整系數(shù)多項式不可約的判定123

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摘要:判斷一個整系數(shù)多項式在有理數(shù)域是否可約,有著名的艾森斯坦判別法,

它給出了判別整系數(shù)多項式不可約的一個充分條件,但只能判別一些整系數(shù)多項式,應(yīng)用范圍受限制,本文在艾森斯坦判別法的基礎(chǔ)上對其進(jìn)行推廣,并給出了一種新的判別方法.

關(guān)鍵詞:整系數(shù)多項式不可約艾森斯坦判別法素數(shù)

如何來判定一個整系數(shù)多項式在有理數(shù)域是否可約?滿足什么條件的整系數(shù)多項式在有理數(shù)域才具有可約性?本文結(jié)合素數(shù)給出了以下判別法.一艾森斯坦判別法及其推廣

定理:設(shè)f(x)=anxn?an?1xn?...?a0是一個整系數(shù)多項式假使有一個素數(shù)p，使得

1.p不能整除an;2.p|an?1,an?2,...,a0;3.p2不能整除a0

那么f(x)在有理數(shù)域上是不可約的.

證明:假使f(x)在在有理數(shù)域上是可約的，那么有定理知，f(x)可以分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積,

f(x)=(blxl?l?1xl?1?...?l0)(cmxm?cm?1xm?1?...?c0)

(l,m?n,l?m?n)

由于p∣a0,所以能整除b0或c0，但是p2不能整除a0，所以p不能同時整除b0及c0.因此不防假定p∣b0,但p不整除c0.另一方面，由于p不整除an，所以p不能整除bl.假設(shè)b0,b1,...,bl中第一個不能被p整除的是bk，比較f(x)中xk的系數(shù)，得等式ak?bkc0?bk?1c1?...?b0ck.式中ak,bk?1,...,b0都能被素數(shù)p整除，所

1

以bkc0也能被p整除，但p是一個素數(shù)，所以bk和c0中至少有一個被p整除，這是一個矛盾，定理得證.

例1設(shè)f(x)=x4?8x3?12x2?2x?2判斷f(x)在有理數(shù)域上是否可約？解：取素數(shù)p=2,則2|-8，2|12，2|2，22不能整除2，滿足艾森斯坦判別法，所以f(x)在有理數(shù)域上不可約.

但艾森斯坦判別法不是對所有的整系數(shù)多項式都能應(yīng)用，由于滿足判別法條件的素數(shù)p不總存在，若對一多項式f(x)找不到素數(shù)p，那么f(x)在有理數(shù)域上可能可約也可能不可約，例如x2?2x?11與x2+2x-3都找不到滿足條件的素數(shù)，但前者在有理數(shù)域上是不可約的，而后者是可約.為了擴大艾森斯坦判別法的應(yīng)用范圍，對其進(jìn)行變形，在f(x)中令x?ay?b，(a?0,a,b?Z)則整系數(shù)多項式f(x)與g(y)?f(ax?b)有理數(shù)域上可約性一致，但并不是所有的整系數(shù)多項式都能通過變形后可以應(yīng)用艾森斯判別法.

例1設(shè)f(x)=x6?x3?1判斷f(x)在有理數(shù)域上是否可約？

解：f(x)不能直接應(yīng)用艾森斯判別法，令x?y?1代入f(x)=x6?x3?1中得，g(y)?f(y?1)=y6?6y5?15y4?21y3?18y2?9y?3,取素數(shù)p=3,則3∣6，3∣15，3∣21，3∣18，3∣9，3∣3，但3不能整除1，且32不能整除3，滿足艾森斯判別法，g(y)在有理數(shù)域上不可約，所以f(x)在有理數(shù)域上不可約.

例2設(shè)f(x)=x3?12x?4判斷f(x)在有理數(shù)域上是否可約？

解：f(x)不滿足艾森斯坦判別法，無論經(jīng)過什么變換也不能滿足艾森斯坦判別法，但f(x)在有理數(shù)域上是不可約的.

有些整系數(shù)多項式不滿足艾森斯坦判別法的判別條件，但也是不可約的，由此可見艾森斯坦判別法的應(yīng)用受很大的限制，在此給出了艾森斯坦判別法的一個有益的推廣，得出定理如下：

定理：設(shè)f(x)=anxn?an?1xn?1?..?a0（an?0）是一個整系數(shù)多項式，并且

2

f(x)沒有有理根，假使能找到一個素數(shù)p使

1.p不能整除an；2.p∣a0,a1,...,an?1；3.p2不能整除a1；那么f(x)在有理數(shù)域上不可約.

證明：設(shè)f(x)在有理數(shù)域上可約，易知f(x)能分解成兩個次數(shù)都小于n的整系數(shù)多項式的乘積，設(shè)f(x)=g(x)h(x),g(x)=bkxk?bk?1xk?1?...?b0，

h(x)=clxl?cl?1xl?1?...?c0（k,l?n,k?l?n）,顯然p不能整除g(x)的所有系數(shù)，

也不能整除h(x)的所有系數(shù)，令bs，ct各是g(x)和h(x)中第一個不能被p整除的系數(shù).

