壓軸專題 立體幾何綜合問題小題綜合 新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)尖子生30題難題突破（新高考通用）解析版

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁壓軸專題立體幾何綜合問題小題綜合一、單選題1．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在球面O上，底面ABCD是邊長為4的正方形，平面平面ABCD，且，則球面O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，取中點(diǎn)為E，三角形外接圓圓心為，正方形ABCD外接圓圓心為，過做平面，底面ABCD垂線，則兩垂線交點(diǎn)為四棱錐外切球球心O.由題目條件，可證得四邊形為矩形，設(shè)外接球半徑為R，則.后可得答案.【詳解】如圖，取中點(diǎn)為E，三角形外接圓圓心為，正方形ABCD外接圓圓心為，過作平面，底面ABCD垂線，則兩垂線交點(diǎn)為四棱錐外接球球心O.因平面平面ABCD，平面平面ABCD，，平面，則平面ABCD.又平面ABCD，則.因，則四邊形為矩形.設(shè)三角形外接圓半徑為，則，又則.則，設(shè)外接球半徑為R，則，又，則，則球O表面積為：.故選：C.2．（2023春·河北邢臺(tái)·高三邢臺(tái)市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三棱錐中，是等邊三角形，，，且，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則平面截三棱錐外接球所得截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，確定三棱錐外接球球心，利用等體積法結(jié)合球的截面小圓性質(zhì)求出截面圓半徑作答.【詳解】在三棱錐中，是等邊三角形，，，，則，，則有，取中點(diǎn)O，連接，有，因此點(diǎn)O是三棱錐外接球球心，球半徑，如圖，因?yàn)辄c(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則，等腰底邊上的高，的面積，取中點(diǎn)F，連接，則，而平面，于是平面，在中，，由余弦定理得，有，的面積，，顯然，令點(diǎn)O到平面的距離為d，因此，即，解得，令平面截三棱錐外接球所得截面小圓半徑為r，則有，所以平面截三棱錐外接球所得截面面積.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時(shí)，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.3．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在三棱錐中，是以AC為底邊的等腰直角三角形，是等邊三角形，，又BD與平面ADC所成角的正切值為，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線面角算出點(diǎn)B到平面ADC的距離，從而找到球心的位置，利用幾何關(guān)系算出球的半徑即可.【詳解】取AC的中點(diǎn)E，連接BE，DE，則，，可得平面DEB．又平面ADC，故平面平面DEB，且平面平面．在平面DEB中，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，則平面ADC，∴是直線BD與平面ADC所成角的平面角．設(shè)，則，易求，，則．由勾股定理可得，即，解得，于是，點(diǎn)H恰好是正的中心（外心），故球心O必在BH上，的外心為E，連接OE,則平面ABC，,設(shè)三棱錐外接球的半徑，在中，由射影定理可得，即，解得，∴三棱錐外接球的表面積．故選：B.4．（2023春·湖南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）正方體的棱長為1，點(diǎn)在三棱錐的表面上運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)軌跡的長度是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)在以為球心，半徑的球面上，進(jìn)而依次討論該球與三棱錐的表面的交線即可得答案.【詳解】解：由題設(shè)知點(diǎn)在以為球心，半徑的球面上，所以點(diǎn)P的軌跡就是該球與三棱錐的表面的交線．由正方體性質(zhì)易知三棱錐為正四面體，所以，點(diǎn)到平面的距離，所以球在平面上的截面圓的半徑，所以，截面圓的圓心是正中心，正的邊長為，其內(nèi)切圓的半徑．因此，點(diǎn)P在面內(nèi)的軌跡是圓在內(nèi)的弧長，如圖所示．，所以，所以，所以，點(diǎn)P在此面內(nèi)的軌跡長度為．因?yàn)槠矫鍭BCD，所以球在平面ABCD上的截面圓心為A，其半徑，又，所以點(diǎn)P在平面BCD內(nèi)的軌跡是一段弧，如圖所示，，所以，從而，所以．由于對稱性，點(diǎn)P在平面和平面內(nèi)的軌跡長度都是，故點(diǎn)P在三棱錐的表面上的軌跡的長度是．故選：A5．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在矩形ABCD中，已知，E是AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折成，連接，當(dāng)二面角的平面角的大小為時(shí)，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中點(diǎn)為，證明，取的中點(diǎn)為，證明，根據(jù)二面角的定義證明，根據(jù)球的截面性質(zhì)確定三棱錐外接球的球心位置，解三角形求球的半徑，由此可得三棱錐外接球的表面積【詳解】由已知，E是AB的中點(diǎn)，所以，又，，所以為等腰直角三角形，故為等腰直角三角形，取的中點(diǎn)為，則，因?yàn)?，又，，所以同理可得，又，所以，取的中點(diǎn)為，連接，則，所以，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)椋?，，所以為等邊三角形，取的中點(diǎn)為，則，因?yàn)椋?，，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，因?yàn)闉橹苯侨切?