運(yùn)算方法和運(yùn)算部件

運(yùn)算方法和運(yùn)算部件第1頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二計算機(jī)組成與結(jié)構(gòu)本課程主要講授計算機(jī)系統(tǒng)的硬件和軟件構(gòu)成方法，包括硬件系統(tǒng)中運(yùn)算器、控制器、存儲器、輸入設(shè)備和輸出設(shè)備和總線系統(tǒng)的構(gòu)成原理等；并與當(dāng)代先進(jìn)的計算機(jī)技術(shù)相結(jié)合。是計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)本科專業(yè)核心課程。

本課程著重計算機(jī)系統(tǒng)組成與結(jié)構(gòu)方面的教學(xué)和研究。計算機(jī)結(jié)構(gòu)定義為系統(tǒng)程序員所能見到的計算機(jī)硬件特性；計算機(jī)組成是指計算機(jī)硬件的具體實現(xiàn)。第2頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二第三章運(yùn)算方法和運(yùn)算部件

數(shù)據(jù)的表示方法和轉(zhuǎn)換帶符號數(shù)的表示方法及加減運(yùn)算二進(jìn)制乘法運(yùn)算二進(jìn)制除法運(yùn)算浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算方法運(yùn)算部件數(shù)據(jù)校驗碼第3頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算一、定點(diǎn)數(shù)一位乘法1、定點(diǎn)原碼一位乘法用原碼實現(xiàn)乘法運(yùn)算十分方便，在定點(diǎn)運(yùn)算中，完成兩個原碼表示得數(shù)相乘時，乘積得符號由兩數(shù)得符號位按位相加（異或）得到，而乘積得數(shù)值部分則是兩個數(shù)得絕對值之積?？梢员硎緸椋罕怀龜?shù)[X]原=Xs.X1X2……Xn乘數(shù)[Y]原=Ys.Y1Y2……Yn乘積[Z]原=(Xs⊕Ys).(0.X1X2….Xn)(0.Y1Y2….Yn)第4頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算符號法則：同號相乘為正(0),異號相乘為負(fù)(1)，(XsYs=00,01,10,11)，所以積得符號可按“異或”運(yùn)算得到。數(shù)值部分運(yùn)算法則：與普通十進(jìn)制小數(shù)乘法相似。第5頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算例，X=0.1101，Y=0.1011，求X*Y=?

手工方法機(jī)器方法0.1101(X)0.1101×0.1011(Y)×0.10111101……P10.000011011101……..P20.00011010000………P30.000000+1101………..P4+0.0110110001111……P0.10001111第6頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算機(jī)器運(yùn)算與手工運(yùn)算方法區(qū)別在于：(1)機(jī)器一次只能進(jìn)行兩個數(shù)相加，所以P1+P2+P3+P4必須分步進(jìn)行：P1+P2;(P1+P2)+P3;[(P1+P2)+P3]+P4。(2)每做完一次加運(yùn)算，把部分積右移一位（相當(dāng)于把被加數(shù)右移，而不是左移），移出得數(shù)碼不參加運(yùn)算，故機(jī)器的位數(shù)可以固定。由此可以分析出機(jī)器乘法運(yùn)算得基本規(guī)律。第7頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算原碼機(jī)器乘法規(guī)律：

當(dāng)所乘得乘數(shù)為1時，則上次所得的部分積（最初為0）加被乘數(shù)右移一位，而得新的次一部分積；若所乘的乘數(shù)為0時，則上次所得的部分積加0右移一位后就是新的次一部分積。如此反復(fù)，直到乘數(shù)各位都乘完為止。第8頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算例，X=0.1101，Y=0.1011，求X*Y=?機(jī)器算法如下：0000初始化值

y=1+110111011101………..P1y=1+1101100111100111………P2

y=0+0000100111100111……..P3y=1+11011000111110001111……P4=P第9頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算一般而言，設(shè)被乘數(shù)X，乘數(shù)Y都是小于1的n位定點(diǎn)正數(shù)：

X=0.X1

X2……….XnY=0.Y1Y2……….Yn

其乘積為：X*Y=X(0.Y1Y2……Yn)=X(Y12-1+Y22-2+…….+Yn2-n)=2-1(Y1X+2-1(Y2X+2-1(……+2-1(Yn-1X+2-1(YnX+0))……)))第10頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算令Pi表示第i次的部分積，則上式可寫成如下遞推公式：

