第一節(jié)向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)

第一節(jié)向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)第1頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、向量、向量組與矩陣

維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行矩陣，通常用等表示，如：

維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列矩陣，通常用等表示，如：第2頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組．例如第3頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一向量組,,…，稱為矩陣A的行向量組．第4頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

反之，由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個(gè)矩陣.第5頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一線性方程組的向量表示方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對(duì)應(yīng)．第6頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定義１線性組合第7頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一向量能由向量組線性表示．第8頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理1第9頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一向量組能由向量組線性表示向量組等價(jià)．定義２第10頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第11頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一從而第12頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第13頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第14頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一﹋﹋﹋﹏第15頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一注意:定義３二、線性相關(guān)性的概念則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān)．第16頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第17頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第18頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、線性相關(guān)性的判定第19頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第20頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解例１或r(I)=n，得線性無(wú)關(guān)。第21頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解例２分析第22頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第23頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：因?yàn)榈?4頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證法1第25頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證法2第26頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第27頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)1：四、向量組的線性相關(guān)性質(zhì)證明第28頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一說(shuō)明：第29頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)2：第30頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一說(shuō)明：證明：第31頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)3：證明第32頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第33頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第34頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第35頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理3向量組（當(dāng)時(shí)）線性相關(guān)的充分必要條件是中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示．證明充分性設(shè)中有一個(gè)向量（比如）能由其余向量線性表示.即有五、線性表示、線性相關(guān)、線性

無(wú)關(guān)三者的關(guān)系而不是“每一個(gè)”第36頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一故因這個(gè)數(shù)不全為0，故線性相關(guān).必要性設(shè)線性相關(guān)，則有不全為0的數(shù)使第37頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一因中至少有一個(gè)不為0，不妨設(shè)則有即能由其余向量線性表示.證畢.第38頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理4：第39頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第40頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（定理）。第41頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一１.向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；２.線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念；線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用；（重點(diǎn)）

３.線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的判定方法：定義，兩個(gè)定理．（難點(diǎn)）六、小結(jié)第42頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一思考題第43頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一思考題解答第44頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第45頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一向量空間第二節(jié)向量組的秩第46頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定義１最大線性無(wú)關(guān)向量組最大無(wú)關(guān)組一、最大線性無(wú)關(guān)向量組秩第47頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理１二、矩陣與向量組秩的關(guān)系第48頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一結(jié)論說(shuō)明第49頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第50頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第51頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第52頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一事實(shí)上第53頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第54頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理２三、向量組秩的重要結(jié)論推論1推論2第55頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)第56頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證一第57頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第58頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證二第59頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一注意第60頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第61頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第62頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第63頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第64頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第65頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一１．最大線性無(wú)關(guān)向量組的概念：

最大性、線性無(wú)關(guān)性．２．矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系：

矩陣的秩＝矩陣列向量組的秩＝矩陣行向量組的秩３．關(guān)于向量組秩的一些結(jié)論：

一個(gè)定理、兩個(gè)推論．４．求向量組的秩以及最大無(wú)關(guān)組的方法：將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個(gè)矩陣，然后進(jìn)行初等行變換．四、小結(jié)第66頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

思考題第67頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一思考題解答問(wèn)題轉(zhuǎn)化為因?yàn)樗缘?8頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一向量空間第三節(jié)向量空間第69頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一說(shuō)明2．維向量的集合是一個(gè)向量空間,記作.一、向量空間的概念定義1設(shè)為維向量的集合，如果集合非空,且集合對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合為向量空間．1．集合對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉指第70頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第71頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2判別下列集合是否為向量空間.解第72頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3判別下列集合是否為向量空間.解第73頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一試判斷集合是否為向量空間.第74頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一般地，為第75頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第76頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定義2設(shè)有向量空間及，若向量集合，就說(shuō)是的子空間．實(shí)例二、子空間設(shè)是由維向量所組成的向量空間，第77頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一那末向量組就稱為向量空間的一個(gè)基，稱為向量空間的維數(shù)，并稱為

維向量空間．三、向量空間的基與維數(shù)定義3設(shè)是向量空間，如果個(gè)向量，且滿足dimV=r第78頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一１．向量空間的概念：向量的集合對(duì)加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉；由向量組生成的向量空間．２．子空間的概念．四、小結(jié)第79頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一向量空間第四節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)第80頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一１．解向量的概念為齊次線性方程組一、齊次線性方程組解的性質(zhì)的解

稱為方程組的解向量。第81頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一２．齊次線性方程組解的性質(zhì)（1）若為的解，則

也是的解.證明第82頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）若為的解，為實(shí)數(shù)，則也是的解．證明由以上兩個(gè)性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對(duì)于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，因此構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組的解空間．一般記作注：齊次解的線性組合仍為齊次解第83頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一１．基礎(chǔ)解系的定義二、基礎(chǔ)解系及其求法第84頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第85頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一２．線性方程組基礎(chǔ)解系的求法設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為，并不妨設(shè)的前個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)．于是可化為第86頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第87頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一現(xiàn)對(duì)取下列組數(shù)：第88頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一依次得從而求得原方程組的個(gè)解：第89頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一說(shuō)明１．解空間的基不是唯一的．２．解空間的基又稱為方程組的基礎(chǔ)解系．３．若是的基礎(chǔ)解系，則其通解為第90頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理1第91頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第92頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.解對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換，變?yōu)樾凶詈?jiǎn)矩陣，有第93頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第94頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證明１．非齊次線性方程組解的性質(zhì)三、非齊次線性方程組解的性質(zhì)第95頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證明證畢．第96頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一其中為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特解.２．非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組Ax=b的通解為第97頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一３．與方程組有解等價(jià)的命題線性方程組有解第98頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一４．線性方程組的解法（1）應(yīng)用克萊姆法則（2）利用初等變換特點(diǎn)：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計(jì)算量大，容易出錯(cuò)，但有重要的理論價(jià)值，可用來(lái)證明很多命題．特點(diǎn)：適用于方程組有唯一解、無(wú)解以及有無(wú)窮多解的各種情形，全部運(yùn)算在一個(gè)矩陣（數(shù)表）中進(jìn)行，計(jì)算簡(jiǎn)單，易于編程實(shí)現(xiàn)，是有效的計(jì)算方法．第99頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4求解方程組解第100頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第101頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第102頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一非齊次方程的通解=齊次方程的通解+非齊次方程的特解第103頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一１．齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法四、小結(jié)對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等變換，將其化為行最簡(jiǎn)形討論２．線性方程組解的情況()()nrAr<=()()nrAr==第104頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一思考題第105頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一思考題解答第106頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第107頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第五節(jié)向量的內(nèi)積向量空間第108頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定義1一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)說(shuō)明第109頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)第110頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定義2

令長(zhǎng)度范數(shù)向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：二、向量的長(zhǎng)度及性質(zhì)第111頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解單位向量夾角第112頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一１正交的概念２正交向量組的概念正交（或垂直）.若一非零向量組中的向量?jī)蓛烧?，則稱該向量組為正交向量組．三、正交向量組的概念及求法第113頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證明３正交向量組的性質(zhì)定理1第114頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1已知三維向量空間中兩個(gè)向量正交，試求使構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交基.４向量空間的正交基第115頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一即解之得由上可知構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交基.則有解第116頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一５規(guī)范正交基例如，4維向量組第117頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第118頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一同理可知自然基.第119頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（1）施密特正交化，取，６求規(guī)范正交基的方法我們來(lái)介紹其步驟：第120頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）規(guī)范化（即單位化），取第121頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例