新疆烏魯木齊地區(qū)2020屆高三年級(jí)第三次質(zhì)量監(jiān)測(cè)理科數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精新疆烏魯木齊地區(qū)2020屆高三年級(jí)第三次質(zhì)量監(jiān)測(cè)理科數(shù)學(xué)試題含解析烏魯木齊地區(qū)2020年高三年級(jí)第三次質(zhì)量監(jiān)測(cè)理科數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1。計(jì)算復(fù)數(shù)得()A。 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法和乘法運(yùn)算求解.【詳解】故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知集合，，則()A. B。 C. D。【答案】C【解析】【分析】先解不等式得集合A，再根據(jù)交集定義求結(jié)果.【詳解】，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查集合交集以及一元二次不等式解法，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題。3。已知命題“,"的否定是（）A.， B.，C.， D.,【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系,直接寫出命題的否定即可.【詳解】解：，所以，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題與特稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.4。已知等差數(shù)列滿足，，則（）A。20 B.24 C.26 D.28【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可．【詳解】解:∵等差數(shù)列滿足，，∴，即，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5.若角的終邊過點(diǎn)，則的值為(）A。 B. C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出,即可求出結(jié)論.【詳解】角的終邊過點(diǎn)，，。故選：D。【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義以及二倍角公式求三角函數(shù)值，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6.某校有甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)建模興趣班.其中甲班有40人，乙班有50人?，F(xiàn)分析兩個(gè)班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分,乙班的平均成績是81分,則這兩個(gè)數(shù)學(xué)建模興趣班所有同學(xué)的平均成績是（）A.85 B。85.5 C.86 D.86.5【答案】A【解析】【分析】本題是一個(gè)加權(quán)平均數(shù)的問題，求出甲和乙兩個(gè)班的總分?jǐn)?shù)，再除以兩個(gè)班的總?cè)藬?shù)，就是這兩個(gè)班的平均成績．【詳解】解：由題意，這兩個(gè)數(shù)學(xué)建模興趣班所有同學(xué)的平均成績是,故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題．7.如圖，正方體中，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為,則異面直線與所成角的大小為（)A. B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】取中點(diǎn)，連，可證，轉(zhuǎn)化為求所成的角,利用平面幾何關(guān)系,證明即可.【詳解】取中點(diǎn),連,在正方體中，為中點(diǎn),，四邊形為平行四邊形，，異面直線與所成角為直線所成的角,在正方形中，，，直線與所成角的大小為.故選：D.?！军c(diǎn)睛】本題考查空間線、面位置關(guān)系，證明異面直線垂直，考查直觀想象、邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.8.在中，，點(diǎn)滿足，則()A-1 B. C。 D.1【答案】A【解析】【分析】由題意可知為直角,以為原點(diǎn),為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量共線求出點(diǎn)，從而再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】在中，，所以為直角，以為原點(diǎn),為軸，為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則,,設(shè)，，，由，可得，即，解得，，所以，由，所以。故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.9.直線與拋物線交于,兩點(diǎn)，若，則的值為（)A. B。1 C. D。2【答案】B【解析】【分析】設(shè),，聯(lián)立并消元得,,得韋達(dá)定理結(jié)論，由題意得，由此根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可．【詳解】解：設(shè)，，聯(lián)立并消元得，，∴，，又，∴，∴,故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題．10.在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為（)A. B. C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，，由題意可得為外接球的球心,利用球的表面積公式即可求解?！驹斀狻坑桑?，所以，可得，所以，即為外接球的球心，球的半徑所以四面體的外接球的表面積為：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了多面體的外接球的表面積,需熟記球的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題。11。是雙曲線：上位于第二象限的一點(diǎn)，，分別是左、右焦點(diǎn)，。軸上的一點(diǎn)使得，，兩點(diǎn)滿足，，且，，三點(diǎn)共線，則雙曲線的離心率為(）A. B。 C。 D。【答案】A【解析】【分析】由題意，先求出，再根據(jù)，求出，再求出，再求出，根據(jù)，，三點(diǎn)共線，利用向量平行，找到的關(guān)系即可求解.【詳解】解：如圖,，把代入,得,設(shè)，因?yàn)椋?所以，,即,因?yàn)?所以是線段的中點(diǎn)，所以，即，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，所以?因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，所以，所以,,，，因?yàn)?，所?所以,故選:A?！军c(diǎn)睛】結(jié)合向量考查用解析法求雙曲線的離心率，對(duì)于學(xué)生的運(yùn)算求解能力是挑戰(zhàn)，計(jì)算量大，容易出錯(cuò)；中檔題。12.