結(jié)構(gòu)的近似方法

近似分析方法第1節(jié)概述對(duì)于力學(xué)問(wèn)題(如穩(wěn)定問(wèn)題)，通過(guò)建立微分方程求解，往往有一定的困難，甚至不能得到閉合解，必須采用近似方法，它能滿足工程計(jì)算的精度要求。無(wú)限自由度體系的特性常用微分方程來(lái)描述，而近似方法把實(shí)際的無(wú)限自由度連續(xù)體用有限自由度的體系來(lái)代替，其特征可用代數(shù)方程來(lái)描述。第2節(jié)Timoshenko能量法原理若體系處于穩(wěn)定平衡時(shí)（參考狀態(tài)），施微小擾動(dòng)力，則體系應(yīng)變能增量=外荷載作功增量+擾動(dòng)力所作功。因此，>時(shí)，結(jié)構(gòu)體系穩(wěn)定平衡。<時(shí)，結(jié)構(gòu)體系不穩(wěn)定平衡?！鱨壓縮lx△l壓縮lxPS=ldsyP失穩(wěn)dsdxdy實(shí)例例1：以兩端簡(jiǎn)支的理想壓桿為例，取剛要屈曲的直桿作為參考狀態(tài)。失穩(wěn)后下降的過(guò)程中，應(yīng)力、應(yīng)變均不變，故?，F(xiàn)考察：在軸上投影為，其差為由二項(xiàng)式定理并注意微彎狀態(tài)下（小變形），可略去以上的高階項(xiàng)得所以，外力所作功增量為攔泊悔饑靜秋（賠1肆）逆彎曲應(yīng)變能增杯量為悲監(jiān)著兇院獄仿匹榆（飛2羽）垃或造（本例中打）險(xiǎn)濟(jì)厚凍甚（鑼3佳）箭要求勿或歐必須先確定沿假定誓，此式滿足潤(rùn)幾何邊界條件葬切盒力學(xué)邊界條件擁蘆袋將宮代入式棍（匯1伏）、電（敬2媽）中得急令館（代數(shù)方程）愉，得額所得結(jié)果與精攤確值完全一致歡，這是因?yàn)樗始俣ǖ暮瘮?shù)作完全正確之故塘（它即滿足幾執(zhí)何邊界條件，疾又滿足力學(xué)邊逢界條件，其參反數(shù)幅蠅值品A窩會(huì)自然消去）寫。②假設(shè)散由幾何邊界條蟻件：謎得式，濱得因此絲上式滿足幾何知邊界條件但不閃滿足桿端彎矩眾為功0迎的力學(xué)邊界條樹(shù)件，因?yàn)楣?。擱（式斬(及2寇)咐得）也令嚇（代數(shù)方程）贏，得貼比駛（精確解）吉大騾21濕%轎。③仍假定則胃（式砍（鴉3討）得）來(lái)由廚得襪，比精確解僅觀大字1卻.3%換。2、方法境一次近似屢解侍,床只包括一個(gè)參蝕數(shù)繼,循即一個(gè)自由度縱對(duì)應(yīng)一個(gè)方程攪。為了得到更湖精確的解，可方假定喪曲線包含更多書的參數(shù)：假設(shè)怎式中，岔是滿足邊界條掘件的關(guān)于葵的函數(shù)，叫做五坐標(biāo)函數(shù)或試元解函數(shù)；氧是參變數(shù)，叫瞞廣義坐標(biāo)。尚仍以兩端鉸支側(cè)的軸心壓桿為貍例，則，由，解得首式中，械、唉均為銳的二次函數(shù)。乒為了得到臨界膊荷載，必須使此為最小，因此或（）縱這是包含袍的齊次線性方扣程組，斬不全民為朝0我的條件是崖，可求解臨界訊荷載報(bào)。歸結(jié)為特征嘆值問(wèn)題。3、小結(jié)息能量法可避免盜解微分方程，蓋歸結(jié)為特征值狼問(wèn)題。終模呆②具由于正確的縣事先并不知道賠，故一般只能候得到近似解。灶若假定的扣是正確的，則校得到精確解，濃能量法的精度良取決于位移函值數(shù)的選擇，選眾擇越合理，則扎精度越高。選雪擇時(shí)應(yīng)考慮三摩點(diǎn)：其一，形細(xì)狀合理；其二慚，盡可能滿足度幾何、力學(xué)邊磨界條件，至少隸滿足幾何邊界偽條件；其三，羽易積分，便于糊計(jì)算（常用多閣項(xiàng)式和三角函除數(shù)）；庫(kù)鳴蛇③訊由于盜常不是真實(shí)曲堪線，則寨的誤差比繪引起的誤差更傘大，故用式鳳(燈3)倘求高比用式霸(衣2)唉求蠶精度高；草倒今④揉用能量法求解例較精確值高。須這是由于假定齊的曲線不是真叨實(shí)曲線，相當(dāng)?shù)┯谠黾恿思s束憂；墨⑤積提高精度的另冷一方法是增加慚自由度，但求才解復(fù)雜；母⑥富當(dāng)精確解未知叮時(shí)，很難判斷若解的精度，這駛是能量法的一捕個(gè)缺點(diǎn)。但可慕將兩次近似解治比較，若很接臂近，說(shuō)明誤差串不大。腫第艇3緊節(jié)癢拼變分法予下一節(jié)將介紹釘更有效、更通普用的能量法－血?jiǎng)菽荞v值原理未。為此，先對(duì)膛變分原理作一括簡(jiǎn)單介紹，以境便在勢(shì)能駐值色原理中應(yīng)用。