正余弦定理與解三角形答案

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正余弦定理與解三角形

目標(biāo)認知：學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．把握正弦定理、余弦定理及其推導(dǎo)；

2．能初步運用正弦定理、余弦定理求解一些斜三角形及解決一些簡單的三角形度量問題．

學(xué)習(xí)重點：

運用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的邊角關(guān)系，解決與之有關(guān)的計算問題與實際問題．

學(xué)習(xí)難點：

靈活運用兩個定理解決相關(guān)的解三角形問題．

內(nèi)容解析：一、正弦定理

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

注：1．應(yīng)用正弦定理，可以研究兩類解三角形問題：(1)已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和一角；

(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而可求其他的邊和角．2．正弦定理的常見變形公式：

．

①②

（其中為三角形外接圓的半徑）；；

③；;

④三角形面積公式：

．

二、余弦定理

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

，

，

．

余弦定理的變式：，，．

注：1．應(yīng)用余弦定理，可以研究兩類解三角形問題：

(1)已知三邊，求三個角；

(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角．

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2．余弦定理的幾種常見變形式：

①②③

是銳角

；

；

；；

是鈍角

；

；

；

（求任意兩邊的夾角）

（式的化簡）

；

（判斷三角形的形狀）

3．正弦定理、余弦定理建立了三角形中邊與角的聯(lián)系，對任意三角形都適用。

三、解斜三角形

學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理以后，我們就有了解三角形的工具，三角形中三條邊、三個角一共六個條件，已知其中的三個，都可以把另外三個求出．要訓(xùn)練在做題中能正確的選擇正弦定理與余弦定理的能力，就要明確正弦定理、余弦定理的求解條件，并特別注意正弦、余弦、正切幾個三角函數(shù)間的轉(zhuǎn)化，及內(nèi)角的三角函數(shù)值的取值范圍．

注：1．解斜三角形的常規(guī)方法是：(1)已知兩角和一邊（如(2)已知兩邊和夾角（如后利用

），由

求

，由正弦定理求

．

），應(yīng)用余弦定理求邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然，求另一角．

），應(yīng)用正弦定理求

，由

求，再由正弦

(3)已知兩邊和其中一邊的對角（如

定理或余弦定理求邊，要注意解可能有多種狀況；(4)已知三邊

，應(yīng)用余弦定理求

，再由中，

，求角．

．

2．兩內(nèi)角與其正弦值的大小關(guān)系：在

3．解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的狀況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角〞定理及幾

何作圖來幫助理解．

本周典型例題：1、在中，，求．

解：由正弦定理可知，即．

由于

所以

．

，

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2、在中，若，，，求．

分析：由角的正切值可以求解出的問題，可用正弦定理求解．

的度數(shù)，因而轉(zhuǎn)化為“已知兩角和一個角的對邊，求另一條對邊〞

解：由可知，又由于，

所以聯(lián)立兩個方程可解得，

由于是三角形的內(nèi)角，所以正弦值取正，即。

所以代入，即．

題記：三角形內(nèi)角的正弦值是正數(shù)，是一個隱含條件。

3、若，則△ABC是（）

A．正三角形B．有一內(nèi)角為30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一內(nèi)角為30°的等腰三角形

解：由正弦定理，所以可知，．

根據(jù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象知，兩個函數(shù)在內(nèi)有且只有一個交點，即處，

所以

4、在

中，

，，是等腰直角三角形，選C．

，求．

解：由余弦定理可得，．

題記：余弦定理建立了三條邊與一個角的正弦之間的聯(lián)系，其中的角可以是三角形中的任何一個角．

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5、在中，角所對的邊分別為，若，b=，，求．

解：由余弦定理的變形公式直接代入數(shù)據(jù)可得:，

所以．

題記：“已知三條邊求一個角〞的題目形式是應(yīng)用余弦定理的典型表征．由此題可知余弦定理可作為對三角形形狀判斷的方法:余弦值為負，說明這個角是一個鈍角，該三角形是一個鈍角三角形；余弦值為0，說明這個角是直角，該三角形是直角三角形．但注意：余弦值為正，說明這個角是一個銳角，還仍需求其他角的余弦，而不能直接得到“三角形是銳角三角形〞的結(jié)論．

6、中，若，則___________．

分析：題目只給出了一個角，需要求三條邊的一個比例關(guān)系，只能用余弦定理．

解：由余弦定理可知:，即,

所以

法2（特別值法,可用來解小題）由題目條件，上式的值對所有包含一個

角的三角形都是一致的，

．

所以不妨設(shè)

是等邊三角形，即，代入可得．

A．

7、銳角中，若，則C．

的取值范圍是（）

D．

B．

解：由已知及正弦定理，可得．

由可知，由于，所以．

在內(nèi)，余弦函數(shù)是單調(diào)遞減的，所以，即．答案C．

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8、

中，若

，

，

，求

．

解：由于，所以．

由余弦定理可得，．

題記：正弦定理、余弦定理都闡述了三角形內(nèi)邊與角的關(guān)系，但是它們的適用范圍是存在著差異的．一般來講，題目給出了較少的邊、角信息，優(yōu)先考慮用正弦定理．

9、在中，，判斷這個三角形的形狀．

解：應(yīng)用正弦定理、余弦定理，可得整理為所以所以

，即

是直角三角形．

，即．

,

．

10、在中，分別為的對邊，，，，

(1)求的值；(2)求的值．

解：(1)由及正弦定理得．

(2)由化簡得若

，則

，解得．由余弦定理得，解得

或

．，

，

，

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所以所以

，．

與條件矛盾，所以不合題意，舍去．

11、若鈍角三角形中，一個銳角與鈍角之和等于另一個銳角度數(shù)的兩倍，且最大邊長與最小邊長

的比值為，則的取值范圍是（）．

A．(1,2)B．(2,+∝)C．[3,+∝)D．(3,+∝)

分析：考慮到題目給出了三個內(nèi)角的關(guān)系式與一組邊的比值，所以應(yīng)選用正弦定理，邊的范圍可以借助三角函數(shù)的求解。解：在鈍角設(shè)

中,設(shè),

,由

,則依題意可得

得

．

,則

,

于是，

而,則,所以,,答案為B．

題記：應(yīng)注意根據(jù)正弦定理可得到“邊與所對角的正弦值的比值為常數(shù)〞，不能由角的關(guān)系直接得出邊的關(guān)系．若利用和角公式展開還要用到余弦值的轉(zhuǎn)化，問題會變得比較麻煩，所以先根據(jù)“三角形內(nèi)角之和為180度〞確定一個角才是比較英明的做法．值．

12、在

中，

，

是