一元線性回歸模型new課件

1第二章經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：

一元線性回歸模型

回歸分析概述一元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)一元線性回歸模型檢驗(yàn)一元線性回歸模型預(yù)測(cè)實(shí)例分析2授課目標(biāo)與要求：經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的一元線性回歸模型，是課程最基礎(chǔ)的內(nèi)容。通過教學(xué)，要求學(xué)生達(dá)到：理解經(jīng)典線性單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)，包括回歸分析、假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)；熟練掌握經(jīng)典線性單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的理論與方法，包括基本假設(shè)、模型估計(jì)和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)；理解最小二乘原理和最大或然原理，以及在模型估計(jì)中的應(yīng)用。本章重點(diǎn)和難點(diǎn)：第二節(jié)：一元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)第三節(jié)：一元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

3§2.1回歸分析概述一、回歸分析的基本概念二、簡(jiǎn)單線性相關(guān)分析三、總體回歸函數(shù)（PRF）四、隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)五、樣本回歸函數(shù)（SRF）51.變量間的關(guān)系⑴確定性關(guān)系或函數(shù)關(guān)系：研究的是確定現(xiàn)象非隨機(jī)變量間的關(guān)系。⑵統(tǒng)計(jì)依賴或相關(guān)關(guān)系：研究的是隨機(jī)變量間的非確定關(guān)系。又分為簡(jiǎn)單相關(guān)（存在于兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系）和多重相關(guān)（存在于三個(gè)及以上變量之間的相關(guān)關(guān)系）。

⑶模糊關(guān)系（隨機(jī)變量的似有似無）62、相關(guān)分析的基本概念⑴相關(guān)關(guān)系，是指兩個(gè)或兩個(gè)以上的變量，其樣本序列觀測(cè)值之間表現(xiàn)出來的隨機(jī)數(shù)學(xué)關(guān)系，常用相關(guān)系數(shù)來衡量，主要用來判斷變量間是否相關(guān)。如果兩個(gè)變量樣本序列觀測(cè)值之間的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為1，則二者之間具有完全的相關(guān)關(guān)系。⑵偏相關(guān)關(guān)系，是指一個(gè)變量與其他兩個(gè)或兩個(gè)以上變量的線性組合之間的相關(guān)關(guān)系。該變量與每一個(gè)變量間的相關(guān)系數(shù)又稱偏相關(guān)系數(shù)。⑶因果關(guān)系，是指兩個(gè)或兩個(gè)以上的變量，在行為機(jī)制等方面上的依賴性。因果關(guān)系有單向因果關(guān)系和雙向因果關(guān)系之分。如：價(jià)格與供給，價(jià)格與需求，投資與GDP等。具有因果關(guān)系的變量之間一定具有數(shù)學(xué)上的相關(guān)關(guān)系；而具有相關(guān)關(guān)系的變量之間并不一定就具有因果關(guān)系。如：GDP與一棵小樹的生長(zhǎng)速度，中國(guó)GDP與印度人口的關(guān)系。⑷相關(guān)分析，是判斷變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)分析方法，一般是通過計(jì)算變量之間的相關(guān)系數(shù)來實(shí)現(xiàn)。7○對(duì)變量間統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系的考察主要是通過相關(guān)分析（correlation）或回歸分析（regression）來完成的?！鹣嚓P(guān)分析是討論變量之間相關(guān)程度的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。在相關(guān)分析中，通常假設(shè)兩個(gè)變量：①對(duì)其是同等看待的，②不考慮其因果關(guān)系，③對(duì)自變量和因變量不加區(qū)別，④兩個(gè)變量均是隨機(jī)變量。

正相關(guān)線性相關(guān)

不相關(guān)

相關(guān)系數(shù)(-1≤ρ≤1)統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系

負(fù)相關(guān)

有因果關(guān)系

回歸分析

正相關(guān)無因果關(guān)系

相關(guān)分析

非線性相關(guān)

不相關(guān)

負(fù)相關(guān)94、注意事項(xiàng)①不線性相關(guān)并不意味著不相關(guān)。②有相關(guān)關(guān)系并不意味著一定有因果關(guān)系。③回歸分析和相關(guān)分析：都是研究隨機(jī)變量間的統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系，并能測(cè)度線性依賴程度的大小，不關(guān)注具體的依賴關(guān)系。但它們并不意味著一定有因果關(guān)系。④相關(guān)分析：僅僅從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)上測(cè)度變量間的相關(guān)程度，無需考察兩者間的因果關(guān)系，對(duì)稱地對(duì)待任何（兩個(gè)）變量，兩個(gè)變量都被看作是隨機(jī)的。⑤回歸分析：更注重變量間的因果關(guān)系和具體的依賴關(guān)系，對(duì)變量的處理方法存在不對(duì)稱性，即區(qū)分應(yīng)變量（被解釋變量）和自變量（解釋變量），前者是隨機(jī)變量，后者不是。10二、簡(jiǎn)單線性相關(guān)分析△總體相關(guān)系數(shù)△樣本相關(guān)系數(shù)△樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍△相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)△線性相關(guān)理論的局限性111、總體相關(guān)系數(shù)總體相關(guān)系數(shù)。通過觀察散點(diǎn)圖只能得到兩個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系的一個(gè)粗略概念。要想精確刻畫他們之間的相關(guān)程度，需要采用一個(gè)數(shù)量指標(biāo)—相關(guān)系數(shù)來描述。大致進(jìn)行分析判斷。兩個(gè)變量X、Y之間真實(shí)的相關(guān)程度，使用總體相關(guān)系數(shù)ρ來表示的，即：ρ=Cov(X,Y)/[(Var(X)·Var(Y)]1/2=σXY/(σX2·σY2)1/2可以證明總體相關(guān)系數(shù)的取值范圍定義為-1到1之間，即：ρ∈[-1，1]，當(dāng)ρ其取不同值時(shí)，兩變量間的相關(guān)關(guān)系也就確定了。

