人教版高中數(shù)學(xué)（選修2-3）（全冊知識點(diǎn)考點(diǎn)梳理、重點(diǎn)題型分類鞏固練習(xí)）（基礎(chǔ)版）（家教、補(bǔ)習(xí)、復(fù)習(xí)用）

新人教版高中數(shù)學(xué)（選修2-3）

重難點(diǎn)突破

知識點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)

分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.

2.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別.

3.會用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際問題.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一：分類加法計(jì)數(shù)原理（也稱加法原理）

1.分類加法計(jì)數(shù)原理：

完成一件事，有n類辦法.在第1類辦法中有嗎種不同方法，在第2類辦法中有叫種不同的方法，……,在第

n類辦法中有風(fēng),種不同方法,那么完成這件事共有N=g+〃?2+…+加”種不同的方法.

2.加法原理的特點(diǎn)是：

①完成一件事有若干不同方法，這些方法可以分成n類；

②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；

③把每一類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).

要點(diǎn)詮釋：

使用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對這件事確定一個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，第二步

是確定各類的方法數(shù)，第三步是取和。

3.圖示分類加法計(jì)數(shù)原理：

由A到B算作完成一件事.直線型流程線表示第1類方案中包括的方法數(shù)，折線型流程線表示第2類

方案中包括的方法數(shù)。

從圖中可以看出，完成由A到B這件事，共有方法m+n種。

要點(diǎn)詮釋：

用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算完成某件事的方法數(shù)，"類"要一竿到底，它的起點(diǎn)、終點(diǎn)就是完成這件事的

開始與結(jié)束，圖示分類加法計(jì)數(shù)原理，用意就在其中。

要點(diǎn)二、分步乘法計(jì)數(shù)原理

1.分步乘法計(jì)數(shù)原理

“做一件事，完成它需要分成n個步驟”，就是說完成這件事的任何一種方法，都要分成n個步驟，要

完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟后，這件事才算完成.

2.乘法原理的特點(diǎn)：

①完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可；

②完成每一步有若干種方法；

③把每一步的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).

要點(diǎn)詮釋：

使用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對完成這件事進(jìn)行分步，第二步是確定各

步的方法數(shù)，第三步是求積。

3.圖示分步乘法計(jì)數(shù)原理：

由A到C算作完成一件事.設(shè)完成這件事的兩個步驟為從A到B、從B到Co

從A到C算作完成一件事，A是起點(diǎn)，C是終點(diǎn)，點(diǎn)B是中間單元，從A到B是第1步，從B到C

是第2步。用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題，按著這個模式施行就可以了，可簡單地理解為：A-B,有m種方

法；B-*C,有n種方法；A-*C,有mn種方法。

要點(diǎn)三、分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別：

1.分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別：

兩個原理的區(qū)別在于一個和分類有關(guān)，一個和分步有關(guān).

完成一件事的方法種數(shù)若需“分類”思考，則這n類辦法是相互獨(dú)立的，且無論哪一類辦法中的哪一種方

法都能單獨(dú)完成這件事，則用加法原理；

若完成某件事需分n個步驟，這n個步驟相互依存，具有連續(xù)性，當(dāng)且僅當(dāng)這n個步驟依次都完成后，

這件事才算完成，則完成這件事的方法的種數(shù)需用乘法原理計(jì)算.

2.應(yīng)用兩個原理的分別要注意：

若用分類計(jì)數(shù)原理，要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類計(jì)數(shù)原理，即

加法原理求和得到總數(shù)；

若用分步計(jì)數(shù)原理，要做到步驟“完整”一一完成了所有步驟，恰好完成所有任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要

相互獨(dú)立.分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，即乘法原理把完成每一步的方法數(shù)相

乘得到總數(shù).

要點(diǎn)四、分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

1.利用兩個基本原理解決具體問題時的思考程序：

（1）首先明確要完成的事件是什么，條件有哪些？

（2）然后考慮如何完成？主要有三種類型

①分類或分步。

②先分類，再在每一類里再分步。

③先分步，再在每一步里再分類，等等。

(3)最后考慮每一類或每一步的不同方法數(shù)是多少？

2.利用兩個基本原理解決具體問題時的注意事項(xiàng)：

(1)應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理，應(yīng)注意：

①分類時，要按一個標(biāo)準(zhǔn)來分，最忌采用雙重或多重標(biāo)準(zhǔn)分類；

②每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；它的起點(diǎn)、終點(diǎn)就是完成這件事情的開始和結(jié)束;

③兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；

④完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏).

(2)應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理，應(yīng)注意：

①任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；

②各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；

③只要有一步中所采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此事的方法也不同.

3.利用兩個基本原理解決具體問題時的方法技巧：

利用兩個基本原理解決具體問題，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是分類或者分步。類與步的關(guān)系式辯證的。有些問題需要

先分類，再在每一類里再分步；有些問題需要先分步，再在每一步里再分類，等等。到底采用何種順序分

類與分步，要看類的趨勢和步的趨勢誰大誰小。下面用用流程圖直觀描述。

從A到B算作一件事的完成。完成這件事有兩類辦法，在第1類辦法中有3步，在第2類辦法中有2

步，每步的方法數(shù)見箭線下面的皿，i=l,2,3,4,5。

完成AfB這件事，共有方法數(shù)為mim2m3+m4m5。

從A到D算作完成一件事，簡單地記為A-D。完成A-D這件事，需要經(jīng)歷三步，即A-B,B-C,

C-D。其中B-C這步又分為三類，這就是步中有類。箭線下面的g(i=l,2,3,4,5)表示相應(yīng)步的

方法數(shù)。

完成A-D這件事，共有方法數(shù)為mi(m2+m3+m4)ms?