，為斜邊，所以，所以為的外接圓的圓心，設(shè)為三棱錐外接球的球心，則平面，設(shè)，三棱錐外接球的半徑為，則，若球心和點(diǎn)位于平面的兩側(cè)，延長到點(diǎn)，使得，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，，所以，所以，所以，，所以三棱錐外接球的表面積，若球心和點(diǎn)位于平面的同側(cè)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，過點(diǎn)作，則四邊形為平行四邊形，所以，，所以，所以，所以，舍去，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，作出合適的截面圖，解三角形確定球的半徑.6．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，在等腰中，求得，設(shè)的外心是，外接圓半徑是，由正弦定理得，設(shè)外接球球心是，可得是直角梯形，設(shè)可得，把（）也用表示，然后可表示出外接球半徑，利用三角恒等變換，換元法，變形后由基本不等式求得最小值，從而得球表面積的最小值．【詳解】設(shè)，在等腰中，，設(shè)的外心是，外接圓半徑是，則，∴，設(shè)外接球球心是，則平面，平面，則，同理，，又平面，所以，是直角梯形，設(shè)，外接球半徑為，即，則，所以，在直角中，，，，，∴，，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積，解題關(guān)鍵是用一個(gè)變量表示出球的表面積，前提是選定一個(gè)參數(shù)，由已知設(shè)，其他量都用表示，并利用三角函數(shù)恒等變換，換元法，基本不等式等求得最小值．考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，邏輯思維能力，屬于難題．7．（2023秋·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，分別是底面與側(cè)面的中心，為該正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，記點(diǎn)的軌跡所在的平面為，則過四點(diǎn)的球面被平面截得的圓的周長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，找到球心O和點(diǎn)的軌跡，求出到平面的距離，利用幾何法求截面圓的半徑和周長.【詳解】取面對角線中點(diǎn)，連接，，，，分別在上，且，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，，，，，三棱錐中，為直角三角形，所以，因此點(diǎn)即為三棱錐的外接球球心，球半徑長為，，，，，，共面，，，，，平面，，平面，平面，點(diǎn)的軌跡為矩形的四邊，如圖所示，，為平面的法向量，則球心到平面的距離為，球面被平面截得的圓的半徑，圓的周長為.故選：B【點(diǎn)睛】本題找球心O考查學(xué)生的空間想象能力，其余的計(jì)算和證明問題，則利用空間向量法.8．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知正四棱錐的底面邊長為，高為3．以點(diǎn)為球心，為半徑的球與過點(diǎn)的球相交，相交圓的面積為，則球的半徑為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】分公共圓面在四棱錐內(nèi)部與外部討論，設(shè)相交圓的圓心為，點(diǎn)為相交圓上的一點(diǎn)，球的半徑為，可求得相交圓半徑為1，由勾股定理得，，組成方程組求解.【詳解】當(dāng)公共圓面在四棱錐內(nèi)部時(shí)，如下圖所示，設(shè)相交圓的圓心為，點(diǎn)為相交圓上的一點(diǎn)，也是兩球的公共點(diǎn)，設(shè)球的半徑為，因?yàn)橄嘟粓A的面積為，所以相交圓的半徑為1，即底面正方形邊長為，所以，由勾股定理有，所以，設(shè)，則①，②，聯(lián)立①②解得．當(dāng)公共圓面在四棱錐外部時(shí)，如下圖所示，同上可求，，，則③，④，聯(lián)立③④解得．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在球與截面的計(jì)算中方法：球心與圓心之間的距離為，球半徑為，截面半徑為，可以根據(jù)勾股定理建立關(guān)系式.9．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）在正方體中，平面經(jīng)過點(diǎn)B、D，平面經(jīng)過點(diǎn)A、，當(dāng)平面分別截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面所成的銳二面角大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)平面與面所成的二面角為，二面角為，分和兩種情況討論，證明平面經(jīng)過點(diǎn)B、D且截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面與面重合，從而可得出答案.【詳解】平面經(jīng)過點(diǎn)B、D且截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面與面重合，證明：設(shè)平面與面所成的二面角為，二面角為，當(dāng)時(shí)，記平面截正方體所得截面為面，，則，令，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，顯然平面截正方體所得截面面積最大時(shí)，截面為面，當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得截面為，所以平面截正方體所得截面面積最大時(shí)截面為面，同理平面過時(shí)，截正方體所得截面面積最大時(shí)截面為面，連接，面與面所成銳二面角為，因?yàn)槊婷?，所以的所成角大小為二面角大小，因?yàn)?，所以面與面所成銳二面角大小為.故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于說明平面經(jīng)過點(diǎn)B、D且截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面與面重合，考查了分類討論思想和極限思想.二、多選題10．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）在棱長為6的正方體中，E為的中點(diǎn)，P在棱BC上（不包括端點(diǎn)），則下列判斷正確的是（

