新疆昌吉回族自治州昌吉州第二中學(xué)2019-2020高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理科）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精新疆昌吉回族自治州昌吉州第二中學(xué)2019-2020高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理科）試題含解析數(shù)學(xué)試卷（理科）一、單選題（每題5分，共60分）1.如圖所示的是的圖象，則與的大小關(guān)系是(）A。 B。C. D.不能確定【答案】B【解析】試題分析：由函數(shù)圖像可知函數(shù)在A處的切點(diǎn)斜率比在B處的切線斜率要小，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知成立考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的幾何意義2。已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），為的共軛復(fù)數(shù)，則（)A。2 B. C。 D。4【答案】B【解析】分析:先求復(fù)數(shù)z，再求，再求。詳解：由題得，所以故答案為B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)和模,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平。（2）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的模.3。曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）A. B. C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】利用函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)在處的值，寫(xiě)出點(diǎn)斜式的切線方程，然后轉(zhuǎn)變?yōu)橐话闶椒匠獭！驹斀狻壳€故切線方程為。故答案為D?！军c(diǎn)睛】本題考察曲線上某點(diǎn)處的切線方程的求法，難度較易.4.是函數(shù)y＝f（x）導(dǎo)函數(shù)，若y＝的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f（x)的圖象可能是（）A. B.C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】由已知條件找到導(dǎo)函數(shù)在和為正，在為負(fù)，可得原函數(shù)的單調(diào)性即可得答案.【詳解】由已知條件找到導(dǎo)函數(shù)在和為正，在為負(fù)，可得原函數(shù)在為增函數(shù),在為減函數(shù),在為增函數(shù)。故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題。5.在一次數(shù)學(xué)單元測(cè)驗(yàn)中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名獲得了滿分.這四名考生的對(duì)話如下,甲：我沒(méi)考滿分；乙：丙考了滿分;丙：丁考了滿分；丁：我沒(méi)考滿分.其中只有一名考生說(shuō)的是真話，則考得滿分的考生是（）A。甲 B.乙 C。丙 D。丁【答案】A【解析】【分析】分析四人說(shuō)的話，由丙、丁兩人一定是一真一假，分丙為真與丁為真進(jìn)行推理判斷可得答案.【詳解】解:分析四人說(shuō)的話，由丙、丁兩人一定是一真一假，若丙是真話，則甲也是真話，矛盾；若丁是真話，此時(shí)甲、乙、丙都是假話，甲考了滿分,故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查合理推理與演繹推理，由丙、丁兩人一定是一真一假進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵。6。用數(shù)學(xué)歸納法證明，則從到時(shí)左邊添加的項(xiàng)是(）A. B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征,求出當(dāng)時(shí)，等式的左邊,再求出時(shí),等式的左邊，比較可得所求．【詳解】當(dāng)時(shí)，等式的左邊為，當(dāng)時(shí)，等式左邊為，故從“到”，左邊所要添加的項(xiàng)是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，注意式子的結(jié)構(gòu)特征，以及從到項(xiàng)的變化．7.中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”合稱(chēng)“六藝”.“禮"，主要指德育;“樂(lè)”，主要指美育;“射”和“御"，就是體育和勞動(dòng)；“書(shū)”，指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”，指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在第三節(jié)，且“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（）A。12種 B。24種 C。36種 D.48種【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“數(shù)"排在第三節(jié)，則“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰有3類(lèi)排法，再考慮兩者的順序，有種，剩余的3門(mén)全排列，即可求解.【詳解】由題意，“數(shù)"排在第三節(jié)，則“射"和“御”兩門(mén)課程相鄰時(shí)，可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié)，有3種,再考慮兩者的順序,有種，剩余的3門(mén)全排列,安排在剩下的3個(gè)位置，有種,所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有種不同的排法.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列、組合的應(yīng)用,其中解答中認(rèn)真審題，根據(jù)題設(shè)條件，先排列有限制條件的元素是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題。8.已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，則線段的最小值為（)A。 B. C. D.6【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)法和兩直線平行性質(zhì)，將線段的最小值轉(zhuǎn)化成切點(diǎn)到直線距離.