閉變分法是普通殺微積分中求極也值問(wèn)題的推廣瞞，用以研究泛沾函的極值問(wèn)題杠。騰泛函：即函數(shù)陸的函數(shù)。設(shè)定積分 飯式中，杜是劫的函數(shù)，因此壯I離是一個(gè)泛函。丑變分法就是確予定郵使籍取極值的方法黎，其結(jié)果是得嫂到輝必須滿足一個(gè)量或一組微分方副程。本章的重液點(diǎn)放在獲得使哀泛函取極值的激必要條件的微鞋分方程。誦只包含一個(gè)自現(xiàn)變量妨的一個(gè)函數(shù)白的泛函慕紐蟻華堆齒竟（該1晴）附在邊界條件借和棕下的極值問(wèn)題賀。即求筋為極值時(shí)的悄。寧設(shè)函數(shù)母對(duì)涉都有一階和二母階連續(xù)偏導(dǎo)，思有一階、二階站導(dǎo)數(shù)。們圖中曲線廉為逼，稱為原曲線象或極值曲線。蘇考慮任意函數(shù)原，才及導(dǎo)數(shù)在諷區(qū)間連續(xù)，且桂，舟。樂(lè)則可找到一族忙比較曲線鬧：撿嚷，流式中，器是一個(gè)微小參遇數(shù)，可選擇足礎(chǔ)夠小的蜻使驕，搖是任意選定的俊小數(shù)，足稱為原曲線翅的鄰近曲線，央它們的端點(diǎn)兼、刮相同，臟叫做容許函數(shù)遼。選取不同的妻，可得到不同個(gè)的鄰近曲線。愉在變分法中稱愛(ài)為挺的變分，記作陰，于是， ，式中，，匪和王的變分，也是前的函數(shù)，表示慣原曲線膏變到鄰近曲線們時(shí)，轉(zhuǎn)和客的相應(yīng)變化。由于，萬(wàn)在狼導(dǎo)數(shù)的變分等戒于變分的導(dǎo)數(shù)始，即貧和澡兩個(gè)符號(hào)可以焦互換位置。鷹將鄰近曲線號(hào)代入式柱（慚1開(kāi)）中得匆導(dǎo)鍋展族（皇2撐）省對(duì)于給定的施，艱是參數(shù)開(kāi)的一元函數(shù)，刊因此將一個(gè)求扛泛函極值問(wèn)題傾轉(zhuǎn)化為求普通戚函數(shù)的極值問(wèn)井題。此外，設(shè)灌是使殃為極值的函數(shù)體，這就要求在絡(luò)得到極值條件囑后尚應(yīng)使迫，這就得到泛礦函矛的極值條件為扁藏薦皺額諸稻（梨3西）或?qū)懗?，即嫂上式兩邊各乘緊以強(qiáng)，可改寫成似槽雷妹罷星草鍛苗趣（伶4旺）抱這就是泛涵藏有極值的必要而條件。余式中被積函數(shù)辨的幾何意義是亭變化薄和習(xí)變化述后西的變化，即怕子嘴魄嶄吸駐麗（瓜5舉）暑于是，當(dāng)琴不變時(shí)（參見(jiàn)身圖），斤增加了釀，影增加了捏，劃就增加裂，因而積分陶增加了毒，式誰(shuí)（剛4雹）的意義是益因此，泛涵擔(dān)有極值的必要紗條件是泛函的鞠一階變分剃應(yīng)等于零，即繡替際牲甩填得生雹申（暗6類）柱下面將式傻（攏4繳）進(jìn)行變換，診由式濃（肆4故）得 （7） （7）駱由于閘可以有不等于罩零的任意值，晝故有缺卷自塞挺苦系（志8予）唇說(shuō)明泛函堅(jiān)在曲線軍上取極值，則鄰曲線燭必然是上述微夢(mèng)分方程的解，艇式笛（荷8閑）叫做歐拉方確程。求解泛函舉的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)牲化為求解一個(gè)坡微分方程。錄是泛函以得極課值的必要條件誘，至于是極大順還是極小，要芽考察高階變分性。銳已定義疤并滿足冒，則稱益為匆的蒙鄰近。嚷呼共若去在它的帖鄰近的一切曲夾線逗都滿足不等式浩，則泛函聞在曲線擠上取得極小值酬。旋若雪，則取得極大勉值。西取得極小值的桿條件是塘。根據(jù)多元函疾數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)朵， （9） （9）榆式中，戀和艇分別為二階和佳三階變分。燃修昌由于取得極值撐的必要條件是匯，則昨?qū)τ谌我馔?，若打，則強(qiáng)為極?。蝗籼K，則慚為極大。砌危羨對(duì)于一般力學(xué)再問(wèn)題，極大還允是極小值，可化由問(wèn)題的性質(zhì)靈確定，不一定肝要求高階變分符。桐下面說(shuō)明杠與全微分繁是有區(qū)別的。嗎是礦的變化引起了定和旱變化，從而引護(hù)起吩變化；疑是由于絮變成辮后蘆的變化，此時(shí)六固定不變。杜2啄、自然邊界條視件灘在式開(kāi)（報(bào)7盯）中利用了膏、將兩邊界處慈的條件。假如抽在邊界上不預(yù)爸先給定，則只站有臂前餡栽勉鎮(zhèn)跨稍爺燒穿干（爺1筋0或）拜和式糞（杯8錫）歐拉方程同探時(shí)成立，才能峽得到鉤，即式刑（船7駕）成立。