第五章 第1講　開普勒三定律與萬有引力定律-2025高三總復(fù)習(xí) 物理（新高考）

三年考情開普勒行星運動定律2022·湖南卷·T8、2022·浙江1月選考·T8、2021·全國甲卷·T18、2021·天津卷·T5、2021·北京卷·T6、2021·福建卷·T8萬有引力定律及其應(yīng)用2023·浙江6月選考·T9、2023·山東卷·T3、2023·遼寧卷·T7、2022·全國乙卷·T14、2022·遼寧卷·T9、2022·河北卷·T2、2022·廣東卷·T2、2021·全國乙卷·T18、2021·山東卷·T5人造衛(wèi)星宇宙速度2023·浙江1月選考·T9、2023·新課標卷·T17、2023·湖南卷·T4、2023·湖北卷·T2、2023·江蘇卷·T4、2022·湖北卷·T2、2022·山東卷·T6、2021·湖南卷·T7命題規(guī)律目標定位本章主要考查開普勒行星運動定律、萬有引力定律的理解及應(yīng)用，人造衛(wèi)星的發(fā)射、運行、回收及宇宙速度的理解及應(yīng)用，命題常與現(xiàn)代航天技術(shù)的實際情境相聯(lián)系，常以選擇題形式呈現(xiàn)。第1講開普勒三定律與萬有引力定律[課標要求]1．通過史實了解開普勒行星運動定律和萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)過程。2．知道萬有引力定律，認識發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的重要意義。3．認識科學(xué)定律對探索未知世界的作用。4．掌握計算天體質(zhì)量和密度的方法。考點一開普勒定律的理解開普勒定律內(nèi)容圖示或公式開普勒第一定律所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上開普勒第二定律對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等開普勒第三定律所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一個與行星無關(guān)的常量自主訓(xùn)練1開普勒三定律的理解(多選)如圖所示，八大行星沿橢圓軌道繞太陽公轉(zhuǎn)，下列說法中正確的是()A．太陽處在八大行星的橢圓軌道的一個公共焦點上B．火星繞太陽運行過程中，速率不變C．土星比地球的公轉(zhuǎn)周期大D．地球和土星分別與太陽的連線在相同時間內(nèi)掃過的面積相等答案：AC解析：根據(jù)開普勒第一定律可知，太陽處在每顆行星運動的橢圓軌道的一個焦點上，故必然處在八大行星的橢圓軌道的一個公共焦點上，故A正確；根據(jù)開普勒第二定律可知，火星繞太陽運行過程中，在離太陽較近的位置運行速率較大，在離太陽較遠的位置運行速率較小，故B錯誤；由題圖可知土星軌道的半長軸比地球軌道的半長軸長，根據(jù)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k可知，土星比地球的公轉(zhuǎn)周期大，故C正確；根據(jù)開普勒第二定律可知，同一顆行星與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等，而地球和土星不是同一顆行星，二者分別與太陽的連線在相同時間內(nèi)掃過的面積不相等，故D錯誤。故選AC。自主訓(xùn)練2開普勒第二定律的應(yīng)用如圖是地球沿橢圓軌道繞太陽運行所處不同位置對應(yīng)的節(jié)氣，下列說法正確的是()學(xué)生用書第90頁A．夏至?xí)r地球的運行速度最大B．從冬至到春分的運行時間為公轉(zhuǎn)周期的eq\f(1,4)C．若用a代表橢圓軌道的半長軸，T代表公轉(zhuǎn)周期，則eq\f(a3,T2)＝k，地球和火星對應(yīng)的k值是不同的D．太陽既在地球公轉(zhuǎn)軌道的焦點上，也在火星公轉(zhuǎn)軌道的焦點上答案：D解析：根據(jù)開普勒第二定律可知，地球與太陽中心的連線在相同時間內(nèi)掃過的面積相等，根據(jù)S＝eq\f(1,2)r·vΔt，可知地球近日點離太陽最近，地球在近日點的運行速度最大，地球在遠日點離太陽最遠，地球在遠日點的運行速度最小，故夏至?xí)r地球的運行速度最小，故A錯誤；根據(jù)對稱性可知，從冬至到夏至的運行時間為公轉(zhuǎn)周期的eq\f(1,2)，由于從冬至到春分地球的運行速度大于從春分到夏至地球的運行速度，可知從冬至到春分的運行時間小于從春分到夏至的運行時間，故從冬至到春分的運行時間小于公轉(zhuǎn)周期的eq\f(1,4)，故B錯誤；根據(jù)開普勒第三定律可知，所有繞太陽轉(zhuǎn)動的行星軌道半長軸的三次方與公轉(zhuǎn)周期的二次方成正比，則有eq\f(a3,T2)＝k，其中k與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，地球和火星都是繞太陽轉(zhuǎn)動，故地球和火星對應(yīng)的k值相同，故C錯誤；根據(jù)開普勒第一定律可知，所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處于橢圓的一個焦點上，故太陽既在地球公轉(zhuǎn)軌道的焦點上，也在火星公轉(zhuǎn)軌道的焦點上，故D正確。