稱的性質(zhì)，簡化分析模型，以減少計算分析的規(guī)模。合理布局單元的密集程度，以使計算結(jié)果精度高而計算量小。在同一單元內(nèi)，單元的特性數(shù)據(jù)和材質(zhì)數(shù)據(jù)應(yīng)保持一致。集中載荷的作用點和載荷密度突變處應(yīng)有節(jié)點。在欲知道應(yīng)力狀態(tài)、內(nèi)力情況和位移值的位置應(yīng)有節(jié)點。單元的選取欲分析的目標(biāo)密切相關(guān)。模型的單元劃分好后，把所有的單元和節(jié)點按一定的規(guī)律和順序進(jìn)行編號，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（直角、柱面和球面），以方便確定各節(jié)點的坐標(biāo)值。§2.10節(jié)點位移、節(jié)點力和節(jié)點載荷彈性體在承受外力作用后，其內(nèi)力的傳遞實際是通過單元之間的邊界來實現(xiàn)的。但我們把結(jié)構(gòu)離散化后，如果單元劃分得足夠小時，可以看成為其內(nèi)力的傳遞通過單元與單元之間的節(jié)點進(jìn)行傳遞。對于平面問題而言，每個節(jié)點都有位移和力兩個未知量，這兩個量又都是x、y的函數(shù)，注意平面問題的節(jié)點是不能傳遞力矩的，為什么？節(jié)點位移對三節(jié)點三角形單元而言，因有三個節(jié)點，每個節(jié)點的位移都有x，y兩個分量，所以一共有6個自由度。單元節(jié)點位移向量可表示為：節(jié)點力所謂節(jié)點力，就是單元對節(jié)點或節(jié)點對單元作用的力，它是彈性體內(nèi)部的作用力，也就是我們常說的內(nèi)力。和上面相同的道理，節(jié)點力向量為：節(jié)點載荷節(jié)點載荷是指作用在節(jié)點上的外力，包括：eq\o\ac(○,1)直接作用在節(jié)點上的外力eq\o\ac(○,2)經(jīng)等效處理后，移植到節(jié)點上的等效力?？捎肵i、Yi.表示。由力平衡條件知，節(jié)點要保持平衡，那么作用在節(jié)點上的載荷應(yīng)等于節(jié)點內(nèi)力的合力。即：，，所有的節(jié)點載荷向量表示為§2.11三節(jié)點三角形單元的位移模式和形函數(shù)彈性結(jié)構(gòu)受外載荷后，內(nèi)部各點的位移變化規(guī)律，一般都是很復(fù)雜的。很難找到一個函數(shù)來描述整個結(jié)構(gòu)內(nèi)部各點的位移變化規(guī)律。但當(dāng)把整個結(jié)構(gòu)離散以后，在一個相當(dāng)小的單元內(nèi)部，卻可以用簡單的函數(shù)來近似描述單元內(nèi)部位移的這種變化規(guī)律。而不致造成很大的誤差。這就好比一條復(fù)雜的曲線，用一個函數(shù)很難描述，但在把這條曲線分段以后，對于每一條分段曲線，卻可以用直線或拋物線來描述。三角形單元的位移模式設(shè)單元內(nèi)任意一點的位移分量u、v是其位置坐標(biāo)x、y的線性函數(shù)，則：a1…a6是待定系數(shù)。改寫方程組成為矩陣的形式：單元的三個頂點i、j、m的坐標(biāo)已知，分別為、和，因為它們也是單元上的點，所以應(yīng)該滿足以上假定的位移變化規(guī)律。代入上式：解以上6個方程，求得6個待定系數(shù)。同理得順序輪換，A是三角形的面積在單元節(jié)點的順序號i,j,m必須是按逆時針排列，否則系數(shù)行列式是負(fù)值，而三角形的面積為負(fù)值，是不合理的。求得的6個系數(shù)可以用以下矩陣表示：形函數(shù)將所求得的6個待定系數(shù)代入位移模式表達(dá)式中：令順序輪換就有上式就是假定位移模式下導(dǎo)出的單元內(nèi)任一點位移表達(dá)式。該式的數(shù)學(xué)意義就是單元內(nèi)任一點的位移可以由單元節(jié)點的某種形式插值得到，其中的插值基函數(shù)就是Ni、Nj、Nm。對于我們目前假定的位移模式是線性函數(shù)，所以得出的插值基函數(shù)也是類似的線性函數(shù)。由此可以看出，插值基函數(shù)具有反映單元位移變化形態(tài)的特征，所以也稱之為位移形態(tài)函數(shù)，簡稱形函數(shù)。[N]就是形函數(shù)矩陣。形函數(shù)的性質(zhì)eq\o\ac(○,1)單元內(nèi)任一點的三個形函數(shù)之和恒等于1。eq\o\ac(○,2)在單元的三個頂點處，有i節(jié)點處j節(jié)點處m節(jié)點處以上這些，可以通過簡單的數(shù)學(xué)運算進(jìn)行證明。位移模式收斂性的分析由于位移模式的選取是人為假定的，這種假定只能近似模擬單元內(nèi)位移的變化規(guī)律，由于單元剛度矩陣的推導(dǎo)是以假定的位移模式展開的，那么這種假定的位移模式能否使有限元數(shù)值解收斂與精確解，在很大程度上就取決于所選的位移模式，通過數(shù)學(xué)證明，可以找出位移模式滿足收斂性的幾個條件：A）完備性位移模式必須包含單元的常應(yīng)變狀態(tài)。將u、v的表達(dá)式代入幾何方程，得：因為系數(shù)a2…a6都是常數(shù)，所以上面的應(yīng)變分量也是常量。這也表明所選的位移模式中包含有彈性體的常應(yīng)變狀態(tài)。