數(shù)學(xué)經(jīng)典易錯題會診與高考試題預(yù)測7

高考數(shù)學(xué)經(jīng)典易錯題會診(七)

考點(diǎn)7不等式

經(jīng)典易錯題會診

命題角度1不等式的概念與性質(zhì)

命題角度2均值不等式的應(yīng)用

命題角度3不等式的證明

命題角度4不等式的解法

命題角度5不等式的綜合應(yīng)用

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1不等式的概念與性質(zhì)

預(yù)測角度2不等式的解法

預(yù)測角度3不等式的證明

預(yù)測角度4不等式的工具性

預(yù)測角度5不等式的實(shí)際應(yīng)用

經(jīng)典易錯題會診

命題角度1

不等式的概念與性質(zhì)

1.(典型例題)如果a、b、c滿足c<b<a,且ac〈O,那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是()

A.ab>acB.c(b-a)>0

C.cb"<abD.de(a-c)<0

［考場錯解］AVb>c,而ab,ao不一定成立，原因是不知a的符號.

［專家把脈］由d>b>c,且ac<0.則。與c必異號，又由a>c,故a>0,c〈0,條件分析不

透.

［對癥下藥］C.由a〉b>c且ac>0,故a>0且c<0.

⑴由b>c,又..飛〉。，/.ab>ac.(2)Vb-a<0,c<0=>(b-a),c>0,D.a-c>0,

ac<0=>ac(a-c)<0,而C中當(dāng)b=0時顯然不成立，故選D

2.(典型例題)若工一<0,則下列不等式①a+b〉ab;②|a|〉|b|；③a<b④^+烏>2中，正

abab

確的不等式有()

A.1個B.2個

C.3個D.4個

［考場錯解］A只有①正確，②、③顯然不正確，④中應(yīng)是2+故④也錯.

ab

［專家把脈］???④中忽視與不可能相等，b,故2^9.

ab

［對癥下藥］B方法1：運(yùn)用特值法，如@=-,b=-3.

方法2：運(yùn)用性質(zhì)由■!<，<(),則b<a<0,故而判斷.

ab

3.(典型例題)對于(KaG,給出下列四個不等式

@10gil(l+0)<10gil(l+—)

a

②loga(l+o)>log?(l+—)

a

l+i

③a",〈aa

1+-

④a'g>aa

其中成立的是()

A.①與③B.①與④

C.②與③D.②與④

［考場錯解］B?.T+a<l+L,故l°ga(l+a)<loga(l+L).

aa

［專家把脈］對數(shù)函數(shù)比較大小要考慮底數(shù)a的范圍，它與指數(shù)函數(shù)一樣.

［對癥下藥］DVO<a<l.a<l<—l+a<1+,而y=lognx與y=a"均為減函數(shù).

aa

1.1+4

a

loga(l+a)>loga(l+—),a>a.

a

4.（典型例題）已知實(shí)數(shù)a、b滿足等式（；）"=（?》,,下列五個關(guān)系式①O〈b<a②a<b<0

③0<a<b@b<a<0⑤a=b

其中不可能成立的關(guān)系式有（）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

［考場錯解］C顯然不成立，而a與b的大小不定，故①②③④只有可能兩個成立,

故有3個不可能成立，即alg'=bigl,-alg2=-blg3.

23

又?.Tg2<lg3,；.-a>-b,；.a<b,故②③正確.

［專家把脈］題目中不可能成立，⑤中當(dāng)a=b=O時，（g）a=ga，所以有可能成立.

［對癥下藥］B由錯解中可知a《b,故②③正確.而a=b=O時也可能成立，故不可能成

立的只有①④.

專家會診

（1）比較兩個實(shí)數(shù)的大小，可采用作差和作商法，然后適當(dāng)變形（如配方、因式分解等）后

才能判斷其符號.