）A．存在點(diǎn)P，使得AP⊥平面B．存在點(diǎn)P，使得三棱錐的體積為45C．存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到DE的距離為5D．當(dāng)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐外接球的表面積為86π【答案】AD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量解決垂直問題，向量法求點(diǎn)到平面距離，求點(diǎn)到直線距離，幾何法求外接球半徑.【詳解】以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．因?yàn)?，所以，，，，，對于A：當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，，，，，，所以，，，平面，所以AP⊥平面，則A正確．對于B：由正方體的性質(zhì)可得平面，則．因?yàn)?，所以，，則的面積．由選項(xiàng)A可知，平面的一個(gè)法向量，，設(shè)點(diǎn)P到平面的距離為h，則，由，則，從而三棱錐的體積，故B錯(cuò)誤．對于C：，，則點(diǎn)P到DE的距離．因?yàn)?，所以，，則C錯(cuò)誤；對于D：如圖，分別取棱AB，的中點(diǎn)F，G，連接DF，EF，EG，，PG，PD，PF，則三棱錐的外接球與三棱柱的外接球?yàn)橥粋€(gè)球．由題意可得，．由余弦定理可得，從而，則的外接圓半徑，從而三棱柱外接球的半徑R滿足，故其外接球的表面積，D正確．故選：AD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：題中圖形為正方體，便于建立空間直角坐標(biāo)系，關(guān)于垂直的證明，求點(diǎn)到平面距離，求點(diǎn)到直線距離，利用空間向量法，比幾何法更方便簡潔.11．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知正方體的棱長為4，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則（

）A．直線是異面直線 B．平面截正方體所得截面的面積為C．三棱錐的體積為 D．三棱錐的外接球的表面積為【答案】ACD【分析】對于A，取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，證明，即可判斷；對于B，延長交于點(diǎn)，連接交點(diǎn)，連接，說明平面截正方體所得截面為四邊形，從而可以判斷；對于C，連接，證明平面，再根據(jù)即可判斷；對于D，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)為的中點(diǎn)，為三棱錐的外接球的球心，利用空間中兩點(diǎn)的距離公式求出球心及半徑即可判斷.【詳解】對于A，如圖，取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，則，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因，所以直線是異面直線，故A正確；對于B，如圖，延長交于點(diǎn)，連接交點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，則，因?yàn)椋詾槠叫兴倪呅?，所以，所以，則平面截正方體所得截面為等腰梯形，在等腰梯形中，，則梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，故B錯(cuò)誤；對于C，連接，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以三棱錐的高為，，所以，故C正確；對于D，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)為的中點(diǎn)，則為的外心，則三棱錐的外接球的球心在過點(diǎn)且垂直平面的直線上，設(shè)為，則平面，因?yàn)槠矫妫?，設(shè)，則，，因?yàn)椋?，所以，故，由，得，解得，所以三棱錐的外接球的半徑，表面積為，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)的突破口是，建立空間直角坐標(biāo)系，先由球心與截面圓心連線垂直于截面得到平面，從而求出，由此得解.12．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓錐頂點(diǎn)為S，高為1，底面圓的直徑長為．若為底面圓周上不同于的任意一點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面積為B．面積的最大值為C．圓錐的外接球的表面積為D．若，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】BCD【分析】對A：根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式分析運(yùn)算；對B：根據(jù)題意結(jié)合三角形的面積公式分析運(yùn)算；對C：根據(jù)題意可得圓錐的外接球即為的外接圓，利用正弦定理求三角形的外接圓半徑，即可得結(jié)果；對D：將平面與平面展開為一個(gè)平面，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，結(jié)合余弦定理分析運(yùn)算.【詳解】對A：由題意可知：，故圓錐的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤；對B：面積，在中，，故為鈍角，由題意可得：，故當(dāng)時(shí)，面積的最大值為，B正確；對C：由選項(xiàng)B可得：，為鈍角，可得，由題意可得：圓錐的外接球即為的外接圓，設(shè)其半徑為，則，即；故圓錐的外接球的表面積為，C正確；對D：將平面與平面展開為一個(gè)平面，如圖所示，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，此時(shí)，在，，則為銳角，則，在，則，由余弦定理可得，則，故的最小值為，D正確.