2022-2023學年安徽省滁州市定遠縣民族中學高二年級下冊學期開學考試數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年安徽省滁州市定遠縣高二下學期開學考試數(shù)學試題一、單選題1．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空間向量加法法則直接求解．【詳解】連接BD，如圖，則故選：A．2．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：先建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補關(guān)系求結(jié)果.詳解：以D為坐標原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則,所以,因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關(guān)”，準確求解相關(guān)點的坐標；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關(guān)”.3．“”是“直線和直線垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】因為直線和直線垂直，所以或，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷得解.【詳解】因為“直線和直線垂直，所以或.當時，直線和直線垂直；當直線和直線垂直時，不一定成立.所以是直線和直線垂直的充分不必要條件，故選：A．4．已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】利用的幾何意義可求其最小值.【詳解】，它表示與直線的動點連線段的長，其最小值為到直線的距離.又該距離為，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于帶根號的代數(shù)式，如果根號下是平方和的形式，我們一般可利用其表示的幾何意義-距離來求最值，這體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.5．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯（約公元前262~公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼奧斯圓.已知A，B是平面上的兩定點，，動點滿足，，動點N在直線AC上，則MN距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以為原點建立平面直角坐標系，根據(jù)定義可得點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，則MN距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑.【詳解】如圖，以為原點，為軸建立平面直角坐標系，則，設動點，則由可得，整理可得，故點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，易得直線的方程為，則由圖可知MN距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，則圓心到直線的距離為，所以MN距離的最小值為.故選：C.6．若雙曲線

的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線定義即可解決問題.【詳解】由雙曲線標準方程得：，由雙曲線定義得:即，解得（舍去）或，故選：A.7．中國是世界上最古老的文明中心之一，中國古代對世界上最重要的貢獻之一就是發(fā)明了瓷器，中國陶瓷是世界上獨一無二的.它的發(fā)展過程蘊藏著十分豐富的科學和藝術(shù)，陶瓷形狀各式各樣，從不同角度詮釋了數(shù)學中幾何的形式之美.現(xiàn)有一橢圓形明代瓷盤，經(jīng)測量得到圖中數(shù)據(jù)，則該橢圓瓷盤的焦距為（

）A． B． C． D．4【答案】C【解析】由圖形可得橢圓的值，由求得的值即可得到答案.【詳解】因為橢圓的，所以，因為，所以，則.故選：C【點睛】本題考查橢圓的焦距，考查對橢圓方程的理解，屬于基礎(chǔ)題，求解時注意求的是焦距，而不是半焦距.8．已知點在拋物線，過焦點且斜率為的直線與相交于兩點,且兩點在準線上的投影分別為兩點,則三角形的面積A． B． C． D．【答案】C【解析】利用點坐標求得拋物線方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，求得兩點的坐標，由此計算出三角形的面積.【詳解】將點坐標代入拋物線方程得，故拋物線方程為，故焦點坐標為，準線方程為.過焦點且斜率為的直線方程為，代入拋物線方程并化簡得，解得或.故，故選C.【點睛】本小題主要考查利用拋物線上一點的坐標求拋物線方程，考查直線和拋物線的交點坐標的求法，考查三角形的面積的求法，屬于中檔題.二、多選題9．已知正方體棱長為，為棱的中點，為底面上的動點，則下列說法正確的是（

）A．存在點，使得B．存在唯一點，使得C．當，此時點的軌跡長度為D．當為底面的中心時，三棱錐的外接球體積為【答案】BCD【分析】以為坐標原點建立空間直角坐標系，設，根據(jù)點關(guān)于平面的對稱點為，由可知A錯誤；利用向量垂直的坐標表示可求得時的點坐標，當時點的軌跡方程，可知BC正確；根據(jù)垂直關(guān)系可知三棱錐外接球球心為中點，半徑為，由球的體積公式可求得D正確.【詳解】以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，設，，，對于A，點關(guān)于平面的對稱點為，則（當且僅當三點共線時取等號），A錯誤；對于B，由得：，即，，即存在點，使得，B正確；對于C，，，由得：，即，點軌跡是連接棱中點與棱中點的線段，其長度為線段的一半，點軌跡長為，C正確；對于D，平面，平面，，由B知：，中點到的距離相等，即三棱錐外接球球心為中點，半徑為，三棱錐外接球體積，D正確.故選：BCD.10．已知直線，，則（

