圓錐曲線好題專練

圓錐曲線好題專練

22

1.點(diǎn)A、B分別是以雙曲線上-匯=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓C長(zhǎng)軸的左、

1620

右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，且位于x軸上方，萬(wàn)屋而=0

(1)求橢圓C的的方程；

(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線AP的距離等于IMBI,求橢圓上的點(diǎn)到M

的距離d的最小值。

2.已知在平面直角坐標(biāo)系X”中，向量］=(0,1),AOEP的面積為2g,且

OFFP=t,OM

(I)設(shè)4<r<46,求向量礪的前角。的取值范圍：

(II)設(shè)以原點(diǎn)0為中心，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，以F為右焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,且

\OF\=c,/=(V3-l)c2，當(dāng)I而I取最小值時(shí)，求橢圓的方程.

3.設(shè)A、B是橢圓3x?+y2=人上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N(l,3)是線段AB的中點(diǎn).

(1)確定人的取值范圍，使直線AB存在，并求直線AB的方程.

(2)線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C,D兩點(diǎn)，求線段CD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)

⑶試判斷是否存在這樣的人，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上?并說(shuō)明理由.

4.設(shè)尸(內(nèi)，/),。(々，為)是拋物線C:y2=2px(p>0)上相異兩點(diǎn)，

且麗麗=0,直線與x軸相交于E.

(I)若到x軸的距離的積為4,求p的值；

(n)若p為已知常數(shù)，在x軸上，是否存在異于E的一點(diǎn)尸，使得

直線PF與拋物線的另一交點(diǎn)為/?，而直線RQ與x軸相交于T,且

有次=3道，若存在，求出產(chǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)(用p表示)，若不存在，說(shuō)明理由.

5.已知點(diǎn)兒B的坐標(biāo)分別是(-1,0),(1,0).直線AM,8M相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之

積為一2.

(I)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

(H)若過(guò)點(diǎn)N(L,1)的直線/交動(dòng)點(diǎn)M的軌跡于C、。兩點(diǎn)，且N為線段C。的中點(diǎn)，求直線

/的方程.

1

6.已知”(0,-2),點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)8在y軸的正半軸，點(diǎn)P在直線A8上，且滿足,

AP=-PB,MA-AP^O.

(I)當(dāng)點(diǎn)A在x軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C方程：

(H)過(guò)(—2,0)的直線/與軌跡C交于E、F兩點(diǎn)，又過(guò)E、尸作軌跡C的切線12,

當(dāng)求直線/的方程,

7.已知點(diǎn)C為圓(x+lf+/=8的圓心，點(diǎn)4(1,0),尸是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。在圓的半

徑CP上，且麗?淳=0,而=2而.

(I)當(dāng)點(diǎn)p在圓上運(yùn)吧點(diǎn)。的軌跡方程；

(II)若直線y=+與(I)中所求點(diǎn)。

的軌跡交于不同兩點(diǎn)尸，H,。是坐標(biāo)原點(diǎn)，

且一《。尸《二，求△F。//的面積

34

22

8.如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:5+彳=1(。>6>0)的離

ah

心率e=#,左右兩個(gè)焦分別為"、F2.過(guò)右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的/，

直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn)，且IMNI=1.

(I)求橢圓C的方程；

(II)設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A,下頂點(diǎn)為B,動(dòng)點(diǎn)P滿足尸A8=加一4,(meR)試

求點(diǎn)P的軌跡方程，使點(diǎn)B關(guān)于該軌跡的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓C上.

2

9.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A(—2,0)、8(2,0)、

三點(diǎn).

(I)求橢圓E的方程；

(H)若直線/：y=k(x—1)(*/0)與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)，證明直線AM與

直線BN的交點(diǎn)在直線x=4上.