在上面的表達(dá)式中不含x、y的變量，說明單元的應(yīng)變是常量，這也表明這種單元是一種常應(yīng)力單元。位移模式必須包含單元的剛體位移。彈性體位移一般包含兩個部分，即變形位移和沒有彈性變形的剛體位移。那么作為模擬單元位移狀態(tài)的位移模式，也就應(yīng)該能同時反映這兩部分的位移。在eq\o\ac(○,1)中已經(jīng)證明了彈性應(yīng)變的變形，下名說明他也包含有剛體位移的特征。改寫位移表達(dá)式如下：當(dāng)時，由eq\o\ac(○,1)知，，所以上式：*我們再來看看一個點作剛體位移的運動方程。點M先轉(zhuǎn)到M1，再由M1移到M2，如左圖所示：**比較上面的*和**式，可以看出，，由此得出在三角形線性位移模式中，也包含了單元的剛體位移。B）協(xié)調(diào)性位移模式必須能夠反映位移的連續(xù)性。在彈性力學(xué)求解問題時，曾經(jīng)講到過變形協(xié)調(diào)方程，也說過它是彈性體變形后仍保持連續(xù)和不發(fā)生撕裂、侵入缺陷的條件。那么位移模式的選取，也應(yīng)該保證單元之間不出現(xiàn)撕裂和侵入的缺陷。由于上面假定的位移模式是線性函數(shù)，而兩點就能決定一條直線。由于相鄰單元的公共邊界上的位移由與之相連的兩個節(jié)點插值獲得，而相鄰的單元具有兩個公共的節(jié)點，所以通過這兩個節(jié)點所得的插值值，不可能出現(xiàn)不同。也就是不可能出現(xiàn)下圖a和圖b的情況。以上三個條件是選取位移模式必須考慮的。完備形條件是收斂的必要條件；協(xié)調(diào)條件是充分條件。在有限元中，滿足完備條件的的單元是完備單元，滿足協(xié)調(diào)條件的是協(xié)調(diào)單元?！?.12（三節(jié)點三角形）單元剛度矩陣的推導(dǎo)上一節(jié)我們已經(jīng)建立了三角形單元的位移插值模式，并求得了形函數(shù)的方程，這樣就完成了單元內(nèi)任一點的位移由單元節(jié)點位移表示（插值）的工作，接下來運用我們已學(xué)過的一系列知識，我們就可以完成單元剛度矩陣的推導(dǎo)了。推導(dǎo)過程由位移插值函數(shù)導(dǎo)出單元應(yīng)變的單元節(jié)點位移表達(dá)式將代入上式，可得：如按分塊矩陣記憶，那么：其中i=i,j,m矩陣[B]稱為應(yīng)變矩陣，或稱為幾何矩陣。由以上計算公式知，它與單元的節(jié)點坐標(biāo)有關(guān)，但不隨點的坐標(biāo)變化，就是說在這一單元內(nèi)所有點的應(yīng)變是相同的。求得單元應(yīng)力的單元節(jié)點位移的表達(dá)式將幾何矩陣代入單元的物理方程，就有：彈性矩陣[D]是由材料常數(shù)組成的矩陣。令[S]=[D][B]，代入平面應(yīng)力的物理方程，就有∴也可以寫成分塊矩陣的形式i=i,j,m用虛功方程導(dǎo)出單元剛度矩陣（單剛矩陣）虛功方程假定單元的厚度為t，上式改寫為單元的虛功方程形式，虛應(yīng)變也可以用幾何方程表示代入上式由于虛位移元素是常量，所以可以提到積分號以外，并與左邊的消去（為什么？）。于是上式變?yōu)椋毫?，虛功方程就成為了單剛方程由于[B]、[D]都是不含有x，y的常數(shù)矩陣，所以雙重積分實際就是對面積積分了。A——是三角形面積將前面求得的應(yīng)變矩陣和彈性矩陣代入，然后作矩陣乘法。就得到我們要求得的矩陣計算公式。我們在這里采用分塊矩陣的方法記憶。r,s=i,j,m注意以上是平面應(yīng)力狀態(tài)的單剛矩陣，如果是平面應(yīng)變問題呢？單元剛度矩陣的性質(zhì)單元剛度矩陣[K]e表示單元抵抗變形的能力。它與通常的彈簧剛度系數(shù)k的物理意義本質(zhì)相同，只不過[K]e是一個6×6階的矩陣。共有36個元素。這是因為三角形的節(jié)點力向量和節(jié)點位移向量都為6的緣故。物理意義分塊矩陣[Kij]表示的物理含義是：節(jié)點j處產(chǎn)生單位位移，而節(jié)點i、m被約束，此時在節(jié)點i處產(chǎn)生的節(jié)點力。我們寫出它的4個分量元素：在上面的矩陣中，元素的第一個下標(biāo)表示產(chǎn)生節(jié)點力的節(jié)點，第二個下標(biāo)表示產(chǎn)生節(jié)點位移的節(jié)點。上標(biāo)“1”表示水平分量，“2”表示豎直分量。而且上標(biāo)和下標(biāo)的關(guān)系是對應(yīng)的。也就是說第一個下標(biāo)對應(yīng)第一個上標(biāo)；第二個下標(biāo)對應(yīng)第二個上標(biāo)。如此就有：就表示節(jié)點j處產(chǎn)生豎直單位位移，在節(jié)點i處產(chǎn)生的水平方向的節(jié)點力。單元剛度矩陣是對稱矩陣→這一點可以通過簡單的數(shù)學(xué)證明如下：單元矩陣的對稱性，從物理學(xué)角度反映出的道理就是，“功的互等”。也就是在節(jié)點j處產(chǎn)生某一位移引起節(jié)點i處的節(jié)點力，應(yīng)等于在節(jié)點i處產(chǎn)生相同位移引起節(jié)點j處的節(jié)點力。單元剛度矩陣中的元素只與單元的材料性質(zhì)、幾何形狀、尺寸大小有關(guān)，而與單元的位置無關(guān)。