要點(diǎn)詮釋：

①對“類"與"步”的理解，要再上一個層次，可進(jìn)一步地理解為："類"用"+"號連結(jié)，“步"用"x"號連結(jié)，

"類"獨(dú)立，"步"連續(xù)，"類"標(biāo)志一件事的完亦"步”缺一不可。

②使用計(jì)數(shù)原理解題，大部分離不開分類。分類時，要按一個標(biāo)準(zhǔn)來分，最忌采用雙重或多重標(biāo)準(zhǔn)

分類。

【典型例題】

類型一、分類加法計(jì)數(shù)原理

例1.（2015春府谷縣校級月考）某學(xué)校高一年級共8個班，高二年級6個班從中選一個班級擔(dān)任學(xué)校星

期一早晨升旗任務(wù)，共有（）種安排方法。

A.8B.6C.14D.48

【答案】C

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，分“從高一的班級中選取”和“從高二的班級中選取”2中情況討論，由分類計(jì)

算原理計(jì)算可得答案。

【解析】

根據(jù)題意，某學(xué)校從高一或高二的班級中選一個班級擔(dān)任學(xué)校升旗任務(wù),

如果從從高一的班級中選取，有8種情況；

如果從從高二的班級中選取，有6種情況。

則有8+6=14中安排方法；故選:Co

【總結(jié)升華】

解決這類問題的關(guān)鍵是搞清分類還是分步.

舉一反三：

【變式1】書架上有不同的語文書10本，不同的英語書7本，不同的數(shù)學(xué)書5本，現(xiàn)從中任選一本閱讀,

不同的選法有（）.

A.22種B.350種C.32種D.20種

【答案】應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理：10+7+5=22（種），故選A。

【變式2】從甲地到乙地，一天中，有火車2班，汽車3班，飛機(jī)2班，，那么從甲地到乙地共有一種

不同的走法。

【答案】完成這件事，有三類方法：

第一類是乘火車，有2種不同方法；

第二類是乘汽車，有3種不同方法；

第三類是乘飛機(jī)，有2種不同方法。

則完成這件事，依分類加法計(jì)數(shù)原理，共有N=2+3+2=7種不同方法。

【變式3】如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形

有公共邊的三角形有個.

【答案】把與正人邊形有公共邊的三角形分為兩類：

第一類，有一條公共邊的三角形共有8X4=32（個）；

第二類，有兩條公共邊的三角形共有8（個）.

由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有32+8=40（個）.

類型二、分步乘法計(jì)數(shù)原理

例2.設(shè)某班有男生30名，女生24名,現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不

同的選法？

【思路點(diǎn)撥】選出一組參賽代表，可以分兩個步驟.第1步選男生.第2步選女生.

【解析】第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選擇；

第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選擇.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有30x24=720

種不同的選法.

【總結(jié)升華】

用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題時，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)，確定一個分步的可行標(biāo)準(zhǔn)；其次還要注

意完成這件事情必須且只需連續(xù)完成這n個步驟后，這件事情才算圓滿完成，這時才能使用分步乘法計(jì)

數(shù)原理.同時，要弄清每一步驟中完成本步驟的方法種數(shù).

舉一反三：

【變式1]（2014春甘肅校級期中改編）若將6本不同的書放到5個不同盒子里，有多少種不同方法

（）

A.55B.66C.56D.65

【答案】

將6本不同的書放到5個不同的盒子里，每本書都有5種放法，根據(jù)乘法原理可得不同放法為56種。

故選:Co

【分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理389221分步計(jì)數(shù)原理練習(xí)（2）]

【變式2】（q+g++?！埃ā?優(yōu)++〃“）（《+Q++Q）的展開式中共有多少項(xiàng)？

【答案】〃"戊。因?yàn)檎归_式的每一項(xiàng)都是從第一括號中取一項(xiàng)，再從第二括號中取一項(xiàng)，再從第三括號

中取一項(xiàng)，相乘而得到的，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有wx〃xk=〃加左項(xiàng)。

【變式3】四名運(yùn)動員爭奪三項(xiàng)冠軍，不同的結(jié)果最多有多少種？

【答案】64；

事件實(shí)際上是確定三項(xiàng)冠軍的得主，"由冠軍到運(yùn)動員”，完成這件事分三步.：

第一步確定第一項(xiàng)冠軍的得主，有4種不同結(jié)果；

第二步確定第二項(xiàng)冠軍的得主，有4種不同結(jié)果；

第三步確定第三項(xiàng)冠軍得主，有4種不同結(jié)果.