）A．若，則 B．若，則C．當時，與相交，交點為 D．當時，不經(jīng)過第三象限【答案】BD【分析】利用直線與直線垂直判斷A，利用直線與直線平行判斷B，利用直線與直線相交判斷C，利用直線與坐標軸的交點判斷D．【詳解】解：直線，，對于A，若，則，解得，故A錯誤；對于B，若，則，解得，故B正確；對于C，當時，直線，，與相交，交點為，故C錯誤；對于D，當時，，不過第三象限；當時，時，，當時，，不經(jīng)過第三象限．綜上，當時，不經(jīng)過第三象限，故D正確．故選：BD．11．如圖，點，，，，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，三段弧構(gòu)成曲線則（

）A．曲線與軸圍成的圖形的面積等于B．與的公切線的方程為C．所在圓與所在圓的公共弦所在直線的方程為D．所在的圓截直線所得弦的長為【答案】BC【分析】由題知曲線Ω與軸圍成的圖形是一個半圓，一個矩形和兩個四分之一圓，故此可寫出各段圓弧所在圓的方程，然后根據(jù)圓的相關(guān)知識判斷各選項即可.【詳解】，，所在圓的方程分別為，，.曲線與軸圍成的圖形為一個半圓?一個矩形和兩個圓，其面積為，故A錯誤；設與的公切線方程為（，），則，所以，，所以與的公切線的方程為，即，故B正確；由及兩式相減得，即公共弦所在直線方程，故C正確；所在圓的方程為，圓心為，圓心到直線的距離為，則所求弦長為，故D錯誤.故選：BC12．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，點在雙曲線上（異于左右頂點），則下列結(jié)論正確的是（

