用曲線積分求旋轉(zhuǎn)曲面的面積

用曲線積分求旋轉(zhuǎn)曲面的面積1第1頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

作為定積分的幾何應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)曲面的面積一般是用定積分來(lái)計(jì)算。本課件用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分來(lái)建立求旋轉(zhuǎn)曲面的面積的公式。將曲線積分化為定積分可以得到計(jì)算旋轉(zhuǎn)曲面面積的定積分公式。2第2頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一先看特殊的情形旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸3第3頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

設(shè)L是上半平面內(nèi)的一條平面曲線。

將L繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)曲面，求該旋轉(zhuǎn)曲面的面積Ax。

我們用元素法來(lái)建立旋轉(zhuǎn)曲面面積的曲線積分公式。L4第4頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一L在曲線L的(x,y)處取一弧微分它到x軸的距離是y

（如圖）。該弧微分繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積約為：（面積元素）于是整個(gè)曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：5第5頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一命題1：上半平面內(nèi)一條曲線L繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：L6第6頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一命題2：右半平面內(nèi)一條曲線L繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：同理L7第7頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一下面針對(duì)不同的曲線方程

將曲線積分化為定積分

得到熟悉的旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式8第8頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一直角坐標(biāo)方程9第9頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一y=f(x)如果L繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：10第10頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一y=f(x)如果L繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：11第11頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一參數(shù)方程12第12頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如果L繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：13第13頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如果則L繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：14第14頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一極坐標(biāo)方程15第15頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如果L繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：16第16頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一我們來(lái)推導(dǎo)一個(gè)有關(guān)曲線L的形心(質(zhì)心)和

旋轉(zhuǎn)曲面面積之間的關(guān)系的定理：古爾丁定理PaulGuldin（古爾?。?577–1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.

17第17頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一L上半平面內(nèi)一條曲線L繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積等于該曲線的形心所經(jīng)過(guò)的路程與L的弧長(zhǎng)s的乘積。古爾丁定理形心18第18頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如果你很容易求得曲線L的弧長(zhǎng)和形心，用古爾丁定理就很容求得旋轉(zhuǎn)曲面的面積。L形心19第19頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一下面來(lái)看一般的情形一般的曲線&一般的旋轉(zhuǎn)軸20第20頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

設(shè)L是xOy坐標(biāo)平面內(nèi)的一條曲線。L在直線l的一側(cè)（如圖）。

將L繞直線

l旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)曲面，求該旋轉(zhuǎn)曲面的面積A。

我們用元素法來(lái)建立旋轉(zhuǎn)曲面面積的曲線積分公式。Ll21第21頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一L在曲線L的(x,y)處取一弧微分它到直線

l的距離是：該弧微分繞

l旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積約為：于是整個(gè)曲線L繞直線

l旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：設(shè)直線l的方程為ax+by+c=0。l22第22頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期一命題3曲線L繞直線

ax+by+c=0旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：Ll23第23