P0=0,P1=2-1(YnX+P0),P2=2-1(Yn-1X+P1),Pi=2-1(Yn-i+1X+Zi-1),Pn=X*Y=2-1(Y1X+Pn-1)

此處的P0,P1…Pn-1為部分積，Pn為最終的乘積P。第11頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算上述乘法運(yùn)算的遞推算法可用流程圖來表示：(P74圖3.6)開始Pi=0,i=0Yn=1Pi+0Pi+XPi,Y右移一位,i=i+1i=n?結(jié)束YNNY第12頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算實現(xiàn)原碼一位乘法的邏輯電路圖(P73圖3.5)。第13頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算2、定點(diǎn)補(bǔ)碼一位乘法原碼乘法的主要問題是符號位不能參加運(yùn)算。補(bǔ)碼乘法可以實現(xiàn)符號位直接參加運(yùn)算。(1)補(bǔ)碼與真值的轉(zhuǎn)換關(guān)系設(shè)[X]補(bǔ)=X0.X1X2……..Xn當(dāng)X>=0時，X0=0（符號位為0）尾數(shù)部分為真值X

第14頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算當(dāng)X<0時，X0=1（符號位為1）[X]補(bǔ)＝1.X1X2…….Xn=2+X

所以真值X為：X=1.X1X2…..Xn-2=-1+0.X1X2……Xn

所以，

第15頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算(2)補(bǔ)碼的右移正數(shù)右移一位，相當(dāng)于乘1/2，負(fù)數(shù)用補(bǔ)碼表示，右移一位也相當(dāng)于乘1/2。因此在補(bǔ)碼運(yùn)算的機(jī)器中，一個數(shù)不論其正負(fù)，連同符號位向右移一位，符號位保持不變，就等于乘1/2。設(shè)[X]補(bǔ)=X0.X1X2…..Xn，因為所以第16頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算寫成補(bǔ)碼形式，得：所以，若要得，只要將[X]補(bǔ)連同符號位右移I位即可。(3)補(bǔ)碼的乘法規(guī)則設(shè)被乘數(shù)為[X]補(bǔ)＝X0.X1X2….Xn，乘數(shù)[Y]補(bǔ)＝Y(jié)0.Y1Y2….Yn均為任意符號，則補(bǔ)碼乘法算式：[X*Y]補(bǔ)＝[X]補(bǔ)*Y證明參見(P75-76)。

第17頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算(4)BOOTH算法根據(jù)相鄰兩位比較結(jié)果決定運(yùn)算操作的方法稱為“比較法”，是由BOOTH夫婦提出的，也稱BOOTH算法。BOOTH算法流程：開始時，部分積為0，即[P0]補(bǔ)＝0，然后每一步都是在前次部分積的基礎(chǔ)上由(Yi+1-Yi)(i=0,1,2…n)決定對[X]補(bǔ)的操作，再右移一位，得到新的部分積。如此重復(fù)n+1步，最后一步不移位，便得到[X]補(bǔ)*[Y]補(bǔ)。參見流程圖。第18頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算(5)補(bǔ)碼一位乘法的運(yùn)算規(guī)則根據(jù)BOOTH算法流程圖，可得到補(bǔ)碼一位乘法的運(yùn)算規(guī)則。運(yùn)算規(guī)則：如果Yn=Yn+1，部分積[Pi]加0，再右移一位；如果YnYn+1=01，部分積加[x]補(bǔ)，再右移一位；如果YnYn+1=10，部分積加[-X]補(bǔ)，再右移一位。如此重復(fù)進(jìn)行n+1步，最后一步不移位；包括一位符號位，所得乘積為2n+1位，其中n為尾數(shù)位數(shù)。第19頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算例，[X]補(bǔ)＝1.0101，[Y]補(bǔ)＝1.0011，求[X*Y]補(bǔ)＝？解：[-X]補(bǔ)=0.1011，采用雙符號位表示后，運(yùn)算過程如下：部分積乘數(shù)操作00.00001.00110