情形1如s?t?n,考察系數(shù)有as?t?bs?tc0?bs?t?1c1?...?b0bs?t，由于有條件2可知，p∣as?t,又等式右邊除bsct外都能被p整除，所以p∣s?t?n，

bsct,但p是素數(shù)，所以p∣bs或p∣ct，與bs和ct不能被p整除矛盾.

情形2如s?t?n，此時必有s?k,t?l,bs?bk,ct?cl,考察a1?b1c0?b0c1.由于f(x)沒有有理根，所以k?1,l?1,因此p|b0,p|b1,p|c0,p|c1,由等式

a1?b1c0?b0c1知，p2|a1與條件3p2不能整除a1矛盾.

綜上可知f(x)在有理數(shù)域上不可約.

推論:設(shè)f(x)=anxn?an?1xn?1?..?a0（an?0）是一個整系數(shù)多項式，f(x)沒有有理根，假使能找到一個素數(shù)p使得

1.p|ai(i=1,2,…,n);2.p不能整除a0；3.p2不能整除an?1；

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那么f(x)在有理數(shù)域上不可約.證明：令x=

1代入f(x)中得yaa11nnn?1，而?(y)?yf()?ay?ay?...?an，f()?a0?1?...?n01nyyyy顯然f(x)在有理數(shù)域上不可約的充要條件是?(y)在有理數(shù)域上不可約，由定理知?(y)不可約，所以f(x)在有理數(shù)域上不可約.

例1設(shè)f(x)?x4?15x3?9x2?6x?9判斷f(x)在有理數(shù)域是否可約？解：易知f(x)沒有有理根，取p=3,3|9，3|6，3|15，32|9，不能應(yīng)用艾森斯坦判別法，由于32不能整除6，有定理可知f(x)在有理數(shù)域上不可約.

例2設(shè)f(x)?4x4?18x3?6x2?2x?1判斷f(x)在有理數(shù)域是否可約？解：易知f(x)沒有有理根，取p=2,2|4,2|6,2|18,2|2,2不能整除122不能整除18，由推論可知f(x)在有理數(shù)域上不可約.二通過比較整系數(shù)多項式的系數(shù)大小來判定多項式的不可約.

定理：設(shè)f(x)=xn?an?1xn?1?...?a1x?a0是一個整系數(shù)多項式，假使│an?1│?1+|an?2|+an?3+…+a1?a0,則f(x)在有理數(shù)域上是不可約的.定理的使用很便利，但要求最高次數(shù)項系數(shù)是1，且定理證明要用到復(fù)變函數(shù)論，本文用初等方法得到了如下定理.

定理1設(shè)f(x)=anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0（an≠0）是整系數(shù)多項式且|an|是素數(shù)，假使an?an?1?an?2?...?a0則f(x)在有理數(shù)域上是不可約的.

證明：1.首先證明：若f(z)=0,則∣z∣?1,設(shè)z滿足若f(z)=0則

anzn??(an?1zn?1?an?2zn?2?...?a0),anzn?an?1zn?1?an?1zn?2?...?a0,假使z?1,則anzn?(an?1?an?2?...?a0)zn?1,

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于是an?anz?an?1?an?1?...?a0，與已知矛盾，所以z?1.

2.假設(shè)f(x)在有理數(shù)域上是可約，則存在兩個次數(shù)都小于n的整系數(shù)多項式u(x)和v(x)使得f(x)=u(x)v(x).

設(shè)u(x)=btxt?bt?1xt?1?...?b0，v(x)=csxs?cs?1xs?1?...?c0，因|an|是素數(shù)，不妨設(shè)bt?1，又b0c0?a0?0，所以b0是非零整數(shù)，bsct?an則bt?1或cs?1，

設(shè)z1,z2,...,zt是u(x)=0全部根.由1得zi?1（i=1,2,…,t）,有根與系數(shù)的關(guān)系推得|b0|=不可約.

定理2設(shè)f(x)=anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0是n次整系數(shù)多項式，a0是素數(shù)，若a0?a1?a2?...?an，則f(x)在有理數(shù)域上是不可約的.

1證明：設(shè)?(y)?ynf()?a0yn?a1yn?1?...?an?1y?an，顯然，f(x)在有理

yb0=z1z2...zt?1與b0是非零整數(shù)矛盾，所以f(x)在有理數(shù)域上bt數(shù)域上是不可約的充分條件是?(y)在有理數(shù)域上不可約，有定理1知因?(y)在有理數(shù)域上不可約，此f(x)在有理數(shù)域上是不可約的.

例1設(shè)f(x)=13x7?2x6?3x5?x4?2x?1，判斷函數(shù)f(x)是否可約？解：由于13>2+3+1+1+2+1，