單元剛度矩陣中不含有ai、aj、am，上節(jié)對位移模式收斂性分析中，曾經(jīng)說明了a1、a4分別表示單元的平移分量，而由上式知單元的平移運動與ai、aj、am有關(guān)，而[K]e又與ai、aj、am無關(guān)，所以說它不隨坐標(biāo)軸的平動而變。單元剛度矩陣是奇異矩陣，即從力學(xué)的角度理解單元的剛度方程，當(dāng)給定位移時，可以求得力；當(dāng)給定力時，卻不能求得位移。因為[K]e不存在逆矩陣，在單元沒有給出任何約束的情況下，除有應(yīng)變的可能性外，還同時有剛體位移的可能性。所以方程無解?！?.13載荷的節(jié)點移置前面對于有限元模型的分析時，曾經(jīng)說過，單元之間的力傳遞是通過節(jié)點進(jìn)行的。所以不在節(jié)點上的力，必須按靜力等效原則，把它們移置到節(jié)點上。靜力等效原則：原載荷在任何虛位移上所做的虛功，與移置到節(jié)點上的節(jié)點載荷所做的虛功相等。這種處理方法，和我們前面講到的圣維南原理相同。它們只會影響模型局部的應(yīng)力分布，而不會影響整個結(jié)構(gòu)的應(yīng)力。下面根據(jù)力的類型，分類說明處理的方法。集中力的移置如圖所示的受力示意圖，M處的力為，移置后的節(jié)點載荷為，虛功相等就是：∵，所以有∴由于我們現(xiàn)在一直局限于單元的載荷移置，所以上式中的{R}應(yīng)記為{R}e。如果將它寫成分量的形式：從上面公式可以清楚的看到，載荷移置結(jié)果與單元位移模式密切相關(guān)。體力移置體積力密度為，將單元中微元體的體力看作集中力，那么面力的移置設(shè)在單元的一個邊界上作用有分布力，面力的密度為，將微面積tds上的面力也看作是集中力，則有以上面力，體力的積分運算較為復(fù)雜，在線性模式下，可按照理論力學(xué)中靜力學(xué)平行力分解的原理，直接求得等效的節(jié)點載荷：eq\o\ac(○,1)均質(zhì)等厚的三角形單元，受W的體力，則三個節(jié)點分別受到的節(jié)點載荷。eq\o\ac(○,2)i、j邊受到集度為q的均布面力載荷，則i、j邊節(jié)點受到的等效節(jié)點載荷。eq\o\ac(○,3)i、j邊受到線性分布的面力，i處集度為零，j處集度為q其合力為，那么i處的節(jié)點載荷為，j處的載荷為。這些簡單的規(guī)則，對于今后實際中的應(yīng)用，可以提高效率。§2.14整體分析該過程是將離散分離的各個單元組集成離散的結(jié)構(gòu)物，從而建立模型的總剛方程?？倓偡匠毯涂倓偩仃嚨慕M集總剛度矩陣的組集原則整個離散結(jié)構(gòu)變形后，各個單元在節(jié)點處仍然協(xié)調(diào)地相互連接。即環(huán)繞某個節(jié)點的n個單元，在節(jié)點i處具有相同的位移。數(shù)學(xué)公式的描述：各個節(jié)點應(yīng)滿足靜力平衡條件。即每個節(jié)點上的節(jié)點力合力應(yīng)等于該節(jié)點的節(jié)點載荷。數(shù)學(xué)公式描述：此處的代表環(huán)繞節(jié)點i的所有單元節(jié)點力求和。在該原則指導(dǎo)下，實例的組集過程如圖a所示的平面問題，采用圖b的方法劃分網(wǎng)格，單元分析完成后，現(xiàn)將它們組集成原問題的有限元離散網(wǎng)格，求該問題的總剛矩陣。單元eq\o\ac(○,1)節(jié)點號為i，j，m=1，2，3（i節(jié)點從最小號開始，然后逆時針排列節(jié)點號），單剛方程：將它們展開完全相同的道理，得其他三個單元展開的單剛方程單元eq\o\ac(○,2)節(jié)點號為i，j，m=1，3，4單元eq\o\ac(○,3)節(jié)點號為i，j，m=3，5，4單元eq\o\ac(○,4)節(jié)點號為i，j，m=2，3，5實際上，剛度方程可以寫成如下的一般形式：k表示單元的節(jié)點組成首先我們運用規(guī)則eq\o\ac(○,2)，即各個節(jié)點力的合力等于節(jié)點載荷所以也就有：我們將上面得到的方程按這個規(guī)律相加：對這個等式運用規(guī)則eq\o\ac(○,1)，即并整理有：將上述的這些方程寫為矩陣的形式，就得到了該問題的總剛方程為：我們對這個總剛方程進(jìn)行分析，可以得出以下的規(guī)律總剛矩陣的規(guī)律總剛方程就是運用所有節(jié)點的位移向量和總剛矩陣相乘，得到結(jié)構(gòu)的節(jié)點載荷，節(jié)點載荷向量（外界對彈性體作用的載荷）很容易求得，節(jié)點位移向量是未知量，關(guān)鍵就是總剛矩陣如何得出。如都按照上述的步驟，成千上萬個節(jié)點，該如何作呢？所以有必要總結(jié)總剛度矩陣的規(guī)律。eq\o\ac(○,1)當(dāng)r=s時，即子塊矩陣[Krs]是總剛矩陣主對角線上的子塊矩陣。由環(huán)繞節(jié)點r（s）各單元剛度矩陣的相應(yīng)對角線子塊相加。eq\o\ac(○,2)當(dāng)r≠s時，但r、s是相鄰單元的公共邊上的節(jié)點時，子塊矩陣[Krs]等于兩相鄰單元剛矩陣的相應(yīng)子塊矩陣相加。如上例中的[K13]、[K31]等。eq\o\ac(○,3)當(dāng)r≠s時，且r、s只是一個單元的邊上節(jié)點時，子塊矩陣[Krs]就等于該單元剛矩陣的相應(yīng)子塊矩陣。如上例中的[K12]、[K21]等。eq\o\ac(○,2)當(dāng)r≠s時，且r、s不屬于一個單元的邊上的節(jié)點時，子塊矩陣[Krs]等于零。