則共有4x4x4=64種不同結(jié)果。

【變式4】如圖，要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多

次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？

【答案】按地圖A、B、C、D四個區(qū)域依次分四步完成,

第一步，mi=3種，第二步，m2=2種，

第三步，m3=l種，第四步，m4=l種，

所以根據(jù)乘法原理，得到不同的涂色方案種數(shù)共有N=3x2xlxl=6

類型三、兩個原理的對比應(yīng)用

例3.某單位職工義務(wù)獻(xiàn)血，在體檢合格的人中，0型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有

9人，AB型血的共有3人.

(1)從中任選1人去獻(xiàn)血，有多少種不同的選法？

(2)從四種血型的人中各選1人去獻(xiàn)血，有多少種不同的選法？

【思路點(diǎn)撥】兩個問題是該分類還是分步，是解好本題的關(guān)鍵。

【解析】

(1)任選1人去獻(xiàn)血，即無論選哪種血型的哪一個人，這件"任選1人去獻(xiàn)血”的事情已做完，故由分類

加法計(jì)數(shù)原理，共有28+7+9+3=47種不同的選法。

(2)要從四種血型的人中各選1人，即要在每種血型的人中依次選出1人后，這件“各選1人去獻(xiàn)血”的事

情才完成，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有28x7x9x3=5292種不同的選法。

【總結(jié)升華】

在用兩個原理解決問題時，一定要分清完成這件事，是有，1類辦法還是需分成n個步驟.應(yīng)用分類

加法計(jì)數(shù)原理必須要求各類中的每一種方法都保證完成這件事.應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理則是需各步均是完

成這件事必須經(jīng)由的若干彼此獨(dú)立的步驟.

舉一反三：

【變式】我校高二級有12名語文教師，13名數(shù)學(xué)教師，15名英語教師，現(xiàn)從中選出教師參加一個新課程

研討會。

(1)若選派1名教師參會，有多少種選派方法？

(2)若三個學(xué)科各派1名教師參會，有多少種選派方法？

(3)若選派2名不同學(xué)科的教師參會，有多少種選派方法？

【答案】

(1)分三類：第一類選語文老師，有12種不同選法；第二類選數(shù)學(xué)老師，有13種不同選法；第三類選

英語老師，有15種不同選法.共有12+13+15=40種不同的選派方法.

(2)分三步：第一步選選1名語文老師，有12種不同選法；第二步選1名數(shù)學(xué)老師，有13種不同選法；

第三步選1名英語老師，有15種不同選法.共有12x13x15=234()種不同的選派方法.

(3)分三類：選1名語文老師和1名數(shù)學(xué)老師，有12x13種不同選法；選1名語文老師和1名英語老師,

有12x15種不同選法；選1名英語老師和1名數(shù)學(xué)老師，有15x13種不同選法.共有

12x13+12x15+15x13=531種不同的選派方法.

類型四、兩個原理的綜合應(yīng)用

例4.書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書。若從這些書中取不同的

科目的書兩本，有多少種不同的取法。

【思路點(diǎn)撥】

從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3類情況(數(shù)語各1本，數(shù)英各1本，語英各1本)，而在

每一類情況中又需分2個步驟才能完成。

【解析】

(1)第一類：當(dāng)取1本數(shù)學(xué)書1本語文書時，分兩步完成：

第一步取數(shù)學(xué)書，有3種不同的報名方法；

第二步取語文書，有5種不同方法；

則共有3x5種不同結(jié)果.

(2)第二類：當(dāng)取1本數(shù)學(xué)書1本英語書時，分兩步完成：

第一步取數(shù)學(xué)書，有3種不同的報名方法；

第二步取英語書，有6種不同方法；

則共有3x6種不同結(jié)果.

(3)第三類：當(dāng)取1本語文書1本英語書時，分兩步完成：

第一步取語文書，有5種不同的報名方法；

第二步取英語書，有6種不同方法：

則共有5x6種不同結(jié)果.

故共得到的不同的取法種數(shù)是：3x5+3x6+5x6=63(種)。

【總結(jié)升華】

當(dāng)完成事件中既有分類也有分步時，一般先分類，然后再在每一類中分步。

舉一反三：

【變式1】集合A={1,2,—3},B={-1,-2,3,4).現(xiàn)從A、B中各取一個元素作為點(diǎn)P(x,y)的坐

標(biāo).

(1)可以得到多少個不同的點(diǎn)？

(2)在這些點(diǎn)中，位于第一象限的有幾個？

【答案】

(1)一個點(diǎn)的坐標(biāo)由x、y兩個元素確定，若它們有一個不同，則表示不同的點(diǎn)，可分為兩類：

第一類：選A中的元素為x,B中的元素為y,有3x4=12個不同的點(diǎn)；

第二類：選A中的元素為y,B中的元素為x,有4x3=12個不同的點(diǎn)；

由分類計(jì)數(shù)原理得不同點(diǎn)的個數(shù)為12+12=24(個).

(2)第一象限內(nèi)的點(diǎn)，即x、y必須為正數(shù)，從而只能取A、B中的正數(shù)，同樣可分為兩類，同(1).

由分類計(jì)數(shù)原理得適合題意的不同點(diǎn)的個數(shù)為2X2+2X2=8(個).