13○但是，在由∑xi·yi的數(shù)值符號(hào)和大小所提供的相關(guān)類型和近似相關(guān)程度的信息中，存在兩點(diǎn)不足：

第一，∑xi·yi的數(shù)值大小受觀測(cè)點(diǎn)數(shù)目n的影響。為校正該點(diǎn)的不足，利用與樣本容量n有關(guān)的量：n-1去除∑xi·yi，則得到表達(dá)式：∑xi·yi/(n-1)，即X、Y的樣本協(xié)方差：SXY=∑xi·yi/(n-1)。第二，∑xi·yi的數(shù)值大小受X、Y的計(jì)量單位的影響。為校正該點(diǎn)的不足，利用X、Y的標(biāo)準(zhǔn)差SX、SY之乘積去除樣本協(xié)方差SXY，即表達(dá)式：SXY/(SX·SY)?！鹨?yàn)镾X、SY與X、Y的計(jì)量單位相同，所以表達(dá)式SXY/(SX·SY)的比值不受計(jì)量單位的影響。因此，我們定義樣本相關(guān)系數(shù)的表達(dá)式為：○

r=SXY/(SX·SY)=SXY/(SX2·SY2)?=[∑xi·yi/(n-1)]/[∑xi2/(n-1)·∑yi2/(n-1)]?○即：樣本相關(guān)系數(shù)：r=∑xi·yi/[∑xi2·∑yi2]?143、樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍○可以證明：r∈[-1，1]○案例2.1.1：證明：當(dāng)Xi、Yi完全相關(guān)時(shí)，∣r∣=1○證明：設(shè)樣本容量為n，當(dāng)Xi、Yi完全相關(guān)時(shí)，有：①Yi=0+1Xi，即：(Xi，Yi)均在一條直線上。②兩端連加則有：∑Yi=n0+1∑Xi，同除n：Y=0+1X；即：均值(X，Y)也在直線Yi=0+1Xi上。③兩式①、②相減得到：Yi

-Y=1(Xi–X)

，即：yi=1xi④兩邊同乘xi，yi分別得到：xiyi=1xi2

，yi2=1xiyi，

即：∑xiyi=

1∑xi2；∑yi2=

1∑xiyi⑤將上式代入樣本相關(guān)系數(shù)：r=∑xi·yi/[∑xi2·∑yi2]1/2公式，即可得到：∣r∣=1

154、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)（相關(guān)檢驗(yàn)）○相關(guān)系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上是否顯著，即總體之間是否顯著線性相關(guān)，必須進(jìn)行相應(yīng)的顯著性檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱相關(guān)檢驗(yàn)。相關(guān)檢驗(yàn)步驟如下：⑴首先計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r。⑵根據(jù)樣本容量n和顯著性水平α（置信水平），查相關(guān)系數(shù)表，得到臨界值（自由度為n-2）rα。⑶檢驗(yàn)判斷：當(dāng)∣r∣>rα?xí)r，則X，Y顯著線性相關(guān)，否則不顯著。17三、總體回歸函數(shù)△回歸分析△案例分析△總體回歸函數(shù)181、回歸分析○回歸分析：相關(guān)關(guān)系的特征是不確定性，一個(gè)變量不能依據(jù)其他有關(guān)變量的數(shù)值，精確地、一一對(duì)應(yīng)地求出其數(shù)值。但是，我們可以根據(jù)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，找出變量之間在數(shù)量變化方面的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律所表現(xiàn)出來的數(shù)量關(guān)系就叫做回歸關(guān)系，描述這種回歸關(guān)系的數(shù)學(xué)公式就稱為回歸方程；○有關(guān)回歸關(guān)系的計(jì)算方法和理論稱為回歸分析。又分為：一元回歸分析（方程）、多元回歸分析（方程）；線性回歸分析（方程）、非線性回歸分析（方程）?！鸹貧w分析關(guān)心的是根據(jù)解釋變量的已知或給定值，考察被解釋變量的總體均值，即當(dāng)解釋變量取某個(gè)確定值時(shí)，與之統(tǒng)計(jì)相關(guān)的被解釋變量所有可能出現(xiàn)的對(duì)應(yīng)值的平均值○回歸分析的主要目的有三點(diǎn)：①、根據(jù)樣本觀測(cè)值，對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，求得回歸方程；②、對(duì)回歸方程、模型參數(shù)估計(jì)值進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)；③、利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制。192、案例分析：案例2.1.2：一個(gè)假想的社區(qū)有100戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月家庭消費(fèi)支出Y與每月家庭可支配收入X的關(guān)系。即如果知道了家庭的月收入，能否預(yù)測(cè)該社區(qū)家庭的平均月消費(fèi)支出水平？為達(dá)到此目的，將該100戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不大（可支配收入水平）的10組，以分析每一可支配收入組的家庭消費(fèi)支出?！鹩捎诓淮_定因素的影響，對(duì)同一收入水平X，不同家庭的消費(fèi)支出可能不完全相同；見下表：21○但由于調(diào)查的完備性，給定收入水平X的消費(fèi)支出Y的分布是確定的，即以X的給定值為條件的Y的條件分布（Conditionaldistribution）是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。因此，給定收入X的某一個(gè)值Xi，可得消費(fèi)支出Y的條件均值（conditionalmean）或條件期望值（conditionalexpectation）：E(Y|X=Xi)。該例中：E(Y|Xi=800)=605○描出散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：雖然不同的家庭其消費(fèi)支出存在差異，但是，隨著收入的增加，消費(fèi)“平均地說”也在增加，且Y的條件均值均落在一根正斜率的直線上。這條直線稱為總體回歸線。05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消費(fèi)支出Y（元）233、總體回歸函數(shù)○在給定解釋變量Xi條件下被解釋變量Yi的期望軌跡稱為總體回歸線（populationregressionline），或更一般地稱為總體回歸曲線（populationregressioncurve）。相應(yīng)的函數(shù)：○稱為（雙變量）總體回歸函數(shù)（populationregressionfunction,PRF）。含義：回歸函數(shù)（PRF）說明被解釋變量Y的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解釋變量X變化的規(guī)律。函數(shù)形式：可以是線性或非線性的?！鸢咐校瑢⒕用裣M(fèi)支出看成是其可支配收入的線性函數(shù)時(shí)，為一線性函數(shù):其中，0，1是未知參數(shù)，稱為總體回歸系數(shù)（regressioncoefficients）。251、隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)在案例2.1.2中，總體回歸函數(shù)說明在給定的收入水平Xi下，該社區(qū)家庭平均的消費(fèi)支出水平Y(jié)。但對(duì)某一個(gè)別的家庭，其消費(fèi)支出Yi可能與該平均水平Y(jié)有偏差，并且聚集在平均水平Y(jié)的周圍?！饘?duì)任何個(gè)別家庭，記：○稱i為觀察值Yi圍繞它的期望值的離差（deviation），它是一個(gè)不可觀測(cè)的隨機(jī)變量，又稱為隨機(jī)干擾項(xiàng)（stochasticdisturbance）或隨機(jī)誤差項(xiàng)（stochasticerror）?！鹩^測(cè)值點(diǎn)的散布情況表明了經(jīng)濟(jì)行為間的真實(shí)關(guān)系，直線僅僅表示了這種真實(shí)關(guān)系的理論部分，觀測(cè)值的點(diǎn)與直線的偏離程度—離差i，表示了這種真實(shí)關(guān)系的隨機(jī)成分。262、總體回歸模型○在例2.1.2中，給定收入水平Xi,個(gè)別家庭的支出可表示為兩部分之和：Yi=E(Y|Xi)+