【詳解】已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，可知拋物線存在某條切線與直線平行,則，設(shè)拋物線的切點(diǎn)為，則由可得，，所以切點(diǎn)為，則切點(diǎn)到直線的距離為線段的最小值,則.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.9.函數(shù)在上的最大值為(）A。 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，再結(jié)合端點(diǎn)函數(shù)值得出函數(shù)的最大值．【詳解】，，令，由于,得。當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，．因此，函數(shù)在處取得最小值，在或處取得最大值,，,因此,,故選A．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，一般而言，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的基本步驟如下：(1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性；（2)求出函數(shù)的極值；(3)將函數(shù)的極值與端點(diǎn)函數(shù)值比較大小，可得出函數(shù)的最大值和最小值．10。已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是(）A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】等價(jià)于在上恒成立，即在上恒成立,再構(gòu)造函數(shù)并求g（x）的最大值得解.【詳解】在上恒成立,則在上恒成立，令，,所以在單調(diào)遞增，故g（x）的最大值為g（3）=.故.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題。11。設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（）A。 B。C. D?！敬鸢浮緼【解析】【詳解】構(gòu)造新函數(shù),，當(dāng)時(shí)。所以在上單減，又，即。所以可得,此時(shí),又為奇函數(shù)，所以在上的解集為：。故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要構(gòu)造函數(shù)，例如,想到構(gòu)造。一般：(1）條件含有，就構(gòu)造,（2）若,就構(gòu)造，（3），就構(gòu)造，（4）就構(gòu)造，等便于給出導(dǎo)數(shù)時(shí)聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)。12。已知不等式對(duì)一切都成立，則的最小值是（）A. B。 C。 D.1【答案】A【解析】【分析】令,求出導(dǎo)數(shù),分類(lèi)討論,進(jìn)而得到，可得,通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值,進(jìn)而得到的最小值．【詳解】令，則，若，則恒成立，時(shí)函數(shù)遞增，無(wú)最值．若，由得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，,函數(shù)遞減．則處取得極大值，也為最大值,，,,令,,上，，上，，時(shí)，，的最小值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力。二、填空題(每題5分,共20分）13.設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位)，則的虛部為_(kāi)_____?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坷脧?fù)數(shù)的除法運(yùn)算，求出，即可得出其虛部.【詳解】∵，∴復(fù)數(shù)的虛部為。故答案為:?！军c(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題。14.__________【答案】【解析】表示以(1,0)為圓心,1為半徑的圓的個(gè)圓的面積，所以π×12=；故答案為15.6人排成一排合影，甲乙相鄰但乙丙不相鄰，共有____(用數(shù)字)種不同的排法.【答案】192【解析】【分析】先將甲乙兩人捆綁在一起看成一個(gè)人且內(nèi)部自排,再與除丙外的其他人排列，最后將丙插空放入，保證與乙不相鄰即可?！驹斀狻康谝徊?甲乙相鄰,共有種排法;第二步:將甲乙看成一個(gè)人，與除丙外的其他人排列，共有：種排法；第三步:將丙插空放入，保證與乙不相鄰，共有：種排法;根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，共有種排法.故答案為:192【點(diǎn)睛】本題主要考查有限制條件的排列問(wèn)題，屬于中檔題。解有限制條件的排列問(wèn)題,可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò)程的始終,同時(shí)需掌握有限制條件的排列問(wèn)題的求解方法。16.“克拉茨猜想”又稱(chēng)“猜想"，是德國(guó)數(shù)學(xué)家洛薩?克拉茨在1950年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上公布的一個(gè)猜想：任給一個(gè)正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半；如果為奇數(shù)就將它乘3加1，不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，最終都能夠得到1.己知正整數(shù)經(jīng)過(guò)6次運(yùn)算后得到1，則的值為_(kāi)_________．【答案】10或64.【解析】【分析】從第六項(xiàng)為1出發(fā)，按照規(guī)則逐步進(jìn)行逆向分析，可求出的所有可能的取值．【詳解】如果正整數(shù)按照上述規(guī)則經(jīng)過(guò)6次運(yùn)算得到1,則經(jīng)過(guò)5次運(yùn)算后得到的一定是2；經(jīng)過(guò)4次運(yùn)算后得到的一定是4；經(jīng)過(guò)3次運(yùn)算后得到為8或1（不合題意);經(jīng)過(guò)2次運(yùn)算后得到的是16；經(jīng)過(guò)1次運(yùn)算后得到的是5或32；所以開(kāi)始時(shí)的數(shù)為10或64．所以正整數(shù)的值為10或64．故答案為10或64．【點(diǎn)睛】本題考查推理的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是按照逆向思維的方式進(jìn)行求解,考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．三、解答題(17題10分，其余各題12分)17。