第六講冪級數(shù)

第六講冪級數(shù)第1頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一(2)冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域任何冪級數(shù)在0都收斂。由例1知其收斂域是一個區(qū)間。第2頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一定理1.(Abel定理)

若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切x

冪級數(shù)都絕對收斂.在的一切x,該冪級數(shù)也發(fā)散.點發(fā)散,則對滿足不等式發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散第3頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者.他在22歲時就解決了用根式解5次方程的不可能性問題

,他還研究了更廣的一并稱之為阿貝爾群.在級數(shù)研究中,他得

到了一些判斂準(zhǔn)則及冪級數(shù)求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開拓了道路.數(shù)學(xué)家們工作150年.類代數(shù)方程,他是橢圓函數(shù)C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下的思想可供后人發(fā)現(xiàn)這是一類交換群,第4頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一證:

設(shè)收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使當(dāng)時,收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂.也收斂,第5頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一下面用反證法證之.假設(shè)有一點滿足且使級數(shù)收斂,級數(shù)在點的x,原冪級數(shù)也發(fā)散

.

則對一切滿足不等式則由前可知也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾。證畢設(shè)發(fā)散,第6頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一界點討論：在界點處函數(shù)項級數(shù)是否有相同斂散性？答：在界點處級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散，在兩個界點處的斂散性未必相同，要單獨討論.

因此，當(dāng)我們從原點出發(fā)，沿數(shù)軸向兩方走，后來遇到的全部是發(fā)散點.起初只遇到收斂點，第7頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一定義1若冪級數(shù)在這個R稱為冪級數(shù)的收斂半徑，而把開區(qū)間（-R,R）稱為收斂區(qū)間。冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂，規(guī)定R=0；冪級數(shù)僅在x=0收斂，R=

。(1)冪級數(shù)的收斂域是區(qū)間；(2)冪級數(shù)在(a,b)內(nèi)收斂，在(a,b)外發(fā)散，第8頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例3.

設(shè)在處收斂，則此級數(shù)在處收斂性如何？（A）條件收斂（B）絕對收斂#2012022801（C）發(fā)散（D）太難確定了第9頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例3.

設(shè)在處收斂，則此級數(shù)在處收斂性如何？解:

令設(shè)級數(shù)的收斂半徑為R。收斂，由阿貝爾定理第10頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一1.

已知處條件收斂,問該級數(shù)收斂半徑性質(zhì)為思考#2012022802第11頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一冪級數(shù)由它的系數(shù)數(shù)列所確定，故其收斂半徑R也應(yīng)由唯一確定第12頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一定理2.

若的系數(shù)滿足1)當(dāng)≠0時,2)當(dāng)＝0時,3)當(dāng)＝∞時,則第13頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一證:1)若≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)原級數(shù)收斂;當(dāng)原級數(shù)發(fā)散.即時,即時,因此級數(shù)的收斂半徑2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除x=0以外的一切x原級發(fā)散,對任意

x原級數(shù)因此因此第14頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一注意（1）缺項的冪級數(shù)不能直接用此定理解決：（ii）用一般級數(shù)收斂域求法（i）作變換（2）也可以由根值法求收斂半徑第15頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一對端點x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對端點x=1,級數(shù)為交錯級數(shù)收斂;

級數(shù)為發(fā)散.故收斂域為例1.求冪級數(shù)

第16頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例2.的收斂半徑.解:

級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理2,審斂法求收斂半徑.時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為故直接由比值第17頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例3.的收斂域.解:

令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2

時,級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=–2

時,級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為故原級數(shù)的收斂域為即第18頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例4.求下列冪級數(shù)的收斂域.解:(1)令級數(shù)變?yōu)橛谑?/p>

的收斂區(qū)間為第19頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一解:(1)令級數(shù)變?yōu)橛谑?/p>

級數(shù)在收斂，第20頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一2.

在冪級數(shù)中,n

為奇數(shù)n

為偶數(shù)它的收斂半徑?思考#2012022803第21頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一2.