噸式限（矮1斬0靜）是變分計(jì)算射時(shí)自然得到的深附加邊界條件詞，故稱為自然恒邊界條件，它匪往往就是力學(xué)搏問(wèn)題中的力學(xué)拼邊界條件。違變化問(wèn)題的解嘆就是在自然邊嫁界條件下求解晴歐拉方程。因消此，在求解力石學(xué)問(wèn)題時(shí)，幾盤何邊界必須先情給出，力學(xué)邊冠界條件可以不握必預(yù)先給出而予在變分計(jì)算中喪自然得到，這鉗是變分原理的雨一個(gè)特點(diǎn)。欄3壩、當(dāng)積分津中還包含族時(shí)托，。拒設(shè)邊界條件，挨，猶，喚，喇都已知，現(xiàn)在樂(lè)來(lái)求使狠有極值的臥所必須滿足的雖歐拉方程。必要條件，而爸分部積分并利家用邊界處像，則耕閱急從而得到金所須滿足的歐闖拉方程宴隊(duì)最宜讓速板（蔽1屈1嶼）佳4毀、當(dāng)泛函艙中包含自變量禾的幾個(gè)函數(shù)及繭其導(dǎo)數(shù)時(shí)：屈在道分部積分并利障用撤，得游洋毅泉（柱1客2獨(dú)）逗解式氧（善1謹(jǐn)2廁），可確定使嶼為極值的肝個(gè)函數(shù)怕。李5醬、當(dāng)泛函中包執(zhí)含兩個(gè)自變量忌的一個(gè)函數(shù)時(shí)皮，忌印凳給定竟邊界條件：懷其中，工是區(qū)域栗的邊界閉曲線拜，番為給定值。必要條件，即抗吩眉利用分部積分畝法和邊界條件借，得摧姜土猶鳳季治（熟1賄3土）弓這就是使作有極值時(shí)，說(shuō)必須滿足的歐攏拉方程。道6每、附加條件下詞的變分問(wèn)題增求界使泛函描為極值并同時(shí)哀滿足下列附加鋒條件戒，式中庸為任意常數(shù)，弱邊界條件是憶和遲。壁利用鉗Lagran畝ge爹待定乘子求解脫，設(shè)膀Lagran鄉(xiāng)ge掃乘子為溫，得新泛函腹嗎裝對(duì)此泛函取變董分的獨(dú)立變量瓜為箭和窩，并令窯，則于是得量堡賊駱弊詢互懸捐（蘆1卵4途）和嗽在邊界條件唇，壁和附加條件很下求解歐拉方置程式項(xiàng)（漢1廉4麻），即得使革取得極值的蛙。走第墾4察節(jié)必現(xiàn)勢(shì)能駐值原理泡和最小勢(shì)能原繳理困勢(shì)能駐值原理河和最小勢(shì)能原腹理是能量法中懶的一個(gè)重要原組理，應(yīng)用極廣剖，它可導(dǎo)自虛崇位移原理。等虛位移原理：威當(dāng)彈性體（線井性或非線性的后）處于平衡狀川態(tài)時(shí)，對(duì)任意晌虛位移，外力仔虛功與內(nèi)力虛樸功的總和應(yīng)等憑于零，即屬條走閥竟蒙伍（盛1闖）周始終為負(fù)值，自應(yīng)等于負(fù)的應(yīng)足變能賢，即貝，則猛粉幸結(jié)傍嶺多糧轟（使2雖）鍛基椅或注在桌聞滔承嘴謹(jǐn)（廚3紛）上式址（湖2至）與式圖（某3汽）意義不同：共式街（癥2扣）表示內(nèi)力虛合功與外力虛功粘的和為零，是扶虛位移原理；虧式方（搖3死）表示虛應(yīng)變休能（虛內(nèi)力勢(shì)姑能）興與虛外力勢(shì)能思之和為零。疤羞角虛位移是位移瞇的微小增量，描實(shí)際是位移的巡一階變分，情也是一階變分啄。因此，式零（授3副）將為秀撈悉榮秤睡和（姓4壞）妥式中，超為總勢(shì)能，它因是應(yīng)變能和外兩力勢(shì)能之和；握、賊、析均可從某一參椅考狀態(tài)算起。倘例如桿的屈曲捏問(wèn)題。弦式海（咳4部）導(dǎo)自虛位移狀原理，適用于晃彈性體。其意縣義是當(dāng)彈性體余系處于平衡狀雁態(tài)時(shí)，總勢(shì)能蠢一階變分為零衡，或體系總勢(shì)哄能為一駐值，映這就叫勢(shì)能駐櫻值原理。玻是彈性體系處接于平衡狀態(tài)的吳充要條件。但恰平衡是否穩(wěn)定詳，還要進(jìn)一步橡考察瞞的高階變分。稍勢(shì)能是以位移涼場(chǎng)為變量的函骨數(shù)，起是一個(gè)泛函，繞由上節(jié)可知濟(jì)哥描體系平衡時(shí)上，則視悼猛廟運(yùn)梁男拜（詢5卸）福對(duì)于穩(wěn)定的平忽衡，給定任何港虛位移，電總為正。因?yàn)檎现挥懈蓴_力作票正功才可能偏賢離原來(lái)平衡位流置。因此，在采穩(wěn)定平衡狀態(tài)固，體系的總勢(shì)摩能為最小，這禾就是最小勢(shì)能蜂原理。因此，垂由式陵（咸5憐）可知湊當(dāng)媽時(shí)，守，板為極小，屬穩(wěn)螺定平衡；泄當(dāng)蹲時(shí)殼，殖裳，屬中性平衡勵(lì)；暫當(dāng)菌時(shí)，架，漸為極大，屬不繡穩(wěn)定平衡。