如上例中的[K15]、[K51]等。利用上述規(guī)律不僅可以檢驗總剛組集的正確與否，而且可以直接組集總剛矩陣（手工組集）。但這種方法不利于計算機(jī)編程。下面介紹計算機(jī)組集總剛矩陣的方法總剛矩陣組集的步驟eq\o\ac(○,1)擴(kuò)大各單元剛度矩陣，使之成為與總剛矩陣相同的階數(shù)。eq\o\ac(○,2)按照總體節(jié)點的編號，將各單元剛度矩陣的各個子塊移到相應(yīng)的位置上。其余位置充零。eq\o\ac(○,3)把各個改造過的矩陣直接相加，就得到總剛矩陣。我們以單元eq\o\ac(○,4)為例講解步驟eq\o\ac(○,1)、eq\o\ac(○,2)單元4的i、j、m=2、5、3，所以單元剛度方程是單剛矩陣總剛度矩陣的性質(zhì)總剛度矩陣由單元剛度矩陣組集而成，所以也具有單元剛度矩陣的一些性質(zhì)，如相同的物理意義，位置無關(guān)性、對稱性和奇異性等，還具有以下性質(zhì)：稀疏性由規(guī)律4知，當(dāng)rs，且r、s不屬于同一單元的兩個節(jié)點是[Krs]=0，表明互不相關(guān)的節(jié)點數(shù)愈多，零子塊矩陣就愈多。一般說來相關(guān)節(jié)點數(shù)不超過9，而整個分析對象常常成百上千、上萬或幾十萬。如果整體有100個節(jié)點，那么百分之九是非零子塊，而百分之九十多都是零子塊。所以在總剛度矩陣中非零的子塊是很稀少的。帶狀性所謂帶狀性，就是指總剛矩陣中的非零子塊，集中分布在主對角線的兩側(cè)，呈帶狀分布。半帶寬值就是計算這帶狀寬度的數(shù)值。它是以排列元素最長的一行，從第一個非零元素起至主對角線元素止，所有元素的個數(shù)。其數(shù)值可以由節(jié)點的總體編號算出。B=（相鄰節(jié)點號的最大差值+1）×（單個節(jié)點的自由度個數(shù)）對于平面問題說來，就是：B=（相鄰節(jié)點號的最大差值+1）×2下圖中的兩種編號方式，可以的分別計算其半帶寬值：圖a，B=（2+1）×2=6圖b，B=（6+1）×2=14半帶寬值影響計算機(jī)存取總剛矩陣所需的內(nèi)存大小。愈小愈好。由于半帶寬值是直接受節(jié)點總體編號的影響。所以我們在建立有限元模型時，應(yīng)慎重考慮，采用優(yōu)化的方法。（現(xiàn)在通常在程序中都配有這樣的優(yōu)化程序）?？倓偩仃嚨膲嚎s存取技術(shù)由于總剛矩陣具有對稱性，所以我們只需存入主對角線上半帶或下半帶的元素，就可以完成解方程的運算。此即為總剛矩陣的半帶寬存儲方法。假定取主對角線上半帶元素存儲，具體做法就是每行元素以主對角線上的元素開始，存儲每行半帶寬數(shù)值的元素個數(shù)。如此各元素的行號不變，改變的只是列號。新列號和原列號的關(guān)系式如下：新列號=原列號-行號+1前面圖示的例子，如果采用圖示表示總剛矩陣的存儲，就是：如下圖所示的情況?？梢钥闯鲈倓偩仃嚧鎯π枰?4×24的2維數(shù)組，改為半帶寬存儲后，就成為了24×6的數(shù)組了。另有一維的壓縮存儲方法，比這種二維的半帶寬存儲方法壓縮更多。在這兒我們就不做介紹了。有興趣的同學(xué)可以看相關(guān)的參考書籍。講到這兒，實際我們已經(jīng)知道，每個元素在總剛矩陣中的位置，在節(jié)點編號完成后，就完全確定下來了。所以計算機(jī)對總剛矩陣的計算，是一部完成的。即“邊對號移置、邊改列號、邊累加”?？傮w邊界條件的處理前面介紹總剛矩陣的性質(zhì)時，說明了總剛矩陣是奇異矩陣。即。就是說總剛矩陣不存在逆矩陣。要求得節(jié)點位移的位移解，還必須引入邊界條件。1，邊界條件的類型eq\o\ac(○,1)節(jié)點固定，即eq\o\ac(○,2)給定節(jié)點位移值。即，處理方法1置“0、1”即首先在總剛矩陣[K]中與已知位移分量相對應(yīng)的行和列元素改為0，但主對角線上的元素改為1，然后在節(jié)點載荷向量的列陣中，與已知對應(yīng)元素的位移用代替，其余元素減去已知位移分別乘[K]中相應(yīng)元素。例：某結(jié)構(gòu)的總剛方程為，已知、，按照上面的方法修改如下：如果展開上式，馬上就有、第二行移項從中可以看出，這樣處理后不僅可以直接得到、，而且它們產(chǎn)生的效果也計入到了其他方程中。如果是固定位移情況，那么載荷向量中的變化是什么呢？（好好想想）2乘大數(shù)法在總剛矩陣[K]中，把與已知位移位移相對應(yīng)的行與列主對角線上的元素乘一個很大的數(shù)1010，然后把載荷向量中的對應(yīng)元素代以給定位移乘以相應(yīng)主對角線上的元素，再同樣乘以一個很大的數(shù)。同上例?？疾斓谝粋€方程：兩邊同除以，由于＞＞k1j，所以u1=c1同理可得v2=c4，（思考該方法不能用于固定位移的情況，為什么？）必須說明的是，當(dāng)總剛矩陣采用半帶寬存儲的時候，以上邊界條件的引入也應(yīng)當(dāng)按照半帶寬存儲的格式修改，否則就是錯誤的。實際應(yīng)用中，當(dāng)是第一種情況時，采用方法eq\o\ac(○,1)；當(dāng)?shù)诙N情況時，用方法eq\o\ac(○,2)。應(yīng)力計算總剛方程在引入足夠的邊界條件后，就可以進(jìn)行求解了。所謂足夠的邊界條件就是要使系統(tǒng)是一個幾何不變的系統(tǒng)。數(shù)值解方程的方法大多采用高斯消元法。當(dāng)求解出位移向量以后，就可以通過單元的幾何方程求解應(yīng)變，通過物理方程求解應(yīng)力了。