Yn+1=0,YnYn+1=10;+00.1011加[-X]補(bǔ)00.101100.0101110011YnYn+1=11；+00.0000加000.010100.0010111001YnYn+1=01；+11.0101加[X]補(bǔ)11.011111.1011111100

YnYn+1=00；+00.0000加011.101111.1101111110

YnYn+1=10+00.1011加[-X]補(bǔ)00.10001111最后一步不移位第20頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算(6)實現(xiàn)補(bǔ)碼一位乘法的邏輯圖(p95)第21頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算補(bǔ)碼一位乘法邏輯圖與原碼一位乘法邏輯圖的差異：（1）被乘數(shù)、乘數(shù)的符號位X0,Y0都參加運(yùn)算；（2）乘數(shù)寄存器有附加位Yn+1，其初始狀態(tài)為0，并有右移功能；（3）被乘數(shù)寄存器的每一位用原碼或反碼的多路開關(guān)輸入，多路開關(guān)由YnYn+1控制；（4）部分積寄存器具有移位功能，其符號位與加法器的符號位始終一致；（5）當(dāng)計數(shù)器i=n+1時，封鎖移位信號，保證最后一步不移位。第22頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算二、定點(diǎn)數(shù)二位乘法1、原碼兩位乘兩位乘數(shù)有四種可能組合及相應(yīng)的操作：00－相當(dāng)于0*X；部分積Pi+X，右移2位；01－相當(dāng)于1*X；部分積Pi+X，右移2位；10－相當(dāng)于2*X；部分積Pi+2X，右移2位；11－相當(dāng)于3*X；部分積Pi+3X，右移2位。與一位乘法比較，多出了+2X和3X兩種情況。把X左移一位即得2X；+3X可以用(4X-X)來實現(xiàn)。原碼兩位乘法規(guī)則(P79表3.4)第23頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算例，X=0.100111，Y=0.100111，則:[-X]補(bǔ)＝1.011001

部分積乘數(shù)欠位C

00.000000100111

0+[-X]補(bǔ)11.01100111.011001右移2位11.110110011001

1+2X01.00111001.000100右移2位00.010001000110

0

+2X01.00111001.011111右移2位00.0101111100010第24頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算2、補(bǔ)碼兩位乘根據(jù)BOOTH算法，將兩步合并成一步，可以推導(dǎo)除編碼兩位乘法公式：上一步部分積：本步部分積：下一步部分積：第25頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算上式表明，產(chǎn)生部分積之后，可以加上乘數(shù)寄存器最低兩位和附加位的組合值與的積，再右移2位，可得到三位組合值的關(guān)系參加p80表3.5第26頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算例，兩位補(bǔ)碼乘法，假設(shè)X=+0.0110011,Y=-0110010則：[X]補(bǔ)=00110011，[Y]補(bǔ)=11001110；[-X]補(bǔ)=11001101，2[X]補(bǔ)=01100110，2[-X]補(bǔ)=10011010；其兩位補(bǔ)碼乘法實現(xiàn)過程如下：第27頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算部分積乘數(shù)附加位說明000000000011001110

0組合值為100,+2[-X]補(bǔ)1110011010111110011010110011

1右移2位,組合值為111111111100110101100

1右移2位,組合值為001,+[X]補(bǔ)00001100110000101100000000101100101011

0右移2位,組合值為110,+[-X]補(bǔ)11110011011111011000111111011000001010右移1位運(yùn)算結(jié)果為：11111011000001010即為：－0.00100111110110第28頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算三、陣列乘法器為了進(jìn)一步提高乘法運(yùn)算速度，可采用類似于人工計算的方法，用圖3.7所示的一個陣列乘法器完成X·Y乘法運(yùn)算(X=X1X2X3X4，Y=Y1Y2Y3Y4)。陣列的每一行送入乘數(shù)Y的每一位數(shù)位，而各行錯開形成的每一斜列則送人被乘數(shù)的每一數(shù)位。圖中每一個方框包括一個與門和一位全加器。該方案所用加法器數(shù)量很多，但內(nèi)部結(jié)構(gòu)規(guī)則性強(qiáng)，適于用超大規(guī)模集成電路實現(xiàn)。第29頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算第30頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算第31頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.4二進(jìn)制除法運(yùn)算一、定點(diǎn)除法運(yùn)算

