精度指標(biāo)與誤差傳播

精度指標(biāo)與誤差傳播第1頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二內(nèi)容及學(xué)習(xí)要求本章詳細(xì)討論偶然誤差分布的規(guī)律性，衡量精度的絕對(duì)指標(biāo)－中誤差，相對(duì)指標(biāo)－權(quán)及其確定權(quán)的實(shí)用方法；方差、協(xié)因數(shù)定義及其傳播律等問(wèn)題。本章內(nèi)容是是測(cè)量平差的理論基礎(chǔ)，也是本課程的重點(diǎn)之一。學(xué)習(xí)本章要求深刻理解精度指標(biāo)的含義，掌握權(quán)、協(xié)方差、協(xié)因數(shù)概念，確定權(quán)及根據(jù)已知協(xié)方差、協(xié)因數(shù)的觀測(cè)值求其函數(shù)的方差、協(xié)因數(shù)的方法（協(xié)因數(shù)、協(xié)方差傳播律）。第2頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二概括本章內(nèi)容。其主線是偶然誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律→衡量單個(gè)隨機(jī)變量的精度指標(biāo)－方差→衡量隨機(jī)向量的精度指標(biāo)－協(xié)方差陣→求觀測(cè)值向量函數(shù)的精度指標(biāo)－協(xié)方差傳播律→精度的相對(duì)指標(biāo)-權(quán)。第一節(jié)概述第3頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第二節(jié)偶然誤差的規(guī)律性本小節(jié)闡述偶然誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性提出偶然誤差服從正態(tài)分布的結(jié)論觀測(cè)值：對(duì)該量觀測(cè)所得的值，一般用Li表示。真值：觀測(cè)量客觀上存在的一個(gè)能代表其真正大小的數(shù)值，一般用表示。一、幾個(gè)概念真誤差：觀測(cè)值與真值之差，一般用i=-Li表示。第4頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二觀測(cè)向量：若進(jìn)行n次觀測(cè)，觀測(cè)值：L1、L2……Ln可表示為：

注意：本教程中凡是不加說(shuō)明，即沒(méi)有下標(biāo)說(shuō)明的向量都是列向量，若表示行向量則加以轉(zhuǎn)置符號(hào)表示，如：等。則有：

第5頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二數(shù)學(xué)期望從概率統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)看，當(dāng)觀測(cè)量?jī)H含偶然誤差時(shí)，真值就是其數(shù)學(xué)期望。某一隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為：或

期望的實(shí)質(zhì)是一種理論平均值,可用無(wú)窮觀測(cè),以概率為權(quán),取加權(quán)平均值的概念理解.表示出現(xiàn)在小區(qū)間的概率。（離散）（連續(xù)）第6頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、偶然誤差的特性例1：在相同的條件下獨(dú)立觀測(cè)了358個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，每個(gè)三角形內(nèi)角之和應(yīng)等于180度，但由于誤差的影響往往不等于180度，計(jì)算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔0.2秒進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。

誤差區(qū)間—△+△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△0.00~0.20450.1260.630460.1280.6400.20~0.40400.1120.560410.1150.5750.40~0.60330.0920.460330.0920.4600.60~0.80230.0640.320210.0590.2950.80~1.00170.0470.235160.0450.2251.00~1.20130.0360.180130.0360.1801.20~1.4060.0170.08550.0140.0701.40~1.6040.0110.05520.0060.030>1.60000000和1810.5051770.495

第7頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例2：在相同的條件下獨(dú)立觀測(cè)了421個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，每個(gè)三角形內(nèi)角之和應(yīng)等于180度，但由于誤差的影響往往不等于180度，計(jì)算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔0.2秒進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。誤差區(qū)間—△+△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△0.00~0.20400.0950.475460.0880.4400.20~0.40340.0810.405410.0850.4250.40~0.60310.0740.370330.0690.3450.60~0.80250.0590.295210.0640.3200.80~1.00200.0480.240160.0430.2151.00~1.20160.0380.190130.0400.200…………………….………………2.40~2.6010.0020.01020.0050.0025>2.60000000和2100.4992110.501第8頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(K/n)/d△00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差概率密度函數(shù)曲線用直方圖表示:面積=[(K/n)/d△]*d△=K/n所有面積之和=k1/n+k2/n+…..=1（閉合差是理論值與觀測(cè)值之差，故是真誤差）。注意：統(tǒng)計(jì)規(guī)律只有當(dāng)有較多的觀測(cè)量時(shí)，才能得出正確結(jié)論。第9頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二為了形象地刻畫誤差分布情況：橫坐標(biāo)表示誤差的大小縱坐標(biāo)采用單位區(qū)間頻率（出現(xiàn)在某區(qū)間內(nèi)的頻率，等于該區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的誤差個(gè)數(shù)除誤差總個(gè)數(shù)n，采用單位頻率為縱坐標(biāo)值，使曲線（直方圖）趨勢(shì)不因區(qū)間間隔不同而變化）。第10頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二頻率曲線變概率曲線同條件下所得一組獨(dú)立觀測(cè)值，n足夠大時(shí)，誤差出現(xiàn)在各個(gè)區(qū)間的頻率總是穩(wěn)定在某一常數(shù)（理論頻率）附近，n越大；穩(wěn)定程度越高。n趨于，則頻率等于概率（理論頻率）。令區(qū)間長(zhǎng)度，則長(zhǎng)方條頂形成的折線變成光滑曲線，稱概率曲線。