i=

0+1Xi+

i

⑴該收入水平下所有家庭的平均消費(fèi)支出E(Y|Xi)，稱為系統(tǒng)性（systematic）或確定性（deterministic)部分；⑵其他稱為隨機(jī)或非確定性（nonsystematic)部分i?！鹕鲜接址Q為總體回歸函數(shù)（PRF）的隨機(jī)設(shè)定形式。表明被解釋變量除了受解釋變量的系統(tǒng)性影響外，還受其他因素的隨機(jī)性影響，就成為這些隨機(jī)影響因素的綜合代表。由于方程中引入了隨機(jī)項(xiàng)，成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，因此也稱其為總體回歸模型。隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)i=Yi-E(Yi)○不難證明，對(duì)應(yīng)于Xi值的條件下，Yi的期望值即：E(Yi)。那么Yi的期望值E(Yi)的軌跡就稱作總體回歸直線，相應(yīng)的方程：E(Yi)=0+1Xi就是總體回歸方程，0，1稱作總體回歸方程的參數(shù)。291、案例分析案例2.1.3：能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？在案例2.1.2的總體中有如下一個(gè)樣本，能否從該樣本估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF？回答：能表2.1.3家庭消費(fèi)支出與可支配收入的一個(gè)隨機(jī)樣本○畫一條直線以盡好地?cái)M合該散點(diǎn)圖，由于樣本取自總體，可以該直線近似地代表總體回歸線。該直線稱為樣本回歸線（sampleregressionlines）。

X

800

1100

1400

1700

2000

2300

2600

2900

3200

3500

Y

594

638

1122

1155

1408

1595

1969

2078

2585

2530

302、樣本回歸函數(shù)（SRF）○該樣本的散點(diǎn)圖（scatterdiagram)：○記樣本回歸線的函數(shù)形式為：○稱為樣本回歸函數(shù)（sampleregressionfunction，SRF）31注意：這里將樣本回歸線看成是總體回歸線的近似替代323、樣本回歸模型同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機(jī)形式：其中：Yi為真實(shí)的樣本觀測(cè)值；殘差ei=Yi-?i是隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)i的估計(jì)值，代表了其他影響因素的集合。由于方程中引入了隨機(jī)項(xiàng)，成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型，因此也稱為樣本回歸模型（sampleregressionmodel）。334、回歸分析的主要目的▼回歸分析的主要目的：就是要采用有效的估計(jì)方法，根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF，估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF。使估計(jì)得到的樣本回歸方程盡可能接近真實(shí)的總體回歸方程。根據(jù)SRF：估計(jì)PRF：有關(guān)關(guān)系如圖。345、一元線性回歸方程和回歸模型小結(jié)一元線性理論方程：Yi=0+1Xi一元線性總體回歸方程：E(Yi)=0+1Xi一元線性總體回歸模型：Yi=0+1Xi+i一元線性樣本回歸方程：一元線性樣本回歸模型：抽樣誤差：?i-E(Yi)=i–ei§2.2一元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)一、一元線性回歸模型的基本假設(shè)二、參數(shù)的普通最小二乘估計(jì)（OLS）三、參數(shù)估計(jì)的最大或然法(ML)四、最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)五、參數(shù)估計(jì)量的概率分布及隨機(jī)干擾項(xiàng)方差的估計(jì)36說明單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型分為：線性模型和非線性模型線性模型中，變量之間的關(guān)系呈線性關(guān)系非線性模型中，變量之間的關(guān)系呈非線性關(guān)系一元線性回歸模型是最簡(jiǎn)單的模型：只有一個(gè)解釋變量Yi=

0+1Xi+

i

i=1,2,…,n其中：Y為被解釋變量，X為解釋變量，0與1為待估參數(shù)，為隨機(jī)干擾項(xiàng)回歸分析的主要目的是要通過樣本回歸函數(shù)（模型）SRF盡可能準(zhǔn)確地估計(jì)總體回歸函數(shù)（模型）PRF。估計(jì)方法有多種，其中最廣泛使用的是普通最小二乘法（ordinaryleastsquares,OLS）。37一、線性回歸模型的基本假設(shè)○為保證參數(shù)估計(jì)量具有良好的性質(zhì)，通常對(duì)模型提出若干基本假設(shè)。這些假設(shè)與所采用的估計(jì)方法緊密相關(guān)，如果實(shí)際模型滿足這些基本假設(shè)，普通最小二乘法（OLS）就是比較適用的估計(jì)方法，否則，OLS就不再適用，進(jìn)而需要使用其他估計(jì)方法。因此，這里的基本假定并不是針對(duì)模型的，而是針對(duì)OLS的?！鹁€性回歸模型的基本假設(shè)主要有四條：△隨機(jī)假定△自變量假定△因變量假定△其他假定381、隨機(jī)假定○隨機(jī)假定：是關(guān)于i值分布的假定，i是一個(gè)隨機(jī)變量，不包含對(duì)Y的系統(tǒng)影響。⑴零期望值假定：E(i)=0，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)i=Yi-E(Yi)，就樣本總體而言，i的平均擾動(dòng)程度為零，也就是說i的隨機(jī)擾動(dòng)相互抵消；⑵同方差假定：Var(i)=E[i-E(i)]2=E(i2)=σ2，即對(duì)于X的任何值，i

