集合與常用邏輯用語

/集合與常用邏輯用語集合元素與集合的關系定義:一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的整體叫做集合（簡稱集）。元素與集合的關系有且只有兩種：屬于(用符號“”表示）和不屬于（用符號“”表示).例如aＡ,aB等。集合中元素的特征確定性:一個集合中的元素必須是確定的,即一個集合一旦確定，某一個元素要么是該集合中的元素,要么不是該集合中的元素，二者必居其一,這個特性特性常被用來判斷涉及的總體是否能構成集合。互異性：集合中的元素必須是互異的,即在一個給定的集合中，它的任何元素都是不同的.這個性質常用來判斷集合的表示是否正確,或用來求集合中的未知元素.無序性：集合與其中元素排列的順序無關,如集合｛１,2，3},也可以表示成集合｛2,3，1}，{2,1３}等,組成的集合都是相等的集合，此性質通常用來判斷兩集合的關系.集合的分類數集（元素是數)點集（元素是點，如(x，y)）集合有限集(元素的個數是有限的）無限集（元素的個數是無限的)空集（不含任何元素,記作Φ）空集（符號Φ）的性質：空集(Φ）是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.(5)常用的數集及其符號表示名稱非負整數集（自然數集)正整數集整數集有理數集實數集符號NN+(或Ｎ*）ZＱR集合與元素的相對性集合是由具有相同性質的元素構成的整體，但是集合本身也可以作為一個元素出現在某個集合里，如｛Φ}，表示這個集合里有一個元素,是空集；又如｛｛1，2｝,｛1,2,3｝｝，表示這個集合里含有兩個元素，分別是集合｛1，2｝,{1，２,3｝。集合間的關系集合間的運算關系名稱自然語言描述符號語言描述Ｖｅnn圖表示子集如果集合A中所有的元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合Ｂ的子集AB(或BＡ）B（A）)AＢB（A）)AＢ真子集如果集合AＢ，但存在元素ａB,且aA,則稱集合A是B的真子集(或）ABAB集合相等集合A與B中元素相同，那么就說集合A與集合B相等Ａ=BB(Ａ）)B(Ａ）)并集對于兩個給定的集合A、Ｂ,由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合AＢ＝{x｜ｘＡ，或xB}交集對于兩個給定集合A、B,由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合ＡB={ｘ|xＡ,且xB}補集對于一個集合A，由全集Ｕ中屬于集合U但不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A在全集Ｕ中的補集,記作ＣＵACUＡ＝｛ｘ｜xU，且xA}ACＵACUＡＵACＵAＵ集合間的邏輯關系交集:ABA，ABB，AA＝A,ＡΦ=Φ并集:ＡＡB，BＡB,AA=A,AΦ=Φ補集：CＵ(ＣUＡ）=A；A（CUA）=Φ；A(ＣUA）=ACU（AB)=（CＵA）（ＣUB）；CU(AＢ）＝（CUA)（CＵB)集合中常用到的結論與思想＜1＞,該結論在解題中應注意：集合B是集合A的子集,即,應首先討論B是空集的可能性,然后再討論當B≠Φ時，集合Ｂ中元素的個數或范圍少于或等于集合Ａ中元素的個數和范圍（若集合Ｂ是集合A的真子集,即，則集合B中元素的個數或范圍一定是小于集合A中元素的個數和范圍）。典型例題:例1.已知集合A=｛x|-2≤x≤5｝，集合Ｂ={ｘ|m+1≤x≤2m-1｝滿足，求實數ｍ的取值范圍。解析：，說明集合B是集合A的子集,應首先討論集合Ｂ=Φ的可能性，然后再利用數形結合的方法，求出集合B元素的范圍小于或等于集合A元素的范圍時m應滿足的條件，最后求出滿足條件的m的并集。解:，集合Ｂ是集合A的子集1)當Ｂ=Φ時，即2m—１?m+1,解出:m?22）當B≠Φ時，即ｍ≥2,如圖:有：ｍ+1≥—2解得:2≤m≤３2m-1≤５綜上可知:m≤3注意：像集合B這種ａ≤x≤b（或ａ?x?b）兩個端點的不等式組成的集合若為空集，須滿足右端點的值小于左端點的值,即b?a（或b≤a)例2。已知集合A＝{x|ax=１｝，Ｂ=｛x｜x2－2x—3=０},若，求實數a的值。解：B=｛ｘ|x2—2x—3=0}=｛-１，３｝．１）當A＝Φ時，即方程ａx=1無解,a=０，滿足條件2）當A≠Φ時，即a≠0，解方程ax＝1得：x=當＝—１時，a=－1；當＝3時，ａ=綜上所述:a=０或-1或例3．設集合A＝{x｜x2+4x＝0,xR}，Ｂ＝｛x|ｘ2+２(ａ+１)ｘ+a2—１=0,xR}，若BA,求實數a的值.解析：集合Ａ、B都表示一元二次方程跟的集合，且集合B是集合A的子集,此時應包含三個方面：Ｂ＝Φ時,即??0；當集合B只含有一個元素b，即?