第11頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差0.630

頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差0.475

頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差提示：觀測(cè)值定了其分布也就確定了，因此一組觀測(cè)值對(duì)應(yīng)相同的分布。不同的觀測(cè)序列，分布不同。但其極限分布均是正態(tài)分布。第12頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二1、在一定條件下的有限觀測(cè)值中，其誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的界限；→有界2、絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多（概率大）；3、絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)（概率）大致相等；→對(duì)稱4、當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，其算術(shù)平均值（期望）趨近于零Limn——n[]=0偶然誤差的特性：第13頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二1、是制定測(cè)量限差的依據(jù)；2、是判斷系統(tǒng)誤差或粗差的依據(jù)；3、測(cè)量平差的主要研究對(duì)象偶然誤差的意義：極限誤差（限差）第14頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第三節(jié)衡量精度的指標(biāo)（本小節(jié)闡述誤差概念及幾種精度指標(biāo)）精度：所謂精度是指偶然誤差分布的密集或離散程 度。在相同的觀測(cè)條件下所進(jìn)行的一組觀測(cè)，由于它們對(duì)應(yīng)著同一種誤差分布，因此，對(duì)于這一組中的每一個(gè)觀測(cè)值，都稱為是同精度觀測(cè)值。提示：一組觀測(cè)值具有相同的分布，但偶然誤差各不相同。如前面測(cè)角例子（回顧上節(jié)）第15頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二可以用誤差分布表、直方圖、分布曲線方法比較——麻煩如何衡量精度？

能否只用一個(gè)數(shù)字表示——簡(jiǎn)單精度指標(biāo)第16頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差可見(jiàn)：左圖誤差分布曲線較高且陡峭，精度高右圖誤差分布曲線較低且平緩，精度低第17頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二一、方差/中誤差f()00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

面積為1幾種常見(jiàn)的精度指標(biāo)提示：越小，誤差曲線越陡峭，誤差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。第18頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二中誤差為什么可以作為一種精度指標(biāo)？σ決定誤差分布曲線的形狀，反映誤差的離散程度，所以可作為精度指標(biāo)。此外，根據(jù)方差的定義，可見(jiàn)方差實(shí)際上是偶然誤差平方的數(shù)學(xué)期望?第19頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二方差、中誤差的計(jì)算∵偶然誤差，∴E(△)=0等精度觀測(cè)第20頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、平均誤差在一定的觀測(cè)條件下，一組獨(dú)立的偶然誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望。與中誤差的關(guān)系：第21頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二證明平均誤差和中誤差的關(guān)系式可見(jiàn)：兩種精度指標(biāo)完全等價(jià)，即分別用兩種精度指標(biāo)衡量觀測(cè)值及其函數(shù)的精度，結(jié)果相同。在觀測(cè)數(shù)有限的情況下，也只能得到平均誤差的估值。第22頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二定義：在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差落入對(duì)稱區(qū)間（-，）中的概率為二分之一，即：三、或然誤差（又稱概率誤差）顯然：對(duì)于陡峭的誤差曲線，給定概率值為1/2的條件下，

較小，反之則較大。所以：

也能較好地反映精度的高低。第23頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二或然誤差與中誤差的關(guān)系令

則有：

t是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量

，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率積分表可得：

第24頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二f()0閉合差50%由此可見(jiàn)：或然誤差與中誤差也存在固定的比例關(guān)系,所以作為衡量精度的指標(biāo),理論上是等價(jià)的。

