線性代數B答案

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線性代數模擬題

一．單項選擇題.1.若

(1)

N(1k4l5)

a11ak2a43al4a55是五階行列式aij的一項，則k、l的值及該項符號

為（C）．

（A）k2，l3，符號為負；(B)k2，l3符號為正；(C)k3，l2，符號為負；(D)k1，l2，符號為正．2.以下行列式（A）的值必為零．

(A)(B)

n階行列式中，零元素個數多于n2n個；n階行列式中，零元素個數小于n2n個；

(C)n階行列式中，零元素個數多于n個；(D)n階行列式中，零元素的個數小于n個．

3.設A，B均為n階方陣，若ABABA2B2，則必有（D）．（A）AI；(B)BO；(C)AB；(D)ABBA．4.設A與B均為nn矩陣，則必有（C）．（AABB；（B）ABBA；（CABBA；（D）AB5.假使向量可由向量組1,2,,s線性表出，則（D）

(A)存在一組不全為零的數k1,k2,,ks，使等式k11k22kss成立(B)存在一組全為零的數k1,k2,,ks，使等式k11k22kss成立(C)對的線性表示式不唯一(D)向量組,1,2,,s線性相關6.齊次線性方程組

1

A1B1．

Ax0有非零解的充要條件是（A）

(A)系數矩陣A的任意兩個列向量線性相關(B)系數矩陣A的任意兩個列向量線性無關(C)必有一列向量是其余向量的線性組合(D)任一列向量都是其余向量的線性組合

－

7.設n階矩陣A的一個特征值為λ，則(λA1)2＋I必有特征值（C）

22

(a)λ+1(b)λ-1(c)2(d)-2

8.已知

321

A00a與對角矩陣相像，則a＝（A）

000

(a)0;(b)－1;(c)1;(d)2

9.設A，B，C均為n階方陣，下面（D）不是運算律．

（A）ABC(CB)A；（B）(AB)CACBC；（C）(AB)CA(BC)；（D）(AB)C(AC)B．10.以下矩陣（B）不是初等矩陣．

001100100100(A)010；（B）000；（C）020；（D）012．

100010001001

二．計算題或證明題（

1.已知矩陣A，求A10。其中A參考答案：

10

12

AE=

0

，求的A的特征值為1=1，2=2。=（1）（2）

12

001

當1=1時，解方程（A-E）x=0，由AE，得基礎解系1，單位化

111

為p1

1

1

101

，得基礎解系2，單位

100

當1=2時，解方程（A-2E）x=0，由A2E

化為p2

1

0

將P1、P2構成正交矩陣：P

p1,p21

10

，有P1AP

020

，

則

10

P1A10P1010021

APP啊，不知道怎么回事。

10

100

10020

11

201

120

，和答案不一樣1

參考答案：A10

110

120

102

-1

-1

2.設A為可逆矩陣，λ是它的一個特征值，證明：λ≠0且λ是A的一個特征值。

參考答案：

-1

當A可逆時，由AP=λP,有P=λAP，由于P≠0，知道λ≠0，因此-1-1-1-1

AP=λP,所以λ是A的一個特征值

3.當a取何值時，以下線性方程組無解、有唯一解、有無窮多解？有解時，求其解．

ax1x2x3a3

x1ax2x32

xxax2

231`

參考答案：

對增廣矩陣B=（A，b）作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣，有

a1211aa11a31

B1a12~01a21a3(a1)~01a1a2

11a201aa1002aa20

當2aa20時，即a1,2時，R（A）=R（B）=3，方程組有唯一解。

此時解為：x1

3(a1)3(a1)

2

a133

,x2,x3a2a2a2

當a=1時，R（A）=R（B）=1，方程組有無窮解

x12k1k2

此時解為：x2k1

xk

23

當a2時，R（A）=2，R（B）=,3無解。

4.求向量組的秩及一個極大無關組，并把其余向量用極大無關組線性表示．

111121101,2,3,4

31204112

參考答案：

1

2（1,2,3,）=4

34

1111

111

10~0

020120

1

0001010

11~13

1000

111

011

則向量的秩為3001

000

極大無關組為：a2,a3,a4，且a1a2a3a4

5.若A是對稱矩陣，T是正交矩陣