定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí),，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有,若有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(）A. B。 C。 D。【答案】C【解析】【分析】由，可得，分別作出函數(shù)和的圖像，利用數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)果?！驹斀狻慨?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí),則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則,由，可得,分別作出函數(shù)和的圖像：若時(shí),此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖像只有個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件；若時(shí)，當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)圖像有個(gè)交點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)時(shí)有個(gè)交點(diǎn)，則要使兩個(gè)函數(shù)有有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則對(duì)數(shù)函數(shù)圖像必須在點(diǎn)以下,在點(diǎn)以上，，，,，即滿足,解得,即。故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于難題。第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題,每小題5分。13.已知定義在上的奇函數(shù)滿足:當(dāng)時(shí),，則______.【答案】-2【解析】【分析】根據(jù)定義在上的奇函數(shù),則，然后再由時(shí)，求解.【詳解】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，,所以.故答案為：-2【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用以及對(duì)數(shù)運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題。14.如圖，在邊長為1的正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)恰好取自曲線下方與正方形所圍成陰影部分的概率為______.【答案】【解析】【分析】先求得正方形的面積，再用定積分求得陰影部分的面積,代入幾何概型的概率公式求解.【詳解】正方形的面積為：,陰影部分的面積為,所以此點(diǎn)恰好取自曲線下方與正方形所圍成陰影部分的概率為。故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的概率求法以及定積分的幾何意義，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15.f(x)＝2sinωx(0<ω<1),在區(qū)間上的最大值是,則ω＝________.【答案】【解析】【詳解】函數(shù)f（x)的周期T＝，因此f（x）＝2sinωx在上是增函數(shù),∵0<ω〈1，∴是子集，∴f（x）在上是增函數(shù)，∴＝，即2sin＝，∴ω＝，∴ω＝，故答案為。16。黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼于1859年提出,是至今仍未解決的世界難題。黎曼猜想涉及到很多領(lǐng)域的應(yīng)用，有些數(shù)學(xué)家將黎曼猜想的攻堅(jiān)之路趣稱為：“各大行長躲在銀行保險(xiǎn)柜前瑟瑟發(fā)抖，不少黑客則潛伏敲著鍵盤蓄勢(shì)待發(fā)”.黎曼猜想研究的是無窮級(jí)數(shù)，我們經(jīng)常從無窮級(jí)數(shù)的部分和入手.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則______(其中表示不超過的最大整數(shù))?！敬鸢浮?8【解析】【分析】根據(jù)已知結(jié)合前項(xiàng)和與通項(xiàng)關(guān)系,可得為等差數(shù)列,進(jìn)而求出，再利用，以及當(dāng)時(shí),,求出的范圍,即可求出結(jié)論?！驹斀狻慨?dāng)時(shí)，,，當(dāng)時(shí)，，，是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，，，，又時(shí)，令，，，即，從而。故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景,考查數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系、數(shù)列前項(xiàng)和的范圍，構(gòu)造新的等差數(shù)列以及用放縮法求數(shù)列和是解題的關(guān)鍵,注意常見的裂項(xiàng)相消法求和的模型，屬于較難題.三、解答題：第17～21題每題12分,解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在中,,，是，，所對(duì)的邊,，,。（Ⅰ)求;(Ⅱ)若為邊上一點(diǎn)，且，求的面積.【答案】（Ⅰ)；(Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ)由題意求得,再根據(jù)余弦定理即可求出答案；（Ⅱ）根據(jù)正弦定理可得，從而求得,則，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案．【詳解】解：（Ⅰ）由,得，∴，又∵,，又，即，解得，(負(fù)值舍去);（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴，∴，∵,∴，且，∴的面積．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18。在疫情這一特殊時(shí)期,教育行政部門部署了“停課不停學(xué)”的行動(dòng)，全力幫助學(xué)生在線學(xué)習(xí).復(fù)課后進(jìn)行了摸底考試，某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生這次摸底考試的數(shù)學(xué)成績與在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)長之間的相關(guān)關(guān)系,對(duì)在校高三學(xué)生隨機(jī)抽取45名進(jìn)行調(diào)查。知道其中有25人每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長是不超過1小時(shí)的，得到了如下的等高條形圖：（Ⅰ)是否有的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績與其在線學(xué)習(xí)時(shí)長有關(guān)”；（Ⅱ）將頻率視為概率，從全校高三學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績超過120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人,求抽取的10人中每天在線學(xué)習(xí)時(shí)長超過1小時(shí)的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差.0.0500.0100.0013。