2022年貴州省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）及答案

2022年貴州省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）設(shè)集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|0≤x＜}，則A∩B＝（）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0} C．{0，1} D．{1，2}2．（5分）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：則（）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70% B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85% C．講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差 D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差3．（5分）若z＝1+i，則|iz+3|＝（）A．4 B．4 C．2 D．24．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（）A．8 B．12 C．16 D．205．（5分）將函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則ω的最小值是（）A． B． C． D．6．（5分）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）A． B． C． D．7．（5分）函數(shù)f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在區(qū)間[﹣，]的圖像大致為（）A． B． C． D．8．（5分）當x＝1時，函數(shù)f（x）＝alnx+取得最大值﹣2，則f′（2）＝（）A．﹣1 B．﹣ C． D．19．（5分）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則（）A．AB＝2AD B．AB與平面AB1C1D所成的角為30° C．AC＝CB1 D．B1D與平面BB1C1C所成的角為45°10．（5分）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若＝2，則＝（）A． B．2 C． D．11．（5分）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的離心率為，A1，A2分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若?＝﹣1，則C的方程為（）A．+＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+y2＝112．（5分）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，則（）A．a(chǎn)＞0＞b B．a(chǎn)＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＞0＞a二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，則m＝．14．（5分）設(shè)點M在直線2x+y﹣1＝0上，點（3，0）和（0，1）均在⊙M上，則⊙M的方程為．15．（5分）記雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的離心率為e，寫出滿足條件“直線y＝2x與C無公共點”的e的一個值．16．（5分）已知△ABC中，點D在邊BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．當取得最小值時，BD＝．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營．為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：準點班次數(shù)未準點班次數(shù)A24020B21030（1）根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；（2）能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關(guān)？附：K2＝．P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518．（12分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知+n＝2an+1．（1）證明：{an}是等差數(shù)列；（2）若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值．19．（12分）小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒．包裝盒如圖所示：底面ABCD是邊長為8（單位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均為正三角形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂直．（1）證明：EF∥平面ABCD；（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2+a，曲線y＝f（x）在點（x1，f（x1））處的切線也是曲線y＝g（x）的切線．（1）若x1＝﹣1，求a；（2）求a的取值范圍．21．（12分）設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點D（p，0），過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，|MF|＝3．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線MD，ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β．當α﹣β取得最大值時，求直線AB的方程．