動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型

第十八章動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型動(dòng)態(tài)過(guò)程的另一類(lèi)問(wèn)題是所謂的動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題一般要?dú)w結(jié)為求最優(yōu)控制函數(shù)使某個(gè)泛函達(dá)到極值。當(dāng)控制函數(shù)可以事先確定為某種特殊的函數(shù)形式時(shí)，問(wèn)題乂簡(jiǎn)化為求普通函數(shù)的極值。求解泛函極值問(wèn)題的方法主要有變分法和最優(yōu)控制理論方法?！?變分法簡(jiǎn)介變分法是研究泛函極值問(wèn)題的一種經(jīng)典數(shù)學(xué)方法，有著廣泛的應(yīng)用。下面先介紹變分法的基本概念和基本結(jié)果，然后介紹動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題求解的必要條件和最大值原理。1.1變分法的基本概念1.1.1泛函設(shè)S為一函數(shù)集合，若對(duì)于每一個(gè)函數(shù)x(t)e5有一個(gè)實(shí)數(shù)丿與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)丿是對(duì)應(yīng)在S上的泛函，記作J(x(O)oS稱(chēng)為丿的容許函數(shù)集。通俗地說(shuō)，泛函就是“函數(shù)的函數(shù)”。例如對(duì)于小平面上過(guò)定點(diǎn)4(勺』1)和直(心』2)的每一條光滑曲線y(x)，繞x軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積是曲線y(x)的泛函J(y(x))o由微積分知識(shí)不難寫(xiě)出(1)(2)(3)丿()'W)= 2列(1)(2)(3)容許函數(shù)集可表示為s={yWIeeg,X2], )=兒，yg)=%}最簡(jiǎn)單的一類(lèi)泛函表為丿F(t,xyx)dt被積函數(shù)F包含自變量/,未知函玄兀及導(dǎo)數(shù)x。(1)式是最簡(jiǎn)泛函。1.1.2泛函的極值泛函7(x(0)在Xo(/)uS取得極小值是指，對(duì)于任意一個(gè)與勺⑴接近的x(t)eS,都有J(x(0)>7(x0(r))o所謂接近,可以用距離d(x(r"o⑴)v￡來(lái)度量,而距離定義為d(x⑴衛(wèi)0(。)=max{|x(O-xo(r)|,|i(O~xo(O|}泛函的極大值可以類(lèi)似地定義。兀0(/)稱(chēng)為泛函的極值函數(shù)或極值曲線。1.13泛函的變分如同函數(shù)的微分是增量的線性主部一樣，泛函的變分是泛函增量的線性主部。作為泛函的自變量，函數(shù)雙/)在兒⑴的增量記為3x(t)=x(t)-x0(t)也稱(chēng)函數(shù)的變分。由它引起的泛函的增量記作=J(兀0(0+&⑴)-J(兀0(0)如果△/可以表為△丿=L(xo(O,&(。)+心o(d&(/))

其中厶為&的線性項(xiàng)，而廠是&的高階項(xiàng)，則厶稱(chēng)為泛函在心(。的變分，記作刃(入⑴)。用變動(dòng)的x(f)代替xo(O,就有W))。泛函變分的一個(gè)重要形式是它可以表為對(duì)參數(shù)&的導(dǎo)數(shù)：*(W))=-^-J(x(f)+Q&(f))|a=o (4)da這是因?yàn)楫?dāng)變分存在時(shí)，增量AJ=J(x(r)+ -J(x(r))=厶(x(f),a&)+r(x(r),a&)根據(jù)厶和廠的性質(zhì)有L(x(t),adc)=lim心％&=0qtoa a?adi所以8 J{x+aSx)-J{x)喬小+込)"跌 =血厶(5)+心曲)=厶(佔(zhàn))=刃⑴a->o a1.1.4極值與變分利用變分的表達(dá)式(4)可以得到泛函極值與變分的關(guān)系：若7(x(0)在x°(f)達(dá)到極值(極大或極小)，則刃g(shù)⑴)=0 (5)這是因?yàn)閷?duì)任意給定的J^x^aSx)是變量a的函數(shù)，該函數(shù)在a=0處達(dá)到極值。