（2）不等式性質(zhì)的適用時要注意它的條件，如“ab>0時，a>bo，>L”.不能弱化條

ah

1

件變成”也不能強(qiáng)化條件變?yōu)椤癮〉b>OoL<

6-

aba

考場思維訓(xùn)練

1若，|a|>,|b|>0,且ab>0,則下列不等式中能成立的是（）

A.1>1

ab

C.logi|^|<logi\b\

22

答案：C解析：利用特值法可看出某些選擇不能成立，而事實(shí)上，???a|,b|〉0,

又'lOg1|a|〈log||b|,由此也可直接得結(jié)論，應(yīng)選C

2--

22

2已知a、b為不等正數(shù)，s<t<0,M=—,N=%±2,則M、N的大小關(guān)系是_________.

a+b2ab

答案：M>N解析：由史±-2_=._（"b匕>。>0,

2abab2ab（a+b）

得空由s〈t〈0n（K-t〈-s,故絲也3>二絲n二L>魚也2

2aba+b2aba+ba+b2ab

命題角度2

均值不等式的應(yīng)用

1.（典型例題）設(shè)a>,0,b>0,則以下不等式中不恒成立的是（）

A.（4+6）（；+］｝4B.a3+Z?3>2aZ?2

C.+82+222。+%D.y/\a—b\>y［a—y［b

［考場錯解］Diyl\a-b\>yl\a\-\b\不一定大于或等于正-新

［專家把脈］D中直接放縮顯然不易比較.

［對癥下藥］BA：a+b22ab,，+,之2?」-，（4+〃）（~!~+,］之4（4=6時取=）

abab\ab）

J成立

C：a+b2+2=a+l+b2+1^2a+2b（當(dāng)且僅當(dāng)a二b=l時取“二”）

J成立

D：兩邊平方Ia-bI2a+b-2（后〉出）

a-ba+b-24ab或a-bW-a-b+2當(dāng)石時顯然成立.

解得a2b或aWb，成立.

2.（典型例題）設(shè)xW（0,Ji）,則函數(shù)f（x）=sinx+」一的最小值是（）

sinx

A.4B.5

C.3D.6

［考場錯解］因?yàn)閄?(0,n),所以sinx>0,>0,f(x)=sinx+—^―>2Jsinx?—=4,

sinxsinxVsinx

因此f(x)的最小值是

4.故選A

［專家把脈］忽略了均值不等式a+b22〃/(a.0,b>0)中等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a二b

時等號成立.事實(shí)上，sinx=」一不可能成立，因?yàn)樗闪⒌臈l件是sinx=±2,這不可能.

sinx

［對癥下藥］(l)f(x)=sinx+4=sinx+—!一+,因?yàn)閟inx十二一22,當(dāng)且僅當(dāng)

sinxsinxsinxsinx

sinx=l即x=—時等號成立.又323,當(dāng)且僅當(dāng)sinx=l即x=三時等號成立.所以

2sinx2

f(x)=sinx+—22+3=5,f(x)的最小值是5.故應(yīng)選B.

sinx

(2)令sinx=t,因?yàn)閤￡(0,n),所以所給函數(shù)變?yōu)閥=t+3.易知此函數(shù)在區(qū)

t

間(0,1)上是減函數(shù)，所以，當(dāng)廿1時，y取最小值5.故應(yīng)選B.

3.(典型例題)設(shè)a20,b20,5+?=1,求ajl+廬的最大值.

［考場錯解］Qiayll+廬」(2“).J1+廬《4.2+(1+廬)

222

i=^［a2+1+a2+^-］=^［(?2+^)+l］>|(a=0時取等號)［專家把脈］并非定值.

［對癥下藥］為利用均值不等式時出現(xiàn)定值，先進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹皽悺⑴洹?

2b221+廬3

a+——=a+--------=—,

222

I----^2

aJl+廬J——?V2?----+------

V22

3

2

--

2，當(dāng)且僅當(dāng)a=fg"時取.

專家會診

(1)利用均值不等式求最值時必須滿足“一正”、二定、三等”.尤其是等號成立的條件，必

須驗(yàn)證確定,而要獲得定值條件有時要配湊.要有一定的靈活性和變形技巧.

(2)利用均值不等式解決實(shí)際問題、證明不等式時，要會利用函數(shù)的思想和放縮法.