故選：BCD.13．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，將一副三角板拼成平面四邊形，將等腰直角沿向上翻折，得三棱錐，設(shè)，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．不存在某個(gè)位置，使B．存在某個(gè)位置，使C．當(dāng)三棱錐體積取得最大值時(shí)，AD與平面ABC成角的正弦值為D．當(dāng)時(shí)，的最小值為【答案】BD【分析】根據(jù)面面垂直可得線面垂直，即可判斷AB，由三棱錐體積取得最大值時(shí)知面面垂直，得出線面垂直，即可求出線面角判斷C，再由側(cè)面展開圖及余弦定理可判斷D.【詳解】當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，，平面與平面的交線為，平面,平面，又平面，，，故A錯(cuò)誤，B正確；對于C，當(dāng)三棱錐體積取得最大值時(shí)，頂點(diǎn)A到底面距離最大，即平面與平面垂直時(shí)，由上面可知，平面，故AD與平面ABC成角為，

因?yàn)?，所以，，，則，，即AD與平面ABC成角的正弦值為，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，所以，如圖將沿旋轉(zhuǎn)，使其與在同一平面內(nèi)，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即的最小值為，在中，，則，所以，所以的最小值為，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：計(jì)算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上折線段的最值問題時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀.14．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在棱長為2的正方體中，為中點(diǎn)，為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．三棱錐的體積為C．線段最小值為 D．的取值范圍為【答案】BCD【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)得出平面平面，則根據(jù)已知得出點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），對于選項(xiàng)A：當(dāng)為時(shí)，根據(jù)異面直線的平面角結(jié)合正方體的性質(zhì)得出與的夾角為，根據(jù)已知得出的三邊，即可得出為，即可判斷；對于選項(xiàng)B：三棱錐若以為頂點(diǎn)，為底面時(shí)，根據(jù)正方體性質(zhì)得出此時(shí)三棱錐的高為2，底面積為2，即可得出體積判斷；對于選項(xiàng)C：點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），則時(shí)，線段最小，根據(jù)等面積法求出答案即可判斷；對于選項(xiàng)D：根據(jù)正方體性質(zhì)結(jié)合已知可得，則，即可根據(jù)的范圍得出的范圍判斷.【詳解】取、中點(diǎn)分別為、，連接、、、，，如下圖：為正方體，，，，，平面，平面，且，，平面平面，為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），且平面，點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），對于選項(xiàng)A：當(dāng)為時(shí)，，則與的夾角為，此時(shí)，則，則與不垂直，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），到平面的距離為2，三棱錐的體積為，故B正確；對于選項(xiàng)C：點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，線段最小，，，在邊上的高為，則，則當(dāng)時(shí)，即，故C正確；對于選項(xiàng)D：為正方體，平面，平面，，為直角三角形，且直角為，，點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），則當(dāng)最大時(shí)，即點(diǎn)為點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)最小，為，當(dāng)最小時(shí)，即，此時(shí)，此時(shí)最大，為，則的取值范圍為，故D正確；故選：BCD.15．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在正四面體中，棱的中點(diǎn)為M，棱的中點(diǎn)為N，過的平面交棱于P，交棱于Q，記多面體的體積為，多面體的體積為，則（

）A．直線與平行 B．C．點(diǎn)C與點(diǎn)D到平面的距離相等 D．【答案】BCD【分析】判斷與的位置關(guān)系，判斷A；結(jié)合點(diǎn)C與點(diǎn)D在平面兩側(cè)，且N是的中點(diǎn)，可判斷點(diǎn)C與點(diǎn)D到平面的距離相等，判斷C；討論Q是中點(diǎn)和Q不是中點(diǎn)兩種情況，結(jié)合線面平行的判定和性質(zhì)，推出線段的比例關(guān)系，判斷B；利用割補(bǔ)思想，可得，結(jié)合，，結(jié)合線段間的比例關(guān)系，即可判斷D.【詳解】由題意當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，,不為的中點(diǎn)時(shí)，直線與不平行，A錯(cuò)誤；點(diǎn)C與點(diǎn)D在平面兩側(cè)，且N是的中點(diǎn)，故點(diǎn)C與點(diǎn)D到平面的距離相等，C正確；若Q是中點(diǎn)，則平面平面，故平面，平面平面,平面,故,又，故．