中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練專題23以圓為背景證明與計算

專題23以圓為背景的證明與計算考點剖析【例1】（2019·廣東中考模擬）已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC是⊙O的直徑，DE⊥AB，垂足為E．1）延伸DE交⊙O于點F，延伸DC，F(xiàn)B交于點P，如圖1．求證：PC=PB；2）過點B作BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點H，且點O和點A都在DE的左邊，如圖2．若AB=3，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大?。敬鸢浮浚?）詳看法析；（2）∠BDE=20°．【分析】1）如圖1，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠DEA=∠ABC，∴BC∥DF，∴∠F=∠PBC，∵四邊形BCDF是圓內(nèi)接四邊形，∴∠F+∠DCB=180°，∵∠PCB+∠DCB=180°，∴∠F=∠PCB，∴∠PBC=∠PCB，PC=PB；（2）如圖2，連結(jié)OD，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥DC，∵BC∥DE，∴四邊形DHBC是平行四邊形，∴BC=DH=1，在Rt△ABC中，AB=3，tan∠ACB=AB3，BC∴∠ACB=60°，1∴BC=AC=OD，2∴DH=OD，在等腰△DOH中，∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°，設(shè)DE交AC于N，∵BC∥DE，∴∠ONH=∠ACB=60°，∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD）=40°，∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°，∵OA=OD，1∴∠OAD=∠DOC=20°，2∴∠CBD=∠OAD=20°，∵BC∥DE，∴∠BDE=∠CBD=20°．【點睛】此題考察了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、平行四邊形的判斷與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，解決第（2）問，作出協(xié)助線，求得∠ODH=20°是解決此題的重點.【例2】（2019·湖南中考真題）如圖，點A、B、C在半徑為8的eO上，過點B作BD//AC，交OA延長線于點D．連結(jié)BC，且BCAOAC30．（1）求證：BD是eO的切線；（2）求圖中暗影部分的面積．【答案】（1）看法析；（2）32332.3【分析】（1）證明：連結(jié)OB，交CA于E，∵C30，C1BOA，2∴BOA60，∵BCAOAC30，∴AEO90，即OBAC，BD∕∕AC，DBEAEO90，BD是eO的切線；（2）解：∵，∴DCAO30，∵，∴BD3OB83，∴S暗影SBDO1608232332S扇形AOB8833603．2【點睛】此題考察了平行線的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，解直角三角形等知識點的綜合運用，題目比較好，難度適中．考點集訓(xùn)1．（2019·遼寧中考真題）如圖，在

ABC中，

ACB

90，CA

CB，點O在

ABC的內(nèi)部，

eO經(jīng)過B，C兩點，交

AB于點

D，連結(jié)