的波動(dòng)是一樣；⑶正態(tài)性假定：i~N(0，σ2)，對(duì)于任一Xi，i

是一個(gè)關(guān)于他們的零均值對(duì)稱的正態(tài)分布；⑷無自相關(guān)假定：Cov(i,j)=E{[i-E(i)][j-E(j)]}

=E(i·j)=E(i)E(j)=0，i≠j。對(duì)于不同觀測(cè)值的i

與j

完全相互獨(dú)立，互不相關(guān)、互不干擾。392、自變量假定○自變量假定：是關(guān)于Xi的假定，Xi在回歸分析中是固定取值的確定性變量，即非隨機(jī)變量。⑴Xi與i互不相關(guān)假定：即Xi與i

是相互獨(dú)立地影響Yi的；

Cov(Xi,i)=E{[Xi-E(Xi)][i-E(i)]}=0·0=0。⑵Xi是確定性變量假定：即Xi作為解釋變量，沒有測(cè)量、統(tǒng)計(jì)等誤差；⑶解釋變量無自相關(guān)性假定：解釋變量的各個(gè)觀測(cè)值不能近似相同，或與常量之間不存在某種線性關(guān)系，各個(gè)解釋變量之間也不存在線性相關(guān)。⑷隨著樣本容量的無限增加，解釋變量X的樣本方差趨于一有限常數(shù)。即：該假設(shè)旨在排除時(shí)間序列數(shù)據(jù)出現(xiàn)持續(xù)上升或下降的變量作為解釋變量，因?yàn)檫@類數(shù)據(jù)不僅使大樣本統(tǒng)計(jì)推斷變得無效，而且往往產(chǎn)生所謂的偽回歸問題（spuriousregressionproblem）。403、因變量假定○因變量假定：是關(guān)于Yi的假定，Yi在分析中是一個(gè)隨機(jī)變量。⑴同方差假定：Var(Yi)=E[Yi-E(Yi)]2=E(i2)=σ2

；⑵無自相關(guān)假定：Cov(Yi,Yj)=E{[Yi-E(Yi)][Yj-E(Yj)]}=E(i·j)=E(i)·E(j)=0，i≠j。對(duì)于不同觀測(cè)值的Yi與Yj完全相互獨(dú)立，互不相關(guān)、互不干擾；⑶Yi的分布假定：Yi

~(0+1Xi，σ2)，Yi是一個(gè)關(guān)于他們的均值對(duì)稱的分布。▼以上假設(shè)也稱為線性回歸模型的經(jīng)典假設(shè)或高斯（Gauss）假設(shè)，滿足經(jīng)典假設(shè)的線性回歸模型，也稱為經(jīng)典線性回歸模型（ClassicalLinearRegressionModel,CLRM）。414、其他假定○其他假定：是關(guān)于方程形式的假定。⑴綜合變量應(yīng)能夠正確歸并，即Xi與Yi分別表示各自的項(xiàng)目之和變量；⑵所關(guān)心的方程已經(jīng)被識(shí)別，即假定要估計(jì)其系數(shù)的關(guān)系式具有唯一（不同其他）的數(shù)學(xué)形式；⑶關(guān)系式的確定是正確的，即模型沒有設(shè)定偏誤。假定在確定解釋變量的過程中，沒有出現(xiàn)任何誤差，即已經(jīng)把所有重要的回歸自變量明確地包括在模型中了，其數(shù)學(xué)形式也是正確的。42二、參數(shù)的普通最小二乘估計(jì)（OLS）○最佳原則：對(duì)于樣本回歸直線的確定，是以能夠最好的擬合觀測(cè)值為準(zhǔn)則的。這個(gè)準(zhǔn)則要求：選擇最佳的參數(shù)，使全部觀測(cè)值的殘差平方和達(dá)到最小，即：∑ei2=>Min

?！髌胀ㄗ钚《朔ā鲙追N離差變換形式

431、普通最小二乘法○給定一組樣本觀測(cè)值（Xi,Yi）（i=1,2,…n），要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地?cái)M合這組值?！鹌胀ㄗ钚《朔ǎ∣rdinaryleastsquares,OLS）給出的判斷標(biāo)準(zhǔn)是：使二者之差（殘差）的平方和最小?！芿i2=○由于是已知的觀測(cè)值，那么根據(jù)極值的性質(zhì)，應(yīng)有兩個(gè)關(guān)于未知參數(shù)的一階條件，從而使：∑ei2=>Min

。44方程組（*）稱為正規(guī)方程組（normalequations）。

45記上述參數(shù)估計(jì)量可以寫成：

○稱為OLS估計(jì)量的離差形式（deviationform）。○由于參數(shù)的估計(jì)結(jié)果是通過最小二乘法得到的，故稱其為普通最小二乘估計(jì)量（ordinaryleastsquaresestimators）。

462、幾種離差變換形式⑴總體回歸模型的離差形式：yi=1xi+i-ū

對(duì)總體回歸模型Yi=0+1Xi+i，兩端連加并同除n，得到：Y=0+1X+ū；兩式相減得到離差形式：yi=1xi+i-ū⑵樣本回歸直線的離差形式：對(duì)樣本回歸直線：，兩端連加并同除n，得到樣本均值回歸直線方程。兩式相減，并根據(jù)均值性質(zhì)，得到樣本回歸直線的離差形式：⑶正規(guī)方程組的離差形式：∑eixi=0