缺歡傻綜上所述，可邀以概括求臨界狂荷載的兩種方猾法：定①泊中性平衡時(shí)的餃荷載即臨界荷紫載，因此在中坡性平衡狀態(tài)列虎出平衡條件網(wǎng)（可不必求二嚴(yán)階變分），這屢是勢(shì)能駐值原險(xiǎn)理；宿②志從穩(wěn)定平衡過(guò)堆渡到不穩(wěn)定平抓衡的荷載，即驕由京（注）求臨界荷載妨，這是最小勢(shì)昌能原理。醒①奮、棉②征概念上不同虛，很①搞較簡(jiǎn)單常用，稍但從數(shù)學(xué)上講叮只是平衡條件纏，它不表示從案穩(wěn)定平衡過(guò)渡鳥(niǎo)到不穩(wěn)定平衡效的臨界條件，捷因此，理論上驕方叢法潤(rùn)②蓮更嚴(yán)密。鼠例：兩端簡(jiǎn)支蓮的軸心壓桿唱以剛要屈曲的嚷直桿為參考狀殊態(tài)：外力功應(yīng)變能總勢(shì)能由，得封利用分步積分者和幾何邊界條臂件：索，因而得到：由此得蝕說(shuō)(燦平衡條件柱)暴艦頁(yè)密辱鉆克（訴6同）（力學(xué)條件） （7）（力學(xué)條件） （7）優(yōu)可見(jiàn)幾何邊界槍條件要預(yù)先給汁定，力學(xué)邊界曠條件自然得出壩。式造（牙6峰）就是歐拉方摸程，可由給從緊上節(jié)式終（稠1扇1崗）得到。令，則起勝撐，真，代入，得她鳴打利用勢(shì)能駐值孟原理建立微分辦方程，有時(shí)比拌直接根據(jù)平衡弦條件建立簡(jiǎn)單占。該原理是適和用于彈性體系閃的普遍原理，抗并不是一個(gè)近星似方法，但可繼在近似方法中釣應(yīng)用它解決問(wèn)霉題。渴第覽5參節(jié)糠凍Raylei邊gh-Rit膀z槳法千勢(shì)能駐值原理仍可以計(jì)算結(jié)構(gòu)贊的穩(wěn)定問(wèn)題，宜但需用變分法骨，得到的結(jié)果帖是微分方程，尸還需求解微分探方程才能得到圣臨界荷載。遷Raylei燦gh-Rit鉆z總法是建立在勢(shì)哈能駐值原理基柱礎(chǔ)上的一個(gè)近質(zhì)似方法，用求墨解代數(shù)方程式紀(jì)代替求解微分靈方程式。為避尿免求解微分方紐程，可以先假湯定體系在中性笨平衡時(shí)變形圖橡形：瘋,誼,皆蘇睜（手1循）換液式中銀,某穿是蓄個(gè)獨(dú)立參數(shù)，單叫做廣義坐標(biāo)脈；妨是穗個(gè)連續(xù)函數(shù)，薪叫做坐標(biāo)函數(shù)租。坐標(biāo)函數(shù)可坦以任意假定（璃試解函數(shù)），膠但須滿足幾何茅邊界條件而不密一定滿足力學(xué)勵(lì)邊界條件。這歐樣體系在中性僑平衡時(shí)的位形宜取決于日個(gè)獨(dú)立參數(shù)，京一旦這控個(gè)獨(dú)立參數(shù)確庸定了，位移也奶就確定。無(wú)限朗自由度的連續(xù)堵體系便用惰個(gè)有限自由度牧替代，腿越大，兩者越此接近。擱將式旅（疏1憲）代入倡中，則厚是趣個(gè)廣義坐標(biāo)或識(shí)獨(dú)立參數(shù)的函損數(shù)，根據(jù)勢(shì)能織駐值原理，述可得抬由于勸是微小的任意福值，創(chuàng)則疊齒綁，晃和燦（桂）剩撇講（秋2禾）柿求解這燭個(gè)代數(shù)方程，蹄即得位移解汽。當(dāng)為線性屈起曲問(wèn)題時(shí)，令鑄，即得畝。擱例：求兩端鉸騾支軸心壓桿的帥臨界荷載設(shè) （3） （3）由（），得（）慰或顯垂及睛短（嫩）濾有非零解的條陰件是衛(wèi)嚇礦伙稿欠秒（揀4策）式中，頁(yè)上式關(guān)愁于飾P炊的最小根就是叛臨界荷載繁.日Reylei挎gh-Rit遺z暢法與系Timosh望enko棗能量法的異同翅儉界由式?jīng)觯ㄅ?遵）令奴得演可見(jiàn)所得結(jié)果嗓完全相同，但許概念上不同。惑Timosh久enko員能量法求臨界萬(wàn)荷載的能量準(zhǔn)醒則是：犧禍貍勢(shì)能駐值原理鞏的準(zhǔn)則是：們這兩式概念是擋不同的。其結(jié)待果分別為：臟，即剝Timosh商enko舞法認(rèn)為臨界荷屋載是中性平衡和下的最小荷載衫。么，送體系處于微小紀(jì)變形的中性平敬衡時(shí)的荷載柿即育勢(shì)能最小時(shí)的積荷載陽(yáng)是臨界荷載。索第記6裝節(jié)盈屬Galerk控in押法李袍擦當(dāng)彈性體處在盈平衡狀態(tài)時(shí)，擴(kuò)總勢(shì)能的一階高變分為零：脹（勢(shì)能駐值原練理）熔是一個(gè)泛函，殺設(shè)則經(jīng)分部積分：儀利用邊界條件調(diào)或一般地，選既擇夫滿足力學(xué)邊界逐條件，得或近似解法誤設(shè)捐幸掩駱愿（綢1娃）廈式中，毒—完待定參數(shù)，清—作符合所有邊界鎖條件的坐標(biāo)函嘗數(shù)。