故選D。自主訓(xùn)練3開普勒第三定律的應(yīng)用(2021·全國甲卷)2021年2月，執(zhí)行我國火星探測任務(wù)的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m。已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m答案：C解析：在火星表面附近，對于繞火星做勻速圓周運動的物體，有mg火＝meq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))R火，得Teq\o\al(2,1)＝eq\f(4π2R火,g火)，根據(jù)開普勒第三定律，有eq\f(Req\o\al(3,火),Teq\o\al(2,1))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l近＋2R火＋l遠,2)))\s\up8(3),Teq\o\al(2,2))，代入數(shù)據(jù)解得l遠≈6×107m，故C正確。對開普勒定律的三點理解1．開普勒定律除了適用于行星繞太陽的運動，同樣適用于月球(人造衛(wèi)星)繞地球的運動等天體系統(tǒng)。2．由開普勒第二定律可得eq\f(1,2)Δl1r1＝eq\f(1,2)Δl2r2，即eq\f(1,2)v1Δtr1＝eq\f(1,2)v2Δtr2，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，即行星在兩個位置的速度之比與到太陽的距離成反比，在近日點速度最大，在遠日點速度最小。3．開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同，且該定律只能適用于環(huán)繞同一中心天體的運動天體。考點二萬有引力定律的理解1．內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。2．表達式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，G為引力常量，通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由英國物理學(xué)家卡文迪什測定。3．適用條件(1)公式適用于質(zhì)點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質(zhì)點。(2)質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點，r是兩球心間的距離?！靖呖记榫虫溄印?2023·江蘇高考·改編)如圖所示，“嫦娥五號”探測器靜止在月球平坦表面處。已知探測器質(zhì)量為m，四條腿與豎直方向的夾角均為θ，月球表面的重力加速度為地球表面重力加速度g的eq\f(1,6)。判斷下列說法的正誤：(1)“嫦娥五號”探測器受到月球的萬有引力大小為mg。(×)(2)“嫦娥五號”探測器受到月球的萬有引力方向一定指向月球的中心。(√)(3)只要知道兩個物體的質(zhì)量和兩個物體之間的距離，就可以由F＝Geq\f(m1m2,r2)計算物體間的萬有引力。(×)(4)兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大。(×)學(xué)生用書第91頁1．萬有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是產(chǎn)生重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力Fn，如圖所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在兩極：Geq\f(Mm,R2)＝mg0。(3)在一般位置：萬有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg與向心力Fn的矢量和。2．星體表面及上空的重力加速度(以地球為例)(1)地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)地球上空某高度h處的重力加速度g′由于mg′＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)，得g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)。