電磁場與電磁波課件第一章

電磁場與電磁波課件第一章第1頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology主要內(nèi)容梯度、散度、旋度、亥姆霍茲定理1.1矢量的代數(shù)運(yùn)算一.矢量與矢量表示1.物理量的分類物理量與位置無關(guān)：時(shí)間、長度、質(zhì)量……與位置有關(guān)（場量）標(biāo)量場（只有大?。簻囟?、濕度、電位……矢量場（大小+方向）：速度、電場、磁場……第2頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology單位矢量：模等于1的矢量。與矢量同方向的單位矢量表示為：2.矢量與單位矢量任一個(gè)矢量可以用其模（代表大?。┖蛦挝皇噶浚ù硎噶糠较颍﹣肀硎荆?.矢量表示法三維空間中，矢量可表示為一根有方向的線段。線段的長度代表矢量的模，線段的方向代表矢量的方向。第3頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology直角坐標(biāo)系下矢量表示：大?。悍较颍▎挝皇噶浚?.位置矢量和距離矢量位置矢量（矢徑）：從原點(diǎn)指向空間某一點(diǎn)的矢量。距離矢量——從空間某一點(diǎn)（源點(diǎn)）指向另一點(diǎn)（場點(diǎn)）的矢量大?。悍较?單位矢量)：第4頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology二．矢量的代數(shù)運(yùn)算：用公式(代數(shù)方法)和圖形(幾何方法)1.矢量相等判定能使用兩種方法判定矢量是否相等嗎？第5頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology幾何方法：讓兩個(gè)矢量平移至它們的始點(diǎn)重合，此時(shí)，若它們的終點(diǎn)也重合，則表明它們是相等的。即。代學(xué)方法：若兩矢量的對應(yīng)分量相等，則。例如：在直角坐標(biāo)系中，若，則。

第6頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology2.矢量與標(biāo)量的乘積幾何方法：為實(shí)數(shù)，放大，縮小，方向不變，方向相反。代學(xué)方法：（標(biāo)量與矢量的各個(gè)分量相乘），即

3.矢量的加減

第7頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology第8頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology第9頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology

4.矢量的標(biāo)量積與矢量積

第10頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology1.2標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度一.標(biāo)量場的方向?qū)?shù)

場：空間中的每一個(gè)點(diǎn)都對應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定值，稱為該空間中定義了這個(gè)物理量的場或者函數(shù)

標(biāo)量場：描述場的物理量是標(biāo)量的場

矢量場：描述場的物理量是矢量的場

靜態(tài)場：描述場的物理量不隨時(shí)間變化的場

時(shí)變場：描述場的物理量隨時(shí)間變化的場1.標(biāo)量場和矢量場第11頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology2.標(biāo)量場的等值面和方向?qū)?shù)

等值面:由描述標(biāo)量場的物理量數(shù)值相同的點(diǎn)構(gòu)成的曲面。即場函數(shù)，它表示一空間曲面

等值面特點(diǎn):互不相交第12頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology例如標(biāo)量場

在

點(diǎn)沿

方向上的方向?qū)?shù)定義為方向?qū)?shù):標(biāo)量場在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率。

式中，為點(diǎn)處沿方向的方向余弦，即單位向量在坐標(biāo)軸上的投影。則第13頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology二.標(biāo)量場的梯度因點(diǎn)是場中任意點(diǎn)，則可略去上述方向?qū)?shù)中的下標(biāo)，則第14頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology矢量的特點(diǎn)：1）垂直于考察點(diǎn)處的等值面的切平面；

2）總是指向函數(shù)增大的方向，也就是曲面正法線方向；

3）大小反映場值變化快慢。第15頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology梯度:標(biāo)量場在某點(diǎn)最大方向?qū)?shù)、連同相應(yīng)的方向稱為標(biāo)量場在該點(diǎn)的梯度。顯然，梯度是一個(gè)矢量。在直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場