則借增則秧由于懷是任意的，由仿此得慢Galerk港in激方程： （11） （11）閣杜爬澆……料召奮衡羊式中，汗中伶求解上式即得駕的近似解。當(dāng)皂為線性屈曲問(wèn)癥題時(shí)，令叮，即得臨界荷百載蒼。鋤Galerk歲in身法與平衡微分膊方程相關(guān)，不獵需計(jì)算總勢(shì)能袋。當(dāng)能直接寫片出平衡微分方籃程時(shí)，有其便糠利之處命。喊佩而時(shí)Raylei識(shí)gh擔(dān)——偽Ritz竄法僅需寫出總藍(lán)勢(shì)能。增例：求兩端固帆支桿的臨界荷榜載設(shè)弟和專都滿足全部邊刺界條件：悶躬陳幻郊院腎Galerk縱in野方程為傍由上兩式可解啟出揚(yáng)與抵的比值，從而申確定捎。派、魂不全桂為偉0爐的條件是筍但塵運(yùn)展開(kāi)后解得療最小根為輪，與精確解港相比，偏大約膏6.3督%尿。桶第罪7牌節(jié)亮奉差分法矩這是一種數(shù)值怎方法，用以求購(gòu)解微分方程。警它是把函數(shù)在貿(mào)某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)贏近似地用該點(diǎn)攤及其相鄰點(diǎn)的夾函數(shù)值的代數(shù)賄式來(lái)代替，這煩些代數(shù)式叫做同差分公式。由鉤于用差分公式徐代替了導(dǎo)數(shù)，理從而把微分方預(yù)程近似地轉(zhuǎn)化種為代數(shù)方程，紐用求解代數(shù)方粥程代替了求解廣微分方程。品導(dǎo)數(shù)的定義為東：植云揉考察圖示函數(shù)經(jīng)，一階導(dǎo)數(shù)的綠差分公式為：卵大思前差分絨銷緊足或盆泰兵后差分憤謠東減或夢(mèng)潮奴中央差分（較浮準(zhǔn)確）樣搞名（仗1謠） （2）（3）（3） （4） （4）（1）晝?yōu)楸阌谟洃浭荆ㄔ?赤）賠~幸（廳4鞋）式可用圖表汪示如下：（1）（2）（2）（3）（3）（4）（4）遙走候非均勻格式差婦分和偏導(dǎo)數(shù)也慎可按上述原理巴推導(dǎo)。系回瞞差分公式的精羊度取決于體的大小，格式觸分得愈小，則鳥(niǎo)差分與導(dǎo)數(shù)了史也愈接近。境裝看例：求兩端簡(jiǎn)高支壓桿的臨界表荷載。爽匙世平衡方程為筒及拾產(chǎn)恢將綱的差分公式代贏入得殺點(diǎn)的差分方程準(zhǔn)：竿取堡（第二次近似命），浸取猶的差分方巨程良籌取塊的差分方挎程糊竄由邊界條件得頓，則宵焦夸稠吹由占得狐比精確解奉小萄9嶄%陵。級(jí)取昌（第三次近似罵），時(shí)，時(shí)，時(shí)，花利用對(duì)稱性荒及邊界條件泰，整理后得磁神荷垂蛾挪腫由差得辯比精確解爪小曠5勤%柳。鮮外插法改善精基度驟再拜先取童和癥兩種區(qū)段劃分塌進(jìn)行差分計(jì)算燦，相應(yīng)的區(qū)段贊尺寸分別為錘；近似解為榆和映。餅白功設(shè)精確解為娘，則誤差分別策為曠和粘。閱誤差的大小與找約成正比，則桑述察飾暫鏟祥式中，姐為比例常數(shù)，床聯(lián)立求解孤，消去災(zāi)得參偶凳側(cè)全配拘秋口拍（周5大）川由于躲和邀單調(diào)趨向精確鹽解，則上式給反出了外插值批，將較翁和催更接近于精確攏解。已知破則爪比精確解僅小負(fù)0.2%.推例：求一端固譜定另一端簡(jiǎn)支削桿的臨界荷載跑。逝平衡微分方程蒙邊界條件差分方程為：取，時(shí)：事式中出現(xiàn)了葛與傷，可由邊界條運(yùn)件定出：鍋鍛，則肯（中央差分）螺得俊混，則充得郵差分方程變?yōu)楦?，得雀比精確解小寒41%轉(zhuǎn)。·小結(jié)棋1猾、差分法是一蘿個(gè)十分有效的勤方法，加大區(qū)楊段壞可提高精度，袖差分格式有規(guī)方律，適用于計(jì)滅算機(jī)求解。懷2狀、與能量法相溜比，都是用有衡限自由度體系浩代替無(wú)限自由壘度體系；能量痕法假定體系變蜓形后的形狀，雞而差分法則把障連續(xù)體離散成采質(zhì)點(diǎn)體系。能天量法解比精確戒值大，是上限猛，差分解則比態(tài)精確值小，是焰下限。也3躲、非特征值問(wèn)府題的差分解是眉、薄……賣，為非閉合解林；若想得到解窄析式，則將離膚散點(diǎn)擬合成材。這個(gè)缺點(diǎn)在昏特征值問(wèn)題中還并不存在。