3．萬有引力定律的“兩個推論”(1)推論1：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F引＝0。(2)推論2：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M)對它的萬有引力，即F＝Geq\f(Mm,r2)?？枷?萬有引力定律的應(yīng)用(2023·山東高考)牛頓認為物體落地是由于地球?qū)ξ矬w的吸引，這種吸引力可能與天體間(如地球與月球)的引力具有相同的性質(zhì)、且都滿足F∝eq\f(Mm,r2)。已知地月之間的距離r大約是地球半徑的60倍，地球表面的重力加速度為g，根據(jù)牛頓的猜想，月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期為()A．30πeq\r(\f(r,g)) B．30πeq\r(\f(g,r))C．120πeq\r(\f(r,g)) D．120πeq\r(\f(g,r))答案：C解析：設(shè)地球半徑為R，由題知，地球表面的重力加速度為g，則有mg＝Geq\f(M地m,R2)，月球繞地球公轉(zhuǎn)有Geq\f(M地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T2)r，r＝60R，聯(lián)立有T＝120πeq\r(\f(r,g))，故選C?？枷?重力與萬有引力的關(guān)系(多選)萬有引力定律能夠很好地將天體運行規(guī)律與地球上物體運動規(guī)律具有的內(nèi)在一致性統(tǒng)一起來。用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M，引力常量為G，將地球視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。下列說法正確的是()A．在北極地面稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為F0＝Geq\f(Mm,R2)B．在赤道地面稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為F1＝Geq\f(Mm,R2)C．在北極上空高出地面h處稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為F2＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)D．在赤道上空高出地面h處稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為F3＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)答案：AC解析：在北極地面稱量時，物體不隨地球自轉(zhuǎn)，萬有引力等于重力，則有F0＝Geq\f(Mm,R2)，故A正確；在赤道地面稱量時，萬有引力等于重力加上物體隨地球一起自轉(zhuǎn)所需要的向心力，則有F1＜Geq\f(Mm,R2)，故B錯誤；在北極上空高出地面h處稱量時，萬有引力等于重力，則有F2＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)，故C正確；在赤道上空高出地面h處稱量時，萬有引力大于重力，則彈簧測力計讀數(shù)F3＜Geq\f(Mm,（R＋h）2)，故D錯誤?？枷?不同天體表面萬有引力的比較火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,10)，半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為()A．0.2 B．0.4C．2.0 D．2.5答案：B解析：萬有引力表達式為F＝Geq\f(Mm,r2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值為eq\f(F火,F地)＝eq\f(M火req\o\al(2,地),M地req\o\al(2,火))＝0.4，故B正確。學(xué)生用書第92頁考向4地球表面某高度處與地表下某深度處重力加速度的比較如圖是某礦區(qū)打出的一口深度為d的水井，如果質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，地球可以看作是質(zhì)量分布均勻的球體，地球半徑為R，則水井底部和離地面高度為d處的重力加速度大小之比為()A．eq\f(R－d,R) B．eq\f(（R2－d2）（R＋d）,R3)C．eq\f(R2－d2,R) D．