考場思維訓(xùn)練

1已知a?+廬=1,廬+c?=2,c2+a2=2,則ab+bc+ca的最小值為()

A百一-B.--V3

22

C.---V3D.-+y[3

22

a2+b2=1

答案：B解析：聯(lián)立廬+C2=2

c2+a2=2

在

21

a=-a-

22

1立

儒

解2

〃=-A-+-

±-

2-+2

23痣

-

c=C-

22-

b=4-4-4則

若ab+bc+ca取最小值，可令

ab+c+ca=冬冬+冬邛)+*.(_*)=;_石

x+y]<1、

2若x>2,y>2,0<w<1,且〃=log//;',b=5.(log〃?x+log〃/j,c=jlog/〃(x+y),則〃bc的大小關(guān)系是

答案：解析：aWb<c???亨2而，0<m<l

/.10gE^^-—logmx+logmy,,Aa^b,

22

xy

—?——?—=1.乂b<c.故aWb<c.

yv22

3.若0cx<g,則/(1-3x)的最大值是.此時x=.

答案：」-,2解析：VX2(1-3X)=1X-X-—,當(dāng)且僅當(dāng)X=2-2X,即x=2時,

24392324339

取得最大值上

243

命題角度3不等式的證明

L(典型例題)設(shè)函數(shù)小)=|1-4》>0.

(I)證明：當(dāng)0<a<b,且f(a)=f(b)時,ab>l：

(H)點(diǎn)P(x0)y。)(O<x<l)在曲線y=f(x)上,求曲線在點(diǎn)P處的切線與x軸和y軸的正向所圍

成的三角形面積表達(dá)式(用X。表示).

［考場錯解］(I)/(?)=以b).

22

12,12b-a2(a-h)n(_a-b)(2ab-a-b)/—r

—----=1+-T------------=>——--+------------=0=>------------------------=0,/.2ab=a+b>2y/abab>1

222

?abbababaV

(2)v0<x<l,y=/(x)=^1-—j=--1

??f'(A0)=----y(0<A0<1),

而

曲線y=f(x)在點(diǎn)(殉,九)處的切線方程為:y—y()=—z-(工-聞)，

存

y=-4+2咨，:切線與x軸y軸正向的交點(diǎn)為(出(2-3),0)和(0,工(2-3)).

即溝％X。

故所求面積表達(dá)式為4(均)=3(2-殉)2.

［專家把脈］在運(yùn)用不等式時應(yīng)考慮等號成立時是否符合條件.

［對癥下藥］(I)證法一因

----1,XG(0,1],

X

,_1故/**)在(0J上是減函數(shù)，而在(1,yo)上是增函數(shù).

f(x)=X

1--,XG(U+00).

X

由0va<bQ.f(a)=f?得0va<1<8和=1一2_.

ab

即—+_L=2=lab=a+h>2>[ab.

ab

故>1,即ab>1

證法二:四3)=f⑸得|1-丐=卜-j|若1^與1-［同號，可得1-工=1--^=>a=。.與0v4vb矛盾.

故1與1必異號.

ab

BP--1=I---=>—+—=2.

abah

即L+=2nlab=a+b>2y[ab.

ab

故"^>1,即ab>1.

(II)解法一：(KX<1時，y=/(x)=|l-^|=^-l.

.?.f'(殉)=--^,0<4<1曲線y=/(幻在點(diǎn)P(殉,％逸的切線方程為:y-yQ=---沖),

項(xiàng)裕

即>=_苧紀(jì)乜

4殉

/X

二.切線與X軸y軸正向的交點(diǎn)為(順(2-4),0)和0,3(2-3).

I項(xiàng))

2

故所求三角形面積表達(dá)式為:4*())=~x0(2-x0).—(2-x0)=-(2-x0).

2x。2

解法二:設(shè)過點(diǎn)P(Xo,y。)處的切線方和為:y-y。=k(x-x0),k為待定系數(shù).

代入y=,f(x)='-i(o<x<i)

X

2

并整理得kx+(y0+l-kx0)x-l=0.

因?yàn)镻是切點(diǎn)，所以方程有重根，故判別式

A=(即+1—攵勺)2+44=('一攵勺)+42=0.

+/J=0=4=--L-(0<與<1).

曲線y=/*)在點(diǎn)P(N),%)處的切線方程為:y-%=--y(x-x0),

芍

即),=_乎”也.

前3

切線與X軸y軸正向的交點(diǎn)為(項(xiàng)(2-項(xiàng)),0)和0,—(2-x0)

故所求三角形面積表達(dá)式為：

111

4戈0)二彳3(2一3),一(2-x)=—(2-x)9^.