同樣地,由于觀測(cè)值數(shù)量有限,不可能求得或然誤差.實(shí)用上：將偶然誤差按絕對(duì)值大小排序,n為奇數(shù)時(shí)取中間值，n為偶數(shù)時(shí)取中間兩個(gè)的平均值作為的估值。第25頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

由于當(dāng)n不大時(shí)，中誤差比平均誤差能更靈敏的反映大的真誤差的影響，同時(shí)，在計(jì)算或然誤差時(shí)，往往先計(jì)算中誤差，因此，世界各國(guó)通常都采用中誤差作為精度指標(biāo)，我國(guó)統(tǒng)一采用中誤差作為衡量精度的指標(biāo)第26頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二四、極限誤差由此可見(jiàn)：出現(xiàn)絕對(duì)值大于2~3倍中誤差的偶然誤差屬于小概率事件。通常小概率事件在實(shí)踐中被認(rèn)為是不大可能發(fā)生的．意義：在測(cè)量工作中，通常根據(jù)實(shí)踐確定中誤差的估值，而以二倍或三倍中誤差作為外業(yè)成果檢核的標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)即視為不合格。例：三角測(cè)量時(shí)以三角形閉合差超過(guò)一定限值視為不合格等第27頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二五、相對(duì)誤差中誤差與觀測(cè)值之比，一般用1/M表示。提出：一般而言，一些與長(zhǎng)度有關(guān)的觀測(cè)值或其函數(shù)值，單純用中誤差還不能區(qū)分出精度的高低，所以常用相對(duì)誤差。相對(duì)誤差沒(méi)有單位，測(cè)量中一般將分子化為1，即用表示。對(duì)應(yīng)的，真誤差、中誤差、極限誤差等都是絕對(duì)誤差。第28頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二精度、準(zhǔn)確度與精確度精度：描述觀測(cè)值與真值（僅含偶然誤差時(shí)即為期望）接近程度，是衡量偶然誤差大小程度的指標(biāo)。精度的概念也可以用于多維分布（隨機(jī)向量）→方差-協(xié)方差陣準(zhǔn)確度：又叫準(zhǔn)度，是衡量系統(tǒng)誤差大小程度的指標(biāo)精確度：是精度和準(zhǔn)確度的合成，反映了偶然誤差和系統(tǒng)誤差聯(lián)合影響的大小程度，用均方誤差表示

~MSE(X)=E(X-X)2第29頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二補(bǔ)充：伴隨矩陣第30頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二代數(shù)余子式第31頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二上節(jié)重點(diǎn)方差、中誤差極限誤差第32頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二舉例水準(zhǔn)儀觀測(cè)兩點(diǎn)高差10次，分別為：1.1223、1.1223、1.1222、1.1221、1.12241.1221、1.1222、1.1222、1.1222、1.1229（m）請(qǐng)判斷是否存在粗差？求其中誤差、極限誤差（無(wú)粗差）步驟：求真值（期望值，即平均值）得到各真誤差求方差、中誤差按3倍中誤差得到極限誤差，檢查真誤差是否有超限，如有，剔除，重復(fù)以上步驟，直至無(wú)超限第33頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第四節(jié)誤差傳播律主要內(nèi)容：1.觀測(cè)值線性函數(shù)的誤差傳播律2.誤差傳播律在取平均值、水準(zhǔn)測(cè)量、 方位角、極坐標(biāo)、三角高程測(cè)量 誤差傳播中的應(yīng)用第34頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二線性函數(shù)的誤差傳播律觀測(cè)值向量：即：系數(shù)：Z是關(guān)于X的線性函數(shù)：第35頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二即：則當(dāng)各觀測(cè)量Xi相互獨(dú)立時(shí)，他們之間的協(xié)方差，所以第36頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二對(duì)于向量X=[X1，X2，……Xn]T，將其元素間的方差、協(xié)方差陣表示為：矩陣表示為：方差協(xié)方差陣第37頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二獨(dú)立觀測(cè)值測(cè)量工作中，直接測(cè)得的高度、距離、角度等一般都是獨(dú)立觀測(cè)值，而獨(dú)立觀測(cè)值的各個(gè)函數(shù)之間一般是不獨(dú)立的，即它們是相關(guān)觀測(cè)值第38頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例：在測(cè)站A上，已知∠BAC=a，設(shè)無(wú)誤差，而觀測(cè)a1,a2的中誤差求角x的中誤差第39頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二協(xié)方差傳播應(yīng)用步驟:（1）寫函數(shù)式;（2）如果非線性，對(duì)函數(shù)式求全微分;（3）寫成矩陣式;（4）應(yīng)用協(xié)方差傳播律求的方差協(xié)方差。第40頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二應(yīng)用1：算數(shù)平均值的中誤差同精度觀測(cè)N次，每次觀測(cè)的中誤差為所以，多次測(cè)量取平均值能提高精度第41頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二應(yīng)用2：水準(zhǔn)測(cè)量的誤差傳播律兩水準(zhǔn)點(diǎn)間高差各測(cè)站高差是等精度的獨(dú)立觀測(cè)值，中誤差均為兩水準(zhǔn)點(diǎn)間的距離測(cè)站間的距離注意比例關(guān)系及適用范圍第42頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二應(yīng)用3：方位角誤差傳播律支導(dǎo)線測(cè)量中，同精度獨(dú)立觀測(cè)N個(gè)轉(zhuǎn)折角，中誤差均為則第N條邊的方位角所以，支站越多，誤差越大第43頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二應(yīng)用4：極坐標(biāo)誤差傳播律P點(diǎn)的點(diǎn)位方差縱向方差橫向方差第44頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二上節(jié)重點(diǎn)誤差傳播律的推導(dǎo)（需要復(fù)習(xí)，理解P14-P16）誤差傳播律的應(yīng)用第45頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二數(shù)學(xué)期望的傳播E(C)=CE(CX)=CE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(X1+X2+…+Xn)=E(X1)+E(X1)+…+E(X1)若X、Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y) E(X1X2...Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn)第46頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二應(yīng)用5：三角高程測(cè)量誤差傳播律三角高程測(cè)量高差水平距離豎直角儀高鏡高（非線性函數(shù)）全微分（對(duì)D、）則第47頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