eq\f(（R2－d2）（R＋d）,R2)答案：B解析：根據(jù)萬有引力定律得，地球表面上的重力加速度為g＝eq\f(GM,R2)，設(shè)離地面高度為d處的重力加速度為g′，由萬有引力定律有g(shù)′＝eq\f(GM,（R＋d）2)，兩式聯(lián)立得g′＝eq\f(R2g,（R＋d）2)。在地面上質(zhì)量為m的物體，根據(jù)萬有引力定律有Geq\f(Mm,R2)＝mg，從而得g＝eq\f(Gρ·\f(4,3)πR3,R2)＝Gρ·eq\f(4,3)πR；根據(jù)題意，球殼對其內(nèi)部物體的引力為零，則水井底部的物體只受到其以下球體對它的引力，同理有g(shù)″＝eq\f(GM′,（R－d）2)，式中M′＝ρ·eq\f(4,3)π(R－d)3，聯(lián)立得g″＝eq\f(R－d,R)g。所以eq\f(g″,g′)＝eq\f(（R2－d2）（R＋d）,R3)，故B正確?？键c三天體質(zhì)量和密度的計算1．利用“天體表面的重力加速度g和天體半徑R”——“自力更生法”(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2．利用繞行天體的“周期和軌道半徑”——“環(huán)繞法”(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若衛(wèi)星繞天體表面附近運行時，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可見，只要測出近地衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度。考向1“自力更生法”計算天體質(zhì)量和密度某人在地球表面以某一豎直速度跳起，其重心可上升的高度為0.5m，假設(shè)該人以同樣的速度在水星表面豎直跳起，其重心可上升1.3m，而在火星表面同樣可上升1.3m。已知地球的半徑為R，水星的半徑約為0.38R，火星的半徑約為0.53R，可估算出()A．火星的質(zhì)量為水星質(zhì)量的eq\f(53,38)倍B．火星與水星的密度相等C．地球表面的重力加速度是水星表面重力加速度的eq\r(,2.6)倍D．火星的第一宇宙速度是水星第一宇宙速度的eq\r(,\f(53,38))倍答案：D解析：根據(jù)g＝eq\f(v2,2h)，因人以同樣的速度在火星和水星上跳起的高度相等，可知g火＝g水，根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mg，可得M＝eq\f(gR2,G)，eq\f(M火,M水)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R火,R水)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(53,38)))2，選項A錯誤；根據(jù)ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)，可得eq\f(ρ火,ρ水)＝eq\f(R水,R火)＝eq\f(38,53)，選項B錯誤；根據(jù)g＝eq\f(v2,2h)，可得eq\f(g地,g火)＝eq\f(h火,h地)＝eq\f(1.3,0.5)＝2.6，選項C錯誤；根據(jù)meq\f(v2,R)＝mg，可得v＝eq\r(,gR)，可得eq\f(v火,v水)＝eq\r(,\f(R火,R水))＝eq\r(,\f(53,38))，選項D正確?？枷?“環(huán)繞法”計算天體的質(zhì)量和密度(2023·遼寧高考)在地球上觀察，月球和太陽的角直徑(直徑對應(yīng)的張角)近似相等，如圖所示。若月球繞地球運動的周期為T1，地球繞太陽運動的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為()A．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))2 B．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2C．eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))2 D．eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2答案：D解析：設(shè)月球繞地球運動的軌道半徑為r1，地球繞太陽運動的軌道半徑為r2，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得Geq\f(m地m月,req\o\al(2,1))＝m月eq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))r1，Geq\f(m地m日,req\o\al(2,2))＝m地eq\f(4π2,Teq\o\al(2,2))r2，其中eq\f(r1,r2)＝eq\f(R月,R日)＝eq\f(R地,kR日)，ρ＝eq\f(m,\f(4,3)πR3)，聯(lián)立可得eq\f(ρ地,ρ日)＝eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2，故選D。