CO并延伸交

AB于點

G，以

GD，GC

為鄰邊作

YGDEC

．1）判斷DE與eO的地點關(guān)系，并說明原因．2）若點B是?DBC的中點，eO的半徑為2，求BC?的長．【答案】（1）DE是eO的切線；原因看法析；（2）BC?的長3．2【分析】（1）DE是eO的切線；原因：連結(jié)OD，QACB90，CACB，ABC45，COD2ABC90，Q四邊形GDEC是平行四邊形，DE//CG，EDOCOD180，EDO90，ODDE，DE是eO的切線；（2）連結(jié)OB，Q點B是DBC·的中點，?，BCBDBOCBOD，QBOCBODCOD360，?135g23．BC的長1802【點睛】此題考察了直線與圓的地點關(guān)系，圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)，正確的辨別圖形是解題的重點．2．（2019·云南初三）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE均分∠ABC交AC于點E，作ED⊥EB交AB于點D，⊙O是△BED的外接圓．1）求證：AC是⊙O的切線；2）已知⊙O的半徑為2.5，BE=4，求BC，AD的長．【答案】（1）證明看法析；（2）BC=16，AD=45．57【分析】（1）如圖，連結(jié)OE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE均分∠ABC，∴∠OBE=∠CBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，又∵∠C=90°，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∴AC為⊙O的切線；2）∵ED⊥BE，∴∠BED=∠C=90°，又∵∠DBE=∠EBC，∴△BDE∽△BEC，∴BDBE，即5=4，BEBC4BC16∴BC=；5∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC，∴AOOE，即AD2.52.5AD516，ABBC545．解得：AD=7點睛：此題主要考察切線的判斷與性質(zhì)，解題的重點是掌握切線的判斷與性質(zhì)及相像三角形的判斷與性質(zhì)．3．（2019·連云港市新海實驗中學(xué)初三月考）如圖，四邊形內(nèi)接于⊙，對角線為⊙O的直徑，過ABCDOAC點C作AC的垂線交AD的延伸線于點E，點F為CE的中點，連結(jié)DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度數(shù)；（2）求證：DF是⊙O的切線；（3）若AC=25DE，求tan∠ABD的值．【答案】（1）90°；（2）證明看法析；（3）2．【分析】解：（1）解：∵對角線AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）證明：連結(jié)DO，∵∠EDC=90°，F(xiàn)是EC的中點，DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切線；3）解：以下圖：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，DCDE，ADDC∴DC2=AD?DEAC=25DE，∴設(shè)DE=x，則AC=25x，2則AC﹣AD=AD?DE，期（25x）2﹣AD2=AD?x，整理得：22AD+AD?x﹣20x=0，解得：AD=4x或﹣4.5x（負數(shù)舍去），則DC=(25x)2(4x)22x，AD4x故tan∠ABD=tan∠ACD=2．DC2x4．（2019·江蘇初三月考）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．1）求∠ABC的度數(shù)；2）求證：AE是⊙O的切線；3）當(dāng)BC=4時，求劣弧AC的長．【答案】（1）60°;(2)證明略;(3)83【分析】（1）∵∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角，∴∠ABC=∠D=60°；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切線；（3）如圖，連結(jié)OC，∵OB=OC，∠ABC=60°，∴△OBC是等邊三角形，OB=BC=4，∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，∴劣弧AC的長為120R=120g4=8．1801803【點睛】此題考察了切線長定理及弧長公式，嫻熟掌握定理及公式是解題的重點.5．（2019·江蘇中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為BC?的中點．過點D作直線AC的垂線，垂足為E，連結(jié)OD．（1）求證：ADOB；（2）DE與⊙O有如何的地點關(guān)系？請說明原因．【答案】（1）看法析；（2）DE與⊙O相切，原因看法析.【分析】連結(jié)OC，QD為?BC的中點，??∴CDBD，1BOC，BOD2Q1BOC，BAC2DOB；DE與⊙O相切，原因以下：QADOB，AE//OD，∴∠ODE+∠E=180°，QDEAE，∴∠E=90°，∴∠ODE=90°，ODDE，又∵OD是半徑，DE與⊙O相切．【點睛】此題考察了直線與圓的地點關(guān)系，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，嫻熟掌握切線的判斷定理是解題的重點．6．（2019·湖北初三）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，與BA的延伸線交于點D，DE⊥PO交PO延伸線于點E，連結(jié)PB，∠EDB=∠EPB，1）求證：PB是的切線．2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半徑．【答案】(1)證明看法析；（2）3．【分析】1）證明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB為圓的半徑，∴PB為圓O的切線；2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，依據(jù)勾股定理得：PD=628210，∵PD與PB都為圓的切線，PC=PB=6，∴DC=PD-PC=10-6=4，在Rt△CDO中，設(shè)OC=r，則有DO=8-r，依據(jù)勾股定理得：（8-r）2=r2+42，解得：r=3，則圓的半徑為3．考點：切線的判斷與性質(zhì)．7．（2019·廣西中考模擬）如圖，以AB邊為直徑的⊙O經(jīng)過點P，C是⊙O上一點，連結(jié)PC交AB于點E，且∠ACP=60°，PA=PD．1）試判斷PD與⊙O的地點關(guān)系，并說明原因；2）若點C是弧AB的中點，已知AB=4，求CE?CP的值．【答案】（1）PD是⊙O的切線．證明看法析.（2）8.【分析】連結(jié)OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切線．（2）連結(jié)BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，又∵C為弧AB的中點，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴2，∴CP?CE=CA=（）2=8．考點：相像三角形的判斷與性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；直線與圓的地點關(guān)系；研究型．8．（2019·湖南中考真題）如圖，點D在以AB為直徑的⊙O上，AD均分BAC，DCAC，過點B作⊙O的切線交AD的延伸線于點E．求證：直線CD是⊙O的切線．求證：CDBEADDE．【答案】(1)證明看法析；(2)證明看法析.【分析】解：證明：(1)連結(jié)OD，∵AD均分BAC，CADBAD，∵OAOD，∠BAD∠ADO，∴CADADO，AC∥OD，∵CDAC，CDOD，∴直線CD是⊙O的切線；連結(jié)BD，∵BE是⊙O的切線，AB為⊙O的直徑，∴ABE

