邏輯代數(shù)卡諾圖

邏輯代數(shù)卡諾圖第1頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二邏輯函數(shù)的表示方法

1．真值表——將輸入邏輯變量的各種可能取值和相應的函數(shù)值排列在一起而組成的表格。

2．函數(shù)表達式——由邏輯變量和“與”、“或”、“非”三種運算符所構(gòu)成的表達式。

由真值表可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)表達式。例如，由“三人表決”函數(shù)的真值表可寫出邏輯表達式：解：該函數(shù)有兩個變量，有4種取值的可能組合，將他們按順序排列起來即得真值表。

反之，由函數(shù)表達式也可以轉(zhuǎn)換成真值表。例1.2

列出下列函數(shù)的真值表：真值表00011011AB1001

L第2頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二

3．邏輯圖——由邏輯符號及它們之間的連線而構(gòu)成的圖形。例1.4

寫出如圖所示邏輯圖的函數(shù)表達式。由函數(shù)表達式可以畫出邏輯圖。解：可用兩個非門、兩個與門和一個或門組成。由邏輯圖也可以寫出表達式。解：例1.3、畫出下列函數(shù)的邏輯圖：

第3頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二2.1.1邏輯代數(shù)的定律和運算規(guī)則一、邏輯代數(shù)的基本公式第4頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二2.1.2邏輯代數(shù)的基本規(guī)則1.代入規(guī)則

對于任何一個邏輯等式，以某個邏輯變量或邏輯函數(shù)同時取代等式兩端任何一個邏輯變量后，等式依然成立。

例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，則新的等式仍成立：第5頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二

2.反演規(guī)則將一個邏輯函數(shù)L進行下列變換：

·→＋，＋→·

；

0→1，1→0；

原變量→反變量，反變量→原變量。

所得新函數(shù)表達式叫做L的反函數(shù)，用L表示。

利用反演規(guī)則，可以非常方便地求得一個函數(shù)的反函數(shù)。第6頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二3.對偶規(guī)則

將一個邏輯函數(shù)L進行下列變換：

·→＋，＋→·

0→1，1→0

所得新函數(shù)表達式叫做L的對偶式，用L`表示。對偶規(guī)則的基本內(nèi)容是：如果兩個邏輯函數(shù)表達相等，它們的對偶式也一定相等?；竟街械墓絣和公式2就互為對偶式。

第7頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二例2.3求以下函數(shù)的反函數(shù)：解：第8頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二在應用反演規(guī)則求反函數(shù)時要注意以下兩點：（1）保持運算的優(yōu)先順序不變，必要時加括號表明。（2）變換中，幾個變量（一個以上）的公共非號保持不變。第9頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二2.1.3邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法一、邏輯函數(shù)式的常見形式

一個邏輯函數(shù)的表達式不是唯一的，可以有多種形式，并且能互相轉(zhuǎn)換。例如：第10頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二其中，與—或表達式是邏輯函數(shù)的最基本表達形式。第11頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二二、邏輯函數(shù)的最簡“與—或表達式”的標準（1）與項最少，即表達式中“+”號最少。（2）每個與項中的變量數(shù)最少，即表達式中“·”號最少。第12頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二三、用代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)1、并項法。運用公式，將兩項合并為一項，消去一個變量。2、吸收法。運用吸收律A+AB=A，消去多余的與項。如（3）消去法。（4）配項法。第13頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二在化簡邏輯函數(shù)時，要靈活運用上述方法，才能將邏輯函數(shù)化為最簡。

第14頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二2.2邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

）

一、最小項的定義與性質(zhì)第15頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二二、邏輯函數(shù)的最小項表達式

任何一個邏輯函數(shù)表達式都可以轉(zhuǎn)換為一組最小項之和，稱為最小項表達式。

例4.1：將以下邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項表達式：解：=m7+m6+m3+m1第16頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二例4.2將下列邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項表達式：解：=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）第17頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二三、卡諾圖1．相鄰最小項