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22．（10分）在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C2的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）．（1）寫出C1的普通方程；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C3的極坐標方程為2cosθ﹣sinθ＝0，求C3與C1交點的直角坐標，及C3與C2交點的直角坐標．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．已知a，b，c均為正數(shù)，且a2+b2+4c2＝3，證明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b＝2c，則+≥3．

2022年貴州省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．【分析】利用交集定義直接求解．【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|0≤x＜}，則A∩B＝{0，1，2}．故選：A．【點評】本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．【分析】對于A，求出講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)進行判斷；對于B，求出講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)進行判斷；對于C，由圖形知講座前問卷答題的正確率相對分散，講座后問卷答題的正確率相對集中，進行判斷；對于D，求出講座后問卷答題的正確率的極差和講座前正確率的極差，由此判斷D．【解答】解：對于A，講座前問卷答題的正確率從小到大為：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，∴講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)為：（70%+75%）/2＝72.5%，故A錯誤；對于B，講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)為：（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）＝89.5%＞85%，故B正確；對于C，由圖形知講座前問卷答題的正確率相對分散，講座后問卷答題的正確率相對集中，∴講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差，故C錯誤；對于D，講座后問卷答題的正確率的極差為：100%﹣80%＝20%，講座前正確率的極差為：95%﹣60%＝35%，∴講座后問卷答題的正確率的極差小于講座前正確率的極差，故D錯誤．故選：B．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查散點圖、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差、極差等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．3．【分析】先求出iz+3＝i+i2+3（1﹣i）＝2﹣2i，由此能求出|iz+3|．【解答】解：z＝1+i，∴iz+3＝i+i2+3（1﹣i）＝i﹣1+3﹣3i＝2﹣2i，則|iz+3|＝＝2．故選：D．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的運算，考查復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)的模等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．【分析】由多面體的三視圖得該多面體是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AA1⊥平面ABCD，由此能求出該多面體的體積．【解答】解：由多面體的三視圖得該多面體是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，如圖，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AA1⊥平面ABCD，∴該多面體的體積為：V＝＝12．故選：B．【點評】本題考查多面體的體積的求法，考查多面體的三視圖等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．5．【分析】由題意，利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得ω的最小值．【解答】解：將函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，則C對應(yīng)函數(shù)為y＝sin（ωx++），∵C的圖象關(guān)于y軸對稱，∴+＝kπ+，k∈Z，即ω＝2k+，k∈Z，則令k＝0，可得ω的最小值是，故選：C．【點評】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．6．【分析】根據(jù)題意，用列舉法分析“從6張卡片中無放回隨機抽取2張”和“抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)”的情況數(shù)目，由古典概型公式計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，從6張卡片中無放回隨機抽取2張，有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15種取法，其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)有（1，4），（2，4），（2，6），（3，4），（4，5），（4，6），共6種情況，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率P＝＝；故選：C．【點評】本題考查古典概型的計算，注意古典概型的計算公式，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的特殊值判斷點的位置，推出選項即可．