23020

2.(典型例題)己知an=Jlx2+J2x3+…++(neN*),

n(n+\)n(n4-2)

求證:--------<a<-----------

2n"2

［考場錯解］當(dāng)〃wN*考有“(〃+1)>n.

atJ=Jlx2+，2x3+J3x4+…+J+1)>1+2+3+…+〃=-~——-

又?/J〃(〃+1)<7?+1,

/.an=Jlx2+J2x3+???++1)<2+3+…+〃+(〃+1)=

綜上所述，有&iD<為<妁葉成立.

22

［專家把脈］在證即<工空時，師而〈〃+1放縮時得過大,2+3+…+5+1)=工喏2

［對癥下藥］(1)同上.

,〃5+2)

(2)下證：%v------.

2

/-----n+n+i

■:5(〃+1)<——-——

1+22+3n+n+\1__、〃+1n(n+2)

a<---+----+?+------=--1-(24-3+,,,+/?)H----=

n〃222222

綜上(1),(2)得：皿里1<冊<曳9.

22

3.(典型例題)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,cGR且aWO),若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線

y=x和y=-x均無公共點(diǎn)。

⑴求證:4ac-Z?2>1;

(2)求證：對一切實(shí)數(shù)工恒有|"2+尿+C|>」一

4|a|'

［考場錯解］(1)???1"(x)的圖象與y=x,y=-x均無公共點(diǎn)，

fy=^,fy=-x,

2與2均無解?

［y=ax+hx+c,［y=ax+bx+c.

也就是:ax2+(/?+l)x4-c=O,av2+S+l)x+c=0均無解=|相力口得■+1-4ac<04ac-2>1.

<o.

要證|/+版+C|>」一.即/(X)在對稱軸X=-幺處的最小值大于二一.故證：/,(--)>—

4|4|2a4|4|2441al

bb2

⑵J.Iax、+hAx+c2>a\(---+fb\-/(-----y+q-11-----Fq\=|4-?-C---Z->-->---1-.

［2a)\2a)|4a||4a4\a\

［專家把脈］在運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)證明不等式時，忽視了a>0與a<0兩種情況的討論。

［對癥下藥］(1)同錯解(1)

4ac-戶>10廬_44c<_J<0,

2

/.f(x)=ax+bx+c

(2)由若a>O,f(x)>0(xe/?)恒成立.

若a<0,f(x)<0(x€/?)恒成立.

當(dāng)a>OB寸，

\ax+hx+c|>〃￡

當(dāng)a<0時ar2+bx+c|=-(ax1+hx+c)>-a

b2-4ac4ac-h

>------

4(-a)41al

綜上所述不等式成立

專家會診

(1)證明不等式，要掌握不等式的證明基本方法，如分析法、綜合法、放縮法、函數(shù)法、

反證法、換元法等.

(2)對不等式與數(shù)列、函數(shù)方和程、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容的綜合證明題，難度較大，要結(jié)合性質(zhì)與

不等式的基本證明方法相結(jié)合，靈活解題，也體現(xiàn)了不等式的工具性，是高考命題的

趨勢。

考場思維訓(xùn)練

1.已知函數(shù)f(x)=1*+cM4c為常數(shù))，

⑴若f(x)在x=l和x=3處取得極值,試求b、c的值；

答案:解析：(l)f'(x)=/+(b-l)x+c,

由題意得，1和3是方程x2+(bT)x+c=0的兩根

[c=1x3[c=3

(2)若f(x)在(-8,Xl)U(x2,+8)上單調(diào)遞增且在(X1,X2)上單調(diào)遞減,又滿足X2-X1>1.求證:

b2>2(b+2c)；

答案：由題意得，當(dāng)xW(-8,Xi)U(X2,+8)時，f7(x)>0；x￡(xi,X2)時f',(x)<0,

Axi,X2是方程f',(x)=X2+(bT)x+c的兩根，

貝ljxi+x2=l-b,xiX2=c,

/.b-2(b+2c)=b-2b-4c=(b-l)-4c-l

22

=(xi+x2)-4XIX2-1=(X2-XI)-1.

VX2-Xt>l,/.(X2-X1)2-1>O,

b2>2(b+2c).