根據(jù)函數(shù)極值的必要條件知6da6daJ（%Q+a=o=0于是由(4)式直接得到(5)式。1.1.5.變分法的基本引理7（x1）=7（x2）=0,有引理卩⑴eC[x{,x2],V?7（x）eC17（x1）=7（x2）=0,有■(p(x)7](x)dx=0,則0(x)三0,xe[x1?x2]o1.2無(wú)約束條件的泛函極值求泛函J=\F(t,x(t),x(t))dt (6)的極值，一般是用泛函極值的必要條件去尋找一條曲線兀(/),使給定的二階連續(xù)可微函數(shù)F沿該曲線的積分達(dá)到極值。常稱(chēng)這條曲線為極值曲線(或軌線)，記為x\t)o1.2.1端點(diǎn)固定的情況設(shè)容許曲線x(f)滿(mǎn)足邊界條件X(『0)=X09XQf)=Xf且二次可微。首先計(jì)算(6)式的變分：刃嶋3)+阿凡。:右FQ,4)+adc(t\x(t)+Q&(f))|a=Qdt=[[Fx(r,x,x)8x+F.(r,x,x)8x]dt (8)Jzo對(duì)上式右端第二項(xiàng)做分布積分，并利用&(&)=&(0.)=0,有『Fx(r,x,x)8xdt=-pfFx(r,x,x)8xdt,J/o J/oat再代回到(8)式，并利用泛函取極值的必要條件，有6J=\，[Fx-^-F^3xdt=G%at因?yàn)?的任意性，及&(/。)=&(—)=0,所以由基本引理得到著名的歐拉方程它是這類(lèi)最簡(jiǎn)泛函取極值的必要條件。(9)式乂可記作CT?廠心―尸訂=0 (10)通常這是x(f)的二階微分方程，其通解的兩個(gè)任意常數(shù)由(7)式中的兩個(gè)端點(diǎn)條件確定。1.2.2最簡(jiǎn)泛函的兒種特殊情形F不依賴(lài)于x,即F=F(t,x)這時(shí)件三0,歐拉方程為代億兀)=0,這個(gè)方程以隱函數(shù)形式給出x(f),但它一般不滿(mǎn)足邊界條件，因此，變分問(wèn)題無(wú)解。F不依賴(lài)x,即F=F(t.x)歐拉方程為軌3=0at將上式積分一次，便得首次積分代(/,兀)=5,由此可求出x= 積分后得到可能的極值曲線族(hi)F只依賴(lài)于x,即F=F(x)這時(shí)Fx=0,Ft.=0yFx,=0,歐拉方程為譏=0由此可設(shè)丘=0或尸沃=0,如果丘=0,則得到含有兩個(gè)參數(shù)的直線族x=clt+c2O另外若尸云=°有一個(gè)或兒個(gè)實(shí)根時(shí)，則除了上面的直線族外，乂得到含有一個(gè)參數(shù)c的直線族x=kt+c,它包含于上面含有兩個(gè)參數(shù)的直線族x=clt+c2中，于是，在F=F(x)情況下，極值曲線必然是直線族。(iv)F只依賴(lài)于x和Q即F=F(x,x)這時(shí)有F‘=o,故歐拉方程為&-嘰-遲?=°此方程具有首次積分為F-xFr事實(shí)上，注意到F不依賴(lài)于/,于是有《(F-迅.)二Fxx+F摳—迅-x^-F,=x(Fv-￥人)=0oat dt at例1(最速降線問(wèn)題)最速降線問(wèn)題是歷史上變分法開(kāi)始發(fā)展的第一個(gè)問(wèn)題。它是約翰?貝努里(J.Bernoulli)于1696年提出的。問(wèn)題的提法是這樣的：設(shè)A和B是鉛直平面上不在同一鉛直線上的兩點(diǎn)，在所有連結(jié)4和B的平面曲線中，求一曲線，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)僅受重力作用，且初速為零，沿此曲線從A滑行至B時(shí)，使所需時(shí)間最短。解將A點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸水平向右，y軸垂直向下，B點(diǎn)為B(x2,y2)。