例題

已知某臺(tái)經(jīng)緯儀一測(cè)回的測(cè)角中誤差為±6'',如果要使各測(cè)回的平均值的中誤差不超過(guò)±2'',則至少應(yīng)測(cè)多少測(cè)回？

解：由公式得

答：至少應(yīng)測(cè)9測(cè)回第48頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

例題

水準(zhǔn)測(cè)量中，設(shè)每站觀測(cè)高差的中誤差均為1cm，今要求從已知點(diǎn)推算待定點(diǎn)的高程中誤差不大于5cm，問(wèn)可以設(shè)多少站？解：第49頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

例題

若要在兩已知高程點(diǎn)間布設(shè)一條符合水準(zhǔn)路線，如下圖，已知每公里觀測(cè)中誤差等于5mm，欲使平差后線路中點(diǎn)C點(diǎn)高程中誤差不大于10mm，問(wèn)該線路長(zhǎng)度最多可達(dá)幾千米？16（提示，Hc’=HA+h1,Hc”=HB-h2,HC=(Hc’+Hc”)/2）第50頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

例題

由已知點(diǎn)A丈量距離S并測(cè)量方位角a，從而計(jì)算P點(diǎn)坐標(biāo)，觀測(cè)值及中誤差為設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)誤差，試求P的點(diǎn)位中誤差解：第51頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

例題

測(cè)量矩形面積S,設(shè)長(zhǎng)寬A、B測(cè)量精度為求面積S的中誤差？解：第52頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二上節(jié)重點(diǎn)誤差傳播律的應(yīng)用舉例 （回顧計(jì)算公式）學(xué)生上臺(tái)板書公式，并解釋含義（有點(diǎn)名效果）第53頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二主要內(nèi)容 介紹權(quán)的概念、意義給出權(quán)的定義測(cè)量中常用的定權(quán)方法第六節(jié)權(quán)與定權(quán)的常用方法第54頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二方差是衡量精度的絕對(duì)指標(biāo)權(quán)是衡量精度的相對(duì)指標(biāo)，在平差中起著重要的作用聯(lián)系與區(qū)別：權(quán)是用方差定義的，但在實(shí)際工作中，方差在平差前往往是得不到的，而權(quán)卻必須根據(jù)一定條件在平差前確定。第55頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二權(quán)的定義:稱為觀測(cè)值Li的權(quán)。權(quán)與方差成反比。第56頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例:

某水準(zhǔn)網(wǎng)中，各條線路的距離為S1=1.0km，S2=2.0km，S3=3.0km，S4=4.0km，S5=5.0km各線路觀測(cè)高差的中誤差為求各線路高差對(duì)應(yīng)的權(quán)求各線路高差對(duì)應(yīng)的權(quán)第57頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（三）權(quán)是衡量精度的相對(duì)指標(biāo)，為了使權(quán)起到比較 精度的作用，一個(gè)問(wèn)題只選一個(gè)0。（四）只要事先給定一定的條件，就可以定權(quán)。權(quán)的特點(diǎn):第58頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

