集合與常用邏輯用語(yǔ)

/集合與常用邏輯用語(yǔ)集合元素與集合的關(guān)系定義:一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的整體叫做集合（簡(jiǎn)稱集）。元素與集合的關(guān)系有且只有兩種：屬于(用符號(hào)“”表示）和不屬于（用符號(hào)“”表示).例如aＡ,aB等。集合中元素的特征確定性:一個(gè)集合中的元素必須是確定的,即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素要么是該集合中的元素,要么不是該集合中的元素，二者必居其一,這個(gè)特性特性常被用來(lái)判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合。互異性：集合中的元素必須是互異的,即在一個(gè)給定的集合中，它的任何元素都是不同的.這個(gè)性質(zhì)常用來(lái)判斷集合的表示是否正確,或用來(lái)求集合中的未知元素.無(wú)序性：集合與其中元素排列的順序無(wú)關(guān),如集合｛１,2，3},也可以表示成集合｛2,3，1}，{2,1３}等,組成的集合都是相等的集合，此性質(zhì)通常用來(lái)判斷兩集合的關(guān)系.集合的分類(lèi)數(shù)集（元素是數(shù))點(diǎn)集（元素是點(diǎn)，如(x，y)）集合有限集(元素的個(gè)數(shù)是有限的）無(wú)限集（元素的個(gè)數(shù)是無(wú)限的)空集（不含任何元素,記作Φ）空集（符號(hào)Φ）的性質(zhì)：空集(Φ）是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.(5)常用的數(shù)集及其符號(hào)表示名稱非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN+(或Ｎ*）ZＱR集合與元素的相對(duì)性集合是由具有相同性質(zhì)的元素構(gòu)成的整體，但是集合本身也可以作為一個(gè)元素出現(xiàn)在某個(gè)集合里，如｛Φ}，表示這個(gè)集合里有一個(gè)元素,是空集；又如｛｛1，2｝,｛1,2,3｝｝，表示這個(gè)集合里含有兩個(gè)元素，分別是集合｛1，2｝,{1，２,3｝。集合間的關(guān)系集合間的運(yùn)算關(guān)系名稱自然語(yǔ)言描述符號(hào)語(yǔ)言描述Ｖｅnn圖表示子集如果集合A中所有的元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合Ｂ的子集AB(或BＡ）B（A）)AＢB（A）)AＢ真子集如果集合AＢ，但存在元素ａB,且aA,則稱集合A是B的真子集(或）ABAB集合相等集合A與B中元素相同，那么就說(shuō)集合A與集合B相等Ａ=BB(Ａ）)B(Ａ）)并集對(duì)于兩個(gè)給定的集合A、Ｂ,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合AＢ＝{x｜ｘＡ，或xB}交集對(duì)于兩個(gè)給定集合A、B,由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合ＡB={ｘ|xＡ,且xB}補(bǔ)集對(duì)于一個(gè)集合A，由全集Ｕ中屬于集合U但不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A在全集Ｕ中的補(bǔ)集,記作ＣＵACUＡ＝｛ｘ｜xU，且xA}ACＵACUＡＵACＵAＵ集合間的邏輯關(guān)系交集:ABA，ABB，AA＝A,ＡΦ=Φ并集:ＡＡB，BＡB,AA=A,AΦ=Φ補(bǔ)集：CＵ(ＣUＡ）=A；A（CUA）=Φ；A(ＣUA）=ACU（AB)=（CＵA）（ＣUB）；CU(AＢ）＝（CUA)（CＵB)集合中常用到的結(jié)論與思想＜1＞,該結(jié)論在解題中應(yīng)注意：集合B是集合A的子集,即,應(yīng)首先討論B是空集的可能性,然后再討論當(dāng)B≠Φ時(shí)，集合Ｂ中元素的個(gè)數(shù)或范圍少于或等于集合Ａ中元素的個(gè)數(shù)和范圍（若集合Ｂ是集合A的真子集,即，則集合B中元素的個(gè)數(shù)或范圍一定是小于集合A中元素的個(gè)數(shù)和范圍）。