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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知平面向量滿足,且,則所夾的銳角為()A. B. C. D.02.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.3.如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.4.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項和,,則()A.7 B.14 C.28 D.845.已知函數(shù),,若成立,則的最小值為()A.0 B.4 C. D.6.函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.7.設(shè)為坐標(biāo)原點,是以為焦點的拋物線上任意一點,是線段上的點,且,則直線的斜率的最大值為()A. B. C. D.18.定義在上的函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,設(shè)為坐標(biāo)原點,、、、四點的橫坐標(biāo)依次為、、、,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B. C. D.9.已知,,,是球的球面上四個不同的點,若,且平面平面,則球的表面積為()A. B. C. D.10.集合的真子集的個數(shù)是()A. B. C. D.11.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有勾六步,股八步,問勾中容圓,徑幾何?”其意思為:“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步,問其內(nèi)切圓的直徑為多少步?”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機(jī)取一點,則此點取自內(nèi)切圓的概率是()A. B. C. D.12.已知復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.雙曲線的左右頂點為,以為直徑作圓,為雙曲線右支上不同于頂點的任一點,連接交圓于點,設(shè)直線的斜率分別為,若,則_____.14.已知,則_____。15.已知集合U={1,3,5,9},A={1,3,9},B={1,9},則?U(A∪B)=________.16.設(shè)雙曲線的左焦點為,過點且傾斜角為45°的直線與雙曲線的兩條漸近線順次交于,兩點若,則的離心率為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左、右頂點分別為、,焦距為2,直線與橢圓交于兩點(均異于橢圓的左、右頂點).當(dāng)直線過橢圓的右焦點且垂直于軸時,四邊形的面積為6.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線的斜率分別為.①若,求證:直線過定點;②若直線過橢圓的右焦點,試判斷是否為定值,并說明理由.18.(12分)如圖(1)五邊形中,,將沿折到的位置,得到四棱錐,如圖(2),點為線段的中點,且平面.(1)求證:平面平面;(2)若直線與所成角的正切值為,求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)已知,,(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)已知銳角的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且,,求邊上的高的最大值.20.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時,求不等式的解集;(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與直線所圍成的四邊形面積大于20,求的取值范圍.21.(12分)已知,函數(shù)的最小值為1.(1)證明:.(2)若恒成立,求實數(shù)的最大值.22.(10分)已知函數(shù)(為實常數(shù)).(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)題意可得,利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.【詳解】因為即而所以夾角為故選:B【點睛】本題考查了向量數(shù)量積求夾角,需掌握向量數(shù)量積的定義求法,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
利用一元二次不等式的解法和集合的交運算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運算可得,.故選:D【點睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運算;考查運算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀圖如圖所示:其中,底面為直角三角形,,,高為.∴該幾何體的體積為故選:A.【點睛】本題考查三視圖及棱柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
利用等差數(shù)列的通項公式,可求解得到,利用求和公式和等差中項的性質(zhì),即得解【詳解】,解得..故選:D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、求和公式和等差中項,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.5、A【解析】
令,進(jìn)而求得,再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題即可求解.【詳解】∵∴(),∴,令:,,在上增,且,所以在上減,在上增,所以,所以的最小值為0.故選:A【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,恰當(dāng)?shù)挠靡粋€未知數(shù)來表示和是本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.6、C【解析】
先根據(jù)是奇函數(shù),排除A,B,再取特殊值驗證求解.【詳解】因為,所以是奇函數(shù),故排除A,B,又,故選:C【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】試題分析:設(shè),由題意,顯然時不符合題意,故,則,可得:,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故選C.考點:1.拋物線的簡單幾何性質(zhì);2.均值不等式.【方法點晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程方程,均值不等式的靈活運用,屬于中檔題.解題時一定要注意分析條件,根據(jù)條件,利用向量的運算可知,寫出直線的斜率,注意均值不等式的使用,特別是要分析等號是否成立,否則易出問題.8、B【解析】
先辨別出圖象中實線部分為函數(shù)的圖象,虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,由,得出,只需在圖中找出滿足不等式對應(yīng)的的取值范圍即可.【詳解】若虛線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)只有一個極值點,但其導(dǎo)函數(shù)圖象(實線)與軸有三個交點,不合乎題意;若實線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)有兩個極值點,則其導(dǎo)函數(shù)圖象(虛線)與軸恰好也只有兩個交點,合乎題意.對函數(shù)求導(dǎo)得,由得,由圖象可知,滿足不等式的的取值范圍是,因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選:B.【點睛】本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象,考查推理能力,屬于中等題.9、A【解析】
由題意畫出圖形,求出多面體外接球的半徑,代入表面積公式得答案.【詳解】如圖,取BC中點G,連接AG,DG,則,,分別取與的外心E,F(xiàn),分別過E,F(xiàn)作平面ABC與平面DBC的垂線,相交于O,則O為四面體的球心,由,得正方形OEGF的邊長為,則,四面體的外接球的半徑,球O的表面積為.故選A.【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法,考查空間想象能力與思維能力,是中檔題.10、C【解析】
