2012第二輪復(fù)習(xí)(解析幾何)

2011~2012學(xué)年潮陽林百欣中學(xué)高三理科數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題五-PAGE4-解析幾何（教師版）解析幾何是高考命題的熱點內(nèi)容之一，通常有1-2個小題和1個大題，約占24分左右?？陀^題重點考查的內(nèi)容是：直線與方程，圓的方程，圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用，離心率、焦點、準(zhǔn)線和漸近線等簡單的幾何性質(zhì)。解答題重點考查的內(nèi)容是：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓及圓錐曲線的位置關(guān)系等。?？汲Ｐ碌念}型有軌跡、最值、定值、對稱、參數(shù)范圍、幾何證明和探究性問題等。選擇、填空題主要考點：1、點、直線、圓的位置關(guān)系問題；2、直線、圓的方程問題；3、有關(guān)圓錐曲線的定義的問題；4、圓錐曲線的幾何性質(zhì)；5、直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題。例1、設(shè)圓：的一條切線與軸、軸分別交于點，則的最小值為4．例2、已知⊙A：，⊙B:，P是平面內(nèi)一動點，過P作⊙A、⊙B的切線，切點分別為D、E，若，則P到坐標(biāo)原點距離的最小值為．答：例3、橢圓的左，右焦點分別為弦過，若的內(nèi)切圓的周長為兩點的坐標(biāo)分別為則=．答：例4、橢圓和雙曲線的公共焦點為是兩曲線的一個交點,則的面積為．答：例5、已知分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線左支上任意一點，若的最小值為，則雙曲線的離心率的取值范圍為．答：例6、已知橢圓（）與雙曲線有公共的焦點，的一條漸近線與以的長軸為直徑的圓相交于兩點.若恰好將線段三等分，則=____．圖2例7、設(shè)平面區(qū)域是由雙曲線的兩條漸近線和直線所圍成三角形的邊界及內(nèi)部。當(dāng)時，的最大值為（）【答案】A圖2A．24B．25C．4D．7例8、在平面直角坐標(biāo)系中，與所表示的曲線如圖2所示，則常數(shù)、、之間的關(guān)系可能是()【答案】AA．且B．且C．且D．A或C例9、無論為任何數(shù)，直線與雙曲線恒有公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）【答案】BA． B． C． D．例10、在圓內(nèi)，過點E（0，1）的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）【答案】BA． B． C． D．例11、若曲線與曲線有四個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（）【答案】BA．B．C．D．例12、將兩個頂點在拋物線上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數(shù)記為，則()【答案】CA． B． C． D．例13、如圖，直角坐標(biāo)系所在的平面為，直角坐標(biāo)系（其中軸一與軸重合）所在的平面為，．【答案】（2，2）（Ⅰ）已知平面內(nèi)有一點，則點在平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)為__________；（Ⅱ）已知平面內(nèi)的曲線的方程是，則曲線在平面內(nèi)的射影的方程是____________________．解法二：設(shè)點是與的交點，①×②得，………③，又∵點在雙曲線上，∴，即，代入③式整理得，∵點，是雙曲線上的不同兩點，∴它們與點，均不重合，故點，均不在軌跡上．過點及的直線的方程為，解方程組得，∴直線與雙曲線只有唯一交點，故軌跡不經(jīng)過點，同理軌跡也不經(jīng)過點．綜合上述分析，軌跡的方程為，，且．(2)若過點的直線為，聯(lián)立，得，令得，解得，．由于，則，即，解得．過點，分別引直線，通過軸上的點，且使，因此，由，得．此時，的方程為與，它們與軌跡分別僅有一個交點與，∴符合條件的的值為或．例4、設(shè)，點的坐標(biāo)為（1,1），點在拋物線上運動，點滿足，經(jīng)過點與軸垂直的直線交拋物線于點，點滿足,求點的軌跡方程． 解：由知Q，M，P三點在同一條垂直于x軸的直線上，故可設(shè) ① 再設(shè) 解得② 將①式代入②式，消去，得 ③ 又點B在拋物線上，所以，再將③式代入，得 故所求點P的軌跡方程為類型2定點和定值問題定點和定值問題是指在一定的情境下，研究運動變化過程中不隨其它因素改變而改變的量.一般思路是：先將變動元素用參數(shù)表示，再通過計算或推理判斷結(jié)論與題設(shè)中的參數(shù)值無關(guān).近幾年的解析幾何試題中，定點和定值問題在各類題型中均有所涉及，著重考查特殊化與一般化、等價轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力.例5、已知動直線與橢圓C:交于、兩不同點，且△OPQ的面積，其中O為坐標(biāo)原點．(1)證明和均為定值;(2)設(shè)線段PQ的中點為M，求的最大值；(3)圓C上是否存在點D,E,G，使得?若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請說明理由．（I）解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，P，Q兩點關(guān)于x軸對稱，所以因為在橢圓上，因此 ①又因為所以 ②由①、②得此時（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為由題意知m，將其代入，得，其中即 …………（*）又所以因為點O到直線的距離為所以又整理得且符合（*）式，此時綜上所述，結(jié)論成立。（II）解法一：（1）當(dāng)直線的斜率存在時，由（I）知因此（2）當(dāng)直線的斜率存在時，由（I）知所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.綜合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值為解法二：因為所以即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。因此|OM|·|PQ|的最大值為（III）橢圓C上不存在三點D，E，G，使得證明：假設(shè)存在，由（I）得因此D，E，G只能在這四點中選取三個不同點，而這三點的兩兩連線中必有一條過原點，與矛盾，所以橢圓C上不存在滿足條件的三點D，E，G.例6、已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，橢圓與拋物線在第一象限的交點為，.圓的圓心是拋物線上的動點,圓與軸交于兩點，且.(1)求橢圓的方程；(2)證明:無論點運動到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點.