【變式2】在1-20共20個整數(shù)中取兩個數(shù)相加，使其和為偶數(shù)的不同取法共有多少種？

【答案】90；

取。+匕與取6是同一種取法.分類標(biāo)準(zhǔn)為兩加數(shù)的奇偶性，

第一類，偶偶相加，由分步計(jì)數(shù)原理得(10x9)/2=45種取法：

第二類，奇奇相加，也有(10x9)/2=45種取法.

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有45+45=90種不同取法.

【分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理389221例題4】

【變式3】用5種不同顏色給圖中A,B,C,D四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種

顏色.若要求相鄰（有公共邊）的區(qū)域涂不同顏色，那么共有多少種不同的

深色方法？

kN

【答案】如圖所示，將4個小方格依次編號為1,2,3,4,第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂

上，有5種不同的涂法.

（1）當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有12種不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法.由

分步計(jì)數(shù)原理可知，有5x12x3=180種不同的涂法；

（2）當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個小方格

也有4種不同的涂法，由分步計(jì)數(shù)原理可知.有5x4x4=80種不同的涂法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有180+80=260種不同的涂法.

類型五、枚舉法

例5.某電腦用戶計(jì)劃用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，

根據(jù)需要，軟件至少買3個，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式有（）.

A.5種B.6種C.7種D.8種

【思路點(diǎn)撥】本題是一道理財問題，其實(shí)質(zhì)是180元錢如何用，用樹狀圖可解，

【解析】可能的選購數(shù)表如下：

軟件數(shù)磁盤數(shù)

0^--1

2-------------0

3-------------0

由題意知，除去購買3個軟件，2盒磁盤，剩余的錢數(shù)為500—3x60—2x70=180（元）.設(shè)用剩余的

180元選購單片軟件x個，盒裝磁盤y盒.

則60x+70y<180（x,yeN）.

不等式共有7個解，即選購方式有7種，故選C.

【總結(jié)升華】本題采用樹狀圖將所有答案一一列出，既清楚又直觀.

舉一反三：

【變式】滿足AU8=｛1,2｝的集合4、3共有多少組？

【答案】

法一：｛1,2）的子集：。｛1｝,｛2｝,｛1,2｝，但不是隨便兩個子集搭配都行?？煞譃樗念悾?/p>

1）當(dāng)A=<p時，只有8=｛1,2｝,得1組解;

2）當(dāng)4=｛1｝時,8=｛2｝或8=｛1,2｝，得2組解；

3）當(dāng)4=｛2｝時,3=｛1｝或8=｛1,2｝，得2組解；

4）當(dāng)一=｛1,2｝時,8=隼或｛1｝或｛2｝或｛1,2｝，得4組解.

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有1+2+2+4=9組解.

法二：設(shè)A、8為兩個“口袋"，需將兩種元素（1與2）裝入，任一元素至少裝入一個袋中,分兩步可辦好此事:

第1步裝"1",可裝入A不裝入8,也可裝入8不裝入A,還可以既裝入A又裝入6,有3種裝法；第2步裝2,

同樣有3種裝法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有3x3=9種裝法，即原題共有9組解.【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.（2015春永春縣校級期中改編）從14名女同學(xué)和22名男同學(xué)中選1人主持本班的某次主題班會，

則不同的選法為（）.

A.50種B.36種C.24種D.308種

2.將3個不同的小球放入4個盒子中，則不同放法種數(shù)有（）.

A.81種B.64種C.12種D.14種

3.已知xw{2,3,7},ye{-31,-24,4},則x-y可表示不同的值的個數(shù)是（）.

A.1+1=2B.1+1+1=3C.2x3=6D.3x3=9

4.4位同學(xué)各從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有（）.

A.12種B.24種C.30種D.36種

5.（2014秋武漢校級期末）有不同的紅球8個，不同的白球7個，不同的黃球6個，現(xiàn)從中任取不同

的顏色的球兩個，不同的取法有（）.

A.21x20=420種B.8+7+6=21種

C.8x7+7x6+8x6=146種D.8*7x6=336種

6.某郵局只有0.60元、0.80元、1.10元面值的三種郵票，現(xiàn)有需要郵資7.50元的郵件，則恰好夠郵資

最少要購買郵票（）.

A.7張B.8張C.9張D.10張

7.如圖所示2x2方格，在每一個方格中填入一個數(shù)字，數(shù)字可以是123,4中的任何一個，允許重復(fù)，若

填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則不同的填法共有

A.192種B.128種C.96種D.96種

8.（2016?沈陽一模）將3本相同的小說，2本相同的詩集全部分給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少1本，則不

同的分法有（）

A.24種B.28種C.32種D.36種

二、填空題

9.某商業(yè)大樓有8個門供顧客出入，某顧客從任一門進(jìn)入，從另一門走出，則不同的走法種數(shù)為.

11.甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置,

則不同的站法種數(shù)是（用數(shù)字作答）.

10.由三個數(shù)字組成的號碼鎖，每個號碼可取0,1,2，…，9中任意一個數(shù)字，不同的開鎖號碼設(shè)計(jì)共

有個.