這個過程稱之為回代過程。eq\o\ac(○,1)求解應(yīng)變eq\o\ac(○,2)求解應(yīng)力由于三角形單元是常應(yīng)力與常應(yīng)變單元，所以由上述方法求得的應(yīng)力或應(yīng)變看作是形心處的應(yīng)力或應(yīng)變。而且很明顯，這樣求得的應(yīng)力或應(yīng)變是不連續(xù)的。為了推算彈性體內(nèi)某一點的接近實際應(yīng)力，我們通常采用以下兩種方法，來平滑應(yīng)力的突變。eq\o\ac(○,1)繞節(jié)點平均法——就是將繞某一節(jié)點的各單元形心應(yīng)力加以平均，來表示該節(jié)點的應(yīng)力。如左圖所示。該方法在各單元面積相差不大，單元的內(nèi)部節(jié)點時較為準(zhǔn)確。而在外部邊界節(jié)點上，則不理想。所以對于邊界節(jié)點多采用三點插值的方法求得。也就是用內(nèi)部的節(jié)點來推算。eq\o\ac(○,2)兩單元平均法——把相鄰兩單元的應(yīng)力相加平均，表示兩單元公共邊中點的應(yīng)力值。邊界邊上的應(yīng)力值也采用插值方法得到。至此我們對于有限元求解平面問題的方法全部講解完畢了。下面通過一個例子來看看，具體如何計算的?！?.15例題計算一，有限元法求解平面問題的步驟：根據(jù)分析對象和給定的條件，按照一定的比例繪出計算簡圖，該圖應(yīng)有各部位的尺寸、外力和支承情況。選擇合適的坐標(biāo)系，劃分單元準(zhǔn)備數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)包括節(jié)點數(shù)、編號和坐標(biāo)，單元數(shù)、編號和節(jié)點組成；材料特性常數(shù)；載荷大小及位置；邊界條件。計算單元的面積、應(yīng)變矩陣、彈性矩陣和單元的剛度矩陣。組集總剛矩陣，處理載荷移置，形成載荷向量。處理邊界條件，修改總剛矩陣，得到最后的剛度方程。求解線性方程組，得到位移向量。求解應(yīng)力值。例題設(shè)有如圖所示的正方形薄板，在對角線上作用有沿厚度均勻分布的載荷，其合力為2kN，板厚為1個單元厚度，為使計算簡便，假定材料的μ=0，求該板的變形。分析：該薄板對稱于對角線，受力也是如此，所以可取其1/4來計算。由于是取1/4，所以該模型的兩個直角邊，都是對稱線。X的對稱線不能有x方向的位移，y軸的對稱線不能有y方向的位移。直角的頂點既是x軸對稱線上的點，又是y軸對稱線上的點，所以該點在x、y方向的位移都應(yīng)該約束。最后得出的計算模型如下。解：1準(zhǔn)備的數(shù)據(jù)A單元節(jié)點數(shù)據(jù)坐標(biāo)123456X001012Y211000B單元信息數(shù)據(jù)eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)I1223J2455M3536所有單元的板厚是“1”C材料常數(shù)彈性模量E，泊送比μ=0D載荷數(shù)據(jù)E位移邊界2計算單元剛度矩陣單元1面積形成的幾何矩陣彈性矩陣單元1的剛度矩陣同理可求得、和。需要說明的是可以利用位置無關(guān)性直接得出和，由于它們是1單元平移得到，所以單剛和一樣。3組集總剛4引入邊界條件，采用劃行劃列（由第一中方法演變而來）就是將已知邊界條件的節(jié)點位移所在的行和列全部劃掉。得到的就是需要求解的位移向量，最后得到的總剛方程為：解以上這個方程，可以得到以下的解。按照每個單元的節(jié)點組成，從總節(jié)點向量位移中挑選出每個單元的節(jié)點位移向量，運用前面單元分析中得到的公式，回代就能計算應(yīng)變、應(yīng)力了。（是哪個公式？）§2.16四節(jié)點矩形單元前面我們運用三節(jié)點三角形單元，獲得單元的應(yīng)變和應(yīng)力是不變的。這和實際情況有著明顯的差異（實際中應(yīng)力應(yīng)變在單元中是連續(xù)變化的）。產(chǎn)生這種差異的原因，就是我們的位移模式過于簡單。下面我們將就如何選擇位移模式，提高有限元計算精度，進(jìn)行說明。同時也可以就如何選擇單元，有個初步的認(rèn)識。首先講解四節(jié)點的矩形單元。一，矩形單元位移模式如圖所示的矩形單元，四個節(jié)點分別為i、j、m、p。單元節(jié)點位移向量對應(yīng)的會有8個節(jié)點力分量。由于矩形單元的節(jié)點位移向量是8個，那么根據(jù)前面我們學(xué)過的三角形推導(dǎo)過程知道，可以建立8個方程，求解8個待定系數(shù)。所以在位移模式中的待定系數(shù)可以是8個。即：由于我們選擇的是多項式插值。所以對于2元函數(shù)多項式項元的選擇，可以用帕斯卡三角形確定。如左圖。從該三角形可以看出，2元多項式的二次項有三項，即x2、y2、xy。如果選取前面兩項中的任何一項，都會造成位移模式偏惠與你所選擇的那個方向。從而使位移出現(xiàn)不對稱的情況。只有增加xy這一項，才能避免這種情況出現(xiàn)。也就滿足了我們材料各向同性的要求。選取局部坐標(biāo)系，將四個節(jié)點的坐標(biāo)代入該公式，并求解待定系數(shù)，最后可以得出和前面三角形單元類似的關(guān)系：其中的在上面公式中，代表節(jié)點坐標(biāo)的是什么？位移模式的討論。