學(xué)生用書第93頁對點練．(多選)已知引力常量G，地球表面處的重力加速度g，地球半徑R，地球上一個晝夜的時間T1(地球自轉(zhuǎn)周期)，一年的時間T2(地球公轉(zhuǎn)周期)，地球中心到月球中心的距離L1，地球中心到太陽中心的距離L2。你能計算出()A．地球的質(zhì)量m地＝eq\f(gR2,G)B．太陽的質(zhì)量m太＝eq\f(4π2Leq\o\al(3,2),GTeq\o\al(2,2))C．月球的質(zhì)量m月＝eq\f(4π2Leq\o\al(3,1),GTeq\o\al(2,1))D．太陽的平均密度ρ＝eq\f(3π,GTeq\o\al(2,2))答案：AB解析：對地球表面的一個物體m0來說，應(yīng)有m0g＝Geq\f(m地m0,R2)，所以地球質(zhì)量m地＝eq\f(gR2,G)，故A正確；地球繞太陽運動，有Geq\f(m太m地,Leq\o\al(2,2))＝m地eq\f(4π2,Teq\o\al(2,2))L2，則m太＝eq\f(4π2Leq\o\al(3,2),GTeq\o\al(2,2))，故B正確；同理，月球繞地球運動，能求出地球質(zhì)量，無法求出月球的質(zhì)量，故C錯誤；由于不知道太陽的半徑，不能求出太陽的平均密度，故D錯誤。運用“填補法”解題的關(guān)鍵是緊扣萬有引力定律的適用條件，先填補后運算，運用“填補法”解題主要體現(xiàn)了等效思想。應(yīng)用1．有一質(zhì)量為M、半徑為R的密度均勻的球體，在距離球心O為3R的地方有一質(zhì)量為m的質(zhì)點。先從M中挖去一半徑為eq\f(R,2)的球體，如圖所示，則剩余部分對質(zhì)點的萬有引力大小為()A．Geq\f(Mm,9R2) B．Geq\f(Mm,4R2)C．Geq\f(41Mm,450R2) D．Geq\f(7Mm,36R2)答案：C解析：半徑為R的密度均勻的完整球體對距離球心O為3R的質(zhì)點產(chǎn)生的萬有引力為F＝Geq\f(Mm,r2)＝Geq\f(Mm,（3R）2)，挖去部分的質(zhì)量為M′＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)·eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up8(3)＝eq\f(1,8)M，挖去部分對質(zhì)點產(chǎn)生的萬有引力為F1＝Geq\f(M′m,r′2)＝Geq\f(\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2R＋\f(1,2)R))\s\up8(2))＝eq\f(1,50)Geq\f(Mm,R2)，則剩余部分對質(zhì)點的萬有引力大小為F′＝F－F1＝Geq\f(41Mm,450R2)，故選C。應(yīng)用2．如圖所示，將一個半徑為R、質(zhì)量為M的均勻大球，沿直徑挖去兩個半徑分別為大球一半的小球，并把其中一個放在球外與大球靠在一起。若挖去的小球的球心、球外小球的球心、大球的球心在一條直線上，則大球中剩余部分與球外小球的萬有引力大小約為(已知引力常量為G)()A．0.01eq\f(GM2,R2) B．0.02eq\f(GM2,R2)C．0.05eq\f(GM2,R2) D．0.04eq\f(GM2,R2)答案：D解析：由題意知，所挖出小球的半徑為eq\f(R,2)，質(zhì)量為eq\f(M,8)，則未挖出小球前大球?qū)η蛲庑∏虻娜f有引力大小為F＝Geq\f(M×\f(M,8),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋\f(R,2)))\s\up8(2))＝eq\f(GM2,18R2)，將所挖出的其中一個小球填在原位置，填入左側(cè)原位置小球?qū)η蛲庑∏虻娜f有引力為F1＝Geq\f(\f(M,8)×\f(M,8),（2R）2)＝eq\f(GM2,256R2)，填入右側(cè)原位置小球?qū)η蛲庑∏虻娜f有引力為F2＝Geq\f(\f(M,8)×\f(M,8),R2)＝eq\f(GM2,64R2)，則大球中剩余部分對球外小球的萬有引力大小為F3＝F－F1－F2≈0.04eq\f(GM2,R2)，故D正確。課時測評22開普勒三定律與萬有引力定律eq\f(對應(yīng)學(xué)生,用書P392)(時間：45分鐘滿分：60分)(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨立形式分冊裝訂！)