(3)在(2)的條件下,若Mx1,試比較t?+bt+c與X1的大小,并加以證明。

2

答案：在(2)的條件下，x+(b-l)x+c=(x-xi)(x-x2),

即X2+bx+c=(x-Xi)(x-X2)+x,

所以t2+bt+c-xi=(t-xi)(t-X2)+t-xi

=(t-xi)(t+l-x2),

VX2>l+xi>l+t,At+l-X2<0,又t<xi,

/.t-Xi<0,

2

A(t-Xi)(t+l-x2)>0,即t+bt+c>Xi.

2.已知數(shù)列｛%｝滿足:9]配七,x1=l

%+i

(1)問是否存在m《N*,使x”=2,并證明你的結(jié)論；

答案：假設(shè)存在mCN*,使x,,,=2,則2=%t*nx12,

xm-\+1

同理可得Xm-2=2,

以此類推有X1=2,這與X1=1矛盾，故不存在mWN*,使Xm=2.

(2)試比較心與2的大小關(guān)系；

⑶設(shè)%=|X”-21,求證當(dāng)〃>2吐Z4<2-25.

/=1

答案：當(dāng)n22時，x“T,-2=土巴-2=3^=-9匚,又與+|=逛以=1+二一,占=1,則x“>0,

xn+Ixn+Ixn+1xn+1xn+1

；?Xn+「2與x「2符號相反,而Xi=22,則X2>2,以此類推有:x2n-i<2,x2n>2；

Xn+［==1+,Xj=1,則X”>1,

/+14+1

命題角度4不等式的解法

1.(典型例題)在R上定義運(yùn)算8：*必丫-(1-丫)，若不等式&-)0(x+a)<l對任意實(shí)數(shù)X成

立，則a的范圍是()

A-\<a<\80<a<2

「13c31

2222

［考場錯解］A=(4—a)?(x+a)=(x+a)(a—x)=a2-x2<I

<x2+1,即/V］,故一1V4<1

［專家把脈］對x⑥y=x(”y)的運(yùn)算關(guān)系式理解不清。

［對癥下藥］,一(x-a)?(x+a)=(x+6f).(l-x-?)=(x-a)(l-a)-x(x-a)<l,BR-a2+a>-(x2—x+1)

2.(典型例題)已知函數(shù)^“上承力為常數(shù)祖方榭⑶-彳+時位有兩個實(shí)根知:嚴(yán)二也;4

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(Z+l)x—Z

(2)設(shè)k〉l,解關(guān)于x的不等式：f(x)<

2-x

2----=-V(_i2

解］⑴將西=3,數(shù)=4分別代入方程一--x+12=0得3。￥解得:二，所以“制=工(x*2).

ax+b16°\b=22-x

-----=—8i

、4a+b

(2)-^—<(k+D-i,即/((火+1口_k

2—x2—x

/一伏+［)x+攵<O,(x-^)(x-l)<0

又、：k>1,故1<x<k.

［專家把脈］⑵問中兩邊約去(2-x),并不知2-x的符號.

［對癥下藥］(1)同錯解中(1)

(2)不等式即為上■<四+D七上可化為x*+1)吐卜<oep(x_2)(x-l)(x-Z)>0.

2.—x2,—x2-x

①當(dāng)l〈k<2,解集為xe(l,k)U⑵+8)；

②當(dāng)k=2時，不等式為(x-2)2(x-l)>0解集為xW(l,2)U(2,+8)；

③當(dāng)k>2時，解集為xe(l,2)U(k,+~).

3.(典型例題)設(shè)函數(shù)f(x)=kx+2,不等式|f(x)|<6的解集為(-1,2)試求不等式的

log—<log,(l-x)(0<<z<1)的解集。

af(x)(

［考場錯解］?.1依+2|<6,;.-6<匕+2<6,則對于刀€(-1,2)時不等式組［b<4,恒成立

kx>-8.

當(dāng)k>0時，kW2,當(dāng)k〈0,k2-4.

.\k=2或-4.

當(dāng)k=2時f(x)=2x+2,當(dāng)k=-4時f(x)=-4x+2再由解對數(shù)不等式。

2x+2

log?..<log(l-^)

-4x4-2o

［專家把脈］在求k的值時分析討論不嚴(yán)密，上式中是在xe(-1,2)時恒成立，而k的值并不

能使之成立.