1，應(yīng)變和剛體位移由幾何方程得同三角形單元位移模式一樣，常應(yīng)變和剛體位移包括在位移模式之中。同時我們可以看到，應(yīng)變中還有隨x、y的變量應(yīng)變。所以在矩形單元不再是常應(yīng)變或常應(yīng)力單元了。2，在局部坐標(biāo)系中，當(dāng)x=±a（y=±b）時，位移模式是x（或y）的線性函數(shù)（將x=±a（y=±b）代入位移表達(dá)式中即可）。這表明在邊界上位移按線性規(guī)律變化，在公共邊界上的位移是連續(xù)的，滿足收斂性的充分條件。二，矩形單元的剛度矩陣應(yīng)力向量。分別代入平面應(yīng)力和平面應(yīng)變的彈性矩陣，就可以得出兩類問題的應(yīng)力解。剛度矩陣代入[B]和[D]矩陣，相乘后逐項積分即得單元剛度矩陣，見教材中的具體計算公式。需要說明的是，由于[B]不再是常數(shù)矩陣（還有x、y），所以積分運算較三角形單元復(fù)雜些。具體見如下矩陣。矩形單元的載荷向節(jié)點移置的方法同三角形單元總剛矩陣組集的原則和方法、邊界條件的處理等也同三角形單元。其中不同的位置僅是單元節(jié)點位移和節(jié)點載荷的數(shù)目，不再是6個而是8個。三，討論矩形單元的優(yōu)缺點：1）其位移模式推導(dǎo)出的應(yīng)力、應(yīng)變不再是常量，分布更接近實際物體中的分布。從而使這種單元的計算精度更高。2）對于斜邊性邊界和曲線邊界的擬合性差，且不便于在不同部位采用不同大小的單元。實際應(yīng)用中常需要三角形單元在大小不同的矩形單元之間進(jìn)行過渡。見下圖?！?.17六節(jié)點的三角形單元從以上對矩形單元的推導(dǎo)，可以看出，增加單元節(jié)點的數(shù)目可以提高單元位移模式的插值次數(shù)，進(jìn)而可以提高單元計算精度。沿用這樣的思路，我們對三角形單元也可以采用相同的辦法。不過增加的節(jié)點是在每條邊的中點。這樣就得到了一個六節(jié)點的三角形單元。如圖所示。一，位移模式由于這樣的單元有6個節(jié)點，所以節(jié)點位移向量的個數(shù)就是2×6=12個，那么在位移模式中可以有12個待定系數(shù)。參看帕斯卡三角形，我們選用以下的位移模式：將每個單元公共邊上的方程代入，可以求得一個二次的拋物線方程，而公共邊上有三個公共節(jié)點，所以可以唯一確定這條拋物線。這表明該插值模式滿足位移連續(xù)的收斂性充分條件。仍然可以按照前面三節(jié)點三角形單元的方法，分別將6個節(jié)點位移代入，然后解聯(lián)立方程組，求12個待定系數(shù)。這樣的計算，由于待定系數(shù)過多，計算過程也過于繁雜。所以實際中是采用面積坐標(biāo)的形式進(jìn)行計算。二，面積坐標(biāo)三角形三個頂點i、j、m，p為三角形中任意一點，其在三角形中的位置，可以用來確定。其中：A——三角形的面積。Ai——是三角形pjm的面積。Aj——是三角形pim的面積。Am——是三角形pij的面積。當(dāng)P在圖中虛線上任一點是，Li是相同的（三角形面積為底×高的一半），在該三角形的三個頂點，分別有：i，Li=1、Lm=Lj=0j，Lj=1、Lm=Li=0m，Lm=1、Li=Lj=0而且有，將節(jié)點的面積坐標(biāo)和前面我們推導(dǎo)出的形函數(shù)Ni進(jìn)行比較，可以知道，形函數(shù)實際就是面積坐標(biāo)。三，六節(jié)點三角形單元的位移模式推求如下：Ni在i節(jié)點處應(yīng)為1，在j、3節(jié)點處應(yīng)為零，面積坐標(biāo)Li雖在i節(jié)點處為1，但在2、3節(jié)點處卻為1/2，所以還是用Li作為Ni就不行了。為此我們構(gòu)造一個函數(shù)，考察該函數(shù)是否滿足形函數(shù)的性質(zhì)。由于Li在2、3節(jié)點處，所以很顯然上式等于零。在i節(jié)點處要為1，那么β=2。（令=1，可以計算出來）所以同理可得對于N1應(yīng)滿足j、m節(jié)點處為零，所以構(gòu)造函數(shù)，令=1（在節(jié)點1處應(yīng)為1），可以求得β=4所以，同理得綜合以上推導(dǎo)，六節(jié)點三角形單元的形函數(shù)如下：1、2、3、i、j、m循環(huán)四，單元剛度矩陣推導(dǎo)過程類似于三角形單元的剛度矩陣，不同之處在于在對形函數(shù)求偏導(dǎo)時，要運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法（因為插值基N是面積坐標(biāo)的函數(shù)，面積坐標(biāo)才是x、y的函數(shù)）如：在求得[B][D]矩陣后，運用就可以求得單剛矩陣。但是由于[B]矩陣的復(fù)雜性，所以求解[K]e也不再是很容易的一項工作了。必須運用一些相關(guān)的積分公式。具體的計算公式可以見教材的相關(guān)內(nèi)容。五，討論在單元數(shù)目相同的情況下，六節(jié)點的三角形單元計算精度遠(yuǎn)比三節(jié)點三角形單元高，也比矩形單元高。但由于一個節(jié)點的相關(guān)節(jié)點數(shù)目，在6節(jié)點的三角形單元中大大增加，所以總剛度矩陣的的帶寬也較三節(jié)點三角形單元寬的多。所需的內(nèi)存也相應(yīng)增加。從理論上說來，運用這種增加節(jié)點，改善單元計算精度的方法，可以不斷的運用下去。如4節(jié)點矩形單元可以變?yōu)?節(jié)點矩形單元等等，但是實際運用中，我們可以看到，節(jié)點數(shù)目的增加，導(dǎo)致單元計算復(fù)雜性的大大增加，有時可能求解不出單剛計算公式（在現(xiàn)有的計算分析理論上）。所以在有限元程序中，再高次數(shù)的單元運用就比較少了。6節(jié)點三角形單元為二次單元，而三節(jié)點三角形單元為一次單元。§2.18平面問題的計算實例例1一直齒齒輪，齒數(shù)為20，模數(shù)是3，齒厚20mm，壓力角為20°，試分析其齒的受力狀況。例2變厚度圓筒的壓力容器，受有內(nèi)壓，試用有限元法計算圓筒內(nèi)外壁的應(yīng)力。

