陜西省榆林市第十中學(xué)屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題文

PAGEPAGE12陜西省榆林市第十中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題文(滿分：150分，考試時間：120分鐘)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．集合M＝{x|lgx＞0}，N＝{x|x2≤4}，則M∩N等于()(A)(－2，0)(B)[1，2)(C)(1，2](D)(0，2]2．2lg2－lg

eq\f(1,25)的值為()(A)1(B)2(C)3(D)43．命題“?x∈R，|x|＋x4≥0”的否定是()(A)?x∈R，|x|＋x4＜0(B)?x∈R，|x|＋x4≤0(C)?x0∈R，|x0|＋xEQ\s\(4,0)≥0(D)?x0∈R，|x0|＋xEQ\s\(4,0)＜04．曲線y＝eq\f(x＋1,x－1)在點(0，－1)處的切線方程為()(A)y＝－2x－1(B)y＝2x－1(C)y＝－2x＋1(D)y＝2x＋15．設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(x≥1,x－2y＋3≥0,x－y≥0))，則目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y的最小值為()(A)－1(B)0(C)1(D)36．函數(shù)f

(x)＝logEQ\o\ac(,\s\down3(\f(1,2)))(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間為()(A)(0，＋∞)(B)(－∞，0)(C)(2，＋∞)(D)(－∞，－2)7．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，以下結(jié)論錯誤的是()(A)異面直線A1D與AB1所成的角為60°(B)直線A1D與BC1垂直(C)直線A1D與BD1平行(D)三棱錐A－A1CD的體積為eq\f(1,6)a38．若正數(shù)x，y滿足3x＋y＝5xy，則4x＋3y的最小值是()(A)2(B)3(C)4(D)59．已知正方形ABCD的邊長為2，點P是BC的中點，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BQ,\s\up6(→))，則向量eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))等于()(A)1(B)5(C)7(D)－1310．已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，且當(dāng)x∈[0，＋∞)時，f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝0．76f(0．76)，b＝(log0．76)f(log0．76)，c＝60．6·f(60．6)，則a，b，c的大小關(guān)系是()(A)c＞a＞b(B)a＞c＞b(C)b＞a＞c(D)a＞b＞c11．如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體任意兩個頂點間距離的最大值是()(A)6(B)3eq\r(3)(C)3eq\r(2)(D)412．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(ex－1，x≤0,x2－ax，x＞0))，若關(guān)于x的方程f(x)＋m＝0對任意的m∈(0，1)有三個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是()(A)(－∞，－2](B)[2，＋∞)(C)[－2，2](D)(－∞，－2]∪[2，＋∞)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝．14．已知向量EQ\o\ac(a,\s\up6(→))與EQ\o\ac(b,\s\up6(→))的夾角為eq\f(π,3)，且|EQ\o\ac(a,\s\up6(→))|＝1，|2EQ\o\ac(a,\s\up6(→))－EQ\o\ac(b,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，則|EQ\o\ac(b,\s\up6(→))|等于．15．已知α∈(0，eq\f(π,6))，若sin2α＋sin2α＝1，則tanα＝；sin2α＝．(本題第一空2分，第二空3分)16．三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2eq\r(2)，底面△ABC中∠BAC＝eq\f(π,4)，邊BC＝2，則三棱錐外接球的體積等于．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．(10分)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3．(1)求{an}的通項公式；(2)記Sn為{an}的前n項和，若Sm＝63，求m．18．(12分)已知△ABC同時滿足下列四個條件中的三個：①A＝eq\f(π,3)；②cosB＝－eq\f(2,3)；③a＝7；④b＝3．(1)請指出這三個條件，并說明理由；(2)求△ABC的面積．19．(12分)在公差為d的等差數(shù)列{an}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d．(1)求{an}的通項公式；(2)若a1，a4，a13成等比數(shù)列，求數(shù)列{eq\f(1,anan＋1)}的前n項和Sn．20．(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax(其中a為實數(shù))．(1)若x＝－1是f(x)的極值點，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f(x)在(－2，＋∞)上是增函數(shù)，求a的取值范圍．21．(12分)已知向量EQ\o\ac(m,\s\up6(→))＝(2cosωx，－1)，EQ\o\ac(n,\s\up6(→))＝(sinωx－cosωx，2)，其中ω＞0，函數(shù)f(x)＝EQ\o\ac(m,\s\up6(→))·EQ\o\ac(n,\s\up6(→))＋3，若函數(shù)f(x)圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為eq\f(π,2)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)f(x)的圖象先向左平移eq\f(π,4)個單位長度，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,2)，得到函數(shù)g(x)的圖象，當(dāng)x∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,2)]時，求函數(shù)g(x)的值域．22．(12分)已知函數(shù)f(x)＝ax－lnx．(1)求f(x)的極值；(2)若a＝1，g(x)＝ex－f(x)－lnx＋1，求證：g(x)≥0．

