電磁場與電磁波第四章靜態(tài)場分析

電磁場與電磁波第四章靜態(tài)場分析第1頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一一、靜態(tài)場特性1.靜態(tài)場基本概念靜電場是指由靜止的且其電荷量不隨時間變化的電荷產(chǎn)生的電場。恒定電場是指導(dǎo)電媒質(zhì)中，由恒定電流產(chǎn)生的電場。恒定磁場是指由恒定電流或永久磁體產(chǎn)生的磁場，亦稱為靜磁場。

靜態(tài)場是指電磁場中的源量和場量都不隨時間發(fā)生變化的場。第2頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一靜態(tài)場與時變場的最本質(zhì)區(qū)別：靜態(tài)場中的電場和磁場是彼此獨立存在的。2.靜態(tài)場的麥克斯韋方程組第3頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一1.靜電場的泊松方程和拉普拉斯方程二、泊松方程和拉普拉斯方程

靜電場基本方程——靜電場是有散(有源)無旋場，是保守場?！此煞匠獭绽狗匠虩o源區(qū)域第4頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一恒定電場的拉普拉斯方程恒定電場基本方程——導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場具有無散、無旋場的特征，是保守場——拉普拉斯方程第5頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一3.恒定磁場的矢量泊松方程庫倫規(guī)范——矢量泊松方程恒定磁場基本方程——恒定磁場是無散有旋場。第6頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一——矢量拉普拉斯方程分解小結(jié)：兩類靜態(tài)場問題：分布型問題：已知場源，直接計算空間各點場強和位函數(shù)；邊值型問題：給定邊界條件，求有界空間的場分布。靜態(tài)場的邊值問題，可歸結(jié)為在給定邊界條件下，求解拉氏方程和泊松方程。第7頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一邊值問題研究方法計算法實驗法作圖法解析法數(shù)值法實測法模擬法定性定量分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法有限差分法有限元法邊界元法矩量法模擬電荷法數(shù)學(xué)模擬法物理模擬法邊值問題研究方法積分法第8頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一三、靜態(tài)場的重要原理和定理

1.對偶原理（1）場源的概念為了分析某些電磁場問題的方便，我們引入了磁荷和磁流的概念，這樣場源的概念將擴大到電荷、磁荷、電流和磁流?！w磁荷密度——面磁荷密度——體磁流密度第9頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一引入以上等效場源后，Maxwell方程修改為：對應(yīng)電流連續(xù)性方程，引入磁流連續(xù)性方程第10頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一電磁場的邊界條件也做相應(yīng)的修改對于理想導(dǎo)體（σ=∞），其邊界條件為：凡是滿足理想導(dǎo)體邊界條件的曲面稱為電壁。對于理想磁體（μ=∞），其邊界條件為：凡是滿足理想磁體邊界條件的曲面稱為磁壁。第11頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一磁流強度圖（a）是一密繞螺線管，電感量為L，長度為l,通低頻電流，我們可以將其看作一塊磁鐵，磁體內(nèi)部有磁流K，磁鐵兩端分別有磁荷和，因而構(gòu)成一個磁偶極子（圖b），且有—磁流強度l（a）（b）lK對圖（c）所示小圓環(huán)電流就其遠區(qū)輻射場而言，可以等效為圖（b）所示磁流元（c）第12頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一（2）對偶原理只有電荷、電流只有磁荷、磁流存在以下對偶關(guān)系電荷、電流磁荷、磁流兩個方程組的數(shù)學(xué)形式完全相同，做對偶變換后可有一個方程組得到另一個方程組，可由一類邊界條件得到另一類邊界條件。第13頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數(shù)學(xué)形式，并具有對應(yīng)的邊界條件，那么它們解的數(shù)學(xué)形式也將是相同的，這就是對偶原理，亦稱為二重性原理。具有同樣數(shù)學(xué)形式的兩個方程稱為對偶方程，在對偶方程中，處于同等地位的量稱為對偶量。例θILrzKlθrzθISrz第14頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一教材上總結(jié)出了靜態(tài)場與恒定電場、靜電場與恒定磁場之間的對偶關(guān)系。應(yīng)用對偶原理，可由一類問題的解，經(jīng)過對偶量的替換，得到另一類問題的解；或者將單一問題按對偶原理分為兩部分，這樣工作量可以減半。應(yīng)用對偶原理，不僅要求方程具有對偶性，而且要求邊界條件也具有對偶性。在有源的情況下，對偶性依然存在，第15頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一2.疊加原理利用疊加定理，可以把比較復(fù)雜的場問題分解為較簡單問題的組合，便于求解。若