根據(jù)能量守恒定律，質(zhì)點(diǎn)在曲線y(x)上任一點(diǎn)處的速度牛滿(mǎn)足(s為弧長(zhǎng))、2、2(ds—m\——[dt,將ds=Jl+W2(x)dx代入上式得dt=I匕二dx2gy于是質(zhì)點(diǎn)滑行時(shí)間應(yīng)表為y(x)的泛函丿(y(x))丿(y(x))dx端點(diǎn)條件為y(0)=0,y(x2)=y2i+y2最速降線滿(mǎn)足歐拉方程，因?yàn)閕+y2y不含自變量X,所以方程(10)可寫(xiě)作化一行0等價(jià)于(F-/FV.)=Oax作一次積分得y(l+/2)=q令y'=ctg與,則方程化為靜7曲卜訣―品）積分之，得由邊界條件><0）=0,可知c2=0,故得這是擺線（圓滾線）的參數(shù)方程，其中常數(shù)Q可利用另一邊界條件y（x2）=y2來(lái)確定。例2最小旋轉(zhuǎn)面問(wèn)題S=S={yIyeCl[x^x2ly(“)=y15yg)=y2}解因F=yJl+嚴(yán)不包含％,故有首次積分Jl+嚴(yán)F-y'Fy=yjl+)"-yj?'Jl+嚴(yán)化簡(jiǎn)得y=qjl+嚴(yán)令y'=sht,代入上式，y=c1Jl+必勺=c^cht由于dx=^=E^L=C[dt積分之，得x=clt+c2消去f,就得到y(tǒng)=c{ch^^這是懸鏈線方程。1.2.3最簡(jiǎn)泛函的推廣最簡(jiǎn)泛函取極值的必要條件可以推廣到其它情況。（i）含多個(gè)函數(shù)的泛函使泛函取極值且滿(mǎn)足固定邊界條件

取極值且滿(mǎn)足固定邊界條件y(“)=兒,y(x2)=y2, )=sz(x2)=z2.的極值曲線y=y(x)憶=z(x)必滿(mǎn)足歐拉方程組(ii)含高階導(dǎo)數(shù)的泛函使泛函丿GG))=［：F(w',y”)dx取極值且滿(mǎn)足固定邊界條件y(“)=yi，y(①二血)'(“)=兒,)'(兀2)=)‘2的極值曲線)，=y(x)必滿(mǎn)足微分方程(ill)含多元函數(shù)的泛函設(shè)z(x,y)ec2,(x,y)eDf使泛函J(z(x,刃)=Jj尸(兀)',JJ,Zy)dxdyD取極值且在區(qū)域D的邊界線/上取己知值的極值函數(shù)z=z(x,y)必滿(mǎn)足方程F.-—F.-—F.=04dxZxdyJ上式稱(chēng)為奧式方程。1.2.4端點(diǎn)變動(dòng)的情況(橫截條件)設(shè)容許曲線x(f)在厲固定，在另一端點(diǎn)t=tf時(shí)不固定，是沿著給定的曲線x= 上變動(dòng)。于是端點(diǎn)條件表示為QX(/o)=X。款)=0(f)這里f是變動(dòng)的，不妨用參數(shù)形式表示為t=tf+adtf尋找端點(diǎn)變動(dòng)情況的必要條件，可仿照前面端點(diǎn)固定情況進(jìn)行推導(dǎo)，即有0=5/=亠(F(t,x+aSx,x+a&)d^a=()(11)—扌尸用力+4&匚+沖口肉(11)再對(duì)(11)式做如下分析：(1)對(duì)每一個(gè)固定的x(f)都滿(mǎn)足歐拉方程，即(11)式右端的第一項(xiàng)積分為零;

(h)為考察((h)為考察(11)式的第二、第三項(xiàng)，建立與&之間的關(guān)系，因?yàn)閤(tf+adtf)+a§x匕+adtf)= +adtf)對(duì)a求導(dǎo)并令a=0得x(tf)dtf+6x\t=if即&匚=[0(r.f)-U)眄 (12)把(12)代入di)并利用dr,的任意性，得[F+(0-x)F』f=0 (13)(13)式就是確定歐拉方程通解中另一常數(shù)的定解條件，稱(chēng)為橫截條件。橫截條件有兩種常見(jiàn)的特殊情況：G)當(dāng)x=屮⑴是垂直橫軸的直線時(shí)，卩固定，自由，并稱(chēng)x(y)為自由端點(diǎn)。此時(shí)(11)式中dtf=0及的任意性，便得自由端點(diǎn)的橫截條件|t=tf=° (⑷(11)當(dāng)兀=0⑴是平行橫軸的直線時(shí)，Y自由，X(f/?)