十一光束的傳播特性

激光原理與技術(shù)

LaserPrinciple&Technology物理與光電工程學(xué)院顧芳3.3高斯光束的傳播特性NanjingUniversityofInformationScience&Technology物理學(xué)專業(yè)方向選修課求解對(duì)稱開(kāi)腔中的自再現(xiàn)模積分方程,給出了對(duì)稱共焦腔內(nèi)外場(chǎng)的分布。除了基橫模以外的各種高階模的強(qiáng)度分布都在光斑中呈現(xiàn)出至少一條光強(qiáng)極小的節(jié)線，因而光強(qiáng)分布十分不均勻，這就大大限制了高階模的應(yīng)用范圍。

而基橫模的輸出是相對(duì)均勻的，應(yīng)用較廣泛?；鶛M模行波輸出在與傳播方向的垂直平面上的強(qiáng)度呈高斯型分布，通常稱為高斯光束，本節(jié)主要研究高斯光束的傳播特性。3.3高斯光束的傳播特性3.3.1高斯光束的振幅和強(qiáng)度分布3.3.2高斯光束的相位分布3.3.3高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角3.3.4高斯光束的高亮度其中：1、

是行波場(chǎng)橫向振幅分布因子3.3.1高斯光束的振幅和強(qiáng)度分布一、共焦腔內(nèi)或腔外的一點(diǎn)的行波場(chǎng)的解析式：厄米-高斯函數(shù)，在橫截面內(nèi)的場(chǎng)振幅分布按高斯函數(shù)所描述的規(guī)律從中心(即傳輸軸線)向外平滑地降落?；樱貉豿方向有m條節(jié)線，沿y方向有n條節(jié)線。2、：位相因子，決定了共焦腔的位相分布。(3-29a)二、高斯光束的振幅分布和光斑尺寸1、振幅分布基橫模TEM00的場(chǎng)振幅基橫模TEM00的光強(qiáng)2、光斑振幅下降為最大值1/e時(shí)的光斑半徑（截面半徑）(3-30)(3-31)鏡面光束半徑①當(dāng)z=0時(shí)(共焦腔中心），w(z)達(dá)到最小值——高斯光束的基模束腰半徑(光腰)(3-32)(3-33)——僅取決于腔長(zhǎng)L②當(dāng)時(shí)，即在鏡面上時(shí)，有：圖(3-8)基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律的變化——基模光斑半徑w隨z按照雙曲線規(guī)律變化。

3、w(z)在縱截面上的表達(dá)式雙曲線方程圖(3-8)基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律的變化3.3.2高斯光束的相位分布（本征函數(shù)的幅角）共焦腔內(nèi)或腔外的一點(diǎn)行波場(chǎng)的解析式：相位因子———決定了共焦場(chǎng)的位相分布

傳播因子位相彎曲因子附加相移因子(3-29a)(3-29b)對(duì)稱共焦腔鏡面上的相位分布情況？P55一、等相位面的分布1、等相位面——行波場(chǎng)中相位相同的點(diǎn)連成的曲面2、與腔軸線相交于z0的等相位面的方程若忽略由于z的變化而造成附加相移因子的微小變化，則在近軸情況下，z處的等相位面方程為：旋轉(zhuǎn)拋物面方程3、等相位面的特點(diǎn)則有：旋轉(zhuǎn)拋物面方程(3-38)令：——等位相面在近軸區(qū)域可看成半徑為R0的球面球面方程1.表明等位相面在近軸區(qū)域可看成半徑為R0的球面二、討論當(dāng)z0＞0時(shí)，z-z0＜0；而當(dāng)z0＜0時(shí),z-z0＞0當(dāng)當(dāng)共焦腔反射鏡面是共焦場(chǎng)中曲率最大(曲率半徑最小)的等相位面結(jié)論:在z＜0