(選擇題每題5分，共60分)1．某行星沿橢圓軌道繞太陽運行，如圖所示，在這顆行星的軌道上有a、b、c、d四個點，a、c在長軸上，b、d在短軸上。若該行星運動周期為T，則該行星()A．從a到b的運動時間等于從c到d的運動時間B．從d經(jīng)a到b的運動時間等于從b經(jīng)c到d的運動時間C．a(chǎn)到b的時間tab＞eq\f(T,4)D．c到d的時間tcd＞eq\f(T,4)答案：D解析：由開普勒第二定律可知，行星在近日點的速度最大，在遠日點的速度最小，行星由a到b運動時的平均速率大于由c到d運動時的平均速率，而弧長ab等于弧長cd，故從a到b的運動時間小于從c到d的運動時間，同理可知，從d經(jīng)a到b的運動時間小于從b經(jīng)c到d的運動時間，A、B錯誤；從a經(jīng)b到c的時間和從c經(jīng)d到a的時間均為eq\f(T,2)，可得tab＝tda＜eq\f(T,4)，tbc＝tcd＞eq\f(T,4)，C錯誤，D正確。2．如圖所示，1、2分別是A、B兩顆衛(wèi)星繞地球運行的軌道，1為圓軌道，2為橢圓軌道，橢圓軌道的長軸(近地點和遠地點間的距離)是圓軌道半徑的4倍。P點為橢圓軌道的近地點，M點為橢圓軌道的遠地點，TA是衛(wèi)星A的周期。則下列說法正確的是()A．B衛(wèi)星在由近地點向遠地點運動過程中受到地球的引力將先增大后減小B．地心與衛(wèi)星B的連線在eq\r(2)TA時間內(nèi)掃過的面積為橢圓面積C．衛(wèi)星B的周期是衛(wèi)星A的周期的8倍D．1軌道圓心與2軌道的一個焦點重合答案：D解析：根據(jù)萬有引力定律有F＝Geq\f(Mm,r2)，可知B衛(wèi)星在由近地點向遠地點運動過程中受到地球的引力逐漸減小，A錯誤；根據(jù)開普勒第三定律得eq\f(R3,Teq\o\al(2,A))＝eq\f(（2R）3,Teq\o\al(2,B))，解得TB＝2eq\r(2)TA，所以地心與衛(wèi)星B的連線在eq\r(2)TA時間內(nèi)掃過的面積小于橢圓面積，B、C錯誤；1軌道圓心在地心，2軌道的一個焦點也在地心，所以二者重合，D正確。3．(2023·江蘇高考)設(shè)想將來發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，能在月球繞地球運動的軌道上穩(wěn)定運行，該軌道可視為圓軌道。該衛(wèi)星與月球相比，一定相等的是()A．質(zhì)量B．向心力大小C．向心加速度大小D．受到地球的萬有引力大小答案：C解析：根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq\f(GM,r2)，因該衛(wèi)星與月球的軌道半徑相同，可知向心加速度相等；因該衛(wèi)星的質(zhì)量與月球質(zhì)量不同，則向心力大小以及受地球的萬有引力大小均不相等。故選C。4．(2022·山東高考)“羲和號”是我國首顆太陽探測科學(xué)技術(shù)試驗衛(wèi)星。如圖所示，該衛(wèi)星圍繞地球的運動視為勻速圓周運動，軌道平面與赤道平面接近垂直。衛(wèi)星每天在相同時刻，沿相同方向經(jīng)過地球表面A點正上方，恰好繞地球運行n圈。已知地球半徑為地軸R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球表面重力加速度為g，則“羲和號”衛(wèi)星軌道距地面高度為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,2n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))－R B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,2n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))－R D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))答案：C解析：地球表面的重力加速度為g，根據(jù)牛頓第二定律得Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得GM＝gR2，根據(jù)題意可知，衛(wèi)星的運行周期為T′＝eq\f(T,n)，根據(jù)牛頓第二定律，萬有引力提供衛(wèi)星運動的向心力，則有Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝meq\f(4π2,T′2)(R＋h)，聯(lián)立解得h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))－R，故選C。5．