［對癥下藥］VIkx+21<6,/.(kx+2)2<36,

即k￥+4kx-32<0.

=(-1)+2,

由題設(shè)可得

-32

=(-1)x2,

解得k=-4,.,.f(x)=-4x+2.

由log“------<log(l—x)(0<a<1)得

f(x)u

6

log.,.<logfl(l-x),

-4x+2

-4x+2>0

則{1T>0①

6.

--------->\-x

l-4x+2

②

③

由①解得x<L由②解得xG,由③得(2x+l)(x-2)>on」<xJ%>2,

22x-\22

原不等式的解集為［x|-1<X<1}

4(典型例題)設(shè)對于不大于

?的所S滁-“I遜的不一x,期切滿實(shí)|促假|(zhì)<未求期的式數(shù).

［考場錯解］A={x|a-b<x<a+b),

8二]匯|J——<x<由題設(shè)知,A￡B,

a-b>a2

故?2必成立.

21

a+b<a+2,

b<一/一4+一或

2

15

h<a9-a+—[0<a<

331121

一<b<—,:.a2—a-\——=(a)+—

164224

1,13

<b<—

416

44

［專家把脈］在求b的范圍時，應(yīng)考慮必成立的條件，如小小9泥

."V巨才能上式恒成立.

16

［對癥下藥］VA={x|a-b<x<a+b},

B=\x\a1-—<x<a?￥—

22

由題設(shè)知,4=8

a-b,>a2---1-,

故<2必成立.

,91

a+b<a~+—,

2

即Z?V—u~+4+5和bKJ—〃+5(0<〃4W)必成立.

21「133]”工3

?r-a+4+—e—，一、從血bW一

216416

13

JL，從而

4,而4

16

3

又.../?>0,故0</?《一.

16

專家會診

1.解分式不等式時，應(yīng)將化為等價的整式不等式，避免分類討論。

2.含絕對值的不等式應(yīng)運(yùn)用平方法，零點(diǎn)分段法、分類討論及絕對值不等式的性質(zhì)求解。

考場思維訓(xùn)練

1關(guān)于X的不等式ax-b>o的解集是(1,+8),則關(guān)于X的不等式”心>0的解集是()

x-2

A.(-°°,-1)U⑵+8)

B.(-1,2)

C.(1,2)

D(-00,1)U(2,+8)

答案：A解析：a>0-且9=1,>0?—>0<?(x+l)(x-2)>0<?x<-lx>2.

bx-2x-2

2.若g<aV肛則不等式10gsina(l-7)>淵解集是

答案：(-1,cosa)U(-cosa,1)解析：?.?巴

2

/.0<sina<1,logsina(1-a2)>2<=>0<l-xJ<sin2a<=>cos2a<xJ<l,又cosQ〈0.

.'.-l<x<cosa或-cosa<x<l.

3.解不等式2>_L.

x-\\x\

答案：解析：①當(dāng)x>0時，原不等式為二二〉工ox〉l,②當(dāng)x<0時，原不等式為

x-\X

2>__!=(x+l)?(2x-l)>0且x<0,.\X<-1.

x-\X

綜上①，②可得{x|x<；或X>1}.

命題角度5不等式的綜合應(yīng)用

1.(典型例題)已知函數(shù)f(x)=ax-：f的最大值不小于J又當(dāng)丫?［—時Ax)?".

(I)求a的值；

(II)設(shè)0<a|<—,%+1=/(a”),"?N*,證明<---.

2n+\

.2.

［考場錯解］⑴由于f(x)的最大值不大于■!,所以/出)=二d,即a2Vl

6366

由①，②可得a=l.

%=a.a“一：碌

(ID：

即%+1=%-弼

j,當(dāng)n=l時，0〈aKL結(jié)論成立。

i2

認(rèn)假設(shè)n=k(k>1)時，不等式成立，即在<壯丁則

.irh+3213r1Y212kk+11

n=K+川寸M2+］=db以<-----\---=-----7V-----------T<----------T<--------?

2&+12V+1J2伙+1)22伏+19(%+2)2k+2

故"=&+1時命題成立.