）A．該雙曲線的離心率為B．若，則的面積為C．點到兩漸近線的距離乘積為D．直線和直線的斜率乘積為【答案】ACD【分析】根據(jù)離心率的公式即可判斷A,根據(jù)三角形面積公式即可判斷B,設出點的坐標，根據(jù)點到直線的距離公式以及斜率公式即可判斷CD.【詳解】由雙曲線方程得，，離心率為，A正確若，不妨設，將其代入雙曲線方程得，所以，，，B錯誤設，則，，漸近線方程為，點到兩漸近線的距離乘積為，C正確，，，D正確故選:ACD．三、填空題13．已知平面的一個法向量為，，原點在平面內(nèi)，則點，5，到的距離為__.【答案】【分析】利用點面距公式求得到的距離.【詳解】點到平面的距離為.故答案為：14．若直線l經(jīng)過直線與直線的交點，且點到直線l的距離為2，則直線l的方程為_______________．【答案】或【分析】先求出交點坐標，對直線l的斜率分類討論，結(jié)合點到直線的距離公式即可得到答案【詳解】聯(lián)立解得，即直線與直線的交點為，當直線l的斜率不存在時，直線，易得點到直線l的距離為2，滿足題意；當直線l的斜率存在時，可設直線即，所以點到直線l的距離為解得，故此時直線l的方程為即，綜上所述，直線l的方程為或，故答案為：或15．已知兩定點，，如果動點滿足，點是圓上的動點，則的最大值為__________．【答案】##【分析】由已知條件可求得點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，則的最大值為兩圓圓心距加兩圓半徑.【詳解】設點坐標，，，，即，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又點是圓上的動點，如圖，由圖可知，的最大值為兩圓圓心距加兩圓半徑，即．故答案為：．16．如圖，橢圓的中心在坐標原點，，，，分別為橢圓的左、右、下、上頂點，為其右焦點，直線與交于點P，若為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍為______．【答案】【分析】根據(jù)為鈍角轉(zhuǎn)化為，從而得到關(guān)于，的不等式，即可求解.【詳解】設橢圓的標準方程為，．由題意，得，，，則，．因為為向量與的夾角，且為鈍角，所以，所以．又，所以，即，解得或，因為，所以，故答案為：．四、解答題17．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點．（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【詳解】分析：（1）先建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據(jù)向量數(shù)量積求得向量的夾角，再根據(jù)向量夾角與異面直線所成角的關(guān)系得結(jié)果；（2）利用平面的方向量的求法列方程組解得平面的一個法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)線面角與所求向量夾角之間的關(guān)系得結(jié)果.詳解：如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，設AC，A1C1的中點分別為O，O1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以為基底，建立空間直角坐標系O?xyz．因為AB=AA1=2，所以．（1）因為P為A1B1的中點，所以，從而，故．因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為．（2）因為Q為BC的中點，所以，因此，．設n=（x，y，z）為平面AQC1的一個法向量，則即不妨取，設直線CC1與平面AQC1所成角為，則，所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為．點睛：本題考查空間向量、異面直線所成角和線面角等基礎(chǔ)知識，考查運用空間向量解決問題的能力.利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關(guān)”，準確求解相關(guān)點的坐標；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關(guān)”.18．已知平面直角坐標系上一動點到點的距離是點P到點的距離的2倍.(1)求點P的軌跡方程：(2)若點P與點Q關(guān)于點對稱，求P、Q兩點間距離的最大值；(3)若過點A的直線l與點P的軌跡C相交于E、F兩點，，則是否存在直線l，使取得最大值，若存在，求出此時l的方程，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)14(3)存在，或【分析】（1）根據(jù)條件列方程求解即可；（2）根據(jù)對稱性求出Q點的軌跡方程，再根據(jù)幾何圖形即可求解；（3）作圖，根據(jù)幾何圖形將面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求得最大值.【詳解】（1）由已知，化簡得，即，所以點P的軌跡方程為；（2）設，∵點P與點Q關(guān)于點（—1，4）對稱，∴點P坐標為，∵點P在圓上運動，∴，即點Q的軌跡方程為，是圓心在，半徑為2的圓，∴；（3）設直線l的斜率為k，傾斜角為，由于對稱性，不妨設E，F(xiàn)在x軸上方，如圖：當l與圓C相切時，，，設M點到直線l的距離為d，則，有，，，考察，由二次函數(shù)的性質(zhì)知：當時，取得最大值4，即的最大值為2，，，∴直線l的方程為，考慮到對稱性，另一條直線的方程為：；綜上，P的軌跡方程為；PQ的最大值為14，存在最大值，其直線方程為或.19．已知動圓過定點，且與直線：相切，圓心的軌跡為．(1)求動點的軌跡方程；(2)過點作傾斜角為的直線交軌跡于，兩點，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）設，利用題中條件建立等式，可求動點的軌跡方程；（2）直線與曲線聯(lián)立方程組，利用韋達定理和弦長公式計算弦長.【詳解】（1）設，由動圓過定點，且與直線：相切，，整理得，故動點的軌跡方程為．（2）設，，直線的方程為，則由，整理得,．20．已知橢圓：離心率為，過右焦點的直線交橢圓于橢圓，兩點.(1)若有，求直線的方程；(2)若線段的中點為，延長交橢圓于另一個交點，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)由條件求出橢圓方程，設，，直線方程為，聯(lián)立方程組化簡可得，，根據(jù)列方程求，由此可得直線的方程；(2)利用點差法求得直線的斜率，聯(lián)立方程組求出點的坐標，由(1)求，再求面積表達式并求其最值.【詳解】（1）∵橢圓的離心率為，右焦點為，∴，，，∴，，∴橢圓的方程為，再令直線方程：，，聯(lián)立消去得，由韋達定理知，若有，則，，，消去得：，解得，所以直線的方程：，即：（2）由已知，，∴，，所以直線的方程是由（1）知聯(lián)立，消去得，所以有，所以點到直線的距離，所以面積令，則，有令，則當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴時，取最大值，∴，即時，面積最大，最大值是.【點睛】此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組求出交點坐標與系數(shù)的關(guān)系，由此表示出三角形的面積函數(shù)解析式，再利用換元法和導數(shù)求其最值.21．已知雙曲線的焦距為，坐標原點到直線的距離是，其中，的坐標分別為，.（1）求雙曲線的方程；（2）是否存在過點的直線與雙曲線交于，兩點，使得構(gòu)成以為頂點的等腰三角形?若存在，求出所有直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，直線的方程為.【解析】（1）記雙曲線的焦距為，得到；根據(jù)題中條件，得到直線的方程，由點到直線距離公式，求出，進而可求出，得出雙曲線方程；（2）先假設存在過點的直線與雙曲線交于，兩點，使得構(gòu)成以為頂點的等腰三角形，設，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)判別式確定的范圍；記的中點為，根據(jù)韋達定理求出的坐標，由為等腰三角形，得到，由斜率之積為，列出方程求出，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）記雙曲線的焦距為，由題意，可得，即，又，的坐標分別