因此，權(quán)的意義，不在于權(quán)本身數(shù)值的大小，而重要的是它們之間所存在的比例關(guān)系第59頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二單位權(quán)中誤差:由權(quán)的定義第60頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例題：第61頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二上節(jié)重點(diǎn)●權(quán)的定義●權(quán)的特點(diǎn)●單位權(quán)中誤差第62頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二測(cè)量上定權(quán)的常用方法：1、水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)設(shè)各水準(zhǔn)線路的測(cè)站數(shù)為N1、N2、…、Nn，各線路的長(zhǎng)度為S1、S2、…、Sn，第i條水準(zhǔn)線路的權(quán)為Pi若每一測(cè)站觀測(cè)高差的精度相同，則若每公里觀測(cè)高差的精度相同，則第63頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2、三角高程測(cè)量的權(quán)地勢(shì)較平坦時(shí)（豎直角不大于5度，D為兩點(diǎn)間水平距離）注意：與水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)的區(qū)別思考：若豎直角較大，如何定權(quán)？由權(quán)的定義第64頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二3、算術(shù)平均值的權(quán)設(shè)有L1、L2、…、Ln，分別是N1、N2、…、Nn次等精度觀測(cè)值的平均值，則觀測(cè)值Li的權(quán)為第65頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例題已知：各水準(zhǔn)線路的長(zhǎng)度為S1=3.0km，S2=6.0km，S3=2.0km，S4=1.5km，設(shè)每公里觀測(cè)高差的精度相同，第4條線路S4觀測(cè)高差的權(quán)為3，試求其他各線路觀測(cè)高差的權(quán)。第66頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例如：水準(zhǔn)測(cè)量中，究竟用水準(zhǔn)線路的距離S定權(quán)，還是用測(cè)站數(shù)N定權(quán)，要視具體情況而定。一般，起伏不大的地區(qū)，每公里的測(cè)站數(shù)大致相同，則可按水準(zhǔn)線路距離定權(quán)；而在起伏較大的地區(qū)，每公里的測(cè)站數(shù)相差較大，則按測(cè)站數(shù)定權(quán)應(yīng)用定權(quán)方法時(shí)，注意前提條件！第67頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二權(quán)的單位在確定一組同類元素的觀測(cè)值的權(quán)時(shí)，所選取的單位權(quán)中誤差的單位，一般是與觀測(cè)值中誤差的單位相同的，由于權(quán)是單位權(quán)中誤差平方與觀測(cè)值中誤差平方之比，所以，權(quán)一般是一組無(wú)量綱的數(shù)值，也就是說(shuō)，在這種情況下權(quán)是沒(méi)有單位的。但如果需要確定權(quán)的觀測(cè)值（或它們的函數(shù)）包含有兩種以上的不同類型元素時(shí)，情況就不同了。第68頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例如：若選取的單位權(quán)中誤差的單位是秒，即與角度觀測(cè)值之中誤差單位相同，那么，各個(gè)角度觀測(cè)值的權(quán)是無(wú)量綱（或無(wú)單位）的；而長(zhǎng)度觀測(cè)值的權(quán)的量綱則為“秒2/mm2”。這種情況在平差計(jì)算中是常常會(huì)遇到的。第69頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二思考題：

如圖所示：1、2、3三點(diǎn)為已知高等級(jí)水準(zhǔn)點(diǎn)，誤差不計(jì)，為求P點(diǎn)高程，獨(dú)立觀測(cè)了三段水準(zhǔn)路線的高差求P點(diǎn)高程及其中誤差（設(shè)每測(cè)站高差觀測(cè)中誤差）（提示：分別求算術(shù)平均值、加權(quán)平均值，并比較分析）第70頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

在不同精度獨(dú)立觀測(cè)情況下，加權(quán)平均值是最可靠值。也就是說(shuō)，不同精度獨(dú)立觀測(cè)量的加權(quán)平均值的中誤差最小。算術(shù)平均值是加權(quán)平均值在各觀測(cè)量的權(quán)相等時(shí)的特例（即等精度）結(jié)論：第71頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二加權(quán)平均值求法：第72頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第七節(jié)協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律一、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣第73頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二不難得出：QXX為協(xié)因數(shù)陣第74頁(yè)，共83頁(yè)，2023年，2月20日，星期二特點(diǎn)：I對(duì)稱

II各觀測(cè)量互不相關(guān)時(shí)，為對(duì)角矩陣。協(xié)因數(shù)陣