線性代數(shù)矩陣的初等變換與矩陣的秩

線性代數(shù)矩陣的初等變換與矩陣的秩第1頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二

定義2.16

下列三種變換稱為矩陣的初等行變換此時變換的是第i行,第j行沒有變化!同理可定義矩陣的初等列變換

(把“r”換成“c”)．2.4.1矩陣的初等變換第2頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二矩陣的初等變換通常稱(1)換法變換(2)倍法變換(3)消法變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．逆變換逆變換逆變換第3頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣.矩陣初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛.

2.4.2初等矩陣由單位矩陣I經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.

定義2.17第4頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二(1)交換I的兩行或兩列，得初等對換矩陣。第5頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二(2)以數(shù)乘I某行或某列，得初等倍乘矩陣。第6頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二(3)以數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上，得初等倍加矩陣。第7頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二初等矩陣是可逆的，逆矩陣仍為初等矩陣。第8頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二定理2.3證明：具體驗(yàn)證即可第9頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二另兩種情形同理可證第10頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二一般記法：第11頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二2、行階梯形矩陣、行最簡矩陣、標(biāo)準(zhǔn)形定義2滿足下列兩個條件的形如階梯的矩陣：（1）若有零行，則該行下方所有行元素均為零；(2)如果某一行元素不全為零，并且第一個不為零的元素位于第i列，則它下方的所有行（若存在）的前i個元素全為零。第12頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二定義

行最簡矩陣是指在階梯形中(1)非零行第一個非零元素為1，(2)每一行第一個非零元素1所在的列中其它元素都為零，即：第13頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二定理2.4

對任何矩陣Amn，總可以經(jīng)過有限次初等行變換，把它化為行階梯形矩陣，行最簡矩陣。

第14頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二定理2.5

任何一個矩陣A都與一個形式為的矩陣等價。（r≤min(m,n),D稱為矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形。第15頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二2.4.3初等變換求逆矩陣

為了得到利用初等變換求矩陣的逆的方法，我們首先需要建立如下的定理。定理2.6n階矩陣A可逆的充要條件是A的標(biāo)準(zhǔn)形是In.第16頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二由，就有上面第一式表示經(jīng)有限個初等行變換化為單位矩陣，第二式表示經(jīng)這些初等行變換變?yōu)?用分塊矩陣形式把上兩式寫成或由定理2.6知道若A可逆，則A-1可表為有限個初等矩陣的乘積，即第17頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二即初等行變換這表明如果對矩陣(A,B)施行初等行變換，當(dāng)把A化為In

時，B就化為A-1B．第18頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二例10求矩陣X，使AX=B，其中

解如果A可逆，那么

X=A-1B

．，第19頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二

所以

第20頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二第21頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二例2.18求解矩陣方程AX=A+X,其中解把所給方程變形為(A-I)X=A第22頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二2.4.2矩陣的秩k階子式：在mn矩陣A中任取k行與k列(km

kn)

位于這些行列交叉處的k2個元素不改變它們在A中所處的位置次序而得的k階行列式稱為矩陣A的k階子式

例如D是A的一個二階子式(取1、2行，2、4列）第23頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二定義2.19

矩陣A

中不為零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣A的秩，記作r(A).規(guī)定：零矩陣的秩是0，從而A=0當(dāng)且僅當(dāng)r(A)=0.第24頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二(3）矩陣A的秩為r當(dāng)且僅當(dāng)A中存在非零的r階子式，而所有的r+1階子式（若存在）均為零。由定義不難得到：（1）若A是m×n矩陣，則A的秩不會大于矩陣的行與列數(shù)。即（2）第25頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二例2.17解第26頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二

例2.18解A中有一個3階子式而所有4階子式均為零，所以r(A)=3.第27頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二問題：經(jīng)過變換矩陣的秩變嗎？矩陣秩的計(jì)算