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第三節(jié)矩陣的初等變換第1頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一解第2頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一用“回代”的方法求出解:第3頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一于是解得(2)第4頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一小結(jié):1.上述解方程組的方法稱為消元法.2.始終把方程組看作一個整體變形,用到如下三種變換(1)交換方程次序;(2)以不等于0的數(shù)乘某個方程;(3)一個方程加上另一個方程的k倍.(與相互替換)(以替換)(以替換)第5頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一3.上述三種變換都是可逆的.由于三種變換都是可逆的,所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的.故這三種變換是同解變換.第6頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一因為在上述變換過程中,僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算,未知量并未參與運算.若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組(1)的增廣矩陣)的變換.第7頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二、矩陣的初等變換第8頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一定義2矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換.初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同.同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”).逆變換逆變換逆變換第9頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一等價關(guān)系的性質(zhì):具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價.例如,兩個線性方程組同解,就稱這兩個線性方程組等價第10頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一用矩陣的初等行變換解方程組(1):第11頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一第12頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一回代過程:第13頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一第14頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一特點:(1)可劃出一條階梯線,線的下方全為零;(2)每個臺階只有一行,臺階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元,即非零行的第一個非零元.第15頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一行階梯形矩陣:設若當i>j時,恒有:且各行中第一個非零元素前面零元素的個數(shù)隨行數(shù)增大而增多.注意:元素全為零的行只會在最下面.例如:第16頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一注意:行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的,行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)也是由方程組唯一確定的.行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換,可化成標準形.第17頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一例如,第18頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一特點:所有與矩陣等價的矩陣組成的一個集合,稱為一個等價類,標準形是這個等價類中最簡單的矩陣.第19頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一三、小結(jié)1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同.3.矩陣等價具有的性質(zhì)2.初等變換第20頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一釋疑解難1.一個矩陣的行階梯形矩陣、行最簡形矩陣、標準形矩陣有何異同?答它們的共同點是:
1)階梯數(shù)相等,且等于矩陣的秩;2)每個階梯上只有一行,階梯的每條豎線后的第一個元素不等于零;3)階梯線以下的所有元素都是零.第21頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一它們的不同點是:行最簡形矩陣要求每個階梯上的第一個非零元為1,且第一個非零元1所在的列上的所有元素全都為零;標準形要求所有的非零元都為1.如.第22頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一
行階梯形矩陣其特點是:階梯線以下的元素全是0,臺階數(shù)即為非零行數(shù),豎線后面的第一個元素為非零元.
行最簡形矩陣其特點是:非零行的第一個非零元為1,且這些非零元1所在的列的其它元素都為0.
標準形矩陣其特點是:左上角為一單位矩陣,其它位置上的元素全都為0.第23頁,共25頁,2023年,2月20日,星期一2.一個矩陣的行階梯形矩陣、行最簡形矩陣、標準形矩陣唯一嗎?舉例說明.答矩陣的行階梯形矩陣不唯一,而其行最簡形矩陣和標準形矩陣是唯一的.如第24頁,共25頁,2023年
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