【解答】解：f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣3﹣x）cosx＝﹣f（x），函數(shù)是奇函數(shù)，排除BD；當x＝1時，f（1）＝（3﹣3﹣1）cos1＞0，排除C．故選：A．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的判斷，是中檔題．8．【分析】由已知求得b，再由題意可得f′（1）＝0求得a，得到函數(shù)解析式，求其導(dǎo)函數(shù)，即可求得f′（2）．【解答】解：由題意f（1）＝b＝﹣2，則f（x）＝alnx﹣，則f′（x）＝，∵當x＝1時函數(shù)取得最值，可得x＝1也是函數(shù)的一個極值點，∴f′（1）＝a+2＝0，即a＝﹣2．∴f′（x）＝，易得函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，故x＝1處，函數(shù)取得極大值，也是最大值，則f′（2）＝．故選：B．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)最值與極值的關(guān)系，考查運算求解能力，是中檔題．9．【分析】不妨令A(yù)A1＝1，可根據(jù)直線與平面所成角的定義，確定長方體的各棱長，即可求解．【解答】解：如圖所示，連接AB1，BD，不妨令A(yù)A1＝1，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥面AA1B1B，BB1⊥面ABCD，所以∠B1DB和∠DB1A分別為B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角，即∠B1DB＝∠DB1A＝30°，所以在Rt△BDB1中，BB1＝AA1＝1，，在Rt△ADB1中，DB1＝2，，所以AB＝，，，故選項A，C錯誤，由圖易知，AB在平面AB1C1D上的射影在AB1上，所以∠B1AB為AB與平面AB1C1D所成的角，在Rt△ABB1中，，故選項B錯誤，如圖，連接B1C，則B1D在平面BB1C1C上的射影為B1C，所以∠DB1C為B1D與平面BB1C1C所成的角，在Rt△DB1C中，＝DC，所以∠DB1C＝45°，所以選項D正確，故選：D．【點評】本題考查了直線與平面所成角，屬于中檔題．10．【分析】設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3，甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則可求得r1＝2，r2＝1，，進而求得體積之比．【解答】解：如圖，甲，乙兩個圓錐的側(cè)面展開圖剛好拼成一個圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3，甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則2πr1＝4π，2πr2＝2π，解得r1＝2，r2＝1，由勾股定理可得，∴．故選：C．【點評】本題考查圓錐的側(cè)面積和體積求解，考查運算求解能力，屬于中檔題．11．【分析】首先設(shè)出橢圓方程，然后結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算法則可得橢圓方程．【解答】解：由橢圓的離心率可設(shè)橢圓方程為，則，由平面向量數(shù)量積的運算法則可得：，∴m2＝1，則橢圓方程為．故選：B．【點評】本題主要考查橢圓方程的求解，平面向量數(shù)量積的坐標運算等知識，屬于中等題．12．【分析】首先由9m＝10得到m＝log910，可大致計算m的范圍，觀察a，b的形式從而構(gòu)造函數(shù)f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），利用f（x）的單調(diào)性比較f（10）與f（8）大小關(guān)系即可．【解答】解：∵9m＝10，∴m＝log910，∵∴，構(gòu)造函數(shù)f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），f′（x）＝mxm﹣1﹣1，令f′（x）＞0，解得：由上述有∴，可得0＜x＜1，故f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，故f（10）＞f（8），又因為，故a＞0＞b，故選：A．【點評】本題主要考查構(gòu)造函數(shù)比較大小，屬于較難題目．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【分析】由題意，利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標形式的運算法則，計算求得m的值．【解答】解：∵向量＝（m，3），＝（1，m+1）．⊥，∴＝m+3（m+1）＝0，則m＝﹣，故答案為：﹣．【點評】本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標形式的運算法則，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】設(shè)出圓心坐標（a，1﹣2a），根據(jù)半徑相等，求得a的值，可得圓心和半徑，從而得到圓的標準方程．【解答】解：由點M在直線2x+y﹣1＝0上，可設(shè)M（a，1﹣2a），由于點（3，0）和（0，1）均在⊙M上，∴圓的半徑為＝，求得a＝1，可得半徑為，圓心M（1，﹣1），故⊙M的方程為（x﹣1）2+（y+1）2＝5，故答案為：（x﹣1）2+（y+1）2＝5．【點評】本題主要考查求圓的標準方程的方法，關(guān)鍵是確定圓心和半徑，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】求出雙曲線漸近線方程，利用直線y＝2x與C無公共點，推出a，b的不等式，即可得到離心率的范圍．【解答】解：雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的離心率為e，e＝，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，直線y＝2x與C無公共點，可得≤2，即，即，可得1＜，滿足條件“直線y＝2x與C無公共點”的e的一個值可以為：2．故答案為：2（e∈（1，]內(nèi)的任意一個值都滿足題意）．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是中檔題．