霉第削8腎節(jié)臥煩加權(quán)殘數(shù)法那這是求微分方萬(wàn)程的一種近似遷方法，且十分驕有效。長(zhǎng)設(shè)微分方程為仁：慮巖（伏1緊），朱邊界條件處頓（書2懂）動(dòng)精確解垮必然在任意一柱點(diǎn)都滿足上述皆平衡微分方程壤，和任一點(diǎn)上蠅滿足邊界條件服。悄但復(fù)雜的工程嬸問(wèn)題很難找到土精確解。設(shè)近順?biāo)平鉃椋菏⑺纳釞趯捰◤?fù)3愛(ài)）桿其中，站是待定系數(shù)；甩滿足所有邊界狂條件，但不滿淘足微分方程。房是線性璃由于憑不滿足（補(bǔ)1臭）式，將上式雁代入，必有殘齡數(shù)：賽春才悅撓蝕丸毀奮腳胳庸（譯4蹤）沿對(duì)于精確解，排余量數(shù)，對(duì)于近似解鏡可以選擇逗使得在某種平獲均意義上金。今取殘數(shù)的累加權(quán)積分值為碌0濁，即促酒栗醫(yī)果（童5矛）軋式中，段發(fā)是權(quán)函數(shù)，上竭式是伸個(gè)方程，可確續(xù)定其個(gè)待定系數(shù)雀。采用不同的瑞權(quán)函數(shù)就得到脆不同的計(jì)算方羽法。配點(diǎn)法予權(quán)函數(shù)選擇：竭在廚個(gè)分散點(diǎn)上取笨，其余部分堅(jiān)，這實(shí)際上是目要求近似解在土個(gè)分襲點(diǎn)上滿足微分虛方程，同時(shí)滿家足邊界條件，含即余量在嘆個(gè)點(diǎn)上為邀0污：歡還校僑棟熊榆屈燒翼濾怨（招6債）斥由上式可求解殘個(gè)待定系數(shù)揮，從而得近似革解讓。最小二乘法頂將殘數(shù)啦的二次方患沿桿長(zhǎng)（或板溪）積分，得岡梁紹梨資歌褲鋼兵埋樣恢?。〞?huì)7緞）少因此要求：拘涉絮（掃）嘉即虜少夢(mèng)員（晴）腦塑倆厚滅（韻8膠）愉由這尼個(gè)方程，正好松可求湊個(gè)扇?？梢?jiàn)權(quán)函數(shù)丈為矩法慰對(duì)于一維問(wèn)題掠，取宏，得。刺上式左端分別怖為余量常的零次矩、一陷次矩、二次看矩曬…諒…洗。肢Galerk串in呀法其權(quán)函數(shù)為。軍第斥9瞎節(jié)菊弱逐次漸近法狹在娃用能量法進(jìn)行議計(jì)算俯時(shí)呆,探必須先縱假設(shè)廚變形曲膚線館,抗而且所叔假設(shè)的變形曲因線甘對(duì)計(jì)算結(jié)果的蟲(chóng)誤差有決定性疲的影響。究竟崖如何選取變形奉曲線才能接近還于精確解毅呢惑?挪逐次漸近法纏提供了金一種膜較好的辦法。殼此口外酬,河對(duì)于精確解為詠未知或比較復(fù)賓雜的情到?jīng)r互,筒用漸近法能提竟供雁臨界陳荷載的上限和田下參限賠,沒(méi)可以估計(jì)近似矮解的精確吸度還,面通過(guò)逐次漸近譜計(jì)算便可得到蘿所需的精確度化。顯用漸近法計(jì)算療臨界荷載凳時(shí)蜘,刷先取任招一留滿足幾何邊界許條件的曲線作押為初始變形曲兇線毀,侮桿件的彎矩可閉以軸得力譜P惡與撓度來(lái)表印示拾,普允將其代入微分瑞方陰程蠶,敲宏用重積分法或洪其他方法得到覆變形曲線的表態(tài)達(dá)霜式戀,魯梨從而得到一個(gè)禿臨界荷載值?？嗜绻O(shè)定的燭變形曲線剛好唯是正確婆的綿,邀稅則求解微分方懸程所得的變形拜曲線與原先所籠設(shè)的曲線必定摟相同撲,傾饑而如果那選擇的初始曲屑線是近似插的裙,摧則積分后得到拴的變形曲線與男原曲線將有區(qū)樸別。換句話托說(shuō)糟,勒掏原先設(shè)定的變育形形式不是實(shí)死際的屈曲平衡槍形式。為了尋域求新的變形形少式街,醉可以第一次計(jì)臺(tái)算所得的曲線閑為基礎(chǔ)作為真榜實(shí)撓度曲線的秧一個(gè)新的近似肯解。重復(fù)上述演計(jì)果算角,純凝又得到一個(gè)新拐的變形曲姻線俯,籃裹求得另一臨界樸荷載近似掉值袖,課旁它比前一個(gè)臨袖界荷載近似值例更接近于精確對(duì)值。繼續(xù)珠進(jìn)行拆計(jì)冊(cè)算輔,蘋史直到假設(shè)的與亡計(jì)算皆的變形形式相岡差很小為招止探,顧巨這時(shí)相應(yīng)的臨抵界荷載就旺將接近于精確奏解了。買現(xiàn)以圖幸1a棕所示的間端餃違支等截面壓桿四為例來(lái)猛說(shuō)明。覆其屈曲時(shí)的平補(bǔ)衡微分方程為羞效亭弄奪（幸1趕）酒積分貌兩次博后后,被測(cè)得到其彈性曲壁線表達(dá)式為晴武葛（善2隆）奇以實(shí)際的變形贏曲線表達(dá)式險(xiǎn)及臨界荷賭載竄P懼代入危式秧（瘡2笑）遇的催右暢邊冬,世按怒式領(lǐng)（沃2糟）刮算得的禮與實(shí)際的變形襪曲線必然相同甜。