和分別滿足拉普拉斯方程，則和

的線性組合：必然滿足拉普拉斯方程。

第16頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一3.惟一性定理狄里赫利問題第一類邊值問題第二類邊值問題第三類邊值問題諾伊曼問題（1）邊值問題的分類混合邊值問題第17頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一（2）惟一性定理惟一性定理：在給定邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。理解靜態(tài)場的邊值問題能用解析法直接求解的并不多，許多問題需借助各種間接方法求解。那么用各種方法求得的邊值問題的解是否正確？邊值問題的解是不是獨一無二的？這就是邊值問題的惟一性問題。惟一性定理對上述問題做了肯定的回答，它表明只要給出場域內(nèi)的位函數(shù)分布及邊界面上的函數(shù)值，則場分布是唯一確定的。第18頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一例：圖示平板電容器極板之間的電位，哪一個解答正確？答案：（C）圖平板電容器外加電源U0第19頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一四、鏡像法

待求區(qū)域的電場由分布電荷與邊界條件共同決定；鏡像法就是在待求區(qū)域之外，用一些假想的電荷代替場問題的邊界；鏡像法只使用于一些比較特殊的邊界；這些假想的電荷稱為鏡像電荷，大多是一些點電荷或者線電荷；鏡像法的理論依據(jù)是唯一性定理；鏡像電荷的選取原則：B、鏡像電荷不能改變原邊界條件。A、鏡像電荷必須位于待求區(qū)域之外；第20頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一1.點電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷有多大？放在什么地方？圖平面導(dǎo)體的鏡像

例：設(shè)無限大接地導(dǎo)體平面上方d處有一點電荷q，求上半空間電位。鏡像電荷為-q，放在和q對稱的地方。所以第21頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一對于兩相交平面，角域夾角為π/n，n為整數(shù)時，有(2n－1)個鏡像電荷。對于平面邊界，鏡像電荷位于與實際電荷關(guān)于邊界對稱的位置上，且兩者大小相，符號相反。第22頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一2.點電荷對接地導(dǎo)體球的鏡像例：一半徑為a的導(dǎo)體球，外殼接地一點電荷q1置于距球心距離d處，求球外電位分布。第23頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一從而求得另外，r1，r2可以表示為第24頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一鏡像電荷的量值與原電荷一般不相等；導(dǎo)體球在靠近點電荷一邊感應(yīng)密度大，而遠離的一邊密度小，同時考慮到球上電荷分布左右對稱，所以鏡像電荷應(yīng)位于上半球內(nèi)的球心與實際電荷的連線上。第25頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一五、分離變量法（直角坐標(biāo)系）分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程法，它適用于求解一類具有理想邊界條件的典型邊值問題。其主導(dǎo)思想就是將求解偏微分方程定解的問題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的問題。第26頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)用實例

例：圖示一無限長金屬槽，其三壁接地，另一壁與三壁絕緣且保持電位為，金屬槽截面為正方形如圖示,試求金屬槽內(nèi)電位的分布。解：選定直角坐標(biāo)系（D域內(nèi)）邊值問題第27頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一

分離變量法的前提是假設(shè)待求函數(shù)有分離變量形式的解。代入到二維拉氏方程：分離常數(shù)第28頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一為實數(shù)，為虛數(shù)。為虛數(shù)，為實數(shù)。當(dāng)取不同形式的值時，的解：為實數(shù)，第29頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一若在某一個方向的邊界條件周期的，則該坐標(biāo)的分離常數(shù)必為實數(shù)，其解要選三角函數(shù)；若在某一個方向的邊界條件是非周期的，則該方向的解要選雙曲函數(shù)；若函數(shù)與某一坐標(biāo)無關(guān)，則該方向的分離常數(shù)為0。結(jié)論：要滿足邊界條件只有選?。?/p>

為實數(shù)，第30頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一注意：不能得到A1＝0

雙曲函數(shù)第31頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一第32頁，共34頁，2023年，