10.如圖，過(guò)拋物線x?=4y的對(duì)稱軸上任一點(diǎn)P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，

點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。

(1)設(shè)點(diǎn)P分有向線段場(chǎng)所成的比為入，證明OP_L(OX—九麗)；

(II)設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0,過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切

線，求圓C的方程。

X~2,

ii.已知橢圓G的方程為i+?=l,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是G的左、右頂點(diǎn)，

而c2的左、右頂點(diǎn)分別是G的左、右焦點(diǎn)。

(1)求雙曲線G的方程；

(2)若直線/:y=kx+也與雙曲線仁恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且瓦?赤>2(其

中o為原點(diǎn))，求攵的范圍。

12.如圖，過(guò)拋物線x2=4y的對(duì)稱軸上任

A

P

一點(diǎn)P(0,%)(〃?>0)作直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q

是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).

(1).設(shè)點(diǎn)P滿足Q=而(X為實(shí)數(shù))，

證明：QPV(QA-^QB)x

(2).設(shè)直線AB的方程是x—2y+12=0,過(guò)A、B兩點(diǎn)

的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程.

13.一束光線從點(diǎn)石(—1,0)出發(fā)，經(jīng)直線/:2x—y+3=0上一點(diǎn)P反射后，恰好穿過(guò)

點(diǎn)尸2(1,0).

(I)求點(diǎn)與關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)耳的坐標(biāo)；

(11)求以k、F2為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓C的方程；

(HI)設(shè)直線/與橢圓C的兩條準(zhǔn)線分別交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)。為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，

求點(diǎn)。到B的距離與到橢圓C右準(zhǔn)線的距離之比的最小值，并求取得最小值時(shí)點(diǎn)

。的坐標(biāo).

14.已知平面上一定點(diǎn)C(—1,0)和一定直線/:x=—4.P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作垂足為

f->TT

Q,(PQ+2PC)■(PQ-2PC)=0.

(1)問(wèn)點(diǎn)P在什么曲線上？并求出該曲線方程；

(2)點(diǎn)0是坐標(biāo)原點(diǎn)，48兩點(diǎn)在點(diǎn)P的軌跡上，若E+/1礪=(1+力反，求；I的取值范

圍.

4

15.如圖，已知E、F為平面上的兩個(gè)定點(diǎn)1*1=6，I和=10,且2面？=■

~HP-GF=0,(G為動(dòng)點(diǎn)，P是HP和GF的交點(diǎn))

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系求出點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)若點(diǎn)P的軌跡上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A、8,且線段A8的中垂線與EE

—?9

(或EF的延長(zhǎng)線)相交于一點(diǎn)C,則lOCIVg(。為EF的中點(diǎn)).

16.已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)(1,0),且與直線x=-l相切.

(1)求動(dòng)圓的圓心軌跡。的方程；

(2)是否存在直線/,使/過(guò)點(diǎn)(0,1),并與軌跡C交于P,。兩點(diǎn)，且滿足

麗?而=0?若存在，求出直線/的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

17.己知V(4,0),N(l,0)若動(dòng)點(diǎn)P滿足MNMP=61NPI

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方C的方程；

(2)設(shè)。是曲線C上任意一點(diǎn)，求。到直線/:x+2y—12=0的距離的最小值.

18.已知拋物線x2=2py(p>0),過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(0,a),且斜率為1的直線L與該拋物線交于不同兩

點(diǎn)A、B,IAB|W2p,

(1)求a的取值范圍；

(2)若p=2,a=3,求直線L與拋物線所圍成的區(qū)域的面積；

5

19.如圖，直角梯形ABCD中，ZDAB=90°,AD〃BC,AB=2,

橢圓F以A、B為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)D,

(I)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求橢圓的方程；

(II)若點(diǎn)E滿足麗=’而，是否存在斜率

2

kwO的直線/與橢圓/交于N兩點(diǎn)，且

\ME\^\NE\,若存在，求K的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。

20.已知產(chǎn)(%,%)是函數(shù)/(x)=Inx圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的切線與x軸交于B,過(guò)點(diǎn)P作

x軸的垂線，垂足為A.