1．集合M＝{x|lgx＞0}，N＝{x|x2≤4}，則M∩N等于()A．(－2，0)B．[1，2)C．(1，2]D．(0，2]答案C解析因為M＝{x|x＞1}，N＝{x|－2≤x≤2}，所以M∩N＝(1，2]．2．2lg2－lg

eq\f(1,25)的值為()A．1B．2C．3D．4答案B解析2lg2－lg

eq\f(1,25)＝lg100＝2，故選B．3．命題“?x∈R，|x|＋x4≥0”的否定是()A．?x∈R，|x|＋x4＜0 B．?x∈R，|x|＋x4≤0C．?x0∈R，|x0|＋xEQ\s\(4,0)≥0 D．?x0∈R，|x0|＋xEQ\s\(4,0)＜0答案D解析命題的否定為：?x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(4,0)＜0．4．曲線y＝eq\f(x＋1,x－1)在點(0，－1)處的切線方程為()A．y＝－2x－1 B．y＝2x－1C．y＝－2x＋1 D．y＝2x＋1答案A解析由y＝eq\f(x＋1,x－1)，可得y′＝eq\f(x－1－x＋1,x－12)＝－eq\f(2,x－12)，所以曲線在點(0，－1)處的切線的斜率為k＝－2，所以曲線y＝eq\f(x＋1,x－1)在點(0，－1)處的切線方程為y＝－2x－1．5．設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(x≥1,x－2y＋3≥0,x－y≥0))，則目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y的最小值為()A．－1B．0C．1D．3答案C解析由約束條件可得可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，將z＝2x－y變?yōu)閥＝2x－z，當(dāng)z取最小值時，y＝2x－z在y軸截距最大，由y＝2x圖象平移可知，當(dāng)y＝2x－z過點A時，在y軸截距最大，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝x))得A(1，1)，∴zmin＝2×1－1＝1，故選C．6．函數(shù)f

(x)＝logEQ\o\ac(,\s\down3(\f(1,2)))(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)答案D解析函數(shù)y＝f

(x)的定義域為(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因為函數(shù)y＝f

(x)由y＝與t＝g(x)＝x2－4復(fù)合而成，又y＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，g(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)y＝f