(多選)(2021·福建高考)兩位科學(xué)家因為在銀河系中心發(fā)現(xiàn)了一個超大質(zhì)量的致密天體而獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎。他們對一顆靠近銀河系中心的恒星S2的位置變化進行了持續(xù)觀測，記錄到的S2的橢圓軌道如圖所示。圖中O為橢圓的一個焦點，橢圓偏心率(離心率)約為0.87。P、Q分別為軌道的遠銀心點和近銀心點，Q與O的距離約為120AU(太陽到地球的距離為1AU)，S2的運行周期約為16年。假設(shè)S2的運動軌跡主要受銀河系中心致密天體的萬有引力影響，根據(jù)上述數(shù)據(jù)及日常的天文知識，可以推出()A．S2與銀河系中心致密天體的質(zhì)量之比B．銀河系中心致密天體與太陽的質(zhì)量之比C．S2在P點與Q點的速度大小之比D．S2在P點與Q點的加速度大小之比答案：BCD解析：設(shè)橢圓的長軸為2a，兩焦點的距離為2c，則偏心率0.87＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(c,a)，且由題知Q與O的距離約為120AU，即a－c＝120AU，由此可得出a與c。由于S2是圍繞致密天體運動，根據(jù)萬有引力定律，Geq\f(Mm,r2)＝mω2r，即Geq\f(M,r2)＝ω2r，與m無關(guān)，可知無法求出兩者的質(zhì)量之比，故A錯誤；根據(jù)開普勒第三定律有eq\f(a3,T2)＝k，式中k是與中心天體的質(zhì)量M有關(guān)，且與M成正比，所以，對S2圍繞致密天體運動有eq\f(a3,Teq\o\al(2,S2))＝k致∝M致，對地球圍繞太陽運動有eq\f(req\o\al(3,地),Teq\o\al(2,地))＝k太∝M太，兩式相比，可得eq\f(M致,M太)＝eq\f(a3Teq\o\al(2,地),req\o\al(3,地)Teq\o\al(2,S2))，因S2的半長軸a、周期TS2、日地之間的距離r地、地球圍繞太陽運動的周期T地都已知，故由上式，可以求出銀河系中心致密天體與太陽的質(zhì)量之比，故B正確；根據(jù)開普勒第二定律有eq\f(1,2)lPRP＝eq\f(1,2)lQRQ，則有eq\f(1,2)vPtRP＝eq\f(1,2)vQtRQ，eq\f(1,2)vPeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c))＝eq\f(1,2)vQeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c))，解得eq\f(vP,vQ)＝eq\f(a－c,a＋c)，因a、c已求出，故可以求出S2在P點與Q點的速度大小之比，故C正確；S2不管是在P點，還是在Q點，都只受致密天體的萬有引力作用，根據(jù)牛頓第二定律有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，因P點到O點的距離為a＋c，Q點到O點的距離為a－c，解得eq\f(aP,aQ)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c))2)，因a、c已求出，故可以求出S2在P點與Q點的加速度大小之比，故D正確。故選BCD。6．(2023·安徽蚌埠一模)如圖所示，哈雷彗星在近日點與太陽中心的距離為r1，線速度大小為v1，加速度大小為a1；在遠日點與太陽中心的距離為r2，線速度大小為v2，加速度大小為a2，則()A．eq\f(v1,v2)＞eq\r(\f(r2,r1)) B．eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))C．eq\f(a1,a2)＝eq\f(veq\o\al(2,1)req\o\al(2,2),veq\o\al(2,2)req\o\al(2,1)) D．eq\f(a1,a2)＝eq\f(r2,r1)答案：A解析：由于哈雷彗星做的不是圓周運動，在近日點做離心運動，在遠日點做近心運動，因此不能通過萬有引力充當向心力計算其在近日點和遠日點的線速度之比，需通過開普勒第二定律求解，設(shè)在極短時間Δt內(nèi)，在近日點和遠日點哈雷彗星與太陽中心的連線掃過的面積相等，即有eq\f(1,2)v1Δt·r1＝eq\f(1,2)v2Δt·r2，可得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，故eq\f(v1,v2)＞eq\r(\f(r2,r1))，故A正確，B錯誤；對近日點，根據(jù)牛頓第二定律有Geq\f(Mm,req\o\al(2,1))＝ma1，對遠日點，根據(jù)牛頓第二定律有Geq\f(Mm,req\o\al(2,2))＝ma2，聯(lián)立解得eq\f(a1,a2)＝eq\f(req\o\al(2,2),req\o\al(2,1))，故C、D錯誤。