機械工程控制基礎第5章

機械工程控制基礎第5章第一頁，共56頁。機械工程控制基礎第一章自動控制的一般概念第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第三章控制系統(tǒng)的時域分析法第四章頻域分析法第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性第六章控制系統(tǒng)的校正第二頁，共56頁。第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性——系統(tǒng)能正常工作的首要條件系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定條件Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)Bode穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性第三頁，共56頁。AAA″a、穩(wěn)定的擺穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定的概念

穩(wěn)定性示例Ab、不穩(wěn)定的擺第四頁，共56頁。

穩(wěn)定性定義原來處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)，在受到擾動作用后都會偏離原來的平衡狀態(tài)。若系統(tǒng)在擾動作用消失后，經(jīng)過一段過渡過程后，系統(tǒng)仍然能夠回復到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，則稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的結構和參數(shù)，與輸入無關。

第五頁，共56頁。

穩(wěn)定程度臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

a)穩(wěn)定b)臨界穩(wěn)定c)不穩(wěn)定第六頁，共56頁。系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定條件結論：系統(tǒng)是否穩(wěn)定，取決于系統(tǒng)本身（結構，參數(shù)），與輸入無關穩(wěn)定性是指自由響應的收斂性定義：系統(tǒng)在初始狀態(tài)作用下無輸入時的初態(tài)輸入引起的初態(tài)輸出（響應）收斂（回復平衡位置）系統(tǒng)穩(wěn)定發(fā)散（偏離越來越大）系統(tǒng)不穩(wěn)定第七頁，共56頁。線性定常系統(tǒng)：強迫響應輸入引起的自由響應系統(tǒng)的初態(tài)引起的自由響應自由響應si:系統(tǒng)的特征根系統(tǒng)穩(wěn)定條件第八頁，共56頁。當系統(tǒng)所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有負實部（位于[s]平面的左半平面）自由響應收斂，系統(tǒng)穩(wěn)定若有任一sk具有正實部（位于[s]平面的右半平面）自由響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定第九頁，共56頁。若有特征根sk

=±jω（位于[s]平面的虛軸上），其余極點位于[s]平面的左半平面自由響應等幅振動，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定若有特征根sk

=0（位于[s]平面的原點），其余極點位于[s]平面的左半平面自由響應收斂于常值，系統(tǒng)穩(wěn)定簡諧運動第十頁，共56頁。結論：線性定常系統(tǒng)是否穩(wěn)定，完全取決于系統(tǒng)的特征根。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：若系統(tǒng)的全部特征根（傳遞函數(shù)的全部極點）均具有負實部（位于[s]平面的左半平面），則系統(tǒng)穩(wěn)定。第十一頁，共56頁。如何判別？求出閉環(huán)極點？實驗？①高階難求②不必要如果不穩(wěn)定，可能導致嚴重后果思路：①特征方程→根的分布（避免求解）②開環(huán)傳遞函數(shù)→閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性（開環(huán)極點易知，閉環(huán)極點難求）穩(wěn)定判據(jù)第十二頁，共56頁。Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)

——代數(shù)判據(jù)（依據(jù)根與系數(shù)的關系判斷根的分布）系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件設系統(tǒng)特征方程為：s1,s2,…,sn：特征根

因為比較系數(shù)：系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：各系數(shù)同號且不為零或：an>0,

an-1>0,…,a1>0,

a0>0第十三頁，共56頁。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件特征方程：Routh表：其中：Routh判據(jù)：Routh表中第一列各元符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程具有正實部特征根的個數(shù)。因此，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Routh表中第一列各元的符號均為正，且值不為零。第十四頁，共56頁。例1系統(tǒng)的特征方程D(s)=s4＋s3－19s2＋11s＋30＝0

Routh表：第一列各元符號改變次數(shù)為2，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)有兩個具有正實部的特征根

第十五頁，共56頁。

低階系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判據(jù)

二階系統(tǒng)勞斯陣列為：s2

a0

a2s1

a1 0s0

a2a0>0，a1>0，a2>0從而，二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：第十六頁，共56頁。