(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增．7．如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體任意兩個頂點間距離的最大值是()A．6B．3eq\r(3)C．3eq\r(2)D．4答案B解析由三視圖知幾何體的直觀圖如圖所示，計算可知線段AF最長，且AF＝eq\r(BF2＋AB2)＝eq\r(3\r(2)2＋32)＝3eq\r(3)．8．若正數(shù)x，y滿足3x＋y＝5xy，則4x＋3y的最小值是()A．2B．3C．4D．5答案D解析由3x＋y＝5xy，得eq\f(3x＋y,xy)＝eq\f(3,y)＋eq\f(1,x)＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,y)＋\f(1,x)))＝eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋9＋\f(3y,x)＋\f(12x,y)))≥eq\f(1,5)(4＋9＋2eq\r(36))＝5，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3y,x)＝eq\f(12x,y)，即x＝eq\f(1,2)，y＝1時，“＝”成立，故4x＋3y的最小值為5．故選D．9．已知正方形ABCD的邊長為2，點P是BC的中點，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BQ,\s\up6(→))，則向量eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))等于()A．1B．5C．7D．－13答案C解析畫出圖象如圖所示，依題意可知A是線段BQ的中點，P是線段BC的中點．故eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋2eq\o(CD,\s\up6(→))．故eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CD,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(CB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(CB,\s\up6(→))＋2\o(CD,\s\up6(→))))＝2eq\o(CD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))2＝8－1＝7．10．已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，且當(dāng)x∈[0，＋∞)時，f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝0．76f(0．76)，b＝(log0．76)f(log0．76)，c＝60．6·f(60．6)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c＞a＞b B．a(chǎn)＞c＞bC．b＞a＞c D．a(chǎn)＞b＞c答案A解析因為定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以y＝xf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，又因為x∈[0，＋∞)時，y′＝f(x)＋xf′(x)＞0，所以y＝xf(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，所以y＝xf(x)是定義在R上的增函數(shù)，因為log0．76＜0＜0．76＜1＜60．6，所以b＜a＜c．11．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，以下結(jié)論錯誤的是()A．異面直線A1D與AB1所成的角為60°B．直線A1D與BC1垂直C．直線A1D與BD1平行D．三棱錐A－A1CD的體積為eq\f(1,6)a3答案C解析略12．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(ex－1，x≤0,x2－ax，x＞0))，若關(guān)于x的方程f(x)＋m＝0對任意的m∈(0，1)有三個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是()A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)答案B解析因為關(guān)于x的方程f(x)＋m＝0對任意的m∈(0，1)有三個不相等的實數(shù)根，因為當(dāng)x≤0時，?m∈(0，1)，ex－1＝－m有一根，所以當(dāng)x＞0時，x2－ax＝－m恒有兩個正根，由二次函數(shù)的圖象可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)>0，,Δ＝a2－4m>0))對任意的m∈(0，1)恒成立，所以a2≥4，解得a≥2．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________．答案180解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180．14．已知向量a與b的夾角為eq\f(π,3)，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(3)，則|b|等于________．答案1解析∵向量a與b的夾角為eq\f(π,3)，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(3)，∴|2a－b|2＝3，即4a2－4a·b＋b2＝3，∴4－2|b|＋|b|2＝3，∴|b|＝1．15．已知α∈(0，eq\f(π,6))，若sin2α＋sin2α＝1，則tanα＝______；sin2α＝________．(本題第一空2分，第二空3分)答案eq\f(1,2)eq\f(4,5)解析sin2α＋sin2α＝1＝sin2α＋cos2α?sin2α＝cos2α?tanα＝eq\f(1,2)；sin2α＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)＝eq\f(1,1＋\f(1,4))＝eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(1,2)，sin2α＝eq\f(4,5)．16．三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2eq\r(2)，底面△ABC中∠BAC＝eq\f(π,4)，邊BC＝2，則三棱錐外接球的體積等于________．答案eq\f(32π,3)解析設(shè)G為△ABC外接圓圓心，O為三棱錐P－ABC外接球球心，則OG⊥平面ABC，作OM⊥PA，垂足為M，由正弦定理可知△ABC外接圓直徑2r＝2AG＝eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(2,sin\f(π,4))＝2eq\r(2)，∴AG＝eq\r(2)．