又N是的中點(diǎn)，故P是的中點(diǎn)，從而；若Q不是中點(diǎn)，則不平行，結(jié)合在同一平面內(nèi)，故相交，設(shè)交點(diǎn)為T，點(diǎn)T在直線上，故點(diǎn)T在平面上，點(diǎn)T在直線上，故點(diǎn)T在平面上，于是T是平面與平面的公共點(diǎn)，進(jìn)而T在平面與平面的交線上，即直線交于點(diǎn)T．在平面內(nèi)，過A作交直線于點(diǎn)G，于是是的中位線，故，進(jìn)而，故．同理，在平面內(nèi)可得，故，綜上，，B正確．設(shè)四棱錐的體積為V，，由點(diǎn)C與點(diǎn)D到平面的距離相等得：，①，，結(jié)合，故，②由①②相加得，D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)在于B選項(xiàng)的判斷，解答時(shí)要討論Q是否是中點(diǎn)兩種情況，結(jié)合線面平行的判定以及性質(zhì)定理推出線段的比例關(guān)系，進(jìn)行判斷.16．（2023春·湖北武漢·高三華中師大一附中?？计谥校┮阎惷嬷本€與所成角為，平面與平面的夾角為，直線與平面所成的角為，點(diǎn)為平面、外一定點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．過點(diǎn)且與直線、所成角都是的直線有條B．過點(diǎn)且與平面、所成角都是的直線有條C．過點(diǎn)且與平面、所成角都是的直線有條D．過點(diǎn)與平面成角，且與直線成的直線有條【答案】BC【分析】根據(jù)選項(xiàng)，在利用圖形，可知A有條；根據(jù)，，可知B有條；根據(jù)，可知C有條；做以為頂點(diǎn)，且與圓錐中軸線夾角為，可知該直線條數(shù)，判斷D即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)楫惷嬷本€與直線所成角為，在空間中的點(diǎn)作直線、，使得，，設(shè)直線、確定平面，如下圖所示：因?yàn)橹本€、所成角為，則直線、所成角為，在直線、上分別取點(diǎn)、，使得，則在平面內(nèi)的角平分線所在直線與直線、所成角均為，過點(diǎn)在平面外能作兩條直線、使得這兩條直線與直線、所成角均為，綜上所述，過點(diǎn)且與直線、所成角都是的直線有條，A錯(cuò)；對于BC選項(xiàng)，因?yàn)槠矫媾c平面的夾角為，則過點(diǎn)與平面、所成角都是和的直線各有一條、，若過點(diǎn)與平面、所成角都是，則在、的兩側(cè)各有一條，所以共條，故B正確，若過點(diǎn)且與平面、所成角都是，其中一條直線為直線，在直線的兩側(cè)各有一條，所以共條，C對；對于D選項(xiàng)，過點(diǎn)作與平面成角的直線，形成以為頂點(diǎn)，與圓錐中軸線夾角為，且底面在上的圓錐的母線，設(shè)所求直線與的交點(diǎn)為,不妨假設(shè)在上，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)在底面的射影點(diǎn)為點(diǎn)，直線交圓錐底面圓于、兩點(diǎn)，易知，又因?yàn)?，則為等邊三角形，所以，，因?yàn)?，則直線與平面所成角為，則，故，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，取得最小值，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，取得最大值，所以，故能作出兩條滿足條件的直線，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查立體幾何綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于角度的方法有：（1）異面直線所成角：平移異面直線至有交點(diǎn)，則異面直線所成角即為平移后相交直線所成角；（2）線面角：過線上一點(diǎn)做面的垂線，連接垂足及線與面的交點(diǎn)形成線段，則線與該線段所成角即為線面角；（3）面面角：過面面交線上一點(diǎn)在兩個(gè)面中分別做交線的垂線，則兩垂線的夾角即為面面角.17．（2023春·湖南·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示，是由等高的半個(gè)圓柱和個(gè)圓柱拼接而成，其中四邊形是邊長為4的正方形，點(diǎn)是弧上的動(dòng)點(diǎn)，且四點(diǎn)共面.下列說法正確的有（

）A．若點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，則平面平面B．存在點(diǎn)，使得C．存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為D．當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐外接球的半徑【答案】AD【分析】利用圖形數(shù)形結(jié)和反例，結(jié)合面面垂直的判定、線線平行的判定、線面角的求解方法、幾何體外接球的關(guān)系以及空間向量的應(yīng)用逐項(xiàng)分析即可.【詳解】連接，如圖所示：若點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，則，所以，即，因?yàn)?，所以，又，面，所以平面平面，則平面平面，故A正確；假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則四點(diǎn)共面，又該幾何體上下兩個(gè)底面平行，且為平面與這兩個(gè)底面的交線，所以，則四邊形為平行四邊形，則有，這顯然不成立，故B錯(cuò)誤；假設(shè)存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，設(shè)，則，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，依題意，整理得，這與矛盾，所以假設(shè)不成立，故C錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，點(diǎn)位于點(diǎn)，三棱錐，即三棱錐，即三棱錐，可將其補(bǔ)型為一個(gè)以為同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條側(cè)棱的正方體，棱長為4，其外接球半徑，故正確.18．