(1)求點(diǎn)8坐標(biāo)；

(2)若公￡((),1),求APAB的面積S的最大值，并求此時(shí)毛的值.

參考答案

6

1.解(1)已知雙曲線實(shí)半軸”尸4,虛半軸仇=2不，半焦距c?產(chǎn)J16+20=6,

.??橢圓的長(zhǎng)半軸。2=。尸6,橢圓的半焦距C2=?I=4,橢圓的短半軸以=，62-42=而,

22

...所求的橢圓方程為二+二=1

3620

(2)由已知A(—6,0),F(4,0),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則

AP=(x+6,y),FP=(x-4,y),由已知得

F+V1

---1----1

<3620

(x+6)(x-4)+y2=0

則2》2+9x—18=0,解之得了=』或x=—6,

2

由于y>0,所以只能取x=T，于是>=；有，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為分

LIm+6]

(3)酸AP:x—6y+6=0,設(shè)點(diǎn)M是(m,0),則點(diǎn)M到直線AP的距離是

Im+6|..

于是----=\m-6|,

又丁點(diǎn)M在橢圓的長(zhǎng)軸上，即一6?加工6.??加=2

.??當(dāng)m=2時(shí)，橢圓上的點(diǎn)到M(2,0)的距離

5r24g

J2=(x-2)2+y2=X2-4X+4+20-^-=-(X-1)2+15

又—64xW6.?.當(dāng)x=2時(shí)，"取最小值J15

2

2-解：⑴由26」1麗“尸卜疝夕,得麗I”麗心拽■，由cos”可匹=粵，

2sin8\OF\\FP\4V3

得tan，=±l...............................................3分

t

JI71

,/4<r<4^/31<tan<V3..?夾角。的取值范圍是(1])

.............................................6分

(2)設(shè)尸(小,九),則而(%而=(c,0).

2

OF-FP=(x0-c,y0)-(c,0)=(x0-c)c=t=(V3-l)cx0=y/3c

赤1—=2百.?.九=±遞

2c

................................................................8分

.-.IOP1=Jx：+y；=J(6c)2+("j>卜底."=2^6...........10分

當(dāng)且僅當(dāng)6c=迪，即c=2時(shí),lOP\取最小值2后，此時(shí)，而=(26,±26)

C

7

.,.而=?(26,2揚(yáng)+(0,1)=(2,3)

或加=且

(273,-273)+(0,1)=(2,-1)12分

3

橢圓長(zhǎng)軸

2a=7(2-2)2+(3-0)2+7(2+2)2+(3-0)2=8:.a=4,r=12

或2。=7(2-2)2+(-1-0)2+7(2+2)2+(-1-0)2=1+V17..a="裂力。=1十嚴(yán)

22

故所求橢圓方程為二+匕=1.或，,F,................14分

1612亞巫+正叵=1

~^2--T~

3.(1)解：依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=k(x-l)+3,代入3x2+y2=X,整理得(1?+3及2

-2k(k-3)x+(k-3)2-8=0①

22

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x.是方程①的兩個(gè)不同的根,；?△=4[X(k+3)-3(k-3)]>0.@