∵PA⊥平面ABC，OG⊥平面ABC，∴AP∥OG，又OM⊥PA，AG⊥PA，∴OM∥AG，∴四邊形OMAG為矩形，∴OG＝AM，設(shè)OG＝x，OP＝OA＝R，在Rt△OMP和Rt△OGA中，由勾股定理可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2＝R2，,2\r(2)－x2＋2＝R2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)，,R＝2.))∴三棱錐外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3)．17．等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3．(1)求{an}的通項公式；(2)記Sn為{an}的前n項和，若Sm＝63，求m．解(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1．由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2．故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*)．(2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝eq\f(1－－2n,3)．由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解．若an＝2n－1，則Sn＝2n－1．由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6．綜上，m＝6．18．已知△ABC同時滿足下列四個條件中的三個：①A＝eq\f(π,3)；②cosB＝－eq\f(2,3)；③a＝7；④b＝3．(1)請指出這三個條件，并說明理由；(2)求△ABC的面積．解(1)△ABC同時滿足①③④．理由如下：若△ABC同時滿足①②．因為cosB＝－eq\f(2,3)＜－eq\f(1,2)，且B∈(0，π)，所以B＞eq\f(2π,3)．所以A＋B＞π，與三角形內(nèi)角和為π矛盾．所以△ABC只能同時滿足③④．因為a＞b，所以A＞B，故△ABC不滿足②．故△ABC滿足①③④．(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，即72＝32＋c2－2×3×c×eq\f(1,2)．解得c＝8或c＝－5(舍)．所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝6eq\r(3)．19．在公差為d的等差數(shù)列{an}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d．(1)求{an}的通項公式；(2)若a1，a4，a13成等比數(shù)列，求數(shù)列{eq\f(1,anan＋1)}的前n項和Sn．解(1)∵a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝6，,d＝1.))當(dāng)a1＝3時，an＝2n＋1；當(dāng)a1＝6時，an＝n＋5．(2)∵a1，a4，a13成等比數(shù)列，∴a1a13＝aeq\o\al(2,4)，∴an＝2n＋1，則eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))，故Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)＋\f(1,5)－\f(1,7)＋…＋\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,2n＋3)))＝eq\f(n,6n＋9)．20．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax(其中a為實數(shù))．(1)若x＝－1是f(x)的極值點，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f(x)在(－2，＋∞)上是增函數(shù)，求a的取值范圍．解(1)因為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax，所以f′(x)＝x2－2x＋a，因為x＝－1是f(x)的極值點，所以f′(－1)＝0，即1＋2＋a＝0，所以a＝－3，故f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)＜0，解得－1＜x＜3，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，3)．(2)因為f(x)在(－2，＋∞)上為增函數(shù)，所以f′(x)＝x2－2x＋a≥0在(－2，＋∞)上恒成立，即a≥－x2＋2x在(－2，＋∞)上恒成立，因為g(x)＝－x2＋2x在(－2，1)上是增函數(shù)，在(1，＋∞)上是減函數(shù)，所以g(x)≤g(1)＝1，所以a≥1，即a的取值范圍為[1，＋∞)．21．已知向量EQ\o\ac(m,\s\up6(→))＝(2cosωx，－1)，EQ\o\ac(n,\s\up6(→))＝(sinωx－cosωx，2)，其中ω＞0，函數(shù)f(x)＝EQ\o\ac(m,\s\up6(→))·EQ\o\ac(n,\s\up6(→))＋3，若函數(shù)f(x)圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為eq\f(π,2)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)f(x)的圖象先向左平移eq\f(π,4)個單位長度，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,2)，得到函數(shù)g(x)的圖象，當(dāng)x∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,2)]時，求函數(shù)g(x)的值域．解(1)由題意可得f(x)＝m·n＋3＝2cosωx(sinωx－cosωx)－2＋3＝2sinωxcosωx－(2cos2ωx－1)＝sin2ωx－cos2ωx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,4)))．由題意知，T＝eq\f(2π,2ω)＝π，得ω＝1，則f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))．由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得kπ－eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(3π,8)，k∈Z，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8)))，k∈Z．(2)將f(x)的圖象向左平移eq\f(π,4)個單位長度，得到y(tǒng)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,2)，得到g(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\