高中數(shù)學(xué)解題方法談：圖形背景中的等比數(shù)列問(wèn)題

圖形背景中的等比數(shù)列問(wèn)題高考解答題已從過(guò)去單純考查數(shù)列知識(shí)向綜合問(wèn)題轉(zhuǎn)化，成為溝通函數(shù)、三角、方程、不等式、解析幾何等知識(shí)的橋梁，體現(xiàn)了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系．而現(xiàn)行高考常以幾何圖形為載體多方位考查數(shù)列問(wèn)題，汲取了一些鮮活的成分，對(duì)考生思維頗有啟迪．下面談?wù)勗趲缀螆D形背景下等比數(shù)列問(wèn)題的求解方案．題型特點(diǎn)：圖形按同一規(guī)律無(wú)限作下去，所求數(shù)列為無(wú)窮遞縮等比數(shù)列；解題方向：根據(jù)題目條件，正確推算出無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比；解題策略：抓住變中的不變量，即數(shù)據(jù)在改變，但其變化有規(guī)律．例1如圖1，第一個(gè)半圓的直徑是3cm，第二個(gè)半圓的直徑是2cm，以后每個(gè)半圓的直徑都是前一個(gè)的，這樣直到第個(gè)半圓，求整條曲線的長(zhǎng)．解：第一個(gè)半圓的長(zhǎng)是cm，第二個(gè)半圓的長(zhǎng)是cm，第三個(gè)半圓的長(zhǎng)是cm，，第個(gè)半圓的長(zhǎng)是cm，這些半圓的長(zhǎng)組成了首項(xiàng)為cm，公比為的等比數(shù)列．故整條曲線的長(zhǎng)為cm．評(píng)注：給出的圖形只是問(wèn)題的一個(gè)載體，我們只需從“形”中抽象出“數(shù)”，即歸結(jié)為等比數(shù)列求和問(wèn)題．例2以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在正方形內(nèi)畫(huà)弧，得四個(gè)交點(diǎn)，再在正方形內(nèi)用同樣方法得到又一個(gè)正方形，這樣繼續(xù)作下去，求第個(gè)正方形的面積．分析：以為等邊三角形這一條件作為切入點(diǎn)，可正確求出相鄰正方形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系．解：如圖2，為正三角形，邊長(zhǎng)為，，又，，，同理在中，，根據(jù)正弦定理，．又，所有這些正方形的面積構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．第個(gè)正方形面積為．評(píng)注：本題把幾何問(wèn)題與代數(shù)解法自然聯(lián)系起來(lái)．從運(yùn)算到推理，都要有很強(qiáng)的思維判斷能力和熟練的解題技能．例3如圖，一種樹(shù)形圖為：第一層是一條與水平線垂直的線段，長(zhǎng)度為1；第二層在第一層線段的前端作兩條與線段成135°角的線段，長(zhǎng)度為其一半；第三層按第二層的方法在每一線段的前端生成兩條線段，重復(fù)前面的作法作圖至第n層，設(shè)樹(shù)的第n層的最高點(diǎn)至水平線的距離為到第n層的樹(shù)形的總高度．試求：（１）到第三層及第四層的樹(shù)形圖的總高度；（２）到第n層的樹(shù)形圖的總高度；（３）若樹(shù)形的高度大于2，則稱樹(shù)形圖為“高大”，否則稱“矮小”，試判斷該樹(shù)形是“高大”呢，還是“矮小”呢？分析：解第（3）問(wèn)時(shí)，應(yīng)通過(guò)各層計(jì)算出的數(shù)據(jù)信息，抽象出各層高度之間的量化關(guān)系，要注意隔項(xiàng)成等比數(shù)列問(wèn)題的求解．解：（1）設(shè)此樹(shù)各層高度構(gòu)成數(shù)列，則，，到第三層的樹(shù)形圖總高度為，到第四層的樹(shù)形總高度為；（2）第層的高度到第層的樹(shù)形圖總高度為：當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；（3）由（2）知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，2；此樹(shù)形為“矮小”．評(píng)注：本題秉承了數(shù)列綜合解答題著重于抽象推理，考查理性思維能力的做法，能有效地考查考生的數(shù)學(xué)功底．問(wèn)題背景的