處,光束是沿著z的方向傳播的會(huì)聚球面波;在z=0處變成一個(gè)平面波;在

z＞0處又變成發(fā)散球面波。二、討論2.由式子可知：3.共焦場(chǎng)中等相位面的分布如圖所示

圖

共焦腔中等位相面的分布——共焦腔的等相面是凹面向著腔的中心的球面可以證明：如果在場(chǎng)的任意一個(gè)等相位面處放上一塊具有相應(yīng)曲率的反射鏡片，則入射在該鏡片上的場(chǎng)將準(zhǔn)確地沿著原入射方向返回，這樣共焦場(chǎng)分布將不會(huì)受到擾動(dòng)，這是非常重要的性質(zhì)。其振幅在橫截面內(nèi)為一高斯光束;強(qiáng)度集中在軸線及其附近;高斯光束在其軸線附近可看作一種非均勻高斯球面波,等相位面為球面;在其傳播過(guò)程中曲率中心不斷改變;小結(jié)：高斯光束的基本性質(zhì)基模遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角2q：雙曲線兩根漸近線之間的夾角3.3.3高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角一、定義：發(fā)散角完全取決于束腰半徑。(3-40)不同的腰半徑的激光光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角對(duì)比圖(3-40)某共焦腔氦氖激光器，L=30cm,某共焦腔二氧化碳激光器，L=1m,一般激光器的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角都很小，約10-3弧度，也就是表明激光具有很好的方向性。共焦腔基模發(fā)散角的數(shù)量概念的計(jì)算舉例高階橫模的光束發(fā)散角qm和qn可以通過(guò)基模的光斑和發(fā)散角求出來(lái)：由于高階模的發(fā)散角是隨著模的階次的增大而增大，所以多模振蕩時(shí)，光束的方向性要比單基模振蕩差。一、亮度B：?jiǎn)挝幻娣e的發(fā)光面在其法線方向上單位立體角范圍內(nèi)輸出去的輻射功率。二、一般的激光器是向著數(shù)量級(jí)約為10-6sr的立體角范圍內(nèi)輸出激光光束的。而普通光源發(fā)光（如電燈光）是朝向空間各個(gè)可能的方向的，它的發(fā)光立體角為4πsr。相比之下，普通光源的發(fā)光立體角是激光的約百萬(wàn)倍。3.3.4高斯光束的高亮度(3-41)(3-42)激光器亮度的數(shù)值舉例器件輻射能量脈沖時(shí)間P普通紅寶石激光器1J10-4s104W調(diào)Q紅寶石激光器1J10-9s109W調(diào)Q及鎖模紅寶石激光器1J10-12-10-13s1012-1013W*結(jié)論：輸出能量一定時(shí)，激光器由于脈沖時(shí)間縮短可使△I很大；而且因q(或W)很小，故亮度B很大。例：測(cè)量實(shí)驗(yàn)室中的一臺(tái)Ar+激光器，獲得如下數(shù)據(jù)：(1)在輸出鏡上光斑半徑r≈0.5mm，(2)光束發(fā)散角q≈0.5×10-3rad，(3)連續(xù)輸出功率DI=1W，求激光器輻射亮度。解：輸出鏡面上光束截面積光束所占立體角而強(qiáng)調(diào)：高斯光束與球面波的區(qū)別高斯光束不象球面波那樣在波陣面上具有均勻的振幅分布，而是呈現(xiàn)出高斯型的振幅分布，在光束中心處光能十分集中；不象球面波那樣所有的波陣面具有一個(gè)共同的球心，而是不同的波陣面具有不同的曲率中心；不象球面波那樣向空間均勻的輻射，而是局限在十分微小的發(fā)散角內(nèi)輸出光束，具有極好的方向性。

三、高斯光束的主要特征參量（小結(jié)）

(3-44)

(3-45)

(3-46)

(3-43)波陣面曲率半徑光束（有效）截面半徑鏡面光束半徑遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角束腰半徑

(3-47)

一般的穩(wěn)定球面腔指曲率半徑不同的球面鏡、腔長(zhǎng)按任意間距構(gòu)成，但腔的g參數(shù)滿足穩(wěn)定條件0<g1g2<1的諧振腔。一般的穩(wěn)定球面腔指的模式理論可以根據(jù)光腔的衍射積分方程嚴(yán)格建立起來(lái)，但更為簡(jiǎn)單的研究方法是以共焦腔模式理論為基礎(chǔ)的等價(jià)共焦腔法。

思路：

共焦腔等價(jià)的穩(wěn)定球面腔共焦腔的模式理論等價(jià)的穩(wěn)定球面腔的模式理論處理原則：穩(wěn)定球面腔與共焦腔的等價(jià)性。3.4穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性3.4.1穩(wěn)定球面腔的等價(jià)共焦腔3.4.2穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性

1、等效共焦腔的束腰半徑和原球面腔鏡面的基橫模光束有效截面半徑2、諧振頻率3.4.1穩(wěn)定球面腔的等價(jià)共焦腔對(duì)稱共焦腔特點(diǎn):

R1=R2=L

球心位于另一個(gè)反射鏡的中心

f=R1/2;

腔的中心為焦點(diǎn)

任意一個(gè)滿足穩(wěn)定性條件的球面腔只可唯一地與一個(gè)共焦腔等價(jià)圖(3-9)共焦腔中等位相面的分布3.4.1穩(wěn)定球面腔的等價(jià)共焦腔一、將共焦腔的模式理論推廣到一般穩(wěn)定球面鏡腔的原因①

