【高考講壇】高考數(shù)學一輪復習 第3章 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理課后限時自測 理 蘇教版

PAGEPAGE1【高考講壇】2023屆高考數(shù)學一輪復習第3章第6節(jié)正弦定理和余弦定理課后限時自測理蘇教版[A級根底達標練]一、填空題1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，假設a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，那么角A＝________.[解析]由正弦定理得eq\f(\r(3),sinA)＝eq\f(\r(2),sin45°)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝60°或120°.[答案]60°或120°2．、(2023·福建高考)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r(3)，那么△ABC的面積等于________．[解析]如下圖，在△ABC中，由正弦定理得eq\f(2\r(3),sin60°)＝eq\f(4,sinB)，解得sinB＝1，所以B＝90°，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×AB×2eq\r(3)＝eq\f(1,2)×eq\r(42－2\r(3)2)×2eq\r(3)＝2eq\r(3).[答案]2eq\r(3)3．(2023·天津高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知b－c＝eq\f(1,4)a,2sinB＝3sinC，那么cosA的值為________．[解析]由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝eq\f(3,2)c.又b－c＝eq\f(1,4)a，∴eq\f(1,2)c＝eq\f(1,4)a，即a＝2c.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(9,4)c2＋c2－4c2,2×\f(3,2)c2)＝eq\f(－\f(3,4)c2,3c2)＝－eq\f(1,4).[答案]－eq\f(1,4)4．(2023·遼寧高考改編)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.假設asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b，且a＞b，那么∠B＝________.[解析]由正弦定理可得sinAsinBcosC＋sinC·sinBcosA＝eq\f(1,2)sinB，又因為sinB≠0，所以sinAcosC＋sinCcosA＝eq\f(1,2)，所以sin(A＋C)＝sinB＝eq\f(1,2).因為a>b，所以∠B＝eq\f(π,6).[答案]eq\f(π,6)5．(2023·陜西高考改編)設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，假設bcosC＋ccosB＝asinA，那么△ABC的形狀為________三角形．[解析]∵bcosC＋ccosB＝b·eq\f(b2＋a2－c2,2ab)＋c·eq\f(c2＋a2－b2,2ac)＝eq\f(b2＋a2－c2＋c2＋a2－b2,2a)＝eq\f(2a2,2a)＝a＝asinA，∴sinA＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,2)，即△ABC是直角三角形．[答案]直角6．如圖3-6-1，正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE＝1，連結EC、ED，那么sin∠CED＝________.圖3-6-1[解析]在Rt△EAD和Rt△EBC中，易知ED＝eq\r(2)，EC＝eq\r(5)，在△DEC中，由余弦定理得cos∠CED＝eq\f(ED2＋EC2－CD2,2ED·EC)＝eq\f(2＋5－1,2×\r(2)×\r(5))＝eq\f(3\r(10),10).∴sin∠CED＝eq\f(\r(10),10).[答案]eq\f(\r(10),10)7．(2023·安徽高考)設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.假設b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，那么角C[解析]由3sinA＝5sinB，得3a＝5b.又因為b＋c＝2所以a＝eq\f(5,3)b，c＝eq\f(7,3)b，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)b))2＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)b))2,2×\f(5,3)b×b)＝－eq\f(1,2).因為C∈(0，π)，所以C＝eq\f(2π,3).[答案]eq\f(2π,3)8．在鈍角△ABC中，a＝1，b＝2，那么最大邊c的取值范圍是________．[解析]由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(12＋22－c2,2×1×2)＝eq\f(5－c2,4).∵角C是鈍角，∴－1<cosC<0.∴－1<eq\f(5－c2,4)<0，∴eq\r(5)<c<3.[答案]eq\r(5)<c<3二、解答題9．(2023·大綱全國卷)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知3acosC＝2ccosA，tanA＝eq\f(1,3)，求B.[解]由題設和正弦定理得3sinAcosC＝2sinCcosA.故3tanAcosC＝2sinC.因為tanA＝eq\f(1,3)，所以cosC＝2sinC，tanC＝eq\f(1,2).所以tanB＝tan[180°－(A＋C)]＝－tan(A＋C)＝eq\f(tanA＋tanC,tanAtanC－1)＝－1.即B＝135°.10．(2023·浙江高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a≠b，c＝eq\r(3)，cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB.(1)求角C的大?。?2)假設sinA＝eq\f(4,5)，求△ABC的面積．[解](1)由題意得eq\f(1＋cos2A,2)－eq\f(1＋cos2B,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(\r(3),2)sin2B，即eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(1,2)cos2A＝eq\f(\r(3),2)sin2B－eq\f(1,2)cos2B，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,6))).由a≠b，得A≠B.又A＋B∈(0，π)，得2A－eq\f(π,6)＋2B－eq\f(π,6)＝π，即A＋B＝eq\f(2π,3)，所以C＝eq\f(π,3).(2)由c＝eq\r(3)，sinA＝eq\f(4,5)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得a＝eq\f(8,5).由a<c，得A<C，從而cosA＝eq\f(3,5)，故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(4＋3\r(3),10)，所以，△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(8\r(3)＋18,25).[B級能力提升練]一、填空題1．(2023·山東高考)在△ABC中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝tanA，當A＝eq\f(π,6)時，△ABC的面積為________．[解析]已知A＝eq\f(π,6)，由題意得|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|coseq\f(π,6)＝taneq\f(π,6)，|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3)，所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).[答案]eq\f(1,6)2．(2023·福建高考)如圖3-6-2，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，AD＝3，那么BD的長為________．圖3-6-2[解析]∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3)，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3eq\r(2)×3×eq\f(2\r(2),3)＝3，∴BD＝eq\r(3).[答案]eq\r(3)二、解答題3．(2023·湖南高考)如圖3-6-3，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝eq\r(7).(1)求cos∠CAD的值；(2)假設cos∠BAD＝－eq\f(\r(7),14)，sin∠CBA＝eq\f(\r(21),6)，求BC的長．圖3-6-3[解](1)在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)，故由題設知，cos∠CAD＝eq\f(7＋1－4,2\r(7))＝eq\f(2\r(7),7).(2)設∠BAC＝α，那么α＝∠BAD－∠CAD.因為cos∠CAD＝eq\f(2\r(7),7)，cos∠BAD＝－eq\f(\r(7),14).所以sin∠CAD＝eq\r(1－cos2∠CAD)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(7),7)))2)＝eq\f(\r(21),7)，sin∠BAD＝eq\r(1－cos2∠BAD)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(7),14)))2)＝eq\f(3\r(21),14).于是sinα＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BAD·cos∠CAD－cos∠BAD·sin∠CAD＝eq