固定，并稱(chēng)兀(^)為平動(dòng)端點(diǎn)。此時(shí)肖=0,(13)式的橫截條件變?yōu)镕-xF"=° (15)注意，橫截條件與歐拉方程聯(lián)立才能構(gòu)成泛函極值的必要條件。13有約束條件的泛函極值在最優(yōu)控制系統(tǒng)中，常常要涉及到有約束條件泛函的極值問(wèn)題，其典型形式是對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)= (16)尋求最優(yōu)性能指標(biāo)(目標(biāo)函數(shù))丿(%(/))=0碼"4))+『F(r,x⑴川⑴)力 (17)其中“(f)是控制策略，x(O是軌線，G固定，匚及x(//J自由，x(t)eRn,W(r)eRm(不受限，充滿(mǎn)肥空間),f,(p,F連續(xù)可微。下面推導(dǎo)取得目標(biāo)函數(shù)極值的最優(yōu)控制策略/(/)和最優(yōu)軌線x\t)的必要條件。釆用拉格朗日乘子法，化條件極值為無(wú)條件極值，即考慮TOC\o"1-5"\h\z人(sM)=0(r/,x(y))+『[F(/,x川)+力(r)(/(r,x,M)-x)]t/r (18)的無(wú)條件極值，首先定義(16)式和(17)式的哈密頓(Hamilton)函數(shù)為H億x,w,2)=F(r,x,w)+才(/)f(t.X,u) (19)將其代入(18)式，得到泛函J{(x,u,A)= ,兀(/廣))+J[//(A,x,w,2)-x}dt (20)下面先對(duì)其求變分 °8J,=~^{(p(tf+adtf)++I [H(t,x+adc.u+adi,A+aSX)-(2+a3A)T(x+a3:)]clt}\a=QJ，0=[&匕)『％)+(眄)S/+(d*H(f,s,刃仁—(力』(佇)|+『[(&)丁Hx+(甌)丁Hu+(<5Z)r比-(<52)rx-力3x]clt=(dtf)T[(ptf+F(t,x,u,r)|/=//]+[&c(tf)F%)zo+『[(&)7Hx+ Hlt+(阪rHa-(靦rx]dt-處{tf)Sx\l=lf+￡(&rzo注意到=Sx(tf)-x(tf)dtf,因而刃1=(A)T[%+H(Z"無(wú))|r]+[&?)r(久-網(wǎng)F+『[(&)丁(比+刃+(對(duì)(W)+(3u)THu]dtJlo再令刃1=0,由c/?&(//),&,站說(shuō)的任意性，便得(1)x\Z必滿(mǎn)足正則方程：狀態(tài)方程X=Ha=/(r,x,M)協(xié)態(tài)方程A=—Ho(11)哈密頓函數(shù)H(t,x\u,X)作為"的函數(shù)，也必滿(mǎn)足并由此方程求得/。(in)求x\Xyu時(shí)，必利用邊界條件x(tQ)=xQ, (用于確定兀*)A(tf)=(pxV)f (用于確定才)(pt(=-H(t,x,u,X)t=t(,(確定少)1.4最大(小)值原理如果受控系統(tǒng)x=f(t,x,u)fx(tQ)=XQ其控制策略U(O的全體構(gòu)成有界集"，求u(t)eU,使性能指標(biāo)J(?(0)=叫,M/))+『F(/,X,u)dt達(dá)到最大(小)值。最大(小)值原理：如果0匕,班少))和F(r,兀川)都是連續(xù)可微的,那么最優(yōu)控制策略u(píng)(t)和相應(yīng)的最優(yōu)軌線x\t)由下列的必要條件決定：(1)最優(yōu)軌線x\t),協(xié)態(tài)向量才(/)由下列的必要條件決定：dtdX_cH■ ■dtdx(ii)哈密頓函數(shù)H(t,x\u,X)=F(t,x\u)+XT(r)/(r,x\u)作為u(0的函數(shù)，最優(yōu)策略u(píng)(t)必須使拿 拿* * *H(t.x,u，兄)=maxH(心xitdJ或使H(t,x,u,X)=millH(f,x,u,X)(最小值原理)ueU(ill)滿(mǎn)足相應(yīng)的邊界條件若兩端點(diǎn)固定，則正則方程的邊界條件為x(0)—Xq,x(//、)=x(o若始端固定，終端y也固定，而x(/廣)自由，則正則方程的邊界條件為x(0)=x0,A(tf)=%)("(?)