在冪級數(shù)中,n

為奇數(shù)n

為偶數(shù)能否確定它的收斂半徑不存在?答:

不能.因為當(dāng)時級數(shù)收斂,時級數(shù)發(fā)散,說明:

可以證明:比值判別法成立根值判別法成立第22頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一三、冪級數(shù)的性質(zhì)1.四則運算性質(zhì)其中設(shè)有冪級數(shù)與，它們的收斂半徑分別為與，記，且.則(1)(2)第23頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一說明:兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個冪級數(shù)的收斂半徑小得多.例如,設(shè)它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是第24頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一2.冪級數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì)(4.8)性質(zhì)1冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域I上連續(xù).即有或(4.7)性質(zhì)2冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上可積，并且可以逐項積分，即有逐項求極限第25頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)3冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并且可以逐項求導(dǎo)，即有并且逐項求積或逐項求導(dǎo)后所得的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑.(4.9)反復(fù)應(yīng)用上述結(jié)論可得，冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù).你發(fā)現(xiàn)這三條性質(zhì)的條件有什么不同嗎？逐項求極限、逐項積分是在收斂域I上；而逐項求導(dǎo)限制在收斂域區(qū)間(-R,R)內(nèi).第26頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例1.

的和函數(shù)解:

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,x＝±1時級數(shù)發(fā)散,第27頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例2.

求級數(shù)的和函數(shù)解:

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,及收斂,第28頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而及第29頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一解:

級數(shù)的收斂半徑R＝+∞.例3.則故有故得的和函數(shù).因此得設(shè)第30頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例4.解:

設(shè)則第31頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一而故第32頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一內(nèi)容小結(jié)1.求冪級數(shù)收斂域的方法1)對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.2)對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項或通項為復(fù)合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2.冪級數(shù)的性質(zhì)兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進行加、減與也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.乘法運算.2)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和求積分.第33頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一第四節(jié)兩類問題:在收斂域內(nèi)和函數(shù)求和展開本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒(Taylor)級數(shù)

二、函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)

第十一章第34頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一一、泰勒(Taylor)級數(shù)

其中(

在

x

與x0

之間)稱為拉格朗日余項

.則在若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),此式稱為f(x)的n

階泰勒公式

,該鄰域內(nèi)有:第35頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一為f(x)

的泰勒級數(shù)

.則稱當(dāng)x0=0

時,泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù)

.1)對此級數(shù),它的收斂域是什么？2)在收斂域上,和函數(shù)是否為f(x)?待解決的問題:若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),第36頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一定理1

.各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要條件是f(x)的泰勒公式中的余項滿足:證明:令設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)具有第37頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一定理2.若f(x)能展成x

的冪級數(shù),則這種展開式是唯一的,且與它的麥克勞林級數(shù)相同.證:

設(shè)f(x)所展成的冪級數(shù)為則顯然結(jié)論成立.第38頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.直接展開法由泰勒級數(shù)理論可知,第一步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0處的值;第二步寫出麥克勞林級數(shù),并求出其收斂半徑R;第三步判別在收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)是否為驟如下:展開方法直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知其級數(shù)展開式0.的函數(shù)展開第39頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例1.

將函數(shù)展開成x

的冪級數(shù).解:

其收斂半徑為對任何有限數(shù)

x

,其余項滿足故(

在0與x之間)故得級數(shù)第40頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例2.

將展開成x

的冪級數(shù).解:

得級數(shù):其收斂半徑為對任何有限數(shù)

x,其余項滿足第41頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一類似可推出:(見P281頁)第42頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例3.

將函數(shù)展開成x

的冪級數(shù),其中m為任意常數(shù).解:

易求出于是得級數(shù)由于級數(shù)在開區(qū)間(－1,1)內(nèi)收斂.因此對任意常數(shù)m,第43頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一推導(dǎo)則為避免研究余項,設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為第44頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一稱為二項展開式

.說明：(1)在x＝±1

處的收斂性與m

有關(guān).(2)當(dāng)m

為正整數(shù)時,級數(shù)為x

的m

次多項式,上式就是代數(shù)學(xué)中的二項式定理.由此得第45頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一對應(yīng)的二項展開式分別為第46頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一2.間接展開法利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì),例4.

將函數(shù)展開成x

的冪級數(shù).解:

因為把x

換成,得將所給函數(shù)展開成冪級數(shù).第47頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例5.

將函數(shù)展開成x

的冪級數(shù).解:從0到x

積分定義且連續(xù),區(qū)間為利用此題可得上式右端的冪級數(shù)在x

＝1