2

且x2+x)=由N(1,3)是線段AB的中點(diǎn)，得若&=1,.-.k(k-3)=k+3

解得k=-l,代入②得人>12,即入的取值范圍是(12,+8),

直線AB的方程為y—3=—(x—1),即x+y—4=0

(2)；CD垂直平分AB,直線CD的方程為y—3=x—1,即x—y+2=0,代入橢圓方程，整理得

2

4X+4X+4-入=0③又設(shè)C(x3,y3),D(X4(y4),CD的中點(diǎn)C(x0,y0),則X3,x4是方程③的兩根,

11313

.??x3+x4=-l,且x()=](X3+x4)=-],yo=Xo+2=]即M(一,辛

2

(3)由弦長(zhǎng)公式可得ICDI=^1+(-^)IX|-X2I=72(入—3)④

將直線AB的方程x+y—4=0,代入橢圓方程得4x2-8x+16-入=0⑤

同理可得IABI=1+k2,lx?—x?l=72(入-[2)⑥

?.?當(dāng)人>12時(shí),，2(入-3)>A/2(X-12),lABkICDI,假設(shè)存在入>12,使得A、B、C、D

四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心，點(diǎn)M到直線AB的距離為

13

I——+——4|I-

d="旨卬=——=乎⑦于是由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.

IMAI2=IMBI2=d2+I號(hào)/=1+~\12=上?=I警匕故當(dāng)人>12時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)

均在以M為圓心,1彳1為半徑的圓上.

4.解:(I)'JB?靈=0,則X|X2+yiy2=0，................................1分

又P、Q在拋物線上，

■"-yi'—2px|.y2-=2px2，

2

■?菖+yiy2=0,y]y2=-4p,

二Iyiy21=4p2,3分

8

又Iy【y2l=4,.*.4p2=4,p=l.................4分

(II)設(shè)E(a,O),直線PQ方程為x=my+a,

聯(lián)立方程組根:學(xué)二,

消去X得y2_2pmy_2pa=0,................5分

y〔y2=-2pa,①................6分

設(shè)F(b,O),R(X3?3)，同理可知：

yiy3=12pb,②................7分

由①、②可得？=與，③................8分

丫2a

若俅=3冠，設(shè)T(c,O),則有

(x3—c,y3—0)=3(X2—c,y2—0),

y3=3y2即j=3,④................9分

將④代入③，得b=3a.................10分

又由(I)知，曲?而=0,

2

yiy2=-4p,代入①,

得_2pa=_4p2a=2p,................[[分

b=6p,

故，在x軸上，存在異于E的一點(diǎn)F(6p,0),使得保=3代.............12分

注：若設(shè)直線PQ的方程為丫=1?+＞不影響解答結(jié)果.

5.解：(I)設(shè)加(羽丁).............................................................1

分

因?yàn)樽?,所以上=..............................3分

x+1x-1

化簡(jiǎn)得:2x2+y2=2(x*±1)..................................................................................4分

(II)設(shè)。(和)1),。(乙,為)當(dāng)直線軸時(shí)，直線/的方程為x=；,則

C(-,—),D(-,--)，其中點(diǎn)不是N,不合題意................................6分

2222

設(shè)直線/的方程為y—1=Mx—；)

將。(為，弘),,為)代入2/+丁=2(xw±1)得

2x；+y；=2.............(1)2x；+y；=2.............(2).........................8分

9

(1)-(2)整理得:4=^^=一^^=——1=--....................11分

(%+%)2x12

直線/的方程為y—1=——(%——)

即所求直線I的方程為x+2y-3=0................................12.分

解法二：當(dāng)直線/_Lx軸時(shí)，直線/的方程為了=■!■，則

)，其中點(diǎn)不是N,

2嗎爭(zhēng)嗎當(dāng)

不合題意.

故設(shè)直線/的方程為y—1=Mx—g),將其代入2/+/=2(xH±1)化簡(jiǎn)得

(2+/+2k(1-()x+(1-4-2=0

22

4^(1-1)2-4(2+^2)[(1-1)2-2]>0(1)

k

2Zr(l-1)

由韋達(dá)定理得4玉

+x2―--2+k2⑵

(I-”2

⑶

2+k2

心」，解得人」,

又由已知N為線段C。的中點(diǎn)，得之上&

22+k222

將k=-1代入(1)式中可知滿足條件.