為支援武漢抗擊疫情，某醫(yī)院準(zhǔn)備從6名醫(yī)生和3名護(hù)士中選出5人組成一個(gè)醫(yī)療小組遠(yuǎn)赴武漢，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（用數(shù)字作答）(1）如果這個(gè)醫(yī)療小組中醫(yī)生和護(hù)士都不能少于2人，共有多少種不同的建組方案？（2）醫(yī)生甲要擔(dān)任醫(yī)療小組組長(zhǎng)，所以必選，而且醫(yī)療小組必須醫(yī)生和護(hù)士都有，共有多少種不同的建組方案？【答案】(1)種;（2)種【解析】【分析】（1)根據(jù)題設(shè)可知可能的情況有醫(yī)生3人護(hù)士2人和醫(yī)生2人護(hù)士3人，再根據(jù)組合問(wèn)題的求解方法求解即可；（2）先求出除去醫(yī)生甲后且不考慮必須醫(yī)生護(hù)士都有的建組方案的種數(shù)，再減去只有醫(yī)生、護(hù)士的情況種數(shù)，即可的到答案。【詳解】（1）如果這個(gè)醫(yī)療小組中醫(yī)生和護(hù)士都不能少于2人，可能的情況有醫(yī)生3人護(hù)士2人和醫(yī)生2人護(hù)士3人，所以共種不同的建組方案.答：共有種不同的建組方案．(2)由已知，除去醫(yī)生甲后且不考慮必須醫(yī)生護(hù)士都有的建組方案共種，其中只有醫(yī)生的情況數(shù)有，不可能存在只有護(hù)士的情況．故共有種不同的建組方案。答：共有種不同的建組方案。【點(diǎn)睛】本題主要考查組合的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。解組合問(wèn)題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏，在事件的正面較多的情況下,可以考慮用排除法求解。18.已知函數(shù).（I）求的減區(qū)間;(II）當(dāng)時(shí),求的值域.【答案】(I)（II)【解析】【分析】(I)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出導(dǎo)函數(shù)小于零時(shí)，的取值范圍即可．（II）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的增區(qū)間,結(jié)合（1），判斷當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)性,然后求出最值．【詳解】解:（I)由函數(shù)，求導(dǎo)當(dāng),解得即的減區(qū)間（II）當(dāng),解得即在上遞減，在上遞增故的值域【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題．19.如圖，設(shè)是拋物線上的一點(diǎn)．（Ⅰ）求該拋物線在點(diǎn)處的切線的方程；(Ⅱ)求曲線、直線和軸所圍成的圖形的面積．【答案】（Ⅰ)（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ)求導(dǎo)數(shù)可得切線斜率,從而利用直線的點(diǎn)斜式得到切線方程；（Ⅱ）利用定積分可求曲線、直線和軸所圍成的圖形的面積．【詳解】(Ⅰ）因?yàn)?，所以所以直線在處的斜率則切線的方程為即（Ⅱ）由(Ⅰ)可知，所以由定積分可得面積所以曲線、直線和軸所圍成的圖形的面為．【點(diǎn)睛】本題考查求過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線方程以及利用定積分求面積，屬于簡(jiǎn)單題．20.已知。（1）寫(xiě)出,，的值；（2）歸納的值，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【答案】(1),,；（2），證明見(jiàn)解析?！窘馕觥俊痉治觥浚?）由題意結(jié)合所給的條件首先求得的值，然后求解，,的值即可;（2）結(jié)合（1)中的結(jié)果首先猜想的值，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明即可?！驹斀狻浚?)由題意可得:f（1）=1，,，。，,。(2）由（1）猜想g（n)=n(n?2)。下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)n=2時(shí),猜想成立;②假設(shè)當(dāng)時(shí)，g（k)=k.即,∴f（1）+f(2）+…+f（k?1）=kf（k）?k，則當(dāng)n=k+1時(shí)，=k+1，因此當(dāng)n=k+1時(shí)，命題g(k+1)=k+1成立。綜上可得：，g(n)=n（n?2)成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推關(guān)系的應(yīng)用，歸納推理的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.21.已知函數(shù)。（1)若，求函數(shù)的最大值；(2)對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。【答案】（1)；（2）【解析】【分析】(1）當(dāng)時(shí)，,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可求出的最大值;（2）不等式恒成立，等價(jià)于在恒成立，令，，只需利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),，定義域?yàn)?，。?得;令，得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；所以(2)不等式恒成立,等價(jià)于在恒成立，令，，故只需即可,，令,，則，所以在單調(diào)遞增,而，所以時(shí)，，即，在單調(diào)遞減；時(shí)，，即，在單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是?！军c(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及分離參數(shù)法解決恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．恒成立問(wèn)題常用方法有：①分離參數(shù)求最值法;②含參求最值法；③數(shù)形結(jié)合法．22。設(shè)，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn),試求a的值．【答案】（1）的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是；（2）.【解析】【分析】（1）將代入中可得（),令,解得，進(jìn)而求得單調(diào)區(qū)間；（2）令,解得（舍），，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則，由于函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，則,整