微分方程模型和應用

微分方程模型和應用典型微分方程模型Malthus人口模型Logistic模型新產品推廣模型物種競爭模型正規(guī)戰(zhàn)-游擊戰(zhàn)模型Lotka-VolterraModels海洋種群生態(tài)學相互作用和變化問題世界人口增長概況中國人口增長概況年代19081933195319641982199019952000人口3.04.76.07.210.311.312.013.0年代186018701880……1960197019801990人口31.438.650.2……179.3204.0226.5251.4美國人口的增長概況年代1625183019301960197419871999人口5102030405060馬爾薩斯（Malthus）指數人口模型假設人口增長率r是常數

或

其中N0=N(t0)為時刻t0種群數。特點：種群數量翻一番的時間固定種群數量翻一番的時間為T：故模型檢驗-短期預測馬爾薩斯模型的預報結果，1961年世界人口30.6（3.06×109）人口增長率2%，每35年增加一倍。1700年至1961的260年人口數量人口數量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。Logisitic模型模型檢驗Logistic模型效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic）人工飼養(yǎng)小谷蟲的實驗，數學生物學家高斯（E·F·Gauss）做原生物草履蟲實驗，都和Logistic曲線吻合。

Logistic模型描述種群增長高斯把5只草履蟲放進盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管，開始時草履蟲以每天230.9%的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達到最大量375個，實驗數據與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線：得到Logistic微分方程：或改寫成：

TheLogisticModelwhereKiscapacity.InGeneralSituation:ApplicationofLogisticmodelmodelingpopulationgrowthmodelingofgrowthoftumorsInchemistry:reactionmodelsInphysics:FermidistributionInlinguistics:languagechangeDoublelogisticfunctionMalthusandLogistic模型

Malthus模型和Logistic模型。前一模型假設了種群增長率r為一常數。后一模型則引入了一個競爭項。Logistic模型的應用推廣

新產品的推廣模型需求量上界K，銷售數量x(t)，未使用人數K－x(t).統(tǒng)計籌算律記比例系數為k，則x(t)滿足：

此方程Logistic模型，解為：Logistic模型示例新技術的傳播和商業(yè)品牌的S形傳播謠言或網絡信息的傳播-選舉應用計算機病毒或傳染病的擴散模型城市房地產價格的logistic曲線細胞分泌胰蛋白酶原和污染濃度擴散公司財務危機的Logistic回歸模型自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng)Predator-preymodelPredator-preymodelsareargublythebuildingblocksofthebio-andecosystemsasbiomassesaregrownoutoftheirresourcemasses.Speciescompete,evolveanddispersesimplyforthepurposeofseekingresourcestosustaintheirstrugglefortheirveryexistence.Dependingontheirspecificsettingsofapplications,theycantaketheformsofresource-consumer,plant-herbivore,parasite-host,tumorcells(virus)-immunesystem,susceptible-infectiousinteractions,etc.Theydealwiththegeneralloss-wininteractionsandhencemayhaveapplicationsoutsideofecosystems.Whenseeminglycompetitiveinteractionsarecarefullyexamined,theyareofteninfactsomeformsofpredator-preyinteractionindisguise.Typesofpredators

Carnivores

食肉動物–killthepreyduringattackHerbivores

食草動物–

removepartsofmanyprey, rarelylethal.Parasites寄生生物–consumepartsofoneorfewprey,

rarelylethal.Parasitoids擬寄生類–

killonepreyduringprolonged

attack.Predator-preyModelx=amountofprey, y=amountofpredatordx/dt=xg(x)–yp(x)dy/dt=y[-s+cp(x)]g(x)isagrowthfunction,g(x),monotonicnon-increasing,p(x)ispredationfunctionp(x),monotonicincreasing,g(x)xg(x)kkxy(x*,y*)B>0

Lotka-VolterraModelsSimplestmodelofpredator-prey=Lotka-VolterraLotkaandVolterraindependentlyproposeapairofdifferentialequationsthatmodeltherelationshipbetweenasinglepredatorandasinglepreyinagivenenvironment:VariableandParameterdefinitionsx–preyspeciespopulationy–predatorspeciespopulationr–IntrinsicrateofpreypopulationIncreasea–Predationcoefficientb–Reproductionrateper1preyeatenc–PredatormortalityrateRatio-Dependent

Predator-PreyModelParameter/VariableDefinitionsx–preypopulationy–predatorpopulationa–capturerateofpreyd–naturaldeathrateofpredatorb–predatorconversionratePreygrowthtermPredationtermPredatordeathtermPredatorgrowthterm兩種群競爭模型-Lotka-Volterra模型應用競爭結局有三種結果（1）種1勝而種2被排除；（2）種2勝而種1被排除；（3）兩種共存。