此時(shí)直線I的方程為y-l=-l(x-^)，即所求直線/的方程為x+2y-3=0

6.(I)解：設(shè)P(x,y)則

AP=(X-XA,y)PB=(-x,yB-y).................................2分

由AP=-PB得xA=2x,yB=2y................................4分

又礪=(x.,2)AP^(x-xA,y)即必=(2x,2),而=(—x,y).........6分

由必Q=0得x2=>'(y>0)......................................8分

(H)設(shè)F(x2,y2)

因?yàn)閥'=x,故兩切線的斜率分別為王、x210分

io

爐=2y

2

由方程組《.得x-2kx-4左=0x.+=2kx.-x9=-4k..............12

y=Z(x+2)?~12

1

-

當(dāng)4_L4時(shí)，為"2=—1,所以8-

所以，直線/的方程是y=-(x+2).....................................................14分

8

7.解：(1)由題意MQ是線段AP的垂直平分線，于是

ICPI=IQCI+IQPI=IQCI+IQAI=2V2>ICAI=2,于是點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)C,A為焦

點(diǎn)，半焦距c=l,長(zhǎng)半軸a=&的橢圓，短半軸b=Ja'-c?=1,

r2

點(diǎn)Q的軌跡E方程是：y+y2=1.4分

X22.

—+y=1

(2)設(shè)F(xpyi)H(X2,y2),則由v2-

y=kx+\k2+1

消去y得(242+1)%2+4攵J/+ix+2)2=0,4=8攵2>()(?.?攵w0)

4k“2+12k2

x.+=------------------,x,x=-----------6分

21+1122攵22+1

XX

OF-OH=X,X2+必為=\2+(區(qū)1+"2+1)(5+"2+1)

22

伙2+1)X]X2+k^jk+1(%1+x2)+k+i..........7分

伙2+1).214it2(jt2+1)k2+\

+k2+\8分

2k2+12k2+\~2k2+1

2父+]31,，,

<一...一4k~W1,10分

32k2+142

22區(qū)-)江當(dāng)

?.iFH1=7(x,-x2)+(y|-y2)/2[1+(2]

x}—x2

22

=^/(1+^)[(^—X2)-4XjX2=Q(1+%2)?2.2+1?

又點(diǎn)O到直線FH的距離d=l,

-4—12分

II

8.解：(1)；加工_1%軸，...！"工1=’,由橢圓的定義得：1〃/;；1+,=2。，-----2分

22

,：\MF,P=(2C)2+-,A(2a--)2=4C2+-,---------------------4分

'424

22

又6=且得。2=』。2A4a-2a=3a,「a〉。:.a=2

24

b2—a2—c2——a1—1，-------------------6分

4

x2

...所求橢圓C的方程為一+y92=l.---------------……----------7分

4

(H)由(I)知點(diǎn)A(—2,0),點(diǎn)B為(0,-1),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)

貝ij西=(-2-x,-y),AB=(2,-1),

由PA-AB=m—4得一4一2x+y=m—4,

???點(diǎn)P的軌跡方程為y=2x+m---------------------------------9分

設(shè)點(diǎn)B關(guān)于P的軌跡的對(duì)稱點(diǎn)為*（%,y0），則由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得:

%+1_1^0-1,2/

x0222

&力m-4-4/222m—3.八

解得：x0=—----,y0=---,-------------------11分

?.?點(diǎn)8'（',九）在橢圓上，（★皿）2+4（3展）2=4,整理得2機(jī)2一%一3=0解得

…3

m=-］或m=—

2

3

?,?點(diǎn)P的軌跡方程為y=2x-l^y=2x+-,---------------------------13分

3

經(jīng)檢驗(yàn)y=2x-1和y=+；都符合題設(shè)，

3

???滿足條件的點(diǎn)P的軌跡方程為y=2x—l或y=2x+；-----------14分

/v2

9.（I）解法一：當(dāng)橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為。+==1（?！?〉0）,

ah~

則a=2,又點(diǎn)在橢圓E上，得」+2=1.解得〃=3.