在共焦場(chǎng)的任意兩等相面處放上相應(yīng)曲率半徑的球面反射鏡，原共焦場(chǎng)分布不受影響。②由于任一共焦腔有無(wú)窮多個(gè)等相位面，因此可以用這種方法邏輯地建立起無(wú)窮多個(gè)新的諧振腔——穩(wěn)定腔。二、任何一個(gè)共焦腔可以與無(wú)窮多個(gè)穩(wěn)定球面鏡腔等價(jià)。等價(jià)的含義：二者有相同的行波場(chǎng)。理解：若有焦距為f的共焦腔，則其任意兩等相面可構(gòu)成穩(wěn)定腔。假設(shè)雙凹腔兩鏡面M1與M2的曲率半徑分別為R1和R2，腔長(zhǎng)為L(zhǎng)，而所要求的等價(jià)共焦腔的共焦參數(shù)為f。以等價(jià)共焦腔中點(diǎn)為z坐標(biāo)的原點(diǎn)。M1、M2兩鏡的z坐標(biāo)為z1和z2。R2R1Lf=2L三、由任一穩(wěn)定球面腔求等價(jià)對(duì)稱共焦腔如果一個(gè)球面滿足穩(wěn)定條件,則可以找到一個(gè),而且也只能找到一個(gè)共焦腔,其行波場(chǎng)的某兩個(gè)等相位面與給定球面腔的兩個(gè)鏡面相重合,從而,這兩個(gè)腔的模式完全相同(1)

任一穩(wěn)定球面腔（R1，R2，L）等價(jià)于唯一的一個(gè)對(duì)稱共焦腔f。R2R1Lf=2L(2)由穩(wěn)定球面腔的()，求出()及等價(jià)對(duì)稱共焦腔參數(shù)(f)：(3-43a)R2R1Lf=2L(3-43b)(3-43c)即確定了等價(jià)共焦腔的焦點(diǎn)O有了上述的等價(jià)性，對(duì)于任意的穩(wěn)定球面腔，我們可以通過(guò)研究與其對(duì)應(yīng)的共焦腔的特征模來(lái)研究它的模的性質(zhì)。可以證明，當(dāng)R1，R2和L滿足穩(wěn)定腔條件0<g1g2<1時(shí)，雙凹腔（1）對(duì)稱穩(wěn)定球面腔所等價(jià)的共焦腔參數(shù)對(duì)于穩(wěn)定條件(3-43)變成對(duì)其它各種穩(wěn)定球面腔，都可以用類似的方法來(lái)證明其等價(jià)共焦腔的存在。當(dāng)z1、z2和f求出后,等價(jià)共焦腔就唯一地確定下來(lái)了。舉例說(shuō)明：（2）、平-凹穩(wěn)定腔等價(jià)的共焦腔參數(shù)以R1

→∞，R2=R代入(3-43)，可得：說(shuō)明平-凹穩(wěn)定腔等價(jià)的共焦腔的中心就在平面鏡上，當(dāng)R=2L時(shí)，其等價(jià)的共焦腔的一個(gè)反射面與凹面鏡重合。R>2LR=2LR<2L3.4.2穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性本節(jié)只討論基橫模，也就是相應(yīng)高斯光束的傳播特性，再對(duì)穩(wěn)定球面腔的諧振頻率進(jìn)行討論。前者與激光束的應(yīng)用密切相關(guān)，后者涉及到激光器的選頻。一、等效共焦腔的束腰半徑和原球面腔鏡面的基橫模光束有效截面半徑1、思路：由R1

,R2

,L

z1

,z2

,f(從而知道w0)非對(duì)稱(1)等效共焦腔的束腰半徑(3-44)這也是該穩(wěn)定球面腔輸出的基橫模高斯光束的束腰半徑，它決定了穩(wěn)定球面腔輸出的基橫模光束的幾乎全部性質(zhì)。(2)原球面腔鏡面的基橫模光束有效截面半徑R’L’LR1R2(3-45)思路：將z1、z2、f代入等價(jià)共焦腔的單程相移函數(shù)諧振條件諧振頻率nmnq二、諧振頻率(1)方形鏡一般穩(wěn)定球面腔的兩個(gè)反射鏡面頂點(diǎn)處的位相因子分別為：(2)按諧振條件，單程總相移必須滿足以下條件：將上面兩式相減：(3-51)(3-52)(3-53)(3)圓形鏡一般穩(wěn)定腔的諧振頻率令則于是上式正是上節(jié)所給出的對(duì)稱共焦腔的諧振頻率公式。由此可見(jiàn)，共焦腔是一般穩(wěn)定球面腔的一種特例。(3-49)(3-25)解:(1)所求位置為(1,0.8)例:平凹腔,,L=1m.(1)證明此腔穩(wěn)定,指出它在穩(wěn)定圖中位置;(2)求等價(jià)對(duì)稱共焦腔參數(shù)();(3)作平凹腔與等價(jià)對(duì)