三階系統(tǒng)勞斯陣列為：s3

a0

a2s2

a1

a3s1 0s0

a3三階系統(tǒng)(n=3)穩(wěn)定的充要條件為：a3>0,

a2>0,

a1>0,

a0>0,

a1a2－a0a3>0第十七頁，共56頁。例2：系統(tǒng)方框圖如下，試確定開環(huán)增益K為何值時，系統(tǒng)穩(wěn)定。Xi(s)Xo(s)解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：此系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，特征方程為：第十八頁，共56頁。由三階系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，有：即：當0<K<30時系統(tǒng)穩(wěn)定。第十九頁，共56頁。例3：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：求系統(tǒng)穩(wěn)定時K和T的取值范圍。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)穩(wěn)定條件為：第二十頁，共56頁。處理方法：用一個很小的正數(shù)代替該行第一列的零，并據(jù)此計算出陣列中的其余各項。然后令

0，按前述方法進行判別。如果上下各元素的符號相同，則系統(tǒng)存在一對共軛虛根，處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；如果上下各元素的符號不同，則表明有一個符號變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

勞斯陣列的特殊情況

勞斯陣列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各項不等于零或不全為零。第二十一頁，共56頁。例如：s4 1 3 2s3 3 3 0s2 2 2s1 (0)0s0 2事實上，系統(tǒng)特征根如下：－1、－2、±j勞斯陣列第一列上下兩項的符號相同，表明系統(tǒng)有一對虛根。系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。第二十二頁，共56頁。

勞斯陣列表某一行全為零勞斯陣列出現(xiàn)全零行表明系統(tǒng)在s平面有對稱分布的根，即存在大小相等符號相反的實根和（或）一對共軛虛根和（或）對稱于實軸的兩對共軛復根；或存在更多這種大小相等，但在s平面位置徑向相反的根。j0-aaj0-jajaj0-aa-jbjb第二十三頁，共56頁。處理方法：利用該零行上面一行元素構成輔助多項式，取輔助多項式導數(shù)的系數(shù)代替該零行，繼續(xù)計算勞斯陣列中其余各項。

第二十四頁，共56頁。-1、-1±j2、

-1±j、1±j顯然，系統(tǒng)不穩(wěn)定。其特征根如下：s7 1 7 4 28s6 3 5 12 20s5 16/3 0 64/3 0s4 5 0 20s3

0 0 20 0s2

(0) 20s1 -400/s0 20例如：第二十五頁，共56頁。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)Ls：[s]平面上一封閉曲線（不經(jīng)過F(s)的奇點）

1.幅角原理設有復變函數(shù)：——幾何判據(jù)（利用開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性）第二十六頁，共56頁。幅角原理：ｓ按順時針方向沿Ls變化一周時，F(xiàn)(s)將繞原點順時針旋轉N周，即包圍原點N次。N=Z-PZ：Ls內的F(s)的零點數(shù)

P：Ls內的F(s)的極點數(shù)第二十七頁，共56頁。開、閉環(huán)零極點與F(s)取

F(s)=1＋G(s)H(s)=1+Gk(s)G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)第二十八頁，共56頁。[s]平面上的

Nyquist軌跡的選取[F(s)]與[GH]平面上的Nyquist軌跡F(s)=1+Gk(s)LF包圍原點的圈數(shù)=LGH包圍（－1，j0）點的圈數(shù)N=Z-P第二十九頁，共56頁。當由－到+時，若[GH]平面上的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)逆時針方向包圍（－1，j0）點P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（P為G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的極點數(shù)）確定P作G(j)H(j)的Nyquist圖運用判據(jù)判據(jù)