16．【分析】首先設(shè)出BD，CD，在兩個三角形中分別表示AC，BC，繼而＝，從而利用均值不等式取等號的條件即可．【解答】解：設(shè)BD＝x，CD＝2x，在三角形ACD中，b2＝4x2+4﹣2?2x?2?cos60°，可得：b2＝4x2﹣4x+4，在三角形ABD中，c2＝x2+4﹣2?x?2?cos120°，可得：c2＝x2+2x+4，要使得最小，即最小，＝＝，其中，此時，當且僅當時，即時取等號，故答案為：．【點評】本題主要考查余弦定理及均值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．【分析】（1）根據(jù)題設(shè)數(shù)據(jù)直接計算即可；（2）由題設(shè)數(shù)據(jù)代入公式直接計算即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）A公司一共調(diào)查了260輛車，其中有240輛準點，故A公司準點的概率為；B公司一共調(diào)查了240輛車，其中有210輛準點，故B公司準點的概率為；（2）由題設(shè)數(shù)據(jù)可知，準點班次數(shù)共450輛，未準點班次數(shù)共50輛，A公司共260輛，B公司共240輛，∴，∴有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關(guān)．【點評】本題考查概率計算以及獨立性檢驗，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．18．【分析】（1）由已知把n換為n+1作差可得遞推關(guān)系從而證明，（2）由a4，a7，a9成等比數(shù)列，求出首項，利用等差數(shù)列通項公式找出an正負分界點計算即可．【解答】解：（1）證明：由已知有：?①，把n換成n+1，?②，②﹣①可得：2an+1＝2（n+1）an+1﹣2nan﹣2n，整理得：an+1＝an+1，由等差數(shù)列定義有{an}為等差數(shù)列；（2）由已知有，設(shè)等差數(shù)列an的首項為x，由（1）有其公差為1，故（x+6）2＝（x+3）（x+8），解得x＝﹣12，故a1＝﹣12，所以an＝﹣12+（n﹣1）×1＝n﹣13，故可得：a1＜a2＜a3＜?＜a12＜0，a13＝0，a14＞0，故Sn在n＝12或者n＝13時取最小值，，故Sn的最小值為﹣78．【點評】本題主要考查利用數(shù)列遞推關(guān)系求通項及等差數(shù)列前n項和的最小值，屬于中檔題．19．【分析】（1）將幾何體補形之后結(jié)合線面平行的判斷定理即可證得題中的結(jié)論；（2）首先確定幾何體的空間特征，然后結(jié)合相關(guān)的棱長計算其體積即可．【解答】（1）證明：如圖所示，將幾何體補形為長方體，做EE'⊥AB于點E'，做FF'⊥BC于點F'，由于底面為正方形，△ABE，△BCF均為等邊三角形，故等邊三角形的高相等，即EE'＝FF'，由面面垂直的性質(zhì)可知EE'，F(xiàn)F'均與底面垂直，則EE'∥FF'，四邊形EE'F'F為平行四邊形，則EF∥E'F'，由于EF不在平面ABCD內(nèi)，E'F'在平面ABCD內(nèi)，由線面平行的判斷定理可得EF∥平面ABCD．（2）解：易知包裝盒的容積為長方體的體積減去四個三棱錐的體積，其中長方體的高，長方體的體積，一個三棱錐的體積，則包裝盒的容積為．【點評】本題主要考查線面平行的判定，空間幾何體體積的計算等知識，屬于中等題．20．【分析】（1）由題意結(jié)合函數(shù)的切線方程即可確定實數(shù)a的值；（2）由題意結(jié)合函數(shù)圖象即可確定實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）由題意可得f'（x）＝3x2﹣1，則切線的斜率k＝f'（﹣1）＝2，且f（﹣1）＝0，故切線方程為y＝2（x+1），即2x﹣y+2＝0，由g'（x）＝2x＝2可得x＝1，則切點坐標為（1，1+a），由于切點在直線2x﹣y+2＝0上，故2﹣（1+a）+2＝0，解得a＝3．（2）由題意可得f'（x）＝3x2﹣1，當時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，且函數(shù)的零點為x1＝1，x2＝﹣1，x3＝0，繪制函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）的圖象如圖所示，觀察可得，當a＝﹣1時，函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）在點（1，1）處有公共點，函數(shù)存在公切線，當a＜﹣1時，函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）不存在公切線，當a＞﹣1時，函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）存在公切線，則實數(shù)a的取值范圍是[﹣1，+∞）．【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識，屬于中等題．21．【分析】（1）由已知求得|MD|＝，|FD|＝，則在Rt△MFD中，利用勾股定理得p＝2，則C的方程可求；（2）設(shè)M，N，A，B的坐標，寫出tanα與tanβ，再由三點共線可得，；由題意可知，直線MN的斜率不為0，設(shè)lMN：x＝my+1，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，求得tanβ與tanα，再由兩角差的正切及基本不等式判斷，從而求得AB的方程．【解答】解：（1）由題意可知，當x＝p時，y2＝2p2，得yM＝p，可知|MD|＝p，|FD|＝．則在Rt△MFD中，|FD|2+|DM|2＝|FM|2，得＝9，解得p＝2．則C的方程為y2＝4x；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），由（1）可知F（1，0），D（2，0），則tanα＝kMN＝，又N、D、B三點共線，則kND＝kBD，即，∴，得y2y4＝﹣8，即y4＝﹣；同理由M、D、A三點共線，得y3＝﹣．則tanβ＝＝．由題意可知，直線MN的斜率不為0，設(shè)lMN：x＝my+1，由，得y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，則tanα＝，tanβ＝，則tan（α﹣β）＝＝，∵，，∴tanα