12.現(xiàn)在從4名同學(xué)中選出2人去參加"數(shù)學(xué)""語文"競賽，要求每科只有一人參加，每人參加一科，則不

同的參賽方法有種。

三、解答題

13.己知集合時={-3,-2,—l,0d,2},P(a,份是平面上的點(diǎn)，a,beM.

(1)P(a,見可表示平面上多少個不同的點(diǎn)？

(2)P(a力可表示多少個坐標(biāo)軸上一的點(diǎn)？

14.(1)4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項(xiàng)目，每人報一項(xiàng)，共有多少種報名方法？

(2)4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？

15.某校高中一年級一班有優(yōu)秀團(tuán)員8人，二班有優(yōu)秀團(tuán)員10人，三班有優(yōu)秀團(tuán)員6人，學(xué)校組織他們

去參觀.

(1)推選1人為總負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？

(2)每班選1人為組長帶隊(duì)，有多少種不同的選法？

(3)從他們中選出2人管理生活，要求這兩人不同班，有多少種不同的選法？

【答案與解析】

1.【答案】B

【解析】任意選擇一名學(xué)生都可以，共有36種.

2.【答案】B

【解析】每個小球都有4種可能的放法，即4x4x4=64(種).

3.【答案】D

【解析】分兩步，第一步從第1個集合中取一個x,有3種，第二步，從第2個集合中取一個y,有3

種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理有3x3=9個不同的值.

4.【答案】B

【解析】4位同學(xué)中恰有2人選修課程甲有6種方法，另外兩位同學(xué)選修課程乙、丙分別有2種方法.由

分步計(jì)數(shù)原理共有6x2x2=24種.

5.【答案】C

【解析】分三類：一紅一白時，有8x7種；一紅一黃時，有8x6種；一白一黃時，有7x6種.由分類

加法計(jì)數(shù)原理知有N=8x7+8x6+7x6=146種.

6.【答案】B

【解析】V1.10x6=6.60(元)，1.10x7=7.70(元)，而1.10析+0.60x2+0.80=7.50(元).

二最少購買8張，恰好夠郵資7.50元.

7.【答案】C

【解析】時月中填入的數(shù)字進(jìn)行分類：（1）T中填入2,則3中填入1,CD各有四種填法，共

有1x4x4種；

（2）H中填入3,則8中填入L2,CD各有四種填法，共有2x4x4種；

（3）,4中填入4,則5中填入123,C。各有四種填法，共有3x4x4種.

所以共有4x4x（l+2+3）=96種.8［答案］B

【解析】第一類，有一個人分到一本小說和一本詩集，這種情況下的分法有：先將一本小說和一本詩集分

到一個人手上，有4種分法，將剩余的2本小說，1本詩集分給剩余3個同學(xué)，有3種分法，那共有3X

4=12種

第二類，有一個人分到兩本詩集，這種情況下的分法有：先將兩本詩集分到一個人手上，有4種情

況，將剩余的3本小說分給剩余3人，只有一種分法。那共有4X1=4種，

第三類，有一個人分到兩本小說，這種情況的分法有：先將兩本小說分到一個人手上，有4種情況，

再將剩余的兩本詩集和一本小說分給剩余的3個人，有3種分法，那共有：4X3=12種，

綜上所述：總共有：12+4+12=28種分法，

故選B。

9.【答案】56種

【解析】顧客從商業(yè)大樓出入，需分兩步完成：一是進(jìn)入；二是走出.

（1）第一步，顧客進(jìn)入商業(yè)大樓時，可以從8個門中的任意一個門進(jìn)入，有8種進(jìn)入方法；

（2）第二步，顧客走出商業(yè)大樓時，應(yīng)從除去進(jìn)入的門之外的其他7個門中的任意一個門走出，有7

種走出方法.

于是根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知：所求的走法種數(shù)為8x7=56種.

10.【答案】1000

【解析】由每個號碼可取0到9中任意一個數(shù)字，有10種取法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有

10x10x10=1000個不同的開鎖號碼.

11.【答案】336

【解析】甲、乙、丙每人有7種站法，共73=343種站法，但站在同一臺階有7種站法，故共有343

-7=336種站法.

12.【答案】12；

【解析】完成這件事，分兩個步驟：

第一步選一人參加“數(shù)學(xué)”競賽，有4種不同方法；

第二步選一人參加“語文”競賽，有3種不同方法；

則完成這件事，由分步計(jì)數(shù)原理，共有N=4x3=12種不同方法。

13、【解析】（1）完成這件事分為兩個步驟：a的取法有6種，b的取法也有6種，

；.P點(diǎn)個數(shù)為N=6x6=36（個）；

（2）根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，分為三類：

①x軸上（不含原點(diǎn)）有5個點(diǎn)；

②y軸上（不含原點(diǎn)）有5個點(diǎn)；

③既在x軸，又在y軸上的點(diǎn)，即原點(diǎn)也適合，

.?.共有N=5+5+l=ll（個）.

14.【解析】（1）該問題中要完成的事是4名同學(xué)報名，因而可按學(xué)生分步完成，每一名同學(xué)有3種選擇

方法，故共有34=81（種）報名方法.

（2）該問題中，要完成的事是三項(xiàng)冠軍花落誰家，故可按冠軍分步完成，每一項(xiàng)冠軍都有4種可能，

故可能的結(jié)果有43=64（種）.

