卷05-2022年高考數(shù)學(xué)（文）模擬卷（全國卷）（解析版）

2022年高考數(shù)學(xué)（文）模擬卷（全國卷）二輪拔高卷05（本卷滿分150分，考試時間120分鐘。）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時取等號，所以，因為，所以.故選：A2．若復(fù)數(shù)滿足（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故選：A.3．已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，且為終邊上一點，則(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由三角函數(shù)定義可知，，解得或(舍去)，則.故選：C.4．若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[0.3]=0，[1.5]=1.則如圖中的程序框圖運行之后輸出的結(jié)果為（

）A．102 B．684 C．696 D．708【答案】C【解析】[x]表示不超過x的最大整數(shù)，所以該程序框圖運行后輸出的結(jié)果是：，共123項相加.從到共10項均為0，到共10項均為1，到共10項均為2，……，到共10項均為11，到共3項均為12，所以：.故選：C.5．已知變量之間的線性回歸方程為，且變量之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則下列說法錯誤的是A．變量之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系B．的值等于5C．變量之間的相關(guān)系數(shù)D．由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線必過點【答案】C【解析】對于A：根據(jù)b的正負(fù)即可判斷正負(fù)相關(guān)關(guān)系．線性回歸方程為，b=﹣0.7＜0，負(fù)相關(guān)．對于B：根據(jù)表中數(shù)據(jù)：=9．可得=4．即，解得：m=5．對于C：相關(guān)系數(shù)和斜率不是一回事，只有當(dāng)樣本點都落在直線上是才滿足兩者相等，這個題目顯然不滿足，故不正確.對于D：由線性回歸方程一定過（，），即（9，4）．故選C．6．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則角A的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，由正弦定理得，又，得，.故選：A.7．過點的直線與圓相切，則直線的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】當(dāng)過的直線斜率不存在時，方程為，與圓相切，滿足題意；當(dāng)過的直線斜率存在時，設(shè)方程為，即，圓的圓心到的距離，解得：，，即；直線的方程為或.故選：C.8．已知直線與曲線相切，則a的值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】直線y=x+1的斜率為1，對曲線求導(dǎo)得，，將代入直線y=x+1中，得，則點為切點，帶入曲線方程得得；故選：D.9．已知函數(shù)（且）的圖象過定點，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，，故，所以不等式為，解得，所以不等式的解集為.故選：D10．已知函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱且相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則下列判斷正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．當(dāng)時，函數(shù)的值為C．要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個單位D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】由函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為可得：,所以,所以.又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以,且，解得：，所以.對于A：當(dāng)時，，即不是最低點，也不是最高點，故A錯誤；對于B：當(dāng)時，，故B錯誤；對于C：將的圖象向右平移個單位，得到，故C正確；對于D：當(dāng)時，，所以當(dāng)時，有，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：C.11．在四面體ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】四面體ABCD中，取AB的中點E，連CE，DE，如圖：因，則，有平面CDE，所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心為O2，正△ABC中心為O1，在平面CDE內(nèi)分別過O1，O2作直線CE，DE的垂線，兩線交于點O，則有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD，由球的截面小圓性質(zhì)知，四面體ABCD外接球球心在直線O1O和直線O2O上，即點O是球心，連OA，O1A，OA即為球O的半徑，因平面平面，則，而，即有四邊形OO1EO2是正方形，則，中，，則，所求外接球的表面積.故選：B12．若存在兩個不相等的正實數(shù)x，y，使得成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因，令，則存在兩個不相等的正實數(shù)x，y，使得，即存在垂直于y軸的直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，，，而，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則垂直于y軸的直線與函數(shù)的圖象最多只有1個公共點，不符合要求，當(dāng)時，由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，令，，令，則，即在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞增，則有當(dāng)時，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，取，則，而，因此，存在垂直于y軸的直線()，與函數(shù)的圖象有兩個公共點，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為___________.【答案】3【解析】由題設(shè)，可行域如下圖示，而的幾何意義為直線與可行域有交點時，該直線在y軸上的截距，由圖知：當(dāng)直線過點時，取得最大值3.故答案為：3.14．已知向量，，，若，則___________.【答案】【解析】依題意：，解得m=-4，故答案為：-4.15．拋物線焦點為F，P為拋物線線上的動點，定點，則的最小值為_________．【答案】5【解析】準(zhǔn)線為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，所以，易知當(dāng)三點共線時取得最小值為，故答案為：5．16．如圖，在正方體中，點在線段上運動，則下列命題：①直線⊥平面②三棱錐的體積為定值其中所有真命題的序號是____________.【答案】①②【解析】對于①，連接，，，，平面，，同理，，，直線平面，故①正確；對于②，∥，平面，平面，∥平面，點在線段上運動，點到平面的距離為定值，又的面積為定值，三棱錐的體積為定值，故②正確；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求證：數(shù)列的前n項和.【解析】因為，所以．所以，所以，又因為，，所以，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則．（2）證明：因為，則.則，所以.18．（12分）京廣高速鐵路(又稱京廣高鐵)是中國運營中的高速客運專線之一，被譽為世界上運營里程最長的高速鐵路，在出行人群中越來越受歡迎.現(xiàn)交通部門利用大數(shù)據(jù)工具隨機抽取了沿線城市出行人群中的名旅客進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得知在這名旅客中歲(含)以下采用乘坐京廣高鐵出行的占.歲(含)以下歲上合計乘京廣高跌不乘京廣高跌合計（1）請完成的列聯(lián)表，并由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù)判斷有多大把握認(rèn)為“乘坐京廣高鐵出行與年齡有關(guān)”?（2）為優(yōu)化服務(wù)質(zhì)量，鐵路部門從這名旅客按年齡采用分層抽樣的方法隨機抽取人免費到廣州參加座談會，會后再進(jìn)行抽獎活動，獎品共三份.由于年齡差異，規(guī)定歲(含)以下的旅客若中獎每人得元，歲以上的旅客若中獎每人得元，這兩個年齡段的得獎人數(shù)分別記為與.設(shè)旅客抽獎所得的總金額為元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式:，參考數(shù)據(jù)如表【解析】（1）由已知可得，歲（含）以下采用乘坐京廣高鐵出行的有人列聯(lián)表如表:歲(含)以下歲上合計乘京廣高跌不乘京廣高跌合計列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算可得的觀測值由于，故有的把握認(rèn)為“采用乘坐京廣高鐵出行與年齡有關(guān)”.（2）采用分層抽樣的方法，從“歲(含)以下”的人中抽取人，從“歲以上”的人中抽取人，由或或的可能取值為:故分布列如表:數(shù)學(xué)期望.19．（12分）如圖①，在等腰梯形中，分別為的中點為中點,現(xiàn)將四邊形沿折起，使平面平面，得到如圖②所示的多面體，在圖②中.（1）證明：；（2）求三棱錐的體積．【解析】（Ⅰ）由題意，可知在等腰梯形中，，∵，分別為，的中點，∴，.