誓但若右衣邊惹代入的為近似壞變形曲線奶,赤拖則按上式算得彩的旱與貿(mào)就會(huì)漫有區(qū)且別校,氣不過(guò)瀉比先更季接近于實(shí)際變辜形曲線。若又壯以辭代入撿式央（紫2弊）吃的囑右邊進(jìn)行積厘分恰,秩則又蹦可得到數(shù)一縱個(gè)新的變形灘曲線楊。由閱又可求得神等等獨(dú)，依此類推葬。這種遞推關(guān)秀系可寫為一般騰形式哨抄(n=1,2回,燃3士…鋪)覆兇（陽(yáng)3游）控按上式每進(jìn)行粗一次計(jì)旬算秤,光所得的變形曲熔線近似解都將粥比前一次的更呀接近于精確解扮。當(dāng)計(jì)算足夠微次數(shù)慘后乳,版腔第煙n圓次與第達(dá)n-1明次兩淚次貴結(jié)果接近相等籠時(shí)研,性戰(zhàn)便可認(rèn)為及得到了正確的弊變形曲線。誕不鏈過(guò)席,侵我們的目的在蓬于確定臨界荷紡載攪,皇也而它在按界上述季遞推運(yùn)算過(guò)程愈中是未知的常駕數(shù)則。我們把上述素過(guò)程做些變化殖，便可求解臨過(guò)界荷載。污假設(shè)初始撓度努曲線僅群則由式綢（召3火）得到第一次鉛近似撓度曲線陪為側(cè)袖第二次近似撓和度曲線為依此類推，得略式馳中裕著核聯(lián)陷初（育4惹）昆當(dāng)兩次結(jié)果接壟近時(shí)，療則敏忠由此可得：熱雕矮驢則臨界荷載姨碰栽悉壓（扶5漸）港勾派計(jì)算臨界荷載延時(shí)，先根據(jù)假傷定的撓度曲線炎由式恒（卡4腳）逐次求出揀與犬，然后由式疊（唇5析）確定臨界荷扯載德n撤次近似解。當(dāng)歌兩次求得的臨史界荷載接近時(shí)效，認(rèn)為所確定虹的臨界荷載有市足夠的精度。旱實(shí)等際計(jì)算于時(shí)鞠,祥手一般只要計(jì)算狠少數(shù)幾次便可衣得到比較滿意柄的結(jié)果。庫(kù)下麻面以圖仆1a會(huì)所示壓桿來(lái)說(shuō)苦明脈式權(quán)(砌5動(dòng))參的應(yīng)用。灶第一次近似烤：選取言圖村1獨(dú)b兆所示折線為初伴始曲線痛,飲折線漫中央的坐標(biāo)設(shè)信為植。邊其下半段的方派程為位皇春（胡）成月由式肝（守4況）窗得第一次近似腔變形曲線為曉為憲了能由圖式煤(茅5樸)晌求臨界荷載的挽近似撒值紅,科必須利用同脆一藍(lán)截面在兩次計(jì)補(bǔ)算中的撓度兇比戀,封但應(yīng)注意桿件確不同截面的比倍值是不同的。疤例如籮這秀里掛,墻敬假定取用最大課撓度截面的比意值來(lái)斗確定蹦臨界齊荷載眨。即取年。面第二次近似濟(jì)：然以長(zhǎng)作為近似變形潤(rùn)曲線代襯入荒,狠得話漫摔將撕和拜代入頁(yè)式溪(蓄5狹),端悲得臨界荷載的習(xí)第二次近似值遇在與精確解相赴比只乏差煎1.32懇%烘。床第三次近似勵(lì)：安以蕉作為近似變形亮曲線代徑入蓋,貪得啞據(jù)闖此可求得臨界擴(kuò)荷載的第三次駐近似值為庸與精確值僅宰差舊0.道13左%評(píng)。策在一撈般情況原下三,意臨界莉桶荷載炸的精確值是不暖知道的。因秧此瞇,寒若在每一次近著似計(jì)算方時(shí)顧,價(jià)能千確定臨界荷載起的上限和下限號(hào)值鄙,迅便可事先判斷賓出臨界荷載精做確解所在的范章圍。為占此浸,娃可利用式羨（豎5建）兄)喊算出政構(gòu)件里上某兩點(diǎn)的批值委,勇裕其中最低值即床為下廁限科,該閱最高值則為上趨限中,襖尺精確解必定在服此上、下限之故內(nèi)。少在上例狼中勻,作第一次近似當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，臭精確解在這兩卻個(gè)值之間，即繳，如果取平均欠值層作為臨界荷載戰(zhàn)的近似值，則卷它與精確值誤滋差只般有佛1.3呈2鷹％。累同理，第二次傭近似解為，盼平均值他作為臨界荷載哭的近似值，與敘精確值誤差只件有葬0.70夜5渴％。嫩第三次近似解誦為，壺平均值月作為臨界荷載旱的近似值，與光精確值僅誤鄭差群0.10合4貼％，可以浸認(rèn)為已相當(dāng)接害近于精確解了厭。計(jì)由讓上述可壞知緊,局漸近法的每一霧次計(jì)算都為下壤一次的計(jì)算提象供了凱更五接近于精確解尺的特征函疼數(shù)悄,璃職而且可以找到杠臨界荷載值的合上、下熊限短;促撲所設(shè)的特征函西數(shù)包含的項(xiàng)數(shù)找愈金多電,桂則愈精確。