由可知,不等式成立.

［專家把脈］在證明不等式時，運(yùn)用放縮法應(yīng)有理論依據(jù)，不能套結(jié)論，而且放縮不能過大

或過小.

［對癥下藥］(I)解法：由于/a)=?-1」的最大值不大于焉，

2

所以f(4=幺與5,即02Vl.

366

所以“？一于即.萬丁/解得a>1.

/(I)>1---->1

［八7一8’〔432-8

由①②得a=l.

(II)證法一：(j)當(dāng)〃=1時,0<a}<g,不等式0<an<—J成立；

2|1

因/"(X)>0,X￡(0,—),所以0<。2=/(fl1)<上故"=21時不等式也成立.

363

應(yīng))假設(shè)KZN2)時,不等式0<4<占成立，因?yàn)榘?)…#的對稱軸x=g,知〃幻在0,；為增函數(shù),

所以由得

。<f?)<j)于是有

八131111k+41

+k+12(%+］)2k+2A+2k+22(%+1)2(%+2)k+2

所以當(dāng)〃=k+1時，不等式也成立.

根據(jù)(，)(“)可知，對任何〃6N*,不等式%<—成立.

證法二：(j)當(dāng)〃=1時,0<a}<；，不等式0<an<—，成立;

(jj)假設(shè)〃=k(k>1)時不等式成立，即()<ak<?，則當(dāng)〃=k+1時,

a&+］=（1一］。太）=~—+2）a卜?（1一萬4）因（&+2）。女>0,1——>0,以

22

3

1+"+2—5）4"（"+5）""

（女+2）?^.（1~~ak）-<1.

22

于是。<。4+］<4_“

因此當(dāng)〃=k+川寸，不等式也成立.

根據(jù)(/(“)可知，對任何n￡N*,不等式冊<.成立。

證法三：(j)當(dāng)〃=1時,0<⑨<；,不等式I)<%<成立;

(jj)假設(shè)〃=1)時,0<%匕

k(k>ak，則當(dāng)〃=k+1時，若0<a<—則

kk+2

31

0<4+尸歿(1-萬4)</<17r

若一!一?詼<」一,則

k+2kk+\

313122+1[1

0<?=?Jl--^X—(1--X-)

i+l2k+2k+2k+2

由①②知當(dāng)n=k+l時，不等式0“<士也成立

根據(jù)(￡)(”)可知，對任何"eN*,不等式如〈白成立

2.(典型例題)六?一節(jié)日期間，某商場兒童柜臺打出廣告：兒童商品按標(biāo)價的80%出售：同

時，當(dāng)顧客在該商場內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后，按如下方案獲得相應(yīng)金額的獎券：(如表所示)

消費(fèi)金額(元)[200,400][400,500][500,700][700,900]???

獲獎券的金額3060100130???

(元)

依據(jù)上述方法，顧客可以獲得雙重優(yōu)惠.

試問：

(1)若購買一件標(biāo)價為1000元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？

(2)對于標(biāo)價在［500,800］內(nèi)的商品，顧客購買標(biāo)價為多少元的商品，可得到不小于;的優(yōu)

惠率？

［考場錯解］(1)1000X0-2+130>33%.

1000

(3)設(shè)商品的標(biāo)價為x元，則500WxW800,由已知得

0.2x+100>1［0.2x+130>I

500<x<800,［500<x<800.

解得500<x<800.

［專家把脈］商品的標(biāo)價為x元，而消費(fèi)額在［500X0.8,800X0.8］之間，而不是500-800

之間.

［對癥下藥］(1)同上

(3)設(shè)商品的標(biāo)價為X元，貝ij500WxW800,消費(fèi)額：400^0.8x^640.

由已知得：

0.2x+60、1

①一x-或

400<0.8x<500.

0.2x+100、1

0-T--?

500<0.8x<640.

解不等式①無解，②得：625^x^750.