BDE

90

，∵CD

AC，CBDE90，∵CADBAEDBE，ACD∽BDE，∴CDAD，DEBE∴CDBEADDE．【點睛】此題考察了相像三角形的判斷和性質(zhì)，角均分線的定義．圓周角定理，切線的判斷和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的重點．9．（2019·山東中考真題）如圖，在

△ABC中，

AB

AC，以

AB為直徑的

eO分別與

BC,AC

交于點D,E

，過點

D作DF

AC，垂足為點

F

．（1）求證：直線DF是eO的切線；（2）求證：BC24CFgAC；（3）若eO的半徑為4，CDF15，求暗影部分的面積．【答案】（1）詳看法析；（2）詳看法析；（3）16433解：（1）以下圖，連結(jié)OD，ABAC，∴ABCC，而OBOD，∴ODBABCC，∵DFAC，∴CDFC90，∴CDFODB90，ODF90，∴直線DF是eO的切線；（2）連結(jié)AD，則ADBC，則ABAC，則DBDC1BC，2∵CDFC90，CDAC90，∴CDFDCA，而DFCADC90，VCFD∽VCDA，∴CD2CF?AC，即BC24CFgAC；（3）連結(jié)OE，∵CDF15,C75，∴OAE30OEA，AOE120，SVOAE1AEOEsinOEA12OEcosOEAOEsinOEA43，22S暗影部分S扇形OAESVOAE120424316433603【點睛】此題主要考察圓的綜合性知識，難度系數(shù)不大，應(yīng)當(dāng)嫻熟掌握，重點在于做協(xié)助線，這是這種題的難點.10．（2019·江蘇中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點F，弦AD均分BAC，DEAC，垂足為E．（1）試判斷直線DE與⊙O的地點關(guān)系，并說明原因；（2）若⊙O的半徑為2，BAC60，求線段EF的長．【答案】（1）直線DE與⊙O相切；（2）EF1.【分析】1）直線DE與⊙O相切，連結(jié)OD．∵AD均分BAC，∴OADCAD，OAOD，OADODA，∴ODACAD，ODPAC，∵DEAC，即∠AED90，ODE90，即DEOD，∴DE是⊙O的切線；（2）過O作OGAF于G，AF2AG，∴BAC60，OA2，∴AG1OA1，2∴AF2，AFOD，∴四邊形AODF是菱形，DF∥OA，DFOA2，∴EFDBAC60，1DF1．∴EF2【點睛】此題考察切線的判斷和性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識，解題的重點是學(xué)會增添常用協(xié)助線，屬于中考?？碱}型．11．（2019·天津中考真題）已知PA，PB分別與eO相切于點A，B，APB80，C為eO上一點．（Ⅰ）如圖①，求ACB的大小；（Ⅱ）如圖②，AE為eO的直徑，AE與BC訂交于點D，若ABAD，求EAC的大?。敬鸢浮浚á瘢〢CB50；（Ⅱ）EAC20.【分析】解：（Ⅰ）如圖，連結(jié)OA，OB．PA，PB是eO的切線，∴OAPA，OBPB．即OAPOBP90．∵APB80，∴在四邊形OAPB中，AOB360OAPOBPAPB100．∵在eO中，ACB1AOB，2∴ACB50．（Ⅱ）如圖，連結(jié)CE．AE為eO的直徑，∴ACE90．由（Ⅰ）知，ACB50，∴BCEACEACB40．∴BAEBCE40．∵在ABD中，ABAD，∴ADBABD1BAE)70．(1802又ADB是ADC的一個外角，有EACADBACB，EAC20．【點睛】此題考察的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的重點12．（2019·甘肅中考真題）如圖，在△ABC中，ABAC,BAC120，點D在BC邊上，eD經(jīng)過點A和點B且與BC邊訂交于點E．(1)求證：AC是eD的切線；(2)若CE23，求eD的半徑．【答案】(1)看法析；(2)23【分析】證明：連結(jié)AD，ABAC,BAC120，∴BC30，ADBD，∴BADB30，ADC60，∴DAC180603090，∴AC是eD的切線；解：連結(jié)AE，ADDE,ADE60，VADE是等邊三角形，AEDE,AED60，∴EACAEDC30，∴EACC，∴AECE23，∴eD的半徑AD23．【點睛】此題考察了切線的判斷和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判斷和性質(zhì)，正確的作出協(xié)助線是解題的重點．13．（2019·湖北中考真題）如圖，在RtVABC中，ACB＝90，D為AB的中點，以CD為直徑eO的分別交AC，BC于點E，F(xiàn)兩點，過點F作FGAB