根據(jù)已知一階條件：∑ei=0，∑eiXi=0，將xi=Xi-X代入第二式得到：∑eixi=0；○將樣本回歸模型的離差形式:+ei

代入∑eixi=0，即：∑（

）xi=0

即可以得到樣本回歸模型的參數(shù)估計(jì)值的表達(dá)式?！鹱⒁猓骸芛i=∑Y，∑Xi=∑X；∑xi=0，∑yi=0

iixy1?b=iixy1?b-47三、參數(shù)估計(jì)的最大或然法(ML)△基本原理△似（或）然函數(shù)△參數(shù)的最大或然估計(jì)量△案例分析481、基本原理○最大或（似）然法(MaximumLikelihood,簡(jiǎn)稱ML)，是從最大或然原理出發(fā)發(fā)展起來的其他估計(jì)方法的基礎(chǔ)。最大似然原理能更本質(zhì)地揭示通過樣本估計(jì)總體參數(shù)的內(nèi)在機(jī)理?！甬?dāng)從模型總體中隨機(jī)抽取n組樣本觀測(cè)值后：對(duì)于最小二乘法，最合理的參數(shù)估計(jì)量應(yīng)該使得模型能夠最好地?cái)M合樣本數(shù)據(jù)；對(duì)于最大或然法，最合理的參數(shù)估計(jì)量應(yīng)該使得從模型中抽取該n組樣本觀測(cè)值的概率最大?！饛目傮w中經(jīng)過n次隨機(jī)取樣，抽到樣本容量為n的樣本觀測(cè)值，在任一次隨機(jī)抽取中，樣本觀測(cè)值都以一定的概率出現(xiàn)，如果已經(jīng)知道總體的參數(shù)，則由變量的頻率函數(shù)可以計(jì)算其概率?！饦颖居^測(cè)值已知，如何確定哪個(gè)總體最可能產(chǎn)生已經(jīng)得到的樣本觀測(cè)值？顯然：對(duì)每個(gè)可能的正態(tài)總體，估計(jì)其取得樣本觀測(cè)值的聯(lián)合概率，然后選擇其參數(shù)使樣本觀測(cè)值的聯(lián)合概率最大的那個(gè)總體?！饘颖居^測(cè)值的聯(lián)合概率函數(shù)稱為變量的似然函數(shù)。通過似然函數(shù)極大化求得總體參數(shù)估計(jì)量的方法稱為極大似然法。492、似（或）然函數(shù)滿足基本假設(shè)條件下，對(duì)一元線性回歸模型：隨機(jī)抽取n組樣本觀測(cè)值（Xi,Yi）（i=1,2,…n）。假如模型的參數(shù)估計(jì)量已經(jīng)求得，為：那么Yi服從如下的正態(tài)分布：○于是，Yi的概率函數(shù)為：○因?yàn)閅i是相互獨(dú)立的，所以Y的所有樣本觀測(cè)值的聯(lián)合概率，也即或然函數(shù)(likelihoodfunction)為：將該或然函數(shù)極大化，即可求得到模型參數(shù)的極大或然估計(jì)量。503、參數(shù)的最大或然估計(jì)量由于或然函數(shù)的極大化與或然函數(shù)的對(duì)數(shù)的極大化是等價(jià)的，所以，取對(duì)數(shù)或然函數(shù)如下：其極值的一階條件為：○對(duì)模型的參數(shù)估計(jì)量求解：○可見，在滿足一系列基本假設(shè)的情況下，模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的最大或然估計(jì)量與普通最小二乘估計(jì)量是相同的。514、案例分析案例2.2.1：上述家庭可支配收入-消費(fèi)支出例中，對(duì)于所抽出的一組樣本數(shù)，參數(shù)估計(jì)的計(jì)算可通過下表進(jìn)行。表2.2.1

參數(shù)估計(jì)的計(jì)算表

iX

iY

ix

iy

iiyx

2ix

2iy

2iX

2iY

1

800

594

-1350

-973

947508

640000

352836

2

1100

638

-1050

-929

975870

863784

407044

3

1400

1122

-750

-445

334050

562500

198381

4

1700

1155

-450

-412

185580

202500

170074

5

2000

1408

-150

-159

23910

22500

25408

6

2300

1595

150

28

4140

22500

762

7

2600

1969

450

402

180720

202500

161283

8

2900

2078

750

511

382950

562500

260712

9

3200

2585

1050

1018

10

3500

2530

1350

963

926599

求和

21500

15674

平均

2150

1567

52因此，由該樣本估計(jì)的回歸方程為：

53四、最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)○當(dāng)模型參數(shù)估計(jì)出后，需考慮參數(shù)估計(jì)值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說需考察參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)?！鸶咚埂R爾可夫定理(Gauss-Markovtheorem)：在給定經(jīng)典線性回歸的假定下，最小二乘估計(jì)量是具有最小方差的線性無偏估計(jì)量?！髯钚《斯烙?jì)量的性質(zhì)△線性特性△無偏特性△最小方差特性541、最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)○考察總體的估計(jì)量，可從如下幾個(gè)方面考察其優(yōu)劣性：⑴線性性，即是否是另一隨機(jī)變量的線性函數(shù)；⑵無偏性，即其均值或期望值是否等于總體的真實(shí)值；⑶有效性，即是否在所有線性無偏估計(jì)量中具有最小方差?！疬@三個(gè)準(zhǔn)則也稱作估計(jì)量的小樣本性質(zhì)。擁有這類性質(zhì)的估計(jì)量稱為最佳線性無偏估計(jì)量（bestlinerunbiasedestimator,BLUE）?！甬?dāng)不滿足小樣本性質(zhì)時(shí)，需進(jìn)一步考察估計(jì)量的大樣本或漸近性質(zhì)，即樣本容量趨于無窮大時(shí)：⑷漸近無偏性，是否它的均值序列趨于總體真值；⑸一致性，它是否依概率收斂于總體的真值；⑹漸近有效性，是否它在所有的一致估計(jì)量中具有最小的漸近方差。552、線性特性：參數(shù)估計(jì)值的線性特性是指參數(shù)估計(jì)值的

表達(dá)式均為樣本觀測(cè)值Yi的線性函數(shù)式。

○ki和wi均是非隨機(jī)變量，是由離差xi的非隨機(jī)特性決定的；○ki的幾個(gè)性質(zhì)①∑ki=∑(xi/∑xi2)=∑xi/∑xi2=0；②∑kiXi=∑(xiXi/∑xi2)