專家會診

1.應(yīng)用不等式的性質(zhì)與幾個重要不等式求出數(shù)的最值，比較大小，討論參數(shù)的范圍等，一

定要注意成立的條件，易忽視“一正、二定、三等

2.運(yùn)用不等式解決實(shí)際問題時，首先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而運(yùn)用不等式

求最值，注意成立時的實(shí)際條件與不等式成立條件應(yīng)同時考慮。

考場思維訓(xùn)練

1若則下列結(jié)論中不正確的是()

ab

A.^Q^ab^\o^ba

log“b+logha|>2

C.(log￡,a)2<I

D|logab\+\log/,a|>|log。b+log/?a\

答案：D解析：V1<1<1,由倒數(shù)法則0<b<a<l.

ab

Vlogab>logtba=l,0<logba<l,:.A、B、C都不正確、而|logab|+|logba|>|logab+logba|.故

選D.

2已知不等式x2-2x+a>0時，任意實(shí)數(shù)x恒成立，則不等式a2xH<ax2t2x-3<l的解集是()

A.(1,2)B.-1,2

2

C.(-2,2)D.(-3,-2)

答案：D解析：Vx2-2x+a>0對xCR恒成立.△〈()，即a>L

，不等式*72+2*3<10卜+2<『+2丫-30卜<-2g>2/>xe(.3>.2)故選D.

X2+2X-3<01_3cx<1.

3.某企業(yè)開發(fā)一種新產(chǎn)品，現(xiàn)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)，對產(chǎn)品進(jìn)行促銷，在一年內(nèi)，預(yù)計年

銷量Q(萬件)與廣告費(fèi)x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為Q=&二心*>0),已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定

X

投入為3萬元，每年產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入32萬元，若銷售額為“年生產(chǎn)成本的150%”

與“年廣告費(fèi)的50%”之和，而當(dāng)年產(chǎn)銷量相等。

(1)試將年利潤P萬元表示為年廣告費(fèi)x萬元的函數(shù)；

答案：(l)P=(32Q+3)-150%+x?50%-(32Q+3)-x=---—+49.5(x>0)

2x

(2)當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？

答案：P7>學(xué)）+49.5W-2X4+49.5=41.5,當(dāng)且僅當(dāng)貨號時，即x=8時，P有最

大值41.5萬元.

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1不等式的概念與性質(zhì)

1.下列命題正確的是（）

+當(dāng)且僅當(dāng)a方均為正數(shù)

ab

B.a+b+c>到abc當(dāng)且僅當(dāng)abc均為正數(shù)

C.logab+logjt,c+logca>3,當(dāng)且僅當(dāng)abee

DIa+，色2當(dāng)且僅當(dāng)a*耐成立

a

［解題思路］利用均值不等式成立的條件判斷。

［解答］D對于A,當(dāng)a、b同為負(fù)數(shù)時也成立；對于B,當(dāng)a、b、c中有一個為0,其余為正

數(shù)時也成立；對于C,當(dāng)a、b、c￡（0,1）時也成立；D正確。

2.已知a=sinl5+cosl5-b=sinl6?，則下列各式中正確的是（）

a2+Z?2

A.a<-----<bB.a<b<

2

J+戶Db<^-

C.b<a<-----<a

22

［解題思路］利用兩角和與差的公式化簡b、a、叁互.然后再比較大小.

2

［解

2,2

答］B-a=V2sin（15+45）=&sin60\b=&sin（15+46）=五sin6r,「.1<a<b又"+">ab>從故血.

2

預(yù)測角度2不等式的解法

1.關(guān)于x的不等式乂日一|，2/2（4s（-8,0）的解集為（）

A.［-a,+°°］B.［a,+°°］

C.［2a,a］U［-a+°°］D.（-°°,a）4

［解題思路］討論a、x的大小，去絕對值符號.一一

［解答］A當(dāng)x>a,x2-ax-2a2>0,Ax>-a.當(dāng)x<a,不等式顯然無解.

2.函數(shù)y=f（x）是圓心在原點(diǎn)的單位圓的兩段圓?。ㄈ鐖D，與y軸無交點(diǎn)），

則不等式f（x）<f（-x）+x的解集為（）

XI-羋<x<0,或半<A-<1

A.

C.L|-l<x<-半，或半<x<l

D.L\--<X<—,3.X^0

22

［解題思路］由f(x)為奇函數(shù)，原不等式變形為f(x)＞土.即可求解。

2

［解答”由己知有f(x)為奇函數(shù)，則原不等式變形為f(x)〈士畫圖可知A正確，所以選A