定點(diǎn)除法所占整個指令的執(zhí)行頻度很小，約0.2％,但它是不可少的。除法運(yùn)算的方法很多，如原碼除法、補(bǔ)碼除法、跳0跳1法、迭代法等等。1、定點(diǎn)原碼一位除法第32頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.4二進(jìn)制除法運(yùn)算例，X=0.1001，Y=0.1011，求X/Y=?常規(guī)手工算法筆算算法過程01101011010.1011)0.100100.1011)0.10010X(r0)-1011-0.01011011100.001110-1011-0.001011001100.0000110-0000-0.0000000011000.00001100-1011-0.0000101100010.00000001第33頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.4二進(jìn)制除法運(yùn)算恢復(fù)余數(shù)法（還原法）規(guī)則：每次余數(shù)ri(最初是被除數(shù)X不移位)左移一位減除數(shù)，得到新的余數(shù)ri+1,ri+1=2ri+(-y)補(bǔ)；如果ri+1>=0,表示夠減，商上“1”；如果ri+1<0，表示不夠減，商上“0”，還要加除數(shù)y，然后左移一位再作減除數(shù)y的運(yùn)算。例，X=0.1001,Y=0.1011,用恢復(fù)余數(shù)法秋X/Y=?[X]原＝[X]補(bǔ)＝0.1001[Y]原＝[Y]補(bǔ)＝0.1011[-Y]補(bǔ)＝1.0101采用雙符號位，恢復(fù)余數(shù)法運(yùn)算過程如下：第34頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.4二進(jìn)制除法運(yùn)算

X/YQ00.1001+[-y]補(bǔ)11.0101q0=011.1110r0<0+[y]補(bǔ)00.1011恢復(fù)余數(shù)00.100101.0010+[-y]補(bǔ)11.0101q1=100.0111r1>000.1110+[-y]補(bǔ)11.0101q2=100.0011r2>000.0110+[-y]補(bǔ)11.0101q3=011.1011r3<0+[y]補(bǔ)00.1011恢復(fù)余數(shù)00.0110r3’00.1100+[-y]補(bǔ)11.0101q4=100.0001r4>0第35頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.4二進(jìn)制除法運(yùn)算不恢復(fù)余數(shù)法（加減交替法）基本規(guī)則：當(dāng)余數(shù)為正時，商上“1”,余數(shù)左移一位，減除數(shù)；當(dāng)余數(shù)為負(fù)時，商上“0”,余數(shù)左移一位，加除數(shù)?；謴?fù)余數(shù)法與不恢復(fù)余數(shù)法的區(qū)別：當(dāng)余數(shù)ri為正時：恢復(fù)余數(shù)法為，+ri*2-y，商為“1”不恢復(fù)余數(shù)法為，+ri*2-y，商為“1”當(dāng)余數(shù)ri為負(fù)時：恢復(fù)余數(shù)法為，(-ri+y)*2-y=-2ri+y,商為“1”不恢復(fù)余數(shù)法為，-ri*2+y，商為“0”

第36頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.4二進(jìn)制除法運(yùn)算例，X=0.1001,Y=0.1011,用不恢復(fù)余數(shù)法求X/Y=?[X]原＝[X]補(bǔ)=0.1001,[Y]原＝[Y]補(bǔ)＝0.1011,[-Y]補(bǔ)＝1.0101

X/YQ00.1001+[-Y]補(bǔ)11.0101q0=011.1110r0<011.1100+[Y]補(bǔ)00.1011q1=100.0111r1>000.1110+[-Y]補(bǔ)11.0101q2=100.0011r2>000.0110+[-Y]補(bǔ)11.0101q3=011.1011r3<011.0110+[Y]補(bǔ)00.1011q4=100.0001r4>0