=∑xi2/∑xi2=1③∑kixi=∑(xixi/∑xi2)=∑xi2

/∑xi2=1④∑ki2

=1/∑xi2○wi的幾個(gè)性質(zhì)①∑wi=∑[1/n-kiX]=∑1/n-∑kiX

=1；②∑wiXi=∑[1/n-kiX]Xi

=∑Xi/n-∑kiXXi=0；③∑wixi=∑[1/n-kiX]xi

=∑xi

/n-∑kiXxi=-X563、參數(shù)估計(jì)值的無偏特性⑴證明：E（a1）=a1將Yi=a0+a1Xi+i代入表達(dá)式：a1=∑kiYi，得：a1=∑ki（a0+a1Xi+i）將上式展開得到：a1=a1+∑ki

i

，則：E（a1）=a1+∑ki

E（i）=a1如果基本假定中的E（i）≠0，則估計(jì)值就是有偏的。⑵證明：E（a0）=a0將Yi=a0+a1Xi+i代入表達(dá)式：a0

=∑wiYi，得：a0=∑wi（a0+a1Xi+i）將上式展開得到：a0=a0+∑wii

，則：E（a0）=a0+∑wiE（i）=a0如果基本假定中的E（i）≠0，則估計(jì)值就是有偏的。○參數(shù)估計(jì)值的無偏特性是指參數(shù)估計(jì)值的期望值等于總體回歸參數(shù)的值。574、參數(shù)估計(jì)值的最小方差特性○參數(shù)估計(jì)值的最小方差特性是指在所有的線性無偏參數(shù)估計(jì)值中，普通最小二乘法的參數(shù)估計(jì)量具有最小的方差特性，即其波動(dòng)最小、最穩(wěn)定。58（2）證明：普通最小二乘法的參數(shù)估計(jì)量a1具有最小的方差特性，即：Var（a1）=σ2/∑xi2=>Min○假設(shè)a′1是用其他方法估計(jì)的關(guān)于a1的線性無偏估計(jì)量，即：a′1=∑CiYi，E（a′1）=a1其中Ci=ki+di

，di是不全為零的常數(shù)，據(jù)線性無偏性有：E（a′1）=E∑Ci（a0+a1Xi+i）=a0∑Ci+a1∑CiXi+∑CiE（i）=a0∑Ci+a1∑CiXi=a1因此得到：a0∑Ci=0，∑CiXi=1，由：a0∑Ci=0，得到：∑（ki+di）=0，即：∑di=0由：∑CiXi=1，得到：∑（ki+di）Xi=1即：∑diXi=0，那么：Var(a′1)=Var(∑CiYi)=∑Ci2Var（Yi）=∑Ci2σ2=σ2∑（ki+di）2展開∑（ki+di）2得到：∑（ki+di）2=∑ki2+∑di2+2∑kidi而∑kidi=∑xi/∑xi2di=∑(Xi-X)di/∑xi2=(∑Xidi-∑Xdi)/∑xi2=0，所以∑（ki+di）2=∑ki2+∑di2>∑Ki2，即：Var（a′1）>Var（a1）這就是著名的高斯—馬爾可夫定理。59

由于最小二乘估計(jì)量擁有一個(gè)“好”的估計(jì)量所應(yīng)具備的小樣本特性，它自然也擁有大樣本特性。

60五、參數(shù)估計(jì)量的概率分布及隨機(jī)干擾項(xiàng)方差的估計(jì)△參數(shù)估計(jì)量的概率分布△隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差2的估計(jì)611、參數(shù)估計(jì)量的概率分布622、隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差2的估計(jì)○2又稱為總體方差。○由于隨機(jī)項(xiàng)i不可觀測(cè)，只能從i的估計(jì)——?dú)埐頴i出發(fā)，對(duì)總體方差進(jìn)行估計(jì)。○可以證明，2的最小二乘估計(jì)量是關(guān)于2的無偏估計(jì)量。即：63在最大或然估計(jì)法中，因此，2的最大或然估計(jì)量不具無偏性，但卻具有一致性。

§2.3一元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

二、變量的顯著性檢驗(yàn)

三、參數(shù)的置信區(qū)間

65說明回歸分析是要通過樣本所估計(jì)的參數(shù)來代替總體的真實(shí)參數(shù)，或者說是用樣本回歸線代替總體回歸線。盡管從統(tǒng)計(jì)性質(zhì)上已知，如果有足夠多的重復(fù)抽樣，參數(shù)的估計(jì)值的期望（均值）就等于其總體的參數(shù)真值，但在一次抽樣中，估計(jì)值不一定就等于該真實(shí)值。那么，在一次抽樣中，參數(shù)的估計(jì)值與真值的差異有多大，是否顯著，這就需要進(jìn)一步進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)主要包括：擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、變量的顯著性檢驗(yàn)及參數(shù)的置信區(qū)間估計(jì)。66一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)○擬合優(yōu)度檢驗(yàn)：對(duì)樣本回歸直線與樣本觀測(cè)值之間擬合程度的檢驗(yàn)。度量擬合程度的指標(biāo)：判定系數(shù)（又稱可決系數(shù)）R2問題：采用普通最小二乘估計(jì)方法，已經(jīng)保證了模型最好地?cái)M合了樣本觀測(cè)值，為什么還要檢驗(yàn)擬合程度？問題在于，在一個(gè)特定的條件下，做的最好的并一定就是質(zhì)量最高的。所保證的最好擬合，最小二乘估計(jì)方法是同一問題內(nèi)部的比較，擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果所表示的是不同問題間的比較。（不同模型、變量）

△總離差平方和的分解△可決系數(shù)（擬合優(yōu)度系數(shù)）671、總離差平方和的分解⑴總離差的分解：已知由一組樣本觀測(cè)值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到如下樣本回歸直線：68⑵總離差平方和的分解：對(duì)于所有樣本點(diǎn)，則需考慮這些點(diǎn)與樣本均值離差的平方和，可以證明：如果Yi=?i

，即實(shí)際觀測(cè)值落在樣本回歸“線”上，則擬合最好，可認(rèn)為“離差”全部來自回歸線，而與“殘差”無關(guān)。其中：∑Xi

ei=0則有：∑?i

ei=0，∑（?i

-Y）ei=0，69記：總體平方和（TotalSumofSquares）

回歸平方和（ExplainedSumofSquares）

殘差平方和（ResidualSumofSquares

）○TSS=ESS+RSS○Y的觀測(cè)值圍繞其均值的總離差(totalvariation)可分解為兩部分：一部分來自回歸線(ESS)，另一部分則來自隨機(jī)勢(shì)力(RSS)。在給定樣本中，總體平方和TSS不變，如果實(shí)際觀測(cè)點(diǎn)離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大，因此定義：擬合優(yōu)度：回歸平方和ESS/Y的總離差平方和TSS702、可決系數(shù)R2○稱R2