15.【解析】（1）分三類：第一類是從一班的8名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，共有8種不同的選法；第二類是從二

班的10名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，有10種不同的選法；第三類是從三班的6名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，共有6種不同

的選法，由分類計(jì)數(shù)原理得，共有N=8+10+6=24種不同的選洗

（2）分三步：第一步從一班的8名同學(xué)中選1名組長，共有8種不同的選法；第二步是從二班的10

名同學(xué)中選1名組長，共有10種不同的選法；第三步是從三班的6名同學(xué)中選1名組長，共有6種不同

的選法，由分步計(jì)數(shù)原理可得，共有N=8xl0x6=480種不同的選法.

（3）分三類，每一類又分兩步，第一類是從一班、二班的優(yōu)秀團(tuán)員中各選1人，有8x10種不同的選

法；第二類是從二班、三班的優(yōu)秀團(tuán)員中各選1人，有10x6種不同的選法；第三類是從一班、三班的優(yōu)

秀團(tuán)員中各選1人，有8x6種不同的選法，因此共有N=8xl0+10x6+8x6=188種不同的選法.

排列

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解排列的概念.

2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式.

3.能利用排列數(shù)公式解決簡單的實(shí)際問題.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、排列的概念

1.排列的定義

一般地，從n個不同的元素中取出m（mvn）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元

素中取出m個元素的一個排列.

要點(diǎn)詮釋：

（1）排列的定義中包括兩個基本內(nèi)容，一是“取出元素"，二是"按照一定的順序排列”.

（2）從定義知，只有當(dāng)元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列.

（3）如何判斷一個具體問題是不是排列問題，就要看從n個不同元素中取出m個元素后，再安排這m個

元素時是有順序還是無順序，有順序就是排列，無順序就不是排列.

要點(diǎn)二：排列數(shù)

1.排列數(shù)的定義

從〃個不同元素中，任取加（加個元素的所有排列的個數(shù)叫做從"個元素中取出加元素的排列

數(shù)，用符號表示.

要點(diǎn)詮釋：

（1）"排列"和"排列數(shù)"是兩個不同的概念，一個排列是指"從n個不同的元素中，任取m（m<n）個元

素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個數(shù)，而是具體的一個排列(也就是具體的一件事):

(2)排列數(shù)是指"從n個不同元素中取出m(m<n)個元素的所有不同排列的個數(shù)"，它是一個數(shù).

比如從3個元素a、b、c中每次取出2個元素，按照一定的順序排成一列，有如下幾種：ab,ac,

ba,be,ca,cb,每一種都是一個排列，共有6種，而數(shù)字6就是排列數(shù)，符號A：表示排列數(shù)，在此

題中A；=6.

2.排列數(shù)公式

A；=,其中n,mGN+,且mWn.

要點(diǎn)詮釋：

(1)公式特征：

第一個因數(shù)是〃，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1,最后一個因數(shù)是〃-m+1,共有加個因數(shù)。

(2)公式含義：

①的意義：假定有排好順序的2個空位，從〃個元素q,%.%中任取2個元素去填空，一個空位

填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到。

第一步：在第一個空位填一個元素，有幾種方法；

第二步：在第二個空位填一個元素，有〃一1種方法；

由分步計(jì)數(shù)原理完成上述填空共有〃(〃-1)種填法，第1位第2位

2~~~~

..An=n{n—1).nn—1

②求A；可以理解為：從〃個元素q,4,%中任取陽個不同的元素去填空(不能重復(fù))，

第1位第2位第3位第加位

...........

nn-\n—2n-m+\

第一步：在第一個空位填一個元素，有〃種方法；

第二步：在第二個空位填一個元素，有〃-1種方法;

第三步：在第三個空位填一個元素，有〃-2種方法;

第m步：在第，"個空位填一個元素，有〃-/%+1種方法；

依據(jù)分步記數(shù)原理，共有4："=〃(〃一1)(〃一2)(〃一機(jī)+1)種方法。

要點(diǎn)三：階乘表示式

1.全排列：

〃個不同元素全部取出的一個排列，叫做“個不同元素的一個全排列。

全排列線=〃(〃一1)(〃-2)x3x2xl.

2.階乘的概念：

把正整數(shù)1到〃的連乘積，叫做”的階乘.表示：〃!，即可'=〃!.

規(guī)定：0!=1.

3.排列數(shù)公式的階乘式：

,一、,,、H?(?-1)?(?-2)--(n-m+l)-(n-m')--2-1n\

A"=z?(n-l)(n-2)5—根+1)=--———------------------------------=-------

(〃一加)?-2-1(〃一機(jī))！

所以A；=.

(n-?n)!

要點(diǎn)四：排列的常見類型與處理方法

1.相鄰元素捆綁法：就是在解決對于某幾個元素要求相鄰問題時，可整體考慮將相鄰元素視為?個大

兀素.

2.相離問題插空法：對于不能相鄰的元素，可以先將其他元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插到

它們的空隙及兩端位置.