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）在中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會(huì)召開期間，某學(xué)校組織了“喜慶二十大，永遠(yuǎn)跟黨走，奮進(jìn)新征程，書畫作品比賽.如圖①，本次比賽的冠軍獎(jiǎng)杯由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤組成，若球的體積為；如圖②，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊而成，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與平面所成的角為B．經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)的球的截面圓的面積為C．異面直線與所成的角的余弦值為D．球離球托底面的最小距離為【答案】CD【分析】如圖1，根據(jù)題意和面面垂直的性質(zhì)可得平面，同理平面，由平行四邊形的判定方法可知四邊形、為平行四邊形，結(jié)合線面角的定義與外接圓的定義即可判斷AB；如圖1易知異面直線AD與CF所成的角或其補(bǔ)角，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可判斷C；根據(jù)球的體積公式求出球的半徑，結(jié)合圖形2計(jì)算即可判斷D.【詳解】A：如圖1，取DE、EF、DF的中點(diǎn)N、M、K，取MF的中點(diǎn)H，連接BK、BH、KH、BM、AN、MN、DM，由為正三角形，得，又平面平面，平面平面，平面，平面，由，得平面，同理平面，則，且，所以四邊形為平行四邊形，由，得，所以四邊形為平行四邊形，得，，即為直線AD與平面所成的角，，所以，故A錯(cuò)誤；B：如圖1，連接AB、BC、AC，由選項(xiàng)A的分析知，同理，，所以經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的球的截面圓為的外接圓，其半徑為，面積為，故B錯(cuò)誤；C：連接AM，由，得四邊形是平行四邊形，則，所以異面直線AD與CF所成的角或其補(bǔ)角，，在中，，由余弦定理，得，故C正確；D：設(shè)球的半徑為，由球的體積為，得，解得.如圖2，，，所以球離球托底面DEF的最小距離為，故D正確.故選：CD.19．（2023·湖南長沙·湖南師大附中校考一模）已知為圓錐底面圓的直徑（為頂點(diǎn)，為圓心），點(diǎn)為圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，，研究發(fā)現(xiàn)：平面和直線所成的角為，該圓錐側(cè)面與平面的交線為曲線.當(dāng)時(shí)，曲線為圓；當(dāng)時(shí)，曲線為橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線為拋物線；當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線.則下列結(jié)論正確的為（

）A．過該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為2B．的取值范圍為C．若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則D．若，則曲線必為雙曲線的一部分【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，設(shè)，表達(dá)出截面面積，利用基本不等式求出最大值；B選項(xiàng)，可舉出反例得到；C選項(xiàng)，將立體圖形展開，得到三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，利用余弦定理求出最小值；D選項(xiàng)，由二倍角公式得到，根據(jù)得到，D正確.【詳解】對選項(xiàng)A：如圖1，設(shè)截面為為中點(diǎn)，連接，設(shè)，則，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，A正確；對選項(xiàng)B：如圖2，中，，則當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對選項(xiàng)C：如圖3，為等腰直角三角形，，將放平得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，為中點(diǎn)，連接，則，，C正確；對選項(xiàng)D：由，可解得或者，而，所以，從而該圓錐側(cè)面與平面的交線必為雙曲線的一部分，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】立體幾何中截面的處理思路：（1）直接連接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)平面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過程；（2）作平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；（3）作延長線找交點(diǎn)法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交點(diǎn)，然后借助交點(diǎn)找到截面形成的交線；（4）輔助平面法：若三個(gè)點(diǎn)兩兩都不在一個(gè)側(cè)面或者底面中，則在作截面時(shí)需要作一個(gè)輔助平面.20．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）蜜蜂是自然界的建筑大師，在18世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家馬拉爾迪指出，蜂巢是由許許多多類似正六棱柱形狀的蜂房（如圖）構(gòu)成，其中每個(gè)蜂房的底部都是由三個(gè)全等的菱形構(gòu)成，每個(gè)菱形鈍角的余弦值是，則（