＝0，且bA;當集合Ｂ中含有兩個元素時，此時應有A=B，即集合A、B中的方程的解相同，其實質是兩個方程實際上表示同一個方程，所以可以利用韋達定理求出實數ａ,或者利用兩個方程的對應系數相等求a。解：A=｛x｜ｘ2+4ｘ=0,xＲ｝={0，－4｝，BＡ,分以下情況討論：1)當B=Φ時,即方程x2+2（ａ＋１）x＋a2—1=0無根?＝[2（a＋1）］2-4（ａ2－1）?０,解得：a?-12)當B中只有一個元素時,即B=｛0｝或B＝｛－４｝，由?＝0解得a＝—１經檢驗,當a=-１時,Ｂ={0}成立，而B=｛－4｝不滿足條件當B中有兩個元素時，即B=A=｛0,-4}由韋達定理得：－2（ａ＋１)=-4,解得：a=１a2—1=０綜上:滿足條件的實數a的值為a≤-1或ａ＝1.練習：設Ａ＝｛x｜x２+4x=0｝，B＝{x｜x2+２(a+1)x+a2－１＝0｝.(1)若AB＝Ｂ，求a的取值范圍若，求a的值?！?＞補集中“正難則反”思想的運用,即CU(CUA）=A，即已知全集U,求子集Ａ，若直接求A困難，可先求CUＡ,再由CＵ（ＣUA）=A求A．經典例題：例1．集合M={x｜-1≤x≤7}，N＝｛ｘ|k+1≤x≤２k-1｝，若MN≠Φ，求實數K的取值范圍。解析：因為MＮ≠Φ，如果直接求k的值,則需要討論的情況較多,而且比較復雜，此時我們呢可以從它的反面，即MN=Φ來求出K的值，k在Ｒ中的補集即為所求滿足條件的k的取值范圍.解析:當MN=Φ時，有如下情況:1）當Ｎ=Φ時，有:2k—１?ｋ+1,解得k?22)當N≠Φ時，即k≥2,有如下兩種情況：如圖，當2ｋ—1?－1時,即k?0，又因k≥2，故無解；如圖?，當k+1〉7時，即k〉6，所以k〉６滿足條件綜上：當MＮ=Φ時,k?２或k〉6,所以當MN≠Φ時，k的取值范圍是2≤k≤６.練習：1。已知集合A={x|x2—4ｍx＋2ｍ+6=０,xR}，Ｂ=｛x|x?0，xR},若Φ，求實數m的取值范圍.2．若關于x的方程ｘ2+4aｘ—4a＋3=0，ｘ2＋（a-1）x＋a２=0,x2+２ax－2ａ=0至少有一個方程有實根，求實數a的值.三年高考:２014年高考題1?！?0１4高考北京版理第1題】已知集合，,則（）Ａ。B.C。Ｄ.2?！?014高考廣東卷理第1題】已知集合,,則(）Ａ.B。Ｃ.D.3?！?０１4遼寧高考理第1題】已知全集,則集合()A．Ｂ。C.Ｄ．4．【2014全國1高考理第1題】已知集合，則(）A.B.C．。D。５.【20１４全國2高考理第1題】設集合，則＝(）A。B．C。D。6.【2014山東高考理第2題】設集合，則()B．Ｃ。Ｄ.7。【2014四川高考理第1題】已知集合，集合為整數集，則（）A．B。C.D。８.【201４浙江高考理第１題】設全集,集合，則（)Ｂ。C。D。9?！?014陜西高考理第1題】已知集合,則（）10．【２014大綱高考理第2題】設集合，，則（)A。B．C。D。11.【２０１4高考江蘇卷第1題】已知集合,，則。1２．【２01４重慶高考理第11題】設全集則__＿___.201３年20１2年高考題1。【2013年高考山東卷理科２】設集合，則集合中元素的個數是（)A．??B. C． D．２?！?０13年高考全國新課標Ⅱ卷理科１】已知集合，則(）Ａ．Ｂ。C。D．3．【20１3年高考廣東卷理科1】設集合,,則( ）Ａ.B．C.D.4?！?013年高考遼寧卷理科1】已知集合(）A。B．C.Ｄ。5。【2０13年高考新課標Ｉ理科１】已知集合,則（）A。Ｂ。Ｃ.D.６.【２013年高考浙江卷理科２】設集合，則（)Ａ。B。C。Ｄ。7?！?0１3高考北京卷理科1】已知集合，則（)A.B。C.Ｄ。8．【2013年高考上海卷理科１６】設常數,集合,.若，則的取值范圍為()Ａ。 ?B. C。? D.9.【2０12年高考新課標全國卷理科1】已知集合,則()A。Ｂ。C．D．１0?！?０1２年高考湖南卷理科1】設集合則（）Ａ.Ｂ.C。Ｄ.11．【２０1２年高考遼寧卷理科２】已知全集，即，集合,則（)A。B。C．D.１2?！?０１２年高考湖北卷理科1】已知集合，則滿足條件的集合的個數為（)A.1B.2Ｃ.3D。413?！?012年高考安徽卷理科2】設集合,集合B為函數的定義域,則(）Ａ.（１,2)B.［1,2]C．[1,2）Ｄ.（1,２］１４.【201２年高考重慶卷理科10】設函數集合則為(）A．B．（0,１）C.（－１,１）D．15．【2012年高考福建卷理科2】已知集合,下列結論成立的是（）Ａ.NMB。M∪N=MC。M∩N=ＮD．M∩N=｛2}16?！荆?１2年高考全國卷理科１】已知集合是平行四邊形,是矩形,是正方形,是菱形,則()A.B。Ｃ．D。17?！?012年高考四川卷理科１】設集合，,則（)Ａ。Ｂ.Ｃ.D.1８?！?01