3.元素分析法：以元素為考察對象，先滿足特殊元素的要求，再考慮一般元素。

4.位置分析法：以位置為考察對象，先滿足特殊位置的要求，再考慮一般位置。

要點(diǎn)詮釋：

當(dāng)用以上方法正面求解，情況較復(fù)雜時，可考慮用排除法。

即：直接考慮情況較多，但其對立面情況較少，先不考慮附加條件，計(jì)算出排列數(shù)，再減去不合要求

的排列數(shù)。

【典型例題】

類型一、與排列數(shù)有關(guān)的運(yùn)算

例1.計(jì)算：(1)A；；(2)可；(3)鎧

【解析】

(1)=7x6x5=210

(2)=5!=5x4x3x2x1=120

(3)鎧=12x11x10x9=11880

【總結(jié)升華】

利用排列數(shù)公式要準(zhǔn)確把握公式的結(jié)構(gòu)特征一一A：就是從n起，依次減"1"的m個正整數(shù)之積。

舉一反三：

【變式1】計(jì)算：(1)4(2)隼士苧；

4一4

【答案】（1）父=6x5x4x3=360.

44+2國_44+2X44_4+8_12_4

若一4x3x24--24-9一百一丁

【變式2］若A；=17xl6xl5xx5x4,則〃=,m=.

【答案】由排列數(shù)定義，n是連乘式中最大的數(shù)，m是因數(shù)個數(shù)，故〃=17,"2=14。

類型二、排列的定義及其理解

例2.判斷下列問題是否是排列問題：

（1）從1,2,3,5中任取兩個不同的數(shù)相減（除）可得到多少個不同的結(jié)果？

（2）從1,2,3,5中任取兩個不同的數(shù)相加（乘）可得到多少個不同的結(jié)果？

（3）某班有50名同學(xué)，約定每兩人通一次信，共需寫信多少封？

（4）某班有50名同學(xué)，約定相互握手一次，共需握手多少次？

（5）平面內(nèi)有10個點(diǎn)，無任何三點(diǎn)共線，由這些點(diǎn)可連射線多少條？

【思路點(diǎn)撥】

判斷所給問題是否是排列問題，關(guān)鍵是看與順序有無關(guān)系，具體問題中取出的元素與順序有無關(guān)

系，由問題的條件和性質(zhì)決定，認(rèn)清問題的性質(zhì)是作出正確判斷的前提與關(guān)鍵.

【解析】根據(jù)排列的定義可知：（1）、（3）、（5）是排列問題.

【總結(jié)升華】

判斷一個具體問題是不是排列問題，就是看從n個不同元素中取出m個元素后，再安排這m個元

素時是有序還是無序，有序則是排列；否則不是排列.

舉一反三：

【變式】判斷下列問題是否是排列問題：

（1）從1到10十個自然數(shù)中任取兩個數(shù)組成直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，可得多少個不同的點(diǎn)的坐標(biāo)？

（2）從10名同學(xué)中任選兩名同學(xué)去學(xué)校開座談會，有多少種不同的選取方法？

【答案】（1）由于取出的兩數(shù)組成點(diǎn)的坐標(biāo)與哪一數(shù)作橫坐標(biāo)，哪一數(shù)作縱坐標(biāo)的順序有關(guān)，所以這是一

個排列問題.

（2）因?yàn)槿魏我环N從10名同學(xué)中選取兩人去學(xué)校開目談會的方式不需要考慮兩人的順序，所以這不

是排列問題.

綜上，（1）是排列問題，（2）不是排列問題.

例3.某年全國足球甲級（A組）聯(lián)賽共有14個隊(duì)參加，每隊(duì)要與其余各隊(duì)在主、客場分別比賽一次，共

進(jìn)行多少場比賽？

【思路點(diǎn)撥】本題是從14個隊(duì)中選出2個安排比賽，因?yàn)橛兄骺蛨?，所以有次序問題，屬于排列問題。

【解析】任意兩隊(duì)間進(jìn)行1次主場比賽與1次客場比賽，對應(yīng)于從14個元素中任取2個元素的一個排

列.因此，比賽的總場次是=14x13=182.

【總結(jié)升華】

當(dāng)根據(jù)題意判斷出問題是排列問題，則可根據(jù)排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。

舉一反三:

【變式1】5人站成一排照相，共有多少種不同的站法？

【答案】120；

問題可以看作5個元素的全排列8=5x4x3x2xl=5!=120；

【變式2】

(1)從5本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？

(2)從5種不同的書中買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？

【答案】

(1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對應(yīng)于從5個不同元素中任取3個元素的一個

排列，因此不同送法的種數(shù)是6=5x4x3=60.

(2)由于有5種不同的書，送給每個同學(xué)的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學(xué)每

人各1本書的不同方法種數(shù)是5x5x5=125.

【變式3】由1,2,3,4,5這五個數(shù)字，

①能夠組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

②能夠組成多少個三位數(shù)？

【答案】

①從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中任取三個分別排在百位、十位、個位上有：=5x4x3=60(個)

能組成60個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。

②可分三步完成，第一步從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中任選一個排在百位有種不同的排法；由

于允許重復(fù)，所以第二步排十位也有種不同的排法；第三步排個位也有4種不同的排法，由分

步計(jì)數(shù)原理有：N==5x5x5=125(個)

二能夠組成125個三位數(shù)。

【排列389320例3】

【變式4】用1,3,6,7,8,9組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，由小到大排列.