。若始端固定，終端都自由，則正則方程的邊界條件為雙0)=x0‘A(rz)=%)(tf,x(tf))‘HgMtf ),2(rf))+(plf(tf,x{t/))=0。§2生產(chǎn)設(shè)備的最大經(jīng)濟(jì)效益某工廠購(gòu)買(mǎi)了一臺(tái)新設(shè)備投入到生產(chǎn)中。一方面該設(shè)備隨著運(yùn)行時(shí)間的推移其磨損程度愈來(lái)愈大，因此其轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià)將隨著使用設(shè)備的時(shí)間增加而減??；另一方面生產(chǎn)設(shè)備總是要進(jìn)行日常保養(yǎng)，花費(fèi)一定的保養(yǎng)費(fèi)，保養(yǎng)可以減緩設(shè)備的磨損程度，提高設(shè)備的轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià)。那么，怎樣確定最優(yōu)保養(yǎng)費(fèi)和設(shè)備轉(zhuǎn)賣(mài)時(shí)間，才能使這臺(tái)設(shè)備的經(jīng)濟(jì)效益最大。2.1問(wèn)題分析與假設(shè)(1)設(shè)備的轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià)是時(shí)間/的函數(shù)，記為x(r)ox(r)的大小與設(shè)備的磨損程度和保養(yǎng)費(fèi)的多少密切相關(guān)。記初始轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià)x(0)=x0o(U)設(shè)備隨其運(yùn)行時(shí)間的推移，磨損程度越來(lái)越大。/時(shí)刻設(shè)備的磨損程度可以用/時(shí)刻轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià)的損失值來(lái)刻畫(huà)，常稱(chēng)其為磨損函數(shù)或廢棄函數(shù)，記為m(t)o(in)保養(yǎng)設(shè)備可以減緩設(shè)備的磨損速度，提高轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià)。如果"(/)是單位時(shí)間的保養(yǎng)費(fèi)，g(f)是f時(shí)刻的保養(yǎng)效益系數(shù)(每用一元保養(yǎng)費(fèi)所增加的轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià))，那么單位時(shí)間的保養(yǎng)效益為g(t)u(t)。另外，保養(yǎng)費(fèi)不能過(guò)大(如單位時(shí)間保養(yǎng)費(fèi)超過(guò)單位時(shí)間產(chǎn)值時(shí)，保養(yǎng)失去了意義)，只能在有界函數(shù)集中選取，記有界函數(shù)集為W,則Gv)設(shè)單位時(shí)間的產(chǎn)值與轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià)的比值記為”，則px(t)表示在f時(shí)刻單位時(shí)間的產(chǎn)值，即/時(shí)刻的生產(chǎn)率。(v)轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià)x(/)及單位時(shí)間的保養(yǎng)費(fèi)u(f)都是時(shí)間/的連續(xù)可微函數(shù)。為了統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，釆用它們的貼現(xiàn)值。對(duì)于貼現(xiàn)值的計(jì)算，例如轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià)x(f)的貼現(xiàn)值計(jì)算，如果它的貼現(xiàn)因子為5(經(jīng)過(guò)單位時(shí)間的單位費(fèi)用貼現(xiàn))，那么由

