【大學(xué)】一元函數(shù)的變化性態(tài)

第四章一元函數(shù)的變化性態(tài)（II）編輯ppt今天主要內(nèi)容:有界變差函數(shù)、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)

(1)有界變差函數(shù)的定義、性質(zhì)；(2)單調(diào)函數(shù)、有界變差函數(shù)關(guān)系；(3)絕度連續(xù)函數(shù)的定義;(4)絕度連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)的關(guān)系；(5)一些例子.(6)小結(jié).編輯ppt1.引入曲線的求長(zhǎng)編輯ppt編輯ppt2有界變差函數(shù)為f(x)對(duì)分點(diǎn)組T的變差.定義2.1.設(shè)f(x)是[a,b]上的有限函數(shù)，在[a,b]上任取一分點(diǎn)組T編輯ppt為f(x)對(duì)分點(diǎn)組T的負(fù)變差.為f(x)對(duì)分點(diǎn)組T的正變差.編輯ppt稱編輯ppt例2.1.閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)[]編輯ppt例2.2.連續(xù)函數(shù)不一定是有界變差函數(shù).1/41/21/6編輯ppt對(duì)[0,1]取分劃1/41/21/6編輯ppt定理2.2編輯ppt定理2.3編輯ppt3Jordan分解定理定理2.4.

f(x)是有界變差函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f(x)可表成兩個(gè)單調(diào)不減函數(shù)的差.編輯ppt注：由于單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)全體為一可數(shù)集，從而有界變差函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)為一可數(shù)集，故Riemann可積;f幾乎處處有有限導(dǎo)數(shù)且編輯ppt定理2.5編輯ppt例2.5編輯ppt編輯ppt有界變差函數(shù)與不定積分不定積分F(x)是有界變差函數(shù)，但由Cantor函數(shù)（是有界變差函數(shù)，后面介紹）知道，先取導(dǎo)數(shù)再取積分并不能返回，問什么函數(shù)滿足此性質(zhì)？編輯ppt4絕對(duì)連續(xù)函數(shù)則稱F(x)是[a,b]上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù).設(shè)F(x)是[a,b]上的有限函數(shù)，若使對(duì)[a,b]中的任意有限個(gè)互不相交的開區(qū)間編輯ppt注：絕對(duì)連續(xù)函是一致連續(xù)函數(shù)，當(dāng)然是連續(xù)函數(shù)，也是有界變差函數(shù).絕對(duì)連續(xù)函數(shù)f幾乎處處有有限導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)L-可積且編輯ppt例1利用積分的絕對(duì)連續(xù)性即可編輯ppt小結(jié)（1）有界變差函數(shù)可以表示成兩個(gè)單增函數(shù)（或兩個(gè)單調(diào)減函數(shù)）的差；（2）有界變差函數(shù)有界，不連續(xù)點(diǎn)全體至多可數(shù)；（3）有界變差函數(shù)是Riemann可積的；（4）有界變差函數(shù)幾乎處處存在有限導(dǎo)數(shù)；（5）絕對(duì)連續(xù)函數(shù)是