故選A。7．假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，則礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為()A．1－eq\f(d,R) B．1＋eq\f(d,R)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R)))eq\s\up8(2) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R－d)))eq\s\up8(2)答案：A解析：如圖所示，根據(jù)題意，地面與礦井底部之間的環(huán)形部分對處于礦井底部的物體引力為零。設(shè)地面處的重力加速度為g，地球質(zhì)量為M，地球表面的物體m受到的重力近似等于萬有引力，故mg＝Geq\f(Mm,R2)，又M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，故g＝eq\f(4,3)πρGR；設(shè)礦井底部的重力加速度為g′，圖中陰影部分所示球體的半徑r＝R－d，則g′＝eq\f(4,3)πρG(R－d)，聯(lián)立解得eq\f(g′,g)＝1－eq\f(d,R)，故A正確。8．中國科學(xué)院沈陽自動化研究所主持研制的“海斗一號”在無纜自主模式下刷新了中國下潛深度紀錄，最大下潛深度超過了10000米，首次實現(xiàn)了無纜無人潛水器萬米坐底并連續(xù)拍攝高清視頻影像。若把地球看成質(zhì)量分布均勻的球體，且球殼對球內(nèi)任一質(zhì)點的萬有引力為零，忽略地球的自轉(zhuǎn)，則下列關(guān)于“海斗一號”下潛所在處的重力加速度大小g和下潛深度h的關(guān)系圖像可能正確的是()答案：D解析：設(shè)地球的質(zhì)量為M，地球的半徑為R，“海斗一號”下潛h深度后，以地心為球心、以R－h(huán)為半徑的球體的質(zhì)量為M′，則根據(jù)密度相等有eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(M′,\f(4,3)π（R－h(huán)）3)，由于球殼對球內(nèi)任一質(zhì)點的萬有引力為零，根據(jù)萬有引力定律有Geq\f(M′m,（R－h(huán)）2)＝mg，聯(lián)立以上兩式并整理可得g＝eq\f(GM,R3)(R－h(huán))＝－eq\f(GM,R3)h＋eq\f(GM,R2)，由該表達式可知D正確，A、B、C錯誤。9．(2024·四川成都模擬)將一質(zhì)量為m的物體分別放在地球的南、北兩極點時，該物體的重力均為mg0；將該物體放在地球赤道上時，該物體的重力為mg。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R，已知引力常量為G，則由以上信息可得出()A．g0小于gB．地球的質(zhì)量為eq\f(gR2,G)C．地球自轉(zhuǎn)的角速度為eq\r(\f(g0－g,R))D．地球的平均密度為eq\f(3g,4πGR)答案：C解析：設(shè)地球的質(zhì)量為M，物體在赤道處隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運動的角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，軌道半徑等于地球半徑，物體在赤道上受到的重力和物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力是萬有引力的分力，有Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，物體在兩極受到的重力等于萬有引力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg0，所以g0＞g，故A錯誤；在兩極有Geq\f(Mm,R2)＝mg0，解得M＝eq\f(g0R2,G)，故B錯誤；由Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，mg0＝Geq\f(Mm,R2)，解得ω＝eq\r(\f(g0－g,R))，故C正確；地球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(g0R2,G),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g0,4πGR)，故D錯誤。10．如圖為“天問一號”探測器進入火星停泊軌道(如圖所示的橢圓軌道)示意圖。若火星可視為半徑為R的質(zhì)量均勻分布的球體，軌道的近火點P離火星表面的距離為L1，遠火點Q離火星表面的距離