∴折疊后，，.

∵，∴平面.

又平面，∴.

（Ⅱ）易知，.∵，∴.

又，∴四邊形為平行四邊形.∴，故.∵平面平面，平面平面，且，∴平面

∴.即三棱錐的體積為.20．（12分）已知橢圓的離心率，焦距是．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于、兩點，，求的值．【解析】（1），，又，所以，∴橢圓方程為．（2）設(shè)，、，，將帶入整理得所以有①所以又代入上式，整理得即解得或即經(jīng)驗證，，使①成立，故為所求．21．（12分）己知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)，，求a的取值范圍；(3)證明：．【解析】(1)定義域為（0，＋∞），．記．當(dāng)時，，即，所以在（0，＋∞）上單調(diào)遞減．當(dāng)時，令，得，（舍去）．當(dāng)時，，即，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即，所以單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時，在（0，＋∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．(2)由（1）知，當(dāng)時，在[1，＋∞）單調(diào)遞減，所以．此時．令，解得．當(dāng)時，若，即，由（1），設(shè)的正根為，則必有，且當(dāng)，，即，所以在[1，＋∞）單調(diào)遞增．此時，．令，解得．若，即，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，注意到，知．又當(dāng)時，，由零點存在定理，使，此時，不滿足題意．綜上，a的取值范圍是或．(3)由（2）知，當(dāng)時，對，有，即．又時，，，所以．令，得．所以，，，…，．故，即．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點，若直線與曲線交于，兩點，求的值．【解析】（1）因為直線，故.即直線的直角坐標(biāo)方程為.因為曲線，則曲線的直角坐標(biāo)方程為，即.（2）設(shè)直線的參