典型例題:例1.已知集合A=｛x|-2≤x≤5｝，集合Ｂ={ｘ|m+1≤x≤2m-1｝滿足，求實(shí)數(shù)ｍ的取值范圍。解析：，說(shuō)明集合B是集合A的子集,應(yīng)首先討論集合Ｂ=Φ的可能性，然后再利用數(shù)形結(jié)合的方法，求出集合B元素的范圍小于或等于集合A元素的范圍時(shí)m應(yīng)滿足的條件，最后求出滿足條件的m的并集。解:，集合Ｂ是集合A的子集1)當(dāng)Ｂ=Φ時(shí)，即2m—１?m+1,解出:m?22）當(dāng)B≠Φ時(shí)，即ｍ≥2,如圖:有：ｍ+1≥—2解得:2≤m≤３2m-1≤５綜上可知:m≤3注意：像集合B這種ａ≤x≤b（或ａ?x?b）兩個(gè)端點(diǎn)的不等式組成的集合若為空集，須滿足右端點(diǎn)的值小于左端點(diǎn)的值,即b?a（或b≤a)例2。已知集合A＝{x|ax=１｝，Ｂ=｛x｜x2－2x—3=０},若，求實(shí)數(shù)a的值。解：B=｛ｘ|x2—2x—3=0}=｛-１，３｝．１）當(dāng)A＝Φ時(shí)，即方程ａx=1無(wú)解,a=０，滿足條件2）當(dāng)A≠Φ時(shí)，即a≠0，解方程ax＝1得：x=當(dāng)＝—１時(shí)，a=－1；當(dāng)＝3時(shí)，ａ=綜上所述:a=０或-1或例3．設(shè)集合A＝{x｜x2+4x＝0,xR}，Ｂ＝｛x|ｘ2+２(ａ+１)ｘ+a2—１=0,xR}，若BA,求實(shí)數(shù)a的值.解析：集合Ａ、B都表示一元二次方程跟的集合，且集合B是集合A的子集,此時(shí)應(yīng)包含三個(gè)方面：Ｂ＝Φ時(shí),即??0；當(dāng)集合B只含有一個(gè)元素b，即?＝0，且bA;當(dāng)集合Ｂ中含有兩個(gè)元素時(shí)，此時(shí)應(yīng)有A=B，即集合A、B中的方程的解相同，其實(shí)質(zhì)是兩個(gè)方程實(shí)際上表示同一個(gè)方程，所以可以利用韋達(dá)定理求出實(shí)數(shù)ａ,或者利用兩個(gè)方程的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等求a。解：A=｛x｜ｘ2+4ｘ=0,xＲ｝={0，－4｝，BＡ,分以下情況討論：1)當(dāng)B=Φ時(shí),即方程x2+2（ａ＋１）x＋a2—1=0無(wú)根?＝[2（a＋1）］2-4（ａ2－1）?０,解得：a?-12)當(dāng)B中只有一個(gè)元素時(shí),即B=｛0｝或B＝｛－４｝，由?＝0解得a＝—１經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)a=-１時(shí),Ｂ={0}成立，而B(niǎo)=｛－4｝不滿足條件當(dāng)B中有兩個(gè)元素時(shí)，即B=A=｛0,-4}由韋達(dá)定理得：－2（ａ＋１)=-4,解得：a=１a2—1=０綜上:滿足條件的實(shí)數(shù)a的值為a≤-1或ａ＝1.練習(xí)：設(shè)Ａ＝｛x｜x２+4x=0｝，B＝{x｜x2+２(a+1)x+a2－１＝0｝.(1)若AB＝Ｂ，求a的取值范圍若，求a的值?！?＞補(bǔ)集中“正難則反”思想的運(yùn)用,即CU(CUA）=A，即已知全集U,求子集Ａ，若直接求A困難，可先求CUＡ,再由CＵ（ＣUA）=A求A．經(jīng)典例題：例1．集合M={x｜-1≤x≤7}，N＝｛ｘ|k+1≤x≤２k-1｝，若MN≠Φ，求實(shí)數(shù)K的取值范圍。解析：因?yàn)镸Ｎ≠Φ，如果直接求k的值,則需要討論的情況較多,而且比較復(fù)雜，此時(shí)我們呢可以從它的反面，即MN=Φ來(lái)求出K的值，k在Ｒ中的補(bǔ)集即為所求滿足條件的k的取值范圍.