根據(jù)含有個元素的集合,有個子集,有個真子集,計算可得;【詳解】解:集合含有個元素,則集合的真子集有(個),故選:C【點睛】考查列舉法的定義,集合元素的概念,以及真子集的概念,對于含有個元素的集合,有個子集,有個真子集,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑,再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積,根據(jù)幾何概型的概率計算公式,即可求解.【詳解】由題意,直角三角形的斜邊長為,利用等面積法,可得其內(nèi)切圓的半徑為,所以向次三角形內(nèi)投擲豆子,則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選:C.【點睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題,其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì),求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.12、B【解析】
利用復(fù)數(shù)除法、加法運算,化簡求得,再求得【詳解】,故.故選:B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算、加法運算,考查復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)雙曲線上的點的坐標(biāo)關(guān)系得,交圓于點,所以,建立等式,兩式作商即可得解.【詳解】設(shè),交圓于點,所以易知:即.故答案為:【點睛】此題考查根據(jù)雙曲線上的點的坐標(biāo)關(guān)系求解斜率關(guān)系,涉及雙曲線中的部分定值結(jié)論,若能熟記常見二級結(jié)論,此題可以簡化計算.14、【解析】
由已知求,再利用和角正切公式,求得,【詳解】因為所以cos因此.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與和角的正切公式。15、{5}【解析】易得A∪B=A={1,3,9},則?U(A∪B)={5}.16、【解析】
設(shè)直線的方程為,與聯(lián)立得到A點坐標(biāo),由得,,代入可得,即得解.【詳解】由題意,直線的方程為,與聯(lián)立得,,由得,,從而,即,從而離心率.故答案為:【點睛】本題考查了雙曲線的離心率,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)①證明見解析;②【解析】
(1)由題意焦距為2,設(shè)點,代入橢圓,解得,從而四邊形的面積,由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)①由題意,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得,推導(dǎo)出,,,,由此猜想:直線過定點,從而能證明,,三點共線,直線過定點.②由題意設(shè),,,,直線,代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:,得,推導(dǎo)出,,由此推導(dǎo)出(定值).【詳解】(1)由題意焦距為2,可設(shè)點,代入橢圓,得,解得,四邊形的面積,,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)①由題意,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得,,解得,從而,,,同理可得,,猜想:直線過定點,下證之:,,,,三點共線,直線過定點.②為定值,理由如下:由題意設(shè),,,,直線,代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:,得,,,,(定值).【點睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查直線過定點的證明,考查兩直線的斜率的比值是否為定值的判斷與求法,考查橢圓、直線方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18、(1)見解析(2)【解析】試題分析:(1)根據(jù)已知條件由線線垂直得出線面垂直,再根據(jù)面面垂直的判定定理證得成立;(2)通過已知條件求出各邊長度,建系如圖所示,求出平面的法向量,根據(jù)線面角公式代入坐標(biāo)求得結(jié)果.試題解析:(1)證明:取的中點,連接,則,又,所以,則四邊形為平行四邊形,所以,又平面,∴平面,∴.由即及為的中點,可得為等邊三角形,∴,又,∴,∴,∴平面平面,∴平面平面.(2)解:,∴為直線與所成的角,由(1)可得,∴,∴,設(shè),則,取的中點,連接,過作的平行線,可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,∴,所以,設(shè)為平面的法向量,則,即,取,則為平面的一個法向量,∵,則直線與平面所成角的正弦值為.點睛:判定直線和平面垂直的方法:①定義法.②利用判定定理:一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線和此平面垂直.③推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于一個平面,那么另一條直線也垂直于這個平面.平面與平面垂直的判定方法:①定義法.②利用判定定理:一個平面過另一個平面的一條垂線,則這兩個平面垂直.19、(1)的最小正周期為:;函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為:;(2).【解析】
(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式,結(jié)合二倍角的正弦公式、輔助角公式把函數(shù)的解析式化簡成余弦型函數(shù)解析式形式,利用余弦型函數(shù)的最小正周期公式和單調(diào)性進(jìn)行求解即可;(2)由(1)結(jié)合,求出的大小,再根據(jù)三角形面積公式,結(jié)合余弦定理和基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)的最小正周期為:;當(dāng)時,即當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為:;(2)因為,所以設(shè)邊上的高為,所以有,由余弦定理可知:(當(dāng)用僅當(dāng)時,取等號),所以,因此邊上的高的最大值.【點睛】本題考查了正弦的二倍角公式、誘導(dǎo)公式、輔助角公式,考查了余弦定理、三角形面積公式,考查了基本不等式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運算能力.20、(1)(2)【解析】
(Ⅰ)當(dāng)時,不等式為.若,則,解得或,結(jié)合得或.若,則,不等式恒成立,結(jié)合得.綜上所述,不等式解集為.(Ⅱ)則的圖象與直線所圍成的四邊形為梯形,令,得,令,得,則梯形上底為,下底為11,高為..化簡得,解得,結(jié)合,得的取值范圍為.點睛:含絕對值不等式的解法有兩個基本方法,一是運用零點分區(qū)間討論,二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是運用分類討論思想,法二是運用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動向.21、(1)2;(2)【解析】分析:(1)將轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),求函數(shù)的最小值(2)分離參數(shù),利用基本不等式證明即可.詳解:(Ⅰ)證明:,顯然在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,即.(Ⅱ)因為恒成立,所以恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最小值,所以,即實數(shù)的最大值為.點睛:本題主要考查含兩個絕對值的函數(shù)的最值和不等式的應(yīng)用,第二問恒成立問題分離參數(shù),利用基本不等式求解很
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