對于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，有P=0，此時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)不包圍（-1，j0）點。第三十頁，共56頁。例1以下兩個開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。穩(wěn)定不穩(wěn)定第三十一頁，共56頁。例2開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)穩(wěn)定P=1第三十二頁，共56頁。開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)的Nyquist軌跡當s沿無窮小半圓逆時針方向移動時，有映射到[GH]平面上的Nyquist軌跡為：第三十三頁，共56頁。當s沿小半圓從=0－變化到=0＋時角從－/2經(jīng)0變化到/2[GH]平面上的Nyquist軌跡將沿無窮大半徑按順時針方向從經(jīng)0轉到第三十四頁，共56頁。P=0N=2Z=2例不穩(wěn)定第三十五頁，共56頁。應用舉例例1不論K取任何正值，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的開環(huán)為最小相位系統(tǒng)時，只有在三階或三階以上，其閉環(huán)系統(tǒng)才有可能不穩(wěn)定。P=0例2第三十六頁，共56頁。例2P=0若G(j)H(j)如圖中曲線①所示，包圍點（－1，j0），則系統(tǒng)不穩(wěn)定。減小K值，使G(j)H(j)減小，曲線①有可能因模減小，相位不變，而不包圍(－1，j0），因而系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。若K不變，亦可增加導前環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T4、T5使相位絕對值減小，曲線①變成曲線②。由于曲線②不包圍點(－1，j0),故系統(tǒng)穩(wěn)定。第三十七頁，共56頁。P=0例3當導前環(huán)節(jié)作用小，即當T4小時，開環(huán)Nyquist軌跡為曲線①，它包圍點(－1，j0），閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當導前環(huán)節(jié)作用大，即當T4大時，開環(huán)Nyquist軌跡為曲線②，它不包圍點(－1，j0），閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。第三十八頁，共56頁。具有延時環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性GK(s)＝G1(s)e－s

GK(j)＝G1(j)e－jGK(j)=G1(j)GK(j)=G1(j)－

延時環(huán)節(jié)不改變原系統(tǒng)的幅頻特性，而僅僅使相頻特性發(fā)生變化。

第三十九頁，共56頁。例1+G1(s)e－s＝0，G1(j)＝1，G1(j)－＝－解得：＝0.786，＝1.15。所以，＞1.15時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

=1.2

=1

=0.5

=0第四十頁，共56頁。四、Bode穩(wěn)定判據(jù)（對數(shù)判據(jù)）——幾何判據(jù)（Nyquist判據(jù)的引申）Nyquist圖與Bode圖的對應關系第四十一頁，共56頁。Nyquist圖上的單位圓→Bode圖上的0dB線， 單位圓之外→對數(shù)幅頻特性圖的0dB線之上。(2)Nyquist圖上的負實軸

→

Bode圖上的－180°線，即對數(shù)相頻特性圖的橫軸。第四十二頁，共56頁。ωc：幅值穿越頻率（剪切頻率）ωg：相位穿越頻率(-1,j0)ωcωcωgωg1ωg2ωg3第四十三頁，共56頁。穿越：開環(huán)Nyquist軌跡在(－1，j0)點以左穿過負實軸_+(-1,j0)_+負穿越：開環(huán)Nyquist軌跡自下而上的穿越（隨ω的增加）

正穿越：開環(huán)Nyquist軌跡自上而下的穿越（隨ω的增加）穿越的概念（對數(shù)相頻特性自上而下穿過－180°線）（對數(shù)相頻特性自下而上穿過－180°線）（對數(shù)相頻特性穿過－180°線）第四十四頁，共56頁。半次穿越：起始于（-1，j0）點以左，－180°的穿越沿頻率增大的方向，開環(huán)Nyquist軌跡自點（-1，j0）以左的負實軸開始向下穿越為半次正穿越；沿頻率增大的方向，開環(huán)Nyquist軌跡自點（-1，j0）以左的負實軸開始向上穿越為半次負穿越。+_(-1,j0)_+第四十五頁，共56頁。正穿越一次，Nyquist軌跡逆時針包圍(－1，j0)點一圈負穿越一次，Nyquist軌跡順時針包圍(－1，j0)點一圈+_(-1,j0)_+開環(huán)Nyquist軌跡逆時針包圍(－1，j0)點的次數(shù)正穿越和負穿越的次數(shù)之差。第四十六頁，共56頁。判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，在Bode圖上，當由0變到＋∞時，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內，開環(huán)對數(shù)相頻特性對－180°線的正穿越與負穿越次數(shù)之差為P／2。+_(-1,j0)ωg1ωg2ωg3ωc_+第四十七頁，共56頁。特別P=0時：若ωc＜ωg，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

ωc＞ωg，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；

ωc=ωg，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定+_(-1,j0)ωg1ωg2ωg3ωc_+第四十八頁，共56頁。五、系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性：GK(jω)靠近(－1,j0)的程度定量指標：相位裕度幅值裕度Kｇ第四十九頁，共56頁。相位裕度

(phasemargin)

γ在ω=ωc時，GK(jω)的相頻特性(c）距－180°線的相位差即

＝(c）－（－180°）

＝