線性代數(shù)第四講特征值和特征商量

線性代數(shù)第四講特征值和特征商量第1頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二教材：線性代數(shù)（趙樹嫄主編）

作業(yè)P---198（A）1.(2),(5),2,3,5,6,

8,9,13,14作業(yè)P---200（B）

1,2,7,8.第2頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二4.1方陣的特征值和特征向量第3頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二

引言：用矩陣來分析經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象和計(jì)算經(jīng)濟(jì)問題時(shí)，經(jīng)常需要討論矩陣的特征值、特征向量。因此，本章將進(jìn)一步討論方陣的內(nèi)在性質(zhì)，介紹矩陣特征值的有關(guān)理論，討論矩陣在相似意義下化為對(duì)角矩陣的問題。加深對(duì)矩陣的認(rèn)識(shí)和理解，以便更好地使用矩陣解決線性代數(shù)中的問題。第4頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二非零向量稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值的特一.矩陣的特征值和特征向量

定義1

設(shè)A是n階矩陣，如果有數(shù)和n成立，則稱數(shù)為矩陣A的特征值(eigenvalue)維非零列向量，使關(guān)系式（1）征向量(eigenvector)。第5頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二注意：3.零矩陣的特征值只能是數(shù)0第6頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二也是A的對(duì)應(yīng)于特征值的矩陣A的特征向量的基本性質(zhì)是矩陣A的屬于特征值若向量的特征向量，則性質(zhì)1是非零向量，并且特征向量。第7頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二說明第8頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二也是A的對(duì)應(yīng)于特征值的都是矩陣A的屬于若向量特征值的特征向量，且性質(zhì)2則特征向量。第9頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二也是A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。都是矩陣A是一組數(shù)，且若向量的屬于特征值的特征向量，性質(zhì)3則第10頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二系數(shù)行列式如何求出矩陣A的特征值和特征向量？由表明是n元齊次線性方程組，改寫為的非零解n元齊次線性方程組有非零解第11頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二而是關(guān)于的n次多項(xiàng)式。一定有n個(gè)根。（k重根算作k個(gè)根），所以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)它第12頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二從一元n次方程n元齊次線性方程組的非零解，就是A的關(guān)于

的特征向量中解出的，便是A的特征值，相應(yīng)的給出如下定義：第13頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二（4）特征方程（5）方程組稱為A的關(guān)于的特征向量（1）稱為A的特征多項(xiàng)式（2）（3）稱為A的特征方程稱為A的特征矩陣的解.稱為A的特征值（特征根）的非零解向量第14頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二求n階方陣A的特征值和特征向量的步驟（1）求特征方程的全部根，它們就是A的所有特征值。第15頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二（2）對(duì)于A的每一個(gè)特征值，求解齊次線性方程組設(shè)它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為則A的關(guān)于的全部特征向量為其中是不全為零的任意數(shù)第16頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二第17頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二得同解方程組為第18頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二第19頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二得同解方程組為第20頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二第21頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二的特征值和特征向量練習(xí)1

求矩陣解第22頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二所以A的特征值為第23頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二當(dāng)時(shí)，解方程組得同解方程組為第24頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二第25頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二當(dāng)時(shí)，解方程得基礎(chǔ)解系第26頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二第27頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二二.有關(guān)特征值與特征向量幾個(gè)重要結(jié)論定理1

方陣A與其轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值注意：雖然A與AT有相同的特征值，但特征向量卻不一定相同第28頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二的n個(gè)特征值是n階方陣定理2

設(shè)（1）（2）推論n階方陣A可逆A的n個(gè)特征值都不為零。第29頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二的特征值，且設(shè)是矩陣A的特征值，仍為則是A的屬于的特征向量.定理3的特征向量.是方陣的屬于第30頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二仍為A*的屬于若方陣A可逆，且的特征向量。則結(jié)論是A-1的特征值，且仍為A-1的屬于是A*的特征值，且的特征向量第31頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二兩個(gè)特征值為設(shè)3階方陣?yán)?且，已知A的，求A+I

的行列式。解設(shè)A的第三個(gè)特征值為則由定理3知第32頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二即矩陣A+I的特征值為（+1）即分別為第33頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二設(shè)A為3階方陣且已知

練習(xí)2則第34頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二已知解故即，A可逆。的特征值為第35頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二的特征值為即，第36頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二的s個(gè)不同的特征值.是n階方陣定理6

設(shè)是A的分別屬于則線性無關(guān)的特征向量，第37頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二的m個(gè)互不相同的特征值.是n階方陣定理7

設(shè)是矩陣A的屬于特征值則向量組線性無關(guān)的線性無關(guān)的特征向量，第38頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二定理8設(shè)是矩陣A的k重特征值，則A的屬于的線性無關(guān)的特征向量至多有k個(gè)。結(jié)論：（2）一個(gè)n階方陣最多有n個(gè)線性（1）如果n階矩陣A有n個(gè)不同的特征值，則A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量無關(guān)的特征向量第39頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二k及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值例3設(shè)向量是矩陣的逆矩陣的一個(gè)特征向量，試確定常數(shù)第40頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二即

用A左乘上式兩邊，有解設(shè)即得第41頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二得即故第42頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二例4

設(shè)矩陣其行列式|A|=-1，又A的伴隨矩陣有一個(gè)特征值，屬于一個(gè)特征向量為試確定a,b,c和的值第43頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二解由于屬于特征值的一個(gè)特征向量，則用A左乘上式兩邊，有為第44頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二得或解得第45頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二由|A|=-1，并將b=-3,a=c代入|A|中，得求出=1由第46頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)３

設(shè)矩陣已知A有特征值求x的值和Ａ的另一個(gè)特征值第47頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二而解：第48頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二故解得第49頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二向量所對(duì)應(yīng)的特征值練習(xí)４

設(shè)是矩陣的一個(gè)特征向量，試確定a,b及特征第50頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二即得方程組解

設(shè)第51頁，共53頁，2023