<d.14)=1解得令兒=0,便得/時(shí)刻單位費(fèi)用的貼現(xiàn)(稱(chēng)貼現(xiàn)系數(shù))為廠&,所以設(shè)備在f時(shí)刻轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià)x(f)的貼現(xiàn)為x(t)e~Sto仿此計(jì)算，“(/)的貼現(xiàn)為u⑴廠,單位時(shí)間產(chǎn)值的貼現(xiàn)為px(t)e~Sto(VI)欲確定的轉(zhuǎn)賣(mài)時(shí)間和轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià)x(//)都是自由的。2.2模型構(gòu)造根據(jù)以上的分析與假設(shè)可知：考察的對(duì)象是設(shè)備在生產(chǎn)中的磨損一保養(yǎng)系統(tǒng)；轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià)體現(xiàn)了磨損和保養(yǎng)的綜合指標(biāo)，可以選作系統(tǒng)的狀態(tài)變量；在生產(chǎn)中設(shè)備磨損的不可控性強(qiáng)，其微弱的可控性也是通過(guò)保養(yǎng)體現(xiàn)，加之保養(yǎng)本身具有較強(qiáng)的可控性，所以選單位時(shí)間的保養(yǎng)費(fèi)"(/)作為控制策略。這樣，生產(chǎn)設(shè)備的最大經(jīng)濟(jì)效益模型可以構(gòu)成為在設(shè)備磨損一保養(yǎng)系統(tǒng)的(轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià))狀態(tài)方程[竽一砍)+g(M) (21)1/(0)=X。之下，在滿(mǎn)足的函數(shù)集W中尋求最優(yōu)控制策略/(/),使系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)效益這一性能指標(biāo)(22)(23)J(“⑴)=Wr)不旳+[[pXO-u(t)]e~Stdt為最大,其中都是自由的。(22)(23)2.3模型求解首先寫(xiě)出問(wèn)題的哈密頓函數(shù)H=[p兀(!)-唄)]嚴(yán)+A[-m(Z)+g伽⑴]再由協(xié)態(tài)方程及邊界條件求出A(r),即由^-=-Hx=-pe-Sl解得兄(0=(1一￡)￡一叫+￡廣“o o下面利用最大值原理求u\t)o先將(23)式改變?yōu)镠=px(f)e"-如?(f)+[兄g(f)-e~^]w(r)顯然，H是對(duì)u的線性函數(shù)，因此得到“ 恐⑴-宀0u(0=<|0, 戀⑴-產(chǎn)<0

心)=彳(25)心)=彳0, [(l-|)^+|^W)-^<0在上式中，還需解決兩個(gè)問(wèn)題:一是u\t)=U與/(f)=0的轉(zhuǎn)換點(diǎn)匚在什么位置,即。等于多少？二是u\t)是由〃到0,還是由0到“。轉(zhuǎn)換點(diǎn)匚應(yīng)滿(mǎn)足[(1-￡)嚴(yán)+￡心⑴-宀0O O即[￡-(￡-1)嚴(yán)"]曲)-1=0 (26)oo從而可解出匚。因?yàn)間(f)是時(shí)間/的減函數(shù)，所以(26)式的左端也是時(shí)間f的減函數(shù)，也就是說(shuō)u\t)隨時(shí)間應(yīng)由U到0o于是最優(yōu)控制策略的具體表達(dá)式為*卩 0<t<ts[o, ts<t<tf至于5，x(//J的求法，請(qǐng)見(jiàn)下面的例子。例3在生產(chǎn)設(shè)備的最大經(jīng)濟(jì)效益的問(wèn)題