⑴第114個數(shù)是多少？⑵3796是第幾個數(shù)？

【答案】3968,95

(1)因?yàn)榍粩?shù)是1的四位數(shù)一共有A；=60個，所以第114個數(shù)的千位數(shù)應(yīng)該是"3",十位數(shù)字是"1"

即“31”開頭的四位數(shù)有=12個；同理，以"36"、"37"、"38”開頭的數(shù)也分別有12個，所以第114

個數(shù)的前兩位數(shù)必然是"39",而"3968”排在第6個位置上，所以"3968”是第114個數(shù).

(2)由上可知"37"開頭的數(shù)的前面有60+12+12=84個，而3796在"37"開頭的四位數(shù)中排在第11個

(倒數(shù)第二個)，故3796是第95個數(shù).

類型三、簡單排列應(yīng)用題的解法

例4.有四個男生和三個女生排成一排，按下列要求各有多少種不同的排法？

(1)甲排在正中間;

（2）甲不在排頭，乙不在排尾；

【思路點(diǎn)撥】本題主要考查有限制條件的排列問題.注意對特殊元素的處理.

【解析】

（1）甲排在正中間位置，其他6人排在余下的六個位置上，共有4=72（）種排法.

（2）分四類考慮：

①甲不在排頭，乙不在排尾，甲也不在排尾，乙也不在排頭：（即甲、乙在中間5個位置上），有8

種排法；

②乙在排頭，甲不在排頭也不在排尾，有A：?8?8種排法；

③甲在排尾，乙不在排頭也不在排尾，有A：?耳?父種排法；

④甲在排尾且乙在排頭，共有8種排法.

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有&6+2A：46+6=3720（種）.

【總結(jié)升華】

本題是有限制條件的排列問題，某元素只能在某個位置時，可先把這個元素排在這個位置上；不能

在某個位置時，可先讓其他元素排在這個位置上，或先把這個元素排在其他位置上.

舉一反三：

【變式1】六人站成一排，其中甲必須排在排頭，乙必須排在排尾的排法有多少種？

【答案】首先把甲排在排頭，乙排在排尾，僅有一排法，再把其余的四名同學(xué)全排在中間的四個位置上

有種不同的排法，則總數(shù)有N=l,&=4x3x2x1=24（種）。

【變式2】從10個不同的文藝節(jié)目中選6個編成一個節(jié)目單，如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定不能排在第

二個節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？

【答案】

解法一：（從特殊位置考慮）4閩=136080；

解法二：（從特殊元素考慮）若選：5-A；；若不選：A；,

則共有5代+國=136080種;

解法三:（間接法）然一段=136080.

例5.求下列不同的排法種數(shù)：

（1）6男2女排成一排，2女相鄰；

（2）6男2女排成一排，2女不能相鄰：

（3）5男3女排成一排，3女都不能相鄰.

【思路點(diǎn)撥】顯然題（1）是一個相鄰問題，題（2）（3）是一個不相鄰問題。

【解析】(1)捆綁法：

把2女"捆綁"在一起看成一組，與6男共7組，

組外排列為A；,女生組內(nèi)排列為8,

因此排法種數(shù)為可用.

(2)法一：從總體排法數(shù)中除去2女相鄰的排法，即得2女不相鄰的排法8-4&種.

法二：插空法

6男先排實(shí)位，再在7個空位中排2女，共有4：&種排法.

(3)插空法：

5男先排實(shí)位，再在6個空位中排3女，共有反用種排法.

【總結(jié)升華】

某些元素相鄰或不相鄰，相鄰的可“捆綁”成一個新元素，參與整體排列，然后這些相鄰元素再內(nèi)排；

不相鄰的元素去插前者元素之間的空一一俗稱“插空法".

舉一反三：

【變式1】有四個男生和三個女生排成一排，按下列要求各有多少種不同的排法？

(1)三個女生排在一起；

(2)三個女生兩兩都不相鄰.

【答案】

(1)(捆綁法)分兩步：先把三個女生算一個元素與其他四個男生排，有8種排法，再排三個女生有

A；種排法，由分步計(jì)數(shù)原理，有團(tuán)?&=720種不同排法.

(2)(插空法)分兩步：先排四個男生有A：種排法，再讓三個女生插入5個空中，有用種插法，由

分步計(jì)數(shù)原理，共有A："=1440種不同排法.

【變式2】有不同的數(shù)學(xué)書、語文書各5本，求下列不同的排法種數(shù)。

(1)數(shù)學(xué)書必須排在一起；

(2)數(shù)學(xué)書、語文書分別排在一起；

(3)數(shù)學(xué)書不全排在一起：

(4)任何兩本數(shù)學(xué)書都不相鄰；

【答案】

(1)將數(shù)學(xué)書捆在一起與語文書進(jìn)行排列，有A66種排法，而數(shù)學(xué)書本身有A$5種排法，故共有A65-A55種排

法.

5

(2)同上法,有A22-A55-A5種排法.

(3)從反面考慮：10本書