當(dāng)蟲(chóng)算出的上限與協(xié)下限甚為接近繳時(shí)深,冰便求得了種臨界荷載抵的精確梢值帝。一般只需經(jīng)嫩過(guò)幾次漸近計(jì)尤算〈特征函數(shù)祝只需包含幾項(xiàng)包〉即可得到較內(nèi)為滿意的解答危。其缺點(diǎn)是每隱次求究時(shí)餓都要進(jìn)行兩次滅積陸分腹,耕淺計(jì)算工作較繁佳。為此在求槍時(shí)，扮可采用慰共軛梁煌法來(lái)代替重積趁分運(yùn)算。投必須指光出資,拆用漸近怯求臨水界荷載所設(shè)的紅初始的近似特賊征函數(shù)嶺必須滿足壓桿誠(chéng)的幾何邊界條非件選,怪謝而且壺的形狀必須與濱實(shí)際的屈曲形苗狀大致相舞符顫,東這樣才能保證它迭代企運(yùn)算的結(jié)果收炭斂于辛壓桿狀的最小臨界力匠。亂（參考文獻(xiàn)爸：豈G春.掠畢爾格麥斯特見(jiàn)等積著釘,跑征戴天民等休譯芳,娛菜《穩(wěn)定理論任》詳,夢(mèng)上卷坊第驅(qū)4.2衫2卵節(jié)服,破中國(guó)工業(yè)出版仆社胃,196哲4厲年。）片第遙1內(nèi)0拴節(jié)塌怕半能量法譯板根據(jù)其厚度疏不同分為厚板吧、薄板和薄膜韻三種。當(dāng)板厚盯度罩t以與板的最小寬我度極b栗的比值敗t/b搜較大泰時(shí)噸(終一般呀t/b>1/錢8籠~率1/5茫)雙,喜稱為厚顯板遙,律攔此時(shí)板的剪切暮變形與彎曲變匹形同奮階劈,健分析時(shí)必須考軟慮剪切變形。擁當(dāng)亡t/b柳不大話時(shí)傻(渠一捉般或1/100式~宋1/80<t割/b<1/8堵~抵1/5),肯稱為薄系板唯,乖凡此時(shí)板的剪切宋變形與彎曲變岡形相比可以忽靠略不計(jì)。當(dāng)皺t/b帳很小敢時(shí)佛(成一般癥般篩t/b<1/均100齊~神1/80丙),妥據(jù)稱為薄吉膜竄,踏喘此時(shí)板不具有秀抗彎剛煤度惕,救兄僅利用薄膜張青力叛(旋薄膜效應(yīng)廳)至抵抗橫向荷載軌。冷彎薄壁型百鋼構(gòu)件是由一遠(yuǎn)系列薄板組成腹的。群當(dāng)童薄板中鋪面的最大督撓倡度盞w帽遠(yuǎn)小于而薄板的厚據(jù)度情t菜時(shí)領(lǐng)(才一般盛w/t<1/弊5盾),膚比通常稱這類問(wèn)腫題為薄板的小堤撓度問(wèn)區(qū)題鼓,輔隆此時(shí)薄板中面熱內(nèi)的薄膜應(yīng)力示比彎曲應(yīng)力小捉很酒多斗,胸可以忽略不計(jì)滋。騎當(dāng)解w雙與搏t勇的大小相差不啞大美時(shí)淚(監(jiān)一般莫1/5<w/遇t<5醫(yī)),碰緒稱這類問(wèn)題為刮薄板的大撓度恐問(wèn)題。此時(shí)薄核板中面內(nèi)的薄金膜應(yīng)力與彎曲航應(yīng)力隆同輩階另,蓄分析時(shí)必須考犧慮薄膜應(yīng)力及隨相應(yīng)的中面變貪形。組成冷彎畝薄壁型鋼受壓變構(gòu)件的極五件偽,斧屈曲時(shí)撓度遠(yuǎn)裹小鍬于其秘厚繭度令,莫燦因此板件的屈局曲問(wèn)題是建立朽在小撓度理論尖基礎(chǔ)上的。但臘對(duì)于這類板盼件頌,疾尚有屈曲后強(qiáng)造度可央資岡利用。板件屈燕曲代后竟,瓦撓度將進(jìn)霜一險(xiǎn)步增革加壞,螺剖撓度與其厚度列相比不再是小鵲量哨,祥板件蘆的世應(yīng)力也將弄出現(xiàn)重分布經(jīng)，絮板件的中面會(huì)櫻產(chǎn)生較大的非晶線性薄膜拉應(yīng)述力被,頂因此板件的屈憐曲后問(wèn)題是建犧立在大駁撓度理論基礎(chǔ)連上的。邪191僑0技年筐,提乳卡門后（工von賞Karman怨)亡導(dǎo)出了求解薄貓板大撓庭問(wèn)題捎的變形協(xié)調(diào)機(jī)和平衡方程踢,拉潛分別墾為脊(1薯)行巴年(2)鉛式仁中瓦t藍(lán)為板槐厚慰;棵D戀為板的彎曲剛堵度圈;蓋E盈為彈性模量拍;F溝為應(yīng)力函州數(shù)疤;登w遮為撓織度世;w聚0演為初撓度。式抱（權(quán)1告）和式挑（置2映）堤稱為薄板的大攻撓度微分方程剪組肺,早雁或簡(jiǎn)達(dá)稱屠Karma筋n丘大撓度方程組廁。求解薄板的及大撓度訴問(wèn)題麗,犧膀就訊是要從這個(gè)微碌分方程組求解昂應(yīng)力夫函匆數(shù)屋F巖和暗撓栽度蠟w燦,漁遇然后嫂由播F巡求出中面糕內(nèi)力旦,齡憂由資w緞求出彎刷曲應(yīng)力理。然而要求解駁這個(gè)聯(lián)立方程冶組是非常困難甘的違,鍋露一般情況無(wú)法鞭得到階閉合解