的梯度可表示為式中g(shù)rad

是英文字母

gradient的縮寫。引入哈密頓算子的矢量符號(hào)，在直角坐標(biāo)系中可表示為則梯度可表示為第16頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology基本公式為常數(shù)第17頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology例：設(shè)和分別表示空間點(diǎn)P(x,y,z)和點(diǎn)P′(x′,y′,z′)的矢經(jīng)，R表示這兩點(diǎn)之間的距離。試證明（1）（2）式中，分別表示對坐標(biāo)變量(x,y,z)和(x′,y′,z′)的哈密頓算子第18頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology1.3矢量場的通量與散度

通量線：在場中畫一些曲線，曲線上的每一點(diǎn)的切線方向代表該點(diǎn)矢量場方向，而橫向的通量線密度代表該點(diǎn)矢量場大小。一.矢量場的通量

通量：矢量場穿過曲面的通量線的總數(shù)。用公式表示如下式中，矢量面積元，而為的法向單位矢。第19頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology說明：1）通量可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，此處，正、負(fù)僅僅反映通量線從那一側(cè)穿過曲面；

2）對非閉合曲面，其法線方向需事先規(guī)定；對閉合曲面，其法向一般規(guī)定由閉合曲面內(nèi)部指向外部，相應(yīng)積分為

3）通量反映(凈)源發(fā)出[或(凈)溝吸收]通量線的情況，相應(yīng)場矢量可稱為通量密度。第20頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology二.矢量場散度散度：當(dāng)閉合面

S

向某點(diǎn)無限收縮時(shí)，矢量

通過該閉合面S的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場

在該點(diǎn)的散度，以

div

表示，即式中div

是英文字母

divergence的縮寫，

V為閉合面

S包圍的體積。上式表明，散度是一個(gè)標(biāo)量，它可理解為通過包圍單位體積閉合面的通量。第21頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology可以證明，在直角坐標(biāo)系中散度可表示為結(jié)合前面的哈密頓算子，則有式中，為在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)分量，即第22頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology基本公式第23頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology例：設(shè)R表示空間點(diǎn)P(x,y,z)和點(diǎn)P′(x′y′z′)之間的距離，試求：第24頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology1.4矢量場的環(huán)量與旋度環(huán)量：矢量場

沿一條有向曲線

的線積分稱為矢量場

沿該曲線的環(huán)量，以

表示，即一.矢量場的環(huán)量說明：1）環(huán)量是一個(gè)標(biāo)量，可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，此處，正、負(fù)反映矢量場在閉合曲線上的環(huán)繞方向；2）環(huán)量大小反映矢量場沿閉合曲線的分布強(qiáng)度情況。準(zhǔn)確地，反映圍線上的場矢量與圍線所圍場源間的關(guān)系（如穩(wěn)恒磁場中，有）。

可見，環(huán)量可以用來描述漩渦場矢量與旋渦源的總體關(guān)系。第25頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology

旋度引入分析：如圖，為曲線所圍面積，其法線方向與圍線的環(huán)繞方向成右手螺旋關(guān)系。二.矢量場旋度描述上旋渦源與圍線上旋渦場的總體關(guān)系描述上旋渦源與圍線上旋渦場的平均關(guān)系旋渦描述點(diǎn)在方向上，旋渦源與旋渦場的關(guān)系?；蚍Q矢量場在點(diǎn)沿方向的環(huán)量密度可見，要準(zhǔn)確描述場中任意點(diǎn)的旋渦源與旋渦場間的關(guān)系，這個(gè)量應(yīng)該是一個(gè)既有大小又有方向的量，即它是一個(gè)矢量。第26頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology旋度：已給矢量場，若在空間某給定點(diǎn)處存在這樣一個(gè)矢量，它的大小等于該點(diǎn)最大的環(huán)流密度，它的方向?yàn)槿〉米畲蟓h(huán)流密度的那塊小面積的法線方向，則這個(gè)矢量稱為矢量在點(diǎn)的旋度(rotation或curl)，記為(或記為)。旋度公式推導(dǎo)思路：在直角坐標(biāo)系中，分別求出場點(diǎn)處沿軸方向、軸方向和軸方向的環(huán)流密度，然后由這三個(gè)分量構(gòu)成的矢量就是所要求的場點(diǎn)處的旋度。經(jīng)詳細(xì)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可得綜上，場點(diǎn)在方向的環(huán)流密度是旋度矢量在該方向上的投影，即第27頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology容易證明，旋度也可用哈密頓算子表示，于是有（按第一行展開）第28頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology基本公式第29頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology例：試證明（C為常矢量，r為矢經(jīng)）。證明第30頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology梯度：描述了空間各點(diǎn)標(biāo)量位的最大變化率及其方向