植物與食植動物的食物鏈模型其中：V為植物密度；H為食草動物密度；r1—植物內稟增長率；K—未放牧時植物最大密度；d1—在植被稀少時，動物的牧食效率（尋覓效率）；a—當草場被啃平時，動物的下降率；C1—每頭食草動物最大取食率；C2—當草地高密度時對動物下降狀況的改善率；d2—在植被變稀時的動物繁殖能力；●意識●動物●植物●地球●環(huán)境●社會Lotka-Volterra-正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭建模的格式正規(guī)戰(zhàn)爭：正規(guī)部隊與正規(guī)部隊作戰(zhàn)2)游擊戰(zhàn)爭：游擊隊與游擊隊作戰(zhàn)3)混合戰(zhàn)爭：正規(guī)部隊與游擊部隊作戰(zhàn)求微分方程的數值解1,常微分方程數值解的定義2,建立數值解法的一些途徑3,用Matlab軟件求常微分方程的數值解返回輸入命令：[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t')；x=simple(x)%將x化簡y=simple(y)z=simple(z)結果：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2t

y=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t

用Matlab軟件求常微分方程的數值解[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf為自變量的初值和終值函數的初值ode23：組合的2/3階龍格-庫塔-芬爾格算法ode45：運用組合的4/5階龍格-庫塔-芬爾格算法自變量值函數值用于設定誤差限(缺省時設定相對誤差10-3,絕對誤差10-6),命令為：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）,rt，at：分別為設定的相對誤差和絕對誤差.解:令y1=x，y2=y1’1、建立m-文件vdp1000.m如下：functiondy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);

2、取t0=0，tf=3000，輸入命令：[T,Y]=ode15s('vdp1000',[03000],[20]);plot(T,Y(:,1),'-')3、結果如圖ToMatlab（ff4）解

1、建立m-文件rigid.m如下：functiondy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，輸入命令：[T,Y]=ode45('rigid',[012],[011]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')3、結果如圖ToMatlab（ff5）圖中，y1的圖形為實線，y2的圖形為“*”線，y3的圖形為“+”線.返回地中海鯊魚問題魚類種群相互制約關系，第一次世界大戰(zhàn)1914年—1918年,地中海各港口幾種魚類捕獲量的資料，發(fā)現鯊魚等的比例有明顯增，而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降.戰(zhàn)爭使捕魚量下降，食用魚增加，鯊魚等也隨之增加，但為何鯊魚的比例大幅增加呢？意大利數學家V.Volterra建立一個食餌—捕食系統(tǒng)的數學模型，定量地回答這個問題.

模型反映了在沒有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制約，沒有考慮食餌和捕食者自身的阻滯作用，是Volterra提出的最簡單的模型.首先，建立m-文件shier.m如下：functiondx=shier(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2));dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1));其次，建立主程序shark.m如下：[t,x]=ode45('shier',[015],[252]);plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*')plot(x(:,1),x(:,2))ToMatlab(shark)求解結果：左圖反映了x1（t）與x2（t）的關系。可以猜測：x1（t）與x2（t）都是周期函數?？紤]人工捕獲設表示捕獲能力的系數為e，相當于食餌的自然增長率由r1降為r1-e，捕食者的死亡率由r2增為r2+e設戰(zhàn)前捕獲能力系數e=0.3,戰(zhàn)爭中降為e=0.1,則戰(zhàn)前與戰(zhàn)爭中的模型分別為:模型求解:1、分別用m-文件shier1.m和shier2.m定義上述兩個方程2、建立主程序shark1.m,求解兩個方程，并畫出兩種情況下鯊魚數在魚類總數中所占比例x2(t)/[x1(t)+x2(t)]ToMatlab(shark1)實線為戰(zhàn)前的鯊魚比例，“*”線為戰(zhàn)爭中的鯊魚比例結論：戰(zhàn)爭中鯊魚的比例比戰(zhàn)前高！種群生態(tài)學

CreatingFoodSystems3-Levelsystempredator-preyLotka-VolterraEcosystemmodelingwith3-levelsystemthatdescribesaplanktonicmarineecosystem.FranksandChencoupledaNutrient-Phytoplankton-Zooplankton(NPZ)modelintoaprimitiveequationmodelandappliedittoexaminethesummertimeplanktondynamicsonGB.Thatwasthefirstmodelingefforttostudythebiologicalprocessunderthe“realistic”physicalenvironmentintheGoM/GBregion.2009ICMChinauniversityofminingandtechnologyImprovedAlgaspicesmodelSpicesofpopulation2Spicesofpopulation3Modelof3-PopulationsAnalyticalHierarchyProcessDevelopacommercialpolyculturetoremediateBolinaoAc