解析:當(dāng)MN=Φ時(shí)，有如下情況:1）當(dāng)Ｎ=Φ時(shí)，有:2k—１?ｋ+1,解得k?22)當(dāng)N≠Φ時(shí)，即k≥2,有如下兩種情況：如圖，當(dāng)2ｋ—1?－1時(shí),即k?0，又因k≥2，故無(wú)解；如圖?，當(dāng)k+1〉7時(shí)，即k〉6，所以k〉６滿足條件綜上：當(dāng)MＮ=Φ時(shí),k?２或k〉6,所以當(dāng)MN≠Φ時(shí)，k的取值范圍是2≤k≤６.練習(xí)：1。已知集合A={x|x2—4ｍx＋2ｍ+6=０,xR}，Ｂ=｛x|x?0，xR},若Φ，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.2．若關(guān)于x的方程ｘ2+4aｘ—4a＋3=0，ｘ2＋（a-1）x＋a２=0,x2+２ax－2ａ=0至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的值.三年高考:２014年高考題1?！?0１4高考北京版理第1題】已知集合，,則（）Ａ。B.C。Ｄ.2?！?014高考廣東卷理第1題】已知集合,,則(）Ａ.B。Ｃ.D.3?！?０１4遼寧高考理第1題】已知全集,則集合()A．Ｂ。C.Ｄ．4．【2014全國(guó)1高考理第1題】已知集合，則(）A.B.C．。D。５.【20１４全國(guó)2高考理第1題】設(shè)集合，則＝(）A。B．C。D。6.【2014山東高考理第2題】設(shè)集合，則()B．Ｃ。Ｄ.7?！?014四川高考理第1題】已知集合，集合為整數(shù)集，則（）A．B。C.D。８.【201４浙江高考理第１題】設(shè)全集,集合，則（)Ｂ。C。D。9?！?014陜西高考理第1題】已知集合,則（）10．【２014大綱高考理第2題】設(shè)集合，，則（)A。B．C。D。11.【２０１4高考江蘇卷第1題】已知集合,，則。1２．【２01４重慶高考理第11題】設(shè)全集則__＿_(dá)__.201３年20１2年高考題1?！?013年高考山東卷理科２】設(shè)集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)是（)A．??B. C． D．２?！?０13年高考全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷理科１】已知集合，則(）Ａ．Ｂ。C。D．3．【20１3年高考廣東卷理科1】設(shè)集合,,則( ）Ａ.B．C.D.4?！?013年高考遼寧卷理科1】已知集合(）A。B．C.Ｄ。5。【2０13年高考新課標(biāo)Ｉ理科１】已知集合,則（）A。Ｂ。Ｃ.D.６.【２013年高考浙江卷理科２】設(shè)集合，則（)Ａ。B。C。Ｄ。7?！?0１3高考北京卷理科1】已知集合，則（)A.B。C.Ｄ。8．【2013年高考上海卷理科１６】設(shè)常數(shù),集合,.若，則的取值范圍為()Ａ。 ?B. C。? D.9.【2０12年高考新課標(biāo)全國(guó)卷理科1】已知集合,則()A。Ｂ。C．D．１0?！?０1２年高考湖南卷理科1】設(shè)集合則（）Ａ.Ｂ.C。Ｄ.11．【２０1２年高考遼寧卷理科２】已知全集，即，集合,則（)A。B。C．D.１2?！?０１２年高考湖北卷理科1】已知集合，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（)A.1B.2Ｃ.3D。413。【2012年高考安徽卷理科2】設(shè)集合,集合B為函數(shù)的定義域,則(）Ａ.（１,2)B.［1,2]C．[1,2）Ｄ.（1,２］１４.【201２年高考重慶卷理科10】設(shè)函數(shù)集合則為(）A．B．（0,１）C.（－１,１）D．15．【2012年高考福建卷理科2】已知集合,下列結(jié)論成立的是（）Ａ.NMB。M∪N=MC。M∩N=ＮD．M∩N=｛2}16?！荆?１2年高考全國(guó)卷理科１】已知集合是平行四邊形,是矩形,是正方形,是菱形,則()A.B。Ｃ．D。17?！?012年高考四川卷理科１】設(shè)集合，,則（)Ａ。Ｂ.Ｃ.D.1８。【201