）A．平面B．C．蜂房底部的三個(gè)菱形所在的平面兩兩垂直D．該幾何體的體積與以六邊形為底面，以為高的正六棱柱的體積相等【答案】AD【分析】對A：根據(jù)線面平行的判定定理分析判斷；對B、C：根據(jù)空間中的垂直關(guān)系分析判斷；對D：通過補(bǔ)形，結(jié)合錐體體積分析判斷.【詳解】對A：因?yàn)?，，則，平面，且平面，故平面，故A正確；對B：每個(gè)菱形鈍角的余弦值是，即不垂直，因?yàn)?，即不垂直，故B錯(cuò)誤；對C：若蜂房底部的三個(gè)菱形所在的平面兩兩垂直，可知平面平面，則平面，平面，所以，且，故，這與不垂直矛盾，故C錯(cuò)誤；對D：如圖，補(bǔ)形可知：過作正六邊形，∵為菱形，則的中點(diǎn)在上，故點(diǎn)到平面的距離相等，故，同理可得：，故該幾何體的體積與以六邊形為底面，以為高的正只棱柱的體積相等，所以D正確；故選：．21．（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)M是棱長為l的正方體中的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（

）A．不存在點(diǎn)M滿足平面B．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)M滿足C．當(dāng)點(diǎn)M滿足時(shí)，平面截正方體所得截面的面積為D．滿足的點(diǎn)M的軌跡長度是【答案】BCD【分析】對于A：根據(jù)線面垂直關(guān)系可得，分析判斷；對于B：根據(jù)線面垂直關(guān)系可得，分析判斷；對于C：根據(jù)平行線的性質(zhì)以及利用空間向量分析運(yùn)算求截面，進(jìn)而可求截面面積；對于D：利用空間向量求點(diǎn)M的軌跡，進(jìn)而求點(diǎn)M的軌跡長度.【詳解】對于選項(xiàng)A：連接，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以，∵，且平面，所以，，平面，所以平面，且平面，可得，同理可證，，平面，所以，又點(diǎn)M是面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），所以當(dāng)M與A1重合時(shí)，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：連接，，，則，又因?yàn)椋?，，所以，可知?dāng)M在線段上時(shí)，有故存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)滿足，故B正確；對于選項(xiàng)C：延長交于點(diǎn)，∵，則為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，且，則，則為線段的中點(diǎn)，如圖，以D點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，設(shè)平面，點(diǎn)，則，則，解得，則，故，可得，即，且，故截面面積，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)檎襟w的棱長為l，所以設(shè)所以，，因?yàn)?，所以化簡得：，所以點(diǎn)M的軌跡是一段以為圓心，半徑為的圓弧，設(shè)圓弧與分別交于點(diǎn)，取，則，即；取，則，即；則，則，且，即，∴軌跡長度是，故D正確．故選：BCD.22．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，，為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（

）A．球與圓柱的體積之比為B．四面體CDEF的體積的取值范圍為C．平面DEF截得球的截面面積最小值為D．若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】AD【分析】根據(jù)給定的條件，利用球、圓柱的體積公式計(jì)算判斷A；利用建立函數(shù)關(guān)系判斷B；求出球心O到平面DEF距離的最大值判斷C；令點(diǎn)P在圓柱下底面圓所在平面上的投影點(diǎn)為Q，設(shè)，利用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系，求出值域作答.【詳解】對于A，球的體積為，圓柱的體積，則球與圓柱的體積之比為，A正確；對于B，設(shè)為點(diǎn)到平面的距離，，而平面經(jīng)過線段的中點(diǎn)，四面體CDEF的體積，B錯(cuò)誤；對于C，過作于，如圖，而，則，又，于是，設(shè)截面圓的半徑為，球心到平面的距離為，則，又，則平面DEF截球的截面圓面積，C錯(cuò)誤；對于D，令經(jīng)過點(diǎn)P的圓柱的母線與下底面圓的公共點(diǎn)為Q，連接，當(dāng)與都不重合時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)與之一重合時(shí)，上式也成立，因此，，則，令，則，而，即，因此，解得，所以的取值范圍為，D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.23．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）正方體的棱長為，中心為，以為球心的球與四面體的四個(gè)面相交所圍成的曲線的總長度為，則球的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)正四面體性質(zhì)可求得球心到正四面體每個(gè)面的距離；當(dāng)正四面體每個(gè)面截得的曲線為一個(gè)圓時(shí)，可求得小圓的半徑，由可求得；當(dāng)正四面體每個(gè)面截得的曲線為三段等差的圓弧時(shí)，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，可確定其唯一零點(diǎn)，由可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知：四面體為正四面體，設(shè)球的半徑為；正方體棱長為，正四面體的棱長為，設(shè)球心到正四面體各個(gè)面的距離為，正四面體體積，表面積，；①若正四面體的一個(gè)面截球如圖所示，設(shè)小圓半徑為，則，解得：，，解得：；②若正四面體的一個(gè)面截圖如圖所示，每個(gè)面截球所得的曲線長為，的長為，設(shè)小圓半徑為，為正四面體側(cè)面的中心，為中點(diǎn)，，，又，，，令，，恒成立，在上單調(diào)遞增，又，，，解得：；綜上所述：球的半徑為或.