為（樣本）可決系數(shù)/判定系數(shù)（coefficientofdetermination)?！鹂蓻Q系數(shù)的取值范圍：[0，1]。R2越接近1，說明實(shí)際觀測(cè)點(diǎn)離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高?！鹱⒁猓嚎蓻Q系數(shù)是一個(gè)非負(fù)的統(tǒng)計(jì)量。它也是隨著抽樣的不同而不同。為此，對(duì)可決系數(shù)的統(tǒng)計(jì)可靠性也應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn)，這將在第3章中進(jìn)行。在例2.1.1的收入－消費(fèi)支出例中，71二、變量的顯著性檢驗(yàn)○回歸分析是要判斷解釋變量X是否是被解釋變量Y的一個(gè)顯著性的影響因素。在一元線性模型中，就是要判斷X是否對(duì)Y具有顯著的線性影響。這就需要進(jìn)行變量的顯著性檢驗(yàn)?！鹱兞康娘@著性檢驗(yàn)所應(yīng)用的方法是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的假設(shè)檢驗(yàn)。在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，主要是針對(duì)變量的參數(shù)真值是否為零來進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的。

△假設(shè)檢驗(yàn)△變量的顯著性檢驗(yàn)△案例分析721、假設(shè)檢驗(yàn)○假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的一個(gè)主要內(nèi)容，其基本任務(wù)是根據(jù)樣本所提供的信息，對(duì)未知總體分布的某些假設(shè)作出合理的判斷。○所謂假設(shè)檢驗(yàn)，就是事先對(duì)總體參數(shù)或總體分布形式作出一個(gè)原假設(shè)（記為H0），然后利用樣本信息來判斷原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè)?！鸺僭O(shè)檢驗(yàn)采用的邏輯推理方法是反證法。先假定原假設(shè)H0正確，然后根據(jù)樣本信息觀察由此假設(shè)而導(dǎo)致的結(jié)果是否合理，從而判斷是否接受原假設(shè)○反證法的判斷結(jié)果合理與否，是基于“小概率事件不易發(fā)生”這一原理的。在原假設(shè)下構(gòu)造一個(gè)小概率事件，隨機(jī)抽樣容量為n的樣本進(jìn)行該事件的試驗(yàn)，如果該事件發(fā)生了，說明原假設(shè)是錯(cuò)誤的，因?yàn)椴辉摮霈F(xiàn)的小概率事件發(fā)生了，因而應(yīng)拒絕原假設(shè)的正確性。反之，則接受假設(shè)的正確性。732、變量的顯著性檢驗(yàn)○構(gòu)造t統(tǒng)計(jì)量：○檢驗(yàn)步驟（針對(duì)X的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)）：⑴對(duì)總體參數(shù)提出原假設(shè)H0：1=0，備擇假設(shè)H1：10；⑵以原假設(shè)H0構(gòu)造t統(tǒng)計(jì)量，并由樣本計(jì)算其實(shí)值；⑶給定顯著性水平，查t分布表得臨界值t/2(n-2)；⑷比較，并判斷：若|t|>t/2(n-2)，則拒絕H0接受H1

，X與Y顯著相關(guān)；若|t|t/2(n-2)，則拒絕H1接受H0

，X與Y不顯著相關(guān)；○對(duì)于一元線性回歸方程中的0，可以此方法構(gòu)造其t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。743、案例分析○案例2.3.1：在上述案例的家庭收入—消費(fèi)支出中，首先計(jì)算2的估計(jì)值，○

t統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果分別為：

給定顯著性水平=0.05，查t分布表臨界值：t0.05/2(8)=2.306○|t1|>2.306，說明家庭可支配收入在95%的置信度下顯著，即是消費(fèi)支出的主要解釋變量；○

|t0|<2.306，表明在95%的置信度下，無法拒絕截距項(xiàng)為零的假設(shè)。75三、參數(shù)的置信區(qū)間△置信區(qū)間估計(jì)△一元線性模型中i(i=0，1）的置信區(qū)間△如何縮小置信區(qū)間761、置信區(qū)間估計(jì)○假設(shè)檢驗(yàn)：可以通過一次抽樣的結(jié)果檢驗(yàn)總體參數(shù)可能的假設(shè)值的范圍（如是否為零），但它并沒有指出在一次抽樣中樣本參數(shù)值到底離總體參數(shù)的真值有多“近”。要判斷樣本參數(shù)的估計(jì)值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數(shù)的真值，往往需要通過構(gòu)造一個(gè)以樣本參數(shù)的估計(jì)值為中心的“區(qū)間”，來考察它以多大的可能性（概率）包含著真實(shí)的參數(shù)值。這種方法就是參數(shù)檢驗(yàn)的置信區(qū)間估計(jì)?！鹑绻嬖谶@樣一個(gè)區(qū)間，稱之為置信區(qū)間（confidenceinterval）；1-稱為置信系數(shù)（置信度）（confidencecoefficient），稱為顯著性水平（levelofsignificance）；置信區(qū)間的端點(diǎn)稱為置信限（confidencelimit）或臨界值（criticalvalues）。772、一元線性模型中i(i=0，1）的置信區(qū)間○在變量的顯著性檢驗(yàn)中已經(jīng)知道：○也就是意味著，如果給定置信度（1-），從分布表中查得自由度為(n-2)的臨界值，那么t值處在(-t/2,t/2)的概率是(1-)。表示為：即于是得到:(1-)的置信度下,i的置信區(qū)間是在上述收入-消費(fèi)支出例中，如果給定

