初中數(shù)學(xué) 教學(xué)設(shè)計：方差 省賽一等獎

方差一、教學(xué)目標(biāo)1.經(jīng)歷刻畫數(shù)據(jù)離散程度的探索過程.2.掌握極差、方差的概念,會計算極差、方差，理解它們的統(tǒng)計意義.3.了解極差、方差是刻畫數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量，并在具體情境中加以應(yīng)用.二、教學(xué)重、難點重點：計算一組數(shù)據(jù)的方差概念的理解。難點：對方差的意義理解不透，有些問題弄不清該用方差衡量，還是該用平均數(shù)衡量。解決辦法：通過學(xué)習(xí)明白對于一組數(shù)據(jù)來說，我們要衡量這組數(shù)據(jù)的集中趨勢，可以通過平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)這三個統(tǒng)計量來分析。如果要衡量這組數(shù)據(jù)中的離散趨勢，也就要研究它的波動情況，就需要利用方差統(tǒng)計量來衡量。三、教學(xué)方法合作探究，小組討論四、教學(xué)過程設(shè)計我們常用平均數(shù)、中位數(shù)來刻畫數(shù)據(jù)的“平均水平”。但在評價選手的射擊水平、機器加工零件的精度、手表的日走時誤差時，只用平均數(shù)是不夠的，有時還需要用一個新的數(shù)來刻畫一組數(shù)據(jù)的波動情況。（一）觀察與思考甲、乙兩名業(yè)余射擊選手參加了一次射擊比賽，每人各射10發(fā)子彈，成績?nèi)缦卤恚荷鋼粜蛱?234567890甲的成績/環(huán)4860577607乙的成績/環(huán)5768786797將數(shù)據(jù)用散點圖表示，如圖1.觀察圖形，從圖中能估計甲、乙射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)各是多少?2.甲乙射擊成績的平均數(shù)是否相同？若相同，他們的射擊水平就一樣嗎？3.哪組數(shù)據(jù)圍繞其平均值的波動較大?波動大小反映了什么?注：觀察兩名業(yè)余射擊選手比賽的成績的散點圖，直觀感受兩人成績水平的高低及穩(wěn)定性解：1.大約都是7環(huán)左右。2.平均數(shù)相同，都是7。3.甲選手的波動較大。波動大意味著成績不穩(wěn)定。乙選手的成績波動較小，比甲選手的成績更穩(wěn)定。要比較甲和乙的射擊水平，自然想到比較其射擊成績的平均數(shù)或中位數(shù)，但是，甲和乙射擊成績的平均數(shù)和中位數(shù)都是7(環(huán))。兩人相比，乙的成績大多集中在7環(huán)附近，而甲的成績相對于平均數(shù)的波動較大。如果一組數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的偏差(偏離平均數(shù)的大小)較小，我們就說這組數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定。事實上，我們在研究問題時，僅考慮數(shù)據(jù)的“平均水平”是不夠的，還需要關(guān)注數(shù)據(jù)的離散程度，即它們與平均數(shù)的偏差大小。設(shè)是n個數(shù)據(jù)x1，…，xn的平均數(shù)，各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)，叫做這n個數(shù)據(jù)的方差(variance)，用“s2”例如，甲和乙射擊成績的平均數(shù)都是7，方差分別為由于，說明乙的射擊成績比甲穩(wěn)定。（二）練習(xí)兩個小組各5名同學(xué)目測同一本畫冊的寬度，目測誤差的數(shù)據(jù)如下：(單位：cm)第一組：－2－1012第二組：－3－2023(1)從直觀上看，哪組同學(xué)目測得較準(zhǔn)確?(2)分別計算兩組數(shù)據(jù)的方差，進行比較，驗證第(1)題的結(jié)論。答案(1)第一組同學(xué)目測較準(zhǔn)確。(2)兩組數(shù)據(jù)的方差分別為第一組的方差較小。五、例題講解例1：張老師乘公交車上班，從家到學(xué)校有A，B兩條路線可選擇。他做了一番實驗。第一周選A路線，第二周選B路線，每天兩趟。記錄所用時間如下表：實驗序號1234567890A路線所花時間/min5256481450B路線所花時間/min45494445474650485046根據(jù)兩條路線所花時間繪制的折線統(tǒng)計圖如圖所示。1.觀察圖，請說明哪條路線平均用時較少，哪條路線用時的波動較大。2.用計算器分別計算選擇A，B兩條路線乘車所用時間的平均數(shù)和方差。3.如果某天上班的可用時間只有40min，乘車應(yīng)選擇哪條路線?4.如果某天上班可用時間為50min，乘車應(yīng)選擇哪條路線?注：這是一個非?，F(xiàn)實的問題，綜合性較強。解：1.從圖看出，選擇A路線平均用時較少，且所用時間的波動性也大。2.XA=42S2A=XB=47S2B=3.應(yīng)選擇A路線。4.應(yīng)選擇B路線。做一做畫一個長和寬分別為3cm和2cm的長方形，用最小刻度為1mm的直尺測量長方形對角線的長度。6名同學(xué)一組，將測得的數(shù)據(jù)填入下表。測量人編號ABCDEF測量結(jié)果/cm(1)計算6個數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差。(2)計算對角線的實際長度(精確到。(3)用測量數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為實際長度的近似值，記錄估計的誤差。(4)和其他小組比較你們估計的誤差及測量數(shù)據(jù)的一致性。注：設(shè)置該問題的目的，是讓學(xué)生再次經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集和處理的過程，進一步體會方差的大小在實際問題中的意義。解：(1)略。(2)(3)計算的值。(4)應(yīng)交流討論估計誤差和測量結(jié)果，體會誤差越小，測得數(shù)據(jù)越接近實際長度，且方差也應(yīng)越小。例2：測試甲、乙兩種品牌的手表各50只，表示日走時誤差數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖如圖所示。（1）甲、乙兩種手表平均日走時誤差分別是多少？（2）甲、乙兩種手表日走時誤差的極差、方差分別是多少？（3）如何評價這兩種手表的質(zhì)量？（4）在價格、性能相同的條件下，你愿意購買哪種手表？解：經(jīng)計算知，甲、乙兩個品牌手表日走時誤差的平均數(shù)均為0.兩組數(shù)據(jù)的方差分別為S2甲=1/50×[（-2）2×5+（-1）2×11+02×17+12×13+22×4]=，S2乙=1/50×[（-3）2×2+（-2）2×6+（-1）2×11+02×14+12×8+22×6+32×3]=.由于S2甲>S2乙，所以從日走時誤差方差的角度看，甲品牌由于乙品牌.從日走時誤差的絕對值不超過1s的手表所占的百分比看，甲品牌為82%，乙品牌為66%，甲品牌優(yōu)于乙品牌.所以，我更愿意買甲品牌的手表.六、課堂練習(xí)1、樣本5、6、7、8、9的方差是.2、在樣本方差的計算公式數(shù)字10表示，數(shù)字20表示