第37頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.4二進(jìn)制除法運(yùn)算2、定點(diǎn)補(bǔ)碼一位除法補(bǔ)碼加減交替法法則：(1)被除數(shù)與除數(shù)同號，被除數(shù)減去除數(shù)；被除數(shù)與除數(shù)異號，被除數(shù)加上除數(shù)。(2)余數(shù)與除數(shù)同號，商為“1”，余數(shù)左移一位，下次減除數(shù)；余數(shù)與除數(shù)異號，商為“0”，余數(shù)左移一位，下次加除數(shù)。(3)重復(fù)步驟(2)，包括符號位在內(nèi)，共做n+1步。第38頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.4二進(jìn)制除法運(yùn)算商的校正：補(bǔ)碼一位除法的算法是在商的末位“恒置1”的舍入條件下推導(dǎo)的，按照這種算法所得到的有限位商為負(fù)數(shù)時，是反碼形式，而正確需要得到商是補(bǔ)碼形式，兩者之間相差末位的一個“1”，所以最后加校正量“1”。例，X=-0.1001，Y=+0.1101，求[X/Y]補(bǔ)＝？解：[X]補(bǔ)=1.0111，[Y]補(bǔ)=0.1101，[-Y]補(bǔ)＝1.0011第39頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.4二進(jìn)制除法運(yùn)算X/YQ操作說明11.0111+[Y]補(bǔ)00.1101q0=0[X]補(bǔ)與[Y]補(bǔ)異號00.0100r1余數(shù)r1與除數(shù)同號00.1000左移，商1，減除數(shù)+[-Y]補(bǔ)11.0011q1=111.1011r2余數(shù)r2與除數(shù)異號11.0110左移，商0，加除數(shù)+[Y]補(bǔ)00.1101q2=000.0011r3余數(shù)r3與除數(shù)同號00.0110左移，商1，減除數(shù)+[-Y]補(bǔ)11.0011q3=111.1001r4余數(shù)r4與除數(shù)異號11.0010左移，商0，加除數(shù)+[Y]補(bǔ)00.1101q4=011.1111r5余數(shù)r5與除數(shù)異號,商左移，商0，余數(shù)不左移。所以，[Q]補(bǔ)＝1.0100+0.0001=1.0101,[R]補(bǔ)=1.1111第40頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.4二進(jìn)制除法運(yùn)算二、提高除法運(yùn)算速度的方法跳0跳1除法根據(jù)余數(shù)前幾位代碼值再次求得幾位同位1或0得商。規(guī)則：(1)余數(shù)R>=0，且R的高K個數(shù)位均為0，則本次直接得商1，后跟K-1個0，R左移K位后，減除數(shù)Y,得新得余數(shù)。(2)余數(shù)R<0，且R的高K個數(shù)位均為1，則本次直接得商0，后跟K-1個1，R左移K位后，加除數(shù)Y,得新得余數(shù)。(3)不滿足(1)、(2)中條件時，按一位除法上商。參見P88例3.43。第41頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.4二進(jìn)制除法運(yùn)算第42頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.5浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算方法一、浮點(diǎn)加法和減法設(shè)有兩個浮點(diǎn)數(shù)x和y，它們分別為

x＝2m·Mx

y＝2n·My

其中m和n分別為數(shù)x和y的階碼，Mx和My為數(shù)x和y的尾數(shù)。第43頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.5浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算方法(1)對階對階的原則：小階向大階看齊。若m＞n則將操作數(shù)y的尾數(shù)右移一位，y的階碼n加1，直到m＝n。若m＜n則將操作數(shù)x的尾數(shù)右移一位，x的階碼m加1，直到m＝n。(2)尾數(shù)相加尾數(shù)相加與定點(diǎn)數(shù)的加、減法相同

第44頁，共51頁，2023年，2月20日，星期二3.5浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算方法(3)結(jié)果規(guī)格化當(dāng)運(yùn)算結(jié)果的尾數(shù)部分不是11.0××…×或00.1××…×的形式時，則應(yīng)進(jìn)行規(guī)格化處理。當(dāng)尾數(shù)符號位01或10需要右規(guī)。右規(guī)的方法是尾數(shù)連同符號位右移一位、和的階碼加1，右規(guī)處理后就可得到11.0××…×或00.1××…×的形式，即成為規(guī)格化的數(shù).當(dāng)運(yùn)算結(jié)果的符號位和最高有效位為11.1或00.0時需要左規(guī)。左規(guī)的方法是尾數(shù)連同符號位一起左移一位、和的階碼