=0.01，查表得：因?yàn)橐阎骸鹩谑牵?、0的置信區(qū)間分別為：

1∈（0.6345,0.9195)，0∈（-433.32,226.98）783、如何縮小置信區(qū)間○由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計(jì)值與總體參數(shù)真值的“接近”程度，因此置信區(qū)間越小越好?！鹨s小置信區(qū)間，一般需要采取以下措施：⑴增大樣本容量n。因?yàn)樵谕瑯拥闹眯潘较?，n越大，t分布表中的臨界值越?。煌瑫r(shí)，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差減小；⑵提高模型的擬合優(yōu)度。因?yàn)闃颖緟?shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差與殘差平方和呈正比，模型擬合優(yōu)度越高，殘差平方和應(yīng)越小?！鹉Ｐ蛥?shù)一般具有特定的經(jīng)濟(jì)意義，如案例中1的估計(jì)值為0.777，能否說邊際消費(fèi)傾向?yàn)?.777呢？不能，我們只能說：邊際消費(fèi)傾向以0.99的置信水平，處于以0.777為中心的區(qū)間（0.6345,0.9195)中。79§2.4一元線性回歸分析的應(yīng)用：預(yù)測(cè)問題

一、?0的無偏估計(jì)值二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間80說明對(duì)于一元線性回歸方程：給定樣本以外的解釋變量的觀測(cè)值X0，可以得到被解釋變量的預(yù)測(cè)值?0

，可以此作為其條件均值E(Y|X=X0)或個(gè)別值Y0的一個(gè)近似估計(jì)。嚴(yán)格地說，這只是被解釋變量的預(yù)測(cè)值的估計(jì)值，而不是預(yù)測(cè)值。原因是:

（1）參數(shù)估計(jì)量是不確定的；（2）存在隨機(jī)項(xiàng)的影響所以我們得到僅是預(yù)測(cè)值的一個(gè)估計(jì)值，預(yù)測(cè)值僅以某一個(gè)置信度處于以該估計(jì)值為中心的一個(gè)區(qū)間內(nèi)，預(yù)測(cè)在更大程度上說是一個(gè)區(qū)間估計(jì)問題81一、?0的無偏估計(jì)值△?0是條件均值E(Y|X=X0)的一個(gè)無偏估計(jì)△?0是個(gè)值Y0的一個(gè)無偏估計(jì)

821、?0是條件均值E(Y|X=X0)的無偏估計(jì)○對(duì)于總體回歸函數(shù)E(Y|X)=0+1X，當(dāng)X=X0時(shí)，有：E(Y|X=X0)=0+1X0

于是有：○可見，?0是條件均值E(Y|X=X0)的無偏估計(jì)。832、?0是個(gè)值Y0的一個(gè)無偏估計(jì)○對(duì)總體回歸模型Y=0+1X+，當(dāng)X=X0時(shí)，于是有：○可見，?0也是個(gè)值Y0的一個(gè)無偏估計(jì)。84二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間△總體均值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間△總體個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間△案例分析△小結(jié)851、總體均值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間由于已知：于是有：可以證明：因此有：故有：86○于是，在1-的置信度下，總體均值E(Y|X0)的置信區(qū)間為：其中872、總體個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間由Y0=0+1X0+

知:于是有：式中：○從而在1-的置信度下，Y0的置信區(qū)間為：883、案例分析○在上述收入—消費(fèi)支出案例中，得到的樣本回歸函數(shù)為：○則在X0=1000處，有：?0=–103.172+0.777×1000=673.84○而○因此，總體均值E(Y|X=1000)的95%的置信區(qū)間為：

673.84-2.30661.05<E(Y|X=1000)<673.84+2.30661.05

或者是：（533.05,814.62）○同樣地，對(duì)于Y在X=1000的個(gè)體值，其95%的置信區(qū)間為：

673.84-2.306130.88<Yx=1000<673.84+2.306130.88

或者是：(372.03,975.65)894、小結(jié)○對(duì)于Y的總體均值E(Y|X)與個(gè)值的預(yù)測(cè)區(qū)間（置信區(qū)間）：⑴樣本容量n越大，預(yù)測(cè)精度越高，反之預(yù)測(cè)精度越低；⑵樣本容量一定時(shí)，置信帶的寬度當(dāng)在X均值處最小，其附近進(jìn)行預(yù)測(cè)（插值預(yù)測(cè)）精度越大；X越遠(yuǎn)離其均值，置信帶越寬，預(yù)測(cè)可信度下降。⑶總體回歸函數(shù)的置信帶（域）和個(gè)體的置信帶（域）

90§2.5實(shí)例：時(shí)間序列問題

一、中國(guó)居民人均消費(fèi)模型

二、時(shí)間序列問題三、線性回歸模型評(píng)價(jià)91一、中國(guó)居民人均消費(fèi)模型△案例分析△建立模型△模型統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)△預(yù)測(cè)分析921、案例分析○案例2.5.1：考察中國(guó)居民收入與消費(fèi)支出的關(guān)系。GDPP：人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（1990年不變價(jià)）CONSP：人均居民消費(fèi)(以居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(1990=100)縮減)。

表2.5.1

中國(guó)居民人均消費(fèi)支出與人均GDP/人（元）

年份

人均居民消費(fèi)

CONSP

人均GDP

GDPP

年份

人均居民消費(fèi)

CONSP

人均GDP

GDPP

1978

395.8

675.1

1990

797.1

1602.3

1979

437.0

716.9

1991

861.4

1727.2

1980

464.1

763.7

1992

966.6

1949.8

1981

501.9

792.4

1993

1048.6

2187.9

1982

533.5

851.1

1994

1108.7

2436.1

1983

572.8

931.4

1995

1213.1

2663.7

1984

635.6

1059.2

1996

1322.8

2889.1

1985

716.0

1185.2

1997

1380.9

3111.9

1986

746.5

1269.6

1998

1460.6

3323.1

1987

788.3

1393.6

1999

1564.4

3529.3

1988

836.4

1527.0

2000

1690.8

3789.7

1989

779.7

1565.9

932、建立模型○該兩組數(shù)據(jù)是1978—2000年的時(shí)間序列數(shù)據(jù)(timeseriesdata)○前例中的收入—消費(fèi)數(shù)據(jù)是截面數(shù)據(jù)(cross-sectionaldata)?！饘?duì)案例擬建立一元回歸模型：○采用Eviews軟件進(jìn)行回歸分析的結(jié)果見下表2.5.2；○一般可寫出如下回歸分析結(jié)果：

(13.51)(53.47)SMPL:1978-2000R2=0.9927F=2859.23D.W=0.550394

表2.5.2中國(guó)居民人均消費(fèi)支出對(duì)人均GDP的回歸（1978~2000）

LS//DependentVariableis