第二章內(nèi)容小結(jié)一，基礎(chǔ)理論1，外力、應(yīng)力、應(yīng)變和位移的概念2，兩類平面問題的區(qū)分3，彈性力學(xué)的3大方程4，位移相容方程的理解5，虛功方程二，有限元概念1，單元劃分的原則2，位移模式、形函數(shù)及其性質(zhì)、保證有限元解收斂的條件3，單元剛度矩陣的推導(dǎo)過程4，非節(jié)點載荷的等效移置5，總剛矩陣的組集原則、規(guī)律和方法6，總剛矩陣的半帶寬壓縮存取方法7，邊界條件的類型及處理方法8，應(yīng)力求解及平滑處理的措施三，三種單元的不同之處1，三節(jié)點三角形單元2，四節(jié)點矩形單元3，六節(jié)點三角形單元

第三章軸對稱問題、空間問題和等參數(shù)元問題工程中有許多零件是對稱于一條軸線的回轉(zhuǎn)體，如飛輪、螺桿和發(fā)動機(jī)的汽缸套等。當(dāng)它們受到的載荷和約束也是對稱于他的軸線時，彈性力學(xué)就將其歸屬于軸對稱問題求解。與平面問題類似，也是將空間問題，簡化為二維問題處理。本章的主要內(nèi)容軸對稱問題的基本方程軸對稱問題的有限元方法空間問題的基本方程空間問題的有限元方法等參數(shù)元的概念§3.1軸對稱問題的基本方程根據(jù)軸對稱問題的特點，一般分析時采用圓柱坐標(biāo)系，而不是直角坐標(biāo)系，所以首先我們應(yīng)該清楚兩者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系：直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系：自變量子午面：就是通過roz的任一平面，它是一對稱面。軸對稱的彈性體變形后，其子午面上任意一點P只在該平面上發(fā)生位移，而與θ無關(guān)。即P點的應(yīng)力、應(yīng)變和位移都只是r、z的函數(shù)，所以軸對稱問題也是二維問題。彈性體變形后，不發(fā)生歪曲，所以任一點只有徑向位移u和軸向位移w。如左圖所示的微元體，其應(yīng)力分量相應(yīng)的應(yīng)變分量其中的與u、w類似于平面問題中的關(guān)系，即現(xiàn)在我們要推求的就是軸對稱問題中不同的，看左圖可以推出：綜合起來，就是軸對稱問題的幾何方程：其物理方程參照直角坐標(biāo)系中的可以寫出：轉(zhuǎn)化為應(yīng)變表示應(yīng)力的矩陣形式：虛功方程的柱面坐標(biāo)表達(dá)式：（因為σ中不含θ的變量，所以）§3.2軸對稱問題的單元分析軸對稱問題的單元是圓環(huán)形單元，其斷面常常采用三角形或矩形，單元之間的連接不是點，而是園線，稱作節(jié)園。雖然其單元與平面問題中的單元形式不同，但因其可以取任一子午面進(jìn)行分析，所以在子午面上的單元界面卻構(gòu)成類似于平面問題的三角形網(wǎng)格，因此可以采用平面問題的分析方法，所不同之處是：1單元是圓環(huán)體2單元之間由節(jié)園鉸接3節(jié)點力與節(jié)點載荷是施加在節(jié)園上的均布力4單元的邊界是回轉(zhuǎn)面下面推導(dǎo)單元的剛度矩陣一，單元位移模式節(jié)點位移向量節(jié)點力向量選線性插值函數(shù)作為位移模式如果用插值基函數(shù)表示，就是：其中：i、j、m循環(huán)二，單元剛度矩陣代位移函數(shù)到幾何方程中其它部分類似于平面問題，只有其中的軸向應(yīng)變是其特色。所以公式中的i、j、m循環(huán)要引起注意的是，fi是r、z的函數(shù)，說明其對應(yīng)的應(yīng)變分量εθ是隨r、z坐標(biāo)變化，不是如平面問題中的那樣是常量。應(yīng)力×其中應(yīng)力矩陣的分塊矩陣為i、j、m循環(huán)上式和一起代入虛功方程令由于[B]中的fi、fj、fm是r、z的函數(shù)，所以上式應(yīng)該積分運算。但為了消去f在r=0處的奇異性，同時簡化積分運算，我們?nèi)卧涡奶幍拇婀街械膔、z，如此以來[B]中就沒有r、z的變量了。這種近似處理，在網(wǎng)格劃分較密集時，完全能夠滿足工程計算的精度要求。是單元形心處的周長，相當(dāng)于平面問題中的厚度t。仍然采用分塊矩陣的方法記憶單剛：r、s=i、j、m§3.3載荷的移置作用在環(huán)形單元上的體積力、面力和集中力都應(yīng)分別移置到單元的節(jié)園上，形成節(jié)園載荷。移置后的單元載荷表示為：移置的原則仍然是虛功相等的原則。在這里我們應(yīng)注意與平面問題的不同之處。集中力的節(jié)園載荷平面問題的是體力的節(jié)園載荷面力的節(jié)園載荷一，單元自重的移置如果自重沿z軸向下作用，那么可以推導(dǎo)出節(jié)點載荷計算公式：具體推導(dǎo)過程可見教材。