（1）∵拋物線的焦點坐標(biāo)為，∴點的坐標(biāo)為.∴橢圓的左焦點的坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為.設(shè)點的坐標(biāo)為，由拋物線的定義可知,∵,∴，解得.由，且,得.∴點的坐標(biāo)為.在橢圓:中，..∴.∴橢圓的方程為.（2）證法1:設(shè)點的坐標(biāo)為,圓的半徑為，∵圓與軸交于兩點，且,∴.∴.∴圓的方程為. ∵點是拋物線上的動點,∴().∴.把代入消去整理得:.方程對任意實數(shù)恒成立，解得∵點在橢圓:上,∴無論點運動到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點.證法2:設(shè)點的坐標(biāo)為,圓的半徑為，∵點是拋物線上的動點,∴().∵圓與軸交于兩點，且,∴.∴.∴圓的方程為. 令,則,得.此時圓的方程為.由解得∴圓:與橢圓的兩個交點為、.分別把點、代入方程進(jìn)行檢驗，可知點恒符合方程，點不恒符合方程.∴無論點運動到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點.例7、已知橢圓：的面積為π，包含于平面區(qū)域內(nèi)，向平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點Q，點Q落在橢圓內(nèi)的概率為．(1)試求橢圓的方程；(2)若斜率為的直線與橢圓交于、兩點，點為橢圓上一點，記直線的斜率為，直線的斜率為，試問：是否為定值？請證明你的結(jié)論．解：(1)平面區(qū)域是一個矩形區(qū)域，如圖所示．………2分O依題意及幾何概型，可得，O………3分即．因為，[來源:學(xué),科,網(wǎng)]所以．…………5分所以，橢圓的方程……………6分(2)設(shè)直線的方程為：，O聯(lián)立直線的方程與橢圓方程得：O（1）代入（2）得：化簡得：…（3）……8分當(dāng)時，即，也即，時，直線與橢圓有兩交點，由韋達(dá)定理得：，………………10分所以，，則……………13分所以，為定值。類型4參數(shù)范圍和最值問題求參數(shù)取值范圍和最值問題,由于涉及的變量多，知識面廣，綜合性強(qiáng)，一直是解析幾何的重點和難點.對于求參數(shù)范圍問題，需構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式，通過解不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍；或建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.對于最值問題，解法常有兩種:當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；當(dāng)題目的條件和結(jié)論體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值例8、已知橢圓.過點（m,0）作圓的切線交橢圓G于A，B兩點.(1)求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率；(2)將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.解：(1)由已知得所以所以橢圓G的焦點坐標(biāo)為離心率為(1)由題意知，.當(dāng)時，切線l的方程，點A、B的坐標(biāo)分別為此時當(dāng)m=－1時，同理可得當(dāng)時，設(shè)切線l的方程為由設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為，則又由l與圓所以由于當(dāng)時，所以.因為且當(dāng)時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.例9、已知在平面直角坐標(biāo)系中，向量,，且.(1)設(shè)的取值范圍；(2)設(shè)以原點為中心，對稱軸在坐標(biāo)軸上，以為右焦點的橢圓經(jīng)過點，且取最小值時，求橢圓的方程.解：（1）由， 得…………………3分 ∴夾角的取值范圍是（）…6分 （2） …8分………………10分∴當(dāng)且僅當(dāng)或…12分橢圓長軸或故所求橢圓方程為.或…………14分例10、已知直線：（為常數(shù)）過橢圓（）的上頂點和左焦點，直線被圓截得的弦長為．(1)若，求橢圓的方程；(2)若，求橢圓離心率的取值范圍．解:(1)∵橢圓的上頂點B(0,),左焦點都在直線上∴,設(shè)圓與直線的另一交點為A,取AB中點D,由垂徑定理得∵∴由點到直線的距離公式得∵依題意知,∴,∴橢圓的方程為.(2)∵=又∵∴由∴∵∴∴.例11、已知點，直線：，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且．(1)求動點的軌跡的方程；(2)已知圓過定點，圓心在軌跡上運動，且圓與軸交于、兩點，設(shè)，，求的最大值．解：(1)設(shè)，則，∵，∴．即，即，所以動點的軌跡的方程．(2)設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，則．①圓的半徑為．圓的方程為．令，則，整理得，．②由①、②解得，．不妨設(shè)，，∴，．∴，③當(dāng)時，由③得，．當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．當(dāng)時，由③得，．故當(dāng)時，的最大值為．類型4探究性問題例12、已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點A和上頂點D，橢圓的右頂點為，點是橢圓上位于軸上方的動點，直線與直線分別交于兩點．(1)橢圓的方程；(2)求線段MN的長度的最小值；(3當(dāng)線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存在這樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數(shù)，若不存在，說明理由．解：(1)由已知得，橢圓的左頂點為上頂點為故橢圓的方程為(2)直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而即又由得故，又當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，時，線段的長度取最小值(3由(2)可知，當(dāng)取最小值時，此時的方程為要使橢圓上存在點，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。設(shè)直線則由解得或例13、已知點是⊙：上的任意一點，過作垂直軸于,動點滿足．(1)求動點的軌跡方程；(2)已知點，在動點的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點、，使(是坐標(biāo)原點)，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由．解：(1)設(shè)，依題意，則點的坐標(biāo)為……………1分