12）224b2

12

，橢圓E的方程為土+二=1.

43

當(dāng)橢圓E的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為三+三=1(。>匕>0),

b~a"

則8=2,又點(diǎn)在橢圓E上，得-V+T=l.解得/=3,這與4>b矛盾.

L2)224a2

綜上可知，橢圓E的方程為工+匕=1.……4分

43

解法二：設(shè)橢圓方程為機(jī)一+〃),2=1(機(jī)〉0,〃>0),

將4(一2,0)、8(2,0)、代入橢圓E的方程，得

4m=1,

9解得m=-fn=—.

m+一幾=1.43

4

橢圓E的方程為土+匕=1.……4分

43

(U)證法一：將直線/：y=Mx—1)代入橢圓E的方程亍+3-=1并整理，得

(3+以2卜2-8人+4,2-3)=0,……6分

設(shè)直線/與橢圓E的交點(diǎn)Ng%)，

8k24傳一3)

由根與系數(shù)的關(guān)系，得玉+々=，^,玉々=二一T2.……8分

-3+4左21-3+4火2

直線AM的方程為：y=-^(x+2),它與直線x=4的交點(diǎn)坐標(biāo)為P4,

玉+21%]+2,

同理可求得直線BN與直線x=4的交點(diǎn)坐標(biāo)為04,工-.……10分

I*2-2,

下面證明P、。兩點(diǎn)重合，即證明產(chǎn)、。兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等：

,)"=人(斗一1),'2=女('2-1),

13

.6__2y2=6.（X]-1）（々-2）―2.（》2-I）"]+2）

&+2x2-2（玉+2）（%2—2）

2『8伏2-3）40.?j

_2jt[2x,x2-5（x,+x2）+8]_3+4/3+止_

（為+2）（》2-2）（x,+2）（x,—2）

因此結(jié)論成立.

綜上可知，直線AM與直線6N的交點(diǎn)在直線x=4上.……14分

22

證法二：將直線/：y=A（x—1）,代入橢圓E的方程3+q=1并整理，得

（3+4公卜2_旗2》+4僅2_3）=o,......6分

設(shè)直線/與橢圓E的交點(diǎn)M（玉，yj，N（々,乃），

8k24仕2-3）

由根與系數(shù)的關(guān)系，得玉+x,=，^,XR,=△——壯.……8分

直線AM的方程為：y=』一（x+2）,即二1）*+2）.

%+2、'菁+2、'

直線5N的方程為：y=」]（x—2）,即），/（二；）卜_2）.……10分

由直線AM與直線BN的方程消去y，得

2[2百4-3(X]+X)+4X]

2(2X]X2-3%+X2)22

(玉+

%1+3X2-4x2)+2X2-4

8g3)24k2

2+4々

3+4/3+4-(3+4k22J

4.

8k2，.4k2+6

5—44-2x+X2

3+4k22?374e

???直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線％=4上.14分

證法三：將直線/：y=k（x-l）,代入橢圓方程]+4=1并整理，得

（3+4/）/一8人+4,2-3）=0,……6分

設(shè)直線/與橢圓E的交點(diǎn)N（x2,y2）,

14

8A24k2-3)

由根與系數(shù)的關(guān)系，得玉+/=二一7，——，……8分

消去公得，2玉々=5(/+/)—8.……10分

直線AM的方程為：y=』一(x+2),即y」(、二)(x+2).

x,+2V)芯+2、1

直線6N的方程為：y=—%—(x—2),即了=乂三二D(X—2).……12分

V7

X2-2々-2')

由直線AM與直線BN的方程消去y得，

_2(2x,x2-3%1+x2)_215(石+z)—8—3%+X]_

x——2=4.

+3x2-4玉+3X2一4

?,?直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x=4上.……14分

10.解(I)依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入拋物線方程x2=4y得

x2-4-kx-4in-0.①

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(x.yi)、(xm),則xi、X2是方程①的兩根。

所以X1%2=-4m.