二，單元離心力的移置離心力三，面力的移置如果作用有如圖所示的均布載荷，當(dāng)是均布載荷時那么可以推導(dǎo)出：§3.4計算實例例1運用有限元法計算螺栓螺母之間受力的分布例2輪轂熱套在軸上緊配合，工作時由于輪緣溫升，導(dǎo)致輪轂與軸之間的壓力分布變化，要求計算這種變化。§3.5空間問題一，彈性力學(xué)空間問題的三大方程1，平衡微分方程2，幾何方程3，物理方程二，空間問題的有限元法一般采用四節(jié)點的四面體單元，如左圖所示其節(jié)點位移向量其節(jié)點力向量單元共12個自由度，取12個待定系數(shù)位移模式為：代入節(jié)點坐標(biāo)，求得的插值基函數(shù)：i、j、m、p循環(huán)其中：V——四面體體積，二，單剛矩陣推導(dǎo)過程完全同平面問題的過程，只是方程的維數(shù)增加了。得到的單剛矩陣，其分塊矩陣為其中的§3.6等參數(shù)單元一，四邊形等參數(shù)單元1，平面單元的位移模式及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換如左圖所示的任意四邊形單元，仍采用同矩形單元相同的位移插值模式，即：現(xiàn)在考察其邊界的位移情況，由于任意四邊形的邊界不再象矩形單元的邊界，可以表示為x=±a（y=±b）的形式，而是的直線方程，代入其上位移模式方程：同理得以上方程表明在任意四邊形的邊界，其位移不再是線性方程了，而是一個拋物線方程，所以相鄰單元之間的位移連續(xù)條件不能滿足。（兩點不能唯一決定一條拋物線），所以這種位移模式不滿足位移收斂的充分條件。從數(shù)學(xué)的觀點來看待矩形和任意四邊形的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)任意四邊形是矩形的畸變“映像”。就好比園與橢圓之間的關(guān)系。如果能夠找到一種映射關(guān)系，確保四邊形與矩形之間是一一對應(yīng)的關(guān)系，那么就可以在局部坐標(biāo)系中采用矩形單元分析（這樣可以保證位移連續(xù)的條件），然后用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的映射關(guān)系，轉(zhuǎn)換到總體坐標(biāo)系中成為任意的四邊形單元，由于這種映射是一一對應(yīng)的，所以也就保證了任意四邊形單元邊界的連續(xù)性，這樣就回避了采用更高次的位移插值模式的問題。這就是等參數(shù)元的基本思想。矩形單元只是分析問題的過度單元，稱作基本單元；任意四邊形單元是實際單元，稱作實際單元。為了描述問題的清楚方便，命局部坐標(biāo)系為，則根據(jù)前面的推導(dǎo)，得：其中：設(shè)矩形單元與任意四邊形單元的轉(zhuǎn)換關(guān)系如：將四個節(jié)點的局部坐標(biāo)值和總體坐標(biāo)值代入，就可以確定8個待定系數(shù)，如果我們也寫成型函數(shù)的形式，就有：*其中的插值基函數(shù)同上。這種位移以節(jié)點位移值插值，位置以節(jié)點坐標(biāo)值插值，而且插值參數(shù)相同，插值基函數(shù)也相同，具有這樣性質(zhì)的單元就稱為“等參數(shù)單元”，簡稱“等參數(shù)元”。以上的轉(zhuǎn)換關(guān)系，在數(shù)學(xué)上是可以證明其正確性的。我們在這兒只對其進(jìn)行一下說明。當(dāng)時，是矩形單元的jm邊，將該值代入式*，**該式是以節(jié)點j、m坐標(biāo)值為參數(shù)的直線方程，顯然它也是實際單元的jm邊。以代入式**，得、，是實際單元的m節(jié)點。以代入式**，得、，是實際單元的j節(jié)點。二等參數(shù)單元的單剛矩陣是ξ、η的函數(shù)，而ξ、η與整體坐標(biāo)x、y之間又有坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系式，所以它是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，即：代入形函數(shù)Ni令該矩陣稱為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的Jacobian矩陣其中以上的推導(dǎo)過程說明了，原本形函數(shù)對整體坐標(biāo)x、y求偏導(dǎo)的運算，轉(zhuǎn)變?yōu)榍缶植孔鴺?biāo)ξ、η的偏導(dǎo)。原本對實際單元的運算轉(zhuǎn)為對基本單元的運算，附加求雅可比矩陣的運算。逆矩陣中的四個元素：由于[B]矩陣都是ξ、η的函數(shù)，所以單元剛度矩陣也應(yīng)轉(zhuǎn)換到局部坐標(biāo)系下。首先看左圖。沿局部坐標(biāo)的ξ、η作微向量、，由于在ξ方向只是ξ變化，而η不變，所以同理得微向量在兩坐標(biāo)軸上的投影由它們組成的四邊形面積：而，所以如果寫為分塊矩陣的形式：以上表達(dá)式是一個十分沉繁的積分運算，一般都只能用高斯數(shù)值積分運算。四邊形單元的邊界逼近性較矩形單元大大提高了，但仍然避免不了折線代替曲線的情況，如果要構(gòu)造曲線邊界的單元就必須增加單元邊界上的節(jié)點數(shù)，使之稱為由三個節(jié)點插值才能求得的情況。如此就可