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查球的截面截球所得曲線相關(guān)問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠通過分類討論的方式，確定正四面體各個(gè)側(cè)面截球所得曲線的不同情況，從而根據(jù)不同情況下曲線長度來求解截面圓的半徑.三、填空題24．（2023春·廣東揭陽·高三校考階段練習(xí)）在棱長為的正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足直線平面，當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，三棱錐外接球的半徑為______.【答案】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)平面求出點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)與平面所成角最大求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)三棱錐外接球球心為，根據(jù)球心的定義可得出關(guān)于、、的方程組，求出這三個(gè)未知數(shù)的值，即可求得結(jié)果.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，則，，則，取，可得，設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫妫瑒t，可得，其中，易知平面的一個(gè)法向量為，，，故當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，點(diǎn)，設(shè)三棱錐的球心為，則，解得，即球心，因此，三棱錐的外接球半徑為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.25．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在三棱錐中，△ABC為等腰直角三角形，，△PAC為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為________．【答案】【分析】根據(jù)二面角定義找到二面角平面角，利用線面垂直、面面垂直的判定證明面面，進(jìn)而確定在面上的射影，結(jié)合三棱錐外接球球心的位置，外接球半徑為有求半徑，最后求表面積.【詳解】若分別是中點(diǎn)，則，又△ABC為等腰直角三角形且，所以，則，且，，由△PAC為正三角形，故，且，面，故面，綜上，二面角平面角為，在△中，，則PD=OD=1，又面，則面面，面面，則在面上的射影在直線上，所以到面的距離為，三棱錐外接球球心在過垂直于面的直線上，如上圖，過作面于，且在直線上，過作交延長線于，連接，顯然為矩形，令，外接球半徑為，所以，則，所以，可得，故，外接球表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)棱錐側(cè)面的性質(zhì)確定外接球球心位置，再結(jié)合棱錐在該側(cè)面外的一點(diǎn)到該面的距離，利用幾何關(guān)系列方程求球體半徑.26．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）已知正四棱柱的體積為16，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度的最小值為______．【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接、，即可得到、、、四點(diǎn)共面，從而得到平面平面，連接交于點(diǎn)，則線段即為點(diǎn)的軌跡，再由三角形相似得到，則問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，設(shè)、，，利用勾股定理表示出，再由均值不等式求出的最小值，即可得解.【詳解】如圖取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，則為的四等分點(diǎn)且，由正四棱柱的性質(zhì)可知且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以、、、四點(diǎn)共面，所以平面平面，連接交于點(diǎn)，因?yàn)槭莻?cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，所以線段即為點(diǎn)的軌跡，如圖在平面中，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，所以，設(shè)、，，依題意，，所以，要求動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度的最小值，即求的最小值，即求的最小值，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，所以，所以，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是找到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再利用均值不等式求出的最小值.27．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正四棱錐中，為的中點(diǎn)，過作截面將該四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為，則的最大值是___________.【答案】2【分析】根據(jù)給定條件，作出過的正四棱錐的截面，再求出的表達(dá)式并結(jié)合均值不等式求解作答.【詳解】記正四棱錐的體積為，的最大值，由為定值知，只需求的最小值，設(shè)過的截面分別交和于，平面與平面的交線為與相交于，如圖，則，令，則，即有，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，所以的最大值是2.故答案為：2【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.28