8416.63510。828【答案】(Ⅰ)沒有；（Ⅱ）,?！窘馕觥俊痉治觥?1）根據(jù)條形圖提供的數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，然后再將數(shù)據(jù)代入公式，求得，與臨界表對(duì)比下結(jié)論。（2)由列聯(lián)表得到數(shù)學(xué)成績超過120分的學(xué)生每天在線學(xué)習(xí)時(shí)長超過1小時(shí)的概率，然后用二項(xiàng)分布的期望和方差公式求解.【詳解】（Ⅰ）依題意，得列聯(lián)表數(shù)學(xué)成績?cè)诰€學(xué)習(xí)時(shí)長分分合計(jì)小時(shí)151025小時(shí)51520合計(jì)202545∵∴沒有的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的這次摸底成績與其在線學(xué)習(xí)時(shí)長有關(guān)”；（Ⅱ）從上述列聯(lián)表中可以看出：這次數(shù)學(xué)成績超過120分學(xué)生中每天在線學(xué)習(xí)時(shí)長超過1小時(shí)的頻率為，則，∴，.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)和二項(xiàng)分布的期望與方差，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題。19。如圖,將等腰直角三角形沿斜邊上的高翻折，使二面角的大小為，翻折后的中點(diǎn)為。(Ⅰ）證明平面;(Ⅱ）求二面角的余弦值?！敬鸢浮浚á瘢┳C明見解析；（Ⅱ）。【解析】【分析】(Ⅰ）根據(jù)等腰直角三角形沿斜邊上的高翻折，則，，又是的中點(diǎn)，易得，，再利用線面垂直的判定定理證明。（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),易知二面角的平面角是，則,然后分別求得平面的一個(gè)法向量,平面的一個(gè)法向量，代入公式求解.。【詳解】（Ⅰ)∵折疊前，是斜邊上的高，∴是的中點(diǎn)，∴，又因?yàn)檎郫B后是的中點(diǎn)，∴,折疊后，∴,,∴平面；(Ⅱ）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，易知二面角的平面角是，則，∴,，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,得，即,令，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量,得，即，令，得∴.所以二面角的余弦值是?！军c(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理,二面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理，運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題。20。已知橢圓：右焦點(diǎn)為，為橢圓上異于左右頂點(diǎn),的一點(diǎn),且面積的最大值為。(Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（Ⅱ)若直線與直線交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，證明直線平分.【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ）證明見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由題意得，解出即可;(Ⅱ）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立求得點(diǎn)，求出點(diǎn)，從而得中點(diǎn)，利用斜率的計(jì)算公式與正切的定義即可證明結(jié)論．【詳解】解:（Ⅰ)由題意得，解得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ)設(shè)直線的方程為,代入，得,解得,或,∴,∴，易知直線與的交點(diǎn)，∴線段的中點(diǎn),設(shè)，則，∴,，∵，，，∴，即直線平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題．21.已知函數(shù)，.(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ)當(dāng)時(shí)，在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚á瘢┊?dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減（Ⅱ）?！窘馕觥俊痉治觥浚á瘢┣蟪鰧?dǎo)函數(shù)，令，只需,由，討論的取值范圍,根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解。（Ⅱ）將不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，求出，討論的取值范圍，當(dāng)時(shí)，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，確定的符號(hào),進(jìn)而可到的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求解.【詳解】（Ⅰ），令，即，，∵,①當(dāng)時(shí)，，，，∴在,上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上恒成立,即在上恒成立，令，則,當(dāng)時(shí)，在上,都有，，即恒成立，與題意矛盾；當(dāng)時(shí)，令，，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減，，①若，即，時(shí)，,∴，在上單調(diào)遞減，∴成立，②當(dāng),即,，∴存在使得，，,，，在單調(diào)遞增，∴存在使得與題意矛盾，綜上所述.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立,考查了分類討論的思想，屬于難題。選考題：共10分，請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑。22。已知曲線參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為。（Ⅰ）求曲線的極坐標(biāo)方程;（Ⅱ）設(shè)與交點(diǎn)為，,求的面積.【答案】(Ⅰ）；（Ⅱ）1?！窘馕觥俊痉治觥浚á瘢┫雀鶕?jù)曲線的參數(shù)方程,消去參數(shù)t化為直角坐標(biāo)方程，然后將代入求解。（Ⅱ）先把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，求得A,B的坐標(biāo),再求面積?！驹斀狻浚á瘢┮?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)t得：,即：，又因?yàn)?，代入上式得曲線：;（Ⅱ)因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為，所以,所以,聯(lián)立方程,解得或,∴，，∴。【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化以及曲線的位置關(guān)系