一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度是一個(gè)矢量函數(shù)三.梯度、散度、旋度的比較有源場：存在通量源的場有旋場：存在旋渦源的場散度：描述了空間各點(diǎn)場矢量與通量源之間的關(guān)系

一個(gè)矢量函數(shù)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)旋度：描述了空間各點(diǎn)場矢量與旋渦源之間的關(guān)系

一個(gè)矢量函數(shù)的旋度是一個(gè)矢量函數(shù)一個(gè)非零的矢量場不可能既是無源場又是無旋場第31頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology1.5

矢量的恒等式和基本定理三個(gè)重要的恒等式任何一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度的旋度必等于零。由此可見，任何一個(gè)梯度場必然為無旋場，而任何一個(gè)無旋場也必為有位場。任何一個(gè)矢量函數(shù)的旋度的散度必等于零。由此可見，旋度場必為無源場，而任何一個(gè)無源場必為有旋場。稱為拉普拉斯算子。第32頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology高斯定理：矢量場穿過空間任一閉合曲面的通量等于該矢量的散度在曲面所包圍體積內(nèi)的體積分。即

從數(shù)學(xué)角度看，高斯定理建立了面積分和體積分的關(guān)系；從物理角度看，高斯定理建立了區(qū)域

V中的源和包圍區(qū)域

V

的閉合面

S上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域

V中的源，在一些特殊情況下，可求出邊界

S上的場；反之，由場可求出源。第33頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology斯托克斯定理：矢量場沿空間任一閉合曲線的環(huán)量等于該矢量場的旋度穿過以作為邊界曲線的任一開放曲面的通量。即

同高斯定理類似，從數(shù)學(xué)角度看，斯托克斯定理建立了線積分和面積分的關(guān)系；從物理角度看，斯托克斯定理建立了區(qū)域

S中的源和包圍區(qū)域

S

的閉合曲線

l上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域

S中的源，在特殊條件下，可求出邊界

l上的場；反之，由場可求出源。第34頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology格林定理

設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場

及，若在區(qū)域V

中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，如下圖示。

那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場

及

滿足下列等式式中S

為包圍V的閉合曲面，為標(biāo)量場

在S表面的外法線en

方向上的偏導(dǎo)數(shù)。SV,根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成上兩式稱為格林第一定理。第35頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。格林定理，說明區(qū)域

V中的場與邊界

S上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。第36頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology矢量場的唯一性定理：位于某一區(qū)域中的矢量場，當(dāng)其散度、旋度以及邊界上場量的切向分量（或法向分量）給定后，則該區(qū)域中的矢量場被唯一地確定。

已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場的源，可見唯一性定理表明，矢量場被其源及邊界條件共同決定的。第37頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology亥姆霍茲定理：空間有限區(qū)域內(nèi)的任一矢量場均可以表示為一個(gè)無源場(即或)和一個(gè)無旋場(即或)之和，即式中這里，和分別表示源點(diǎn)和場點(diǎn)的坐標(biāo)，是區(qū)域的邊界閉合曲面，第38頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology亥姆霍茲定理(特例情況，即場區(qū)，源區(qū)有限)：式中可見，在無限大空間中，只要知道矢量場的散度和旋度，就能將空間中的這個(gè)矢量場定量地確定下來。第39頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology1.6正交曲面坐標(biāo)系

zxyz=z

0x=x

0y=y

0P0O

一.三種常用的正交坐標(biāo)系

1.直角坐標(biāo)