QA-AQB=(2，y]+加)一A(X2,y2+m)

=(X,一拉2，%一心2+(1-4)小)?

QP(QA-W)=2m[y]-Ay2+(1—A)m]

22

入X,X.X2八i

=2m[r—+------F(14——-)m]

4x24x2

八/、x,x?+4m

=2m(Xj+x2)---------

15

—4m+4m

=2m(xt+x2)-

4X2

所以。P—/1。6）.

（II）由卜12rl2=0,得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（6,9）、（-4,4）。

=4y,

由x?=4y得y=,y'=；x,

2

所以拋物線x=4y在點(diǎn)A處切線的斜率為y|x=6=3。

設(shè)圓C的方程是(x—。)2+(>-。)2=戶,

b-9_1

則Ja—63

(a—6>+3-9產(chǎn)=(a+4)2+3—4)2.

解之得a=--,b=—,r2=(a+4)2+(/>-4)2.

222

323195

所以圓C的方程是(x+；)2+(y—1)2=崇，

22

xy{

II.W：(1)設(shè)雙曲線C,的方程為下一3=1,(1分)

ab“

則后二4-1=3,再由/+/得/=1,（3分）

2

X<

故。2的方程為5一曠9=1（4分）

（2）將）=履+及代入?■一）2=1

得（1-3〃2）x--6亞h-9=0（5分）

由直線/與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn)得：

Jl-3%200

[△=（6技）2+36（1—3/）=36（1—％2）>0（7分）

,910

二且產(chǎn)<1?①（8分）

16

設(shè)4(%,%),8(%,為)，則%+超=1后7，再為2=丁G7?

I—JK1—3/C

二x,x2+y]y2=x}x2+(fcc,+V2)(fcc,+VI)

3k2+7

=伙2+1)士x2+收"a+%)+2=

（10分）

3--1

——3k2+7c

又?；0A?。8>2,得%%+%%>2,2"；>2

3K1

-3嚴(yán)+9八1z2a

即、，21>°，解得：彳<《<3,……②（12分）

5k—1J

1/2.

由①、②得：

6V3

故k的取值范圍為(-1,---)U(—J)o（14分）

12.解⑴.依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,代入拋物線方程/=4），,得:

x2-4kx-4m=0

①2分

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（為,%）、（x2,y2）,則4X2是方程①的兩根,

所以，%1%2=-4m.

3分

由點(diǎn)P滿足而=4而（X為實(shí)數(shù)，2^-1）,得匹+入2=0,即/1=一工

1+幾X2

又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的以稱點(diǎn)，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0,—加），從而。尸=（0,2加）.

QA-A-QB=(xi,yl+m)-A(x2,y2+m)=-Ax2,yt-Ay2+(1-A)m).

QP(QA-AQB)=2m[yi-Ay2+(i-2)m]

22

c「"1/[尤]、-I

=2ni[——+-------+(1+—)w]

4x24x2

3/、x.x7+4m

2m(xl+x2)---------

4%2

17

=2m(x1+/)-----------=0..................................6分

所以，

QPL(QA-AQB).......................................................................................7分

(2).由21+12=°得點(diǎn)八、B的坐標(biāo)分別是(6,9)、(-4,4).

U=4y

由x?=4y得y=,y'=；x,

所以，拋物線x?=4y在點(diǎn)A處切線的斜率為

y'|x=6=3?................................................9分

設(shè)圓C的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,

則

%-9_1

<a-63.....................................................

(a-6)2+(b-9產(chǎn)=(a+4)2+(b-4)2

11分

解得：

a=弓，/=(a+4尸+(8一4)2=......................................................13分

所以，圓C的方程是

13.解：（I）設(shè)用的坐標(biāo)為（九〃），則」一=一,且2?吧■—@+3=0.……2

m+1222

分

929