如果兩個最小項中只有一個變量互為反變量，其余變量均相同，則稱這兩個最小項為邏輯相鄰，簡稱相鄰項。

例如，最小項ABC和就是相鄰最小項。如果兩個相鄰最小項出現(xiàn)在同一個邏輯函數(shù)中，可以合并為一項，同時消去互為反變量的那個量。如第18頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二2.卡諾圖最小項的定義：

n個變量的邏輯函數(shù)中，包含全部變量的乘積項稱為最小項。n變量邏輯函數(shù)的全部最小項共有2n個。用小方格來表示最小項，一個小方格代表一個最小項，然后將這些最小項按照相鄰性排列起來。即用小方格幾何位置上的相鄰性來表示最小項邏輯上的相鄰性。第19頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二3．卡諾圖的結(jié)構(gòu)（1）二變量卡諾圖第20頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二（2）三變量卡諾圖第21頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二（3）四變量卡諾圖第22頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)，卡諾圖具有很強的相鄰性：（1）直觀相鄰性，只要小方格在幾何位置上相鄰（不管上下左右），它代表的最小項在邏輯上一定是相鄰的。（2）對邊相鄰性，即與中心軸對稱的左右兩邊和上下兩邊的小方格也具有相鄰性。第23頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二2.2.3用卡諾圖表示邏輯函數(shù)1．從真值表到卡諾圖2．從邏輯表達式到卡諾圖（1）如果表達式為最小項表達式，則可直接填入卡諾圖。

（2）如表達式不是最小項表達式，但是“與—或表達式”，可將其先化成最小項表達式，再填入卡諾圖。也可直接填入。第24頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二2.2.4邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法1．卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的原理:（1）2個相鄰的最小項結(jié)合，可以消去1個取值不同的變量而合并為l項。（2）4個相鄰的最小項結(jié)合，可以消去2個取值不同的變量而合并為l項。（3）8個相鄰的最小項結(jié)合，可以消去3個取值不同的變量而合并為l項。

注：即合并消去n個變量，要2n個相鄰最小項第25頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二第26頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二總之，2n個相鄰的最小項結(jié)合，可以消去n個取值不同的變量而合并為l項。

2．用卡諾圖合并最小項的原則（畫圈的原則）

（1）盡量畫大圈，但每個圈內(nèi)只能含有2n（n=0,1,2,3……）個相鄰項。要特別注意對邊相鄰性和四角相鄰性。（2）圈的個數(shù)盡量少。（3）卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過，即不能漏下取值為1的最小項。（4）在新畫的包圍圈中至少要含有1個未被圈過的為1的方格，否則該包圍圈是多余的。第27頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二3．用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟：（1）畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。（2）合并相鄰的最小項，即根據(jù)前述原則畫圈。（3）寫出化簡后的表達式。每一個圈寫一個最簡與項，規(guī)則是，取值為l的變量用原變量表示，取值為0的變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將所有與項進行邏輯加，即得最簡與—或表達式第28頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二例用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)：

L（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）

解：（1）由表達式畫出卡諾圖。

（2）畫包圍圈，合并最小項，

得簡化的與—或表達式:第29頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二例4.8某邏輯函數(shù)的真值表如表3所示，用卡諾圖化簡該邏輯函數(shù)。解：（1）由真值表畫出卡諾圖。（2）畫包圍圈合并最小項。有兩種畫圈的方法：（a）：寫出表達式：（b）：寫出表達式：第30頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二通過這個例子可以看出，一個邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，卡諾圖也是唯一的，但化簡結(jié)果有時不是唯一的。

第31頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二4．卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的另一種方法——圈0法例4.9已知邏輯函數(shù)的卡諾圖如圖所示，分別用“圈1法”和“圈0法”寫出其最簡與—或式。解：（1）用圈1法畫包圍圈，得：第32頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二（2）用圈0法畫包圍圈，得：

第33頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二5.具有無關項的邏輯函數(shù)的化簡1．無關項——在有些邏輯函數(shù)中，輸入變量的某些取值組合不會出現(xiàn)，或者一旦出現(xiàn)，邏輯值可以是任意的。這樣的取值組合所對應的最小項稱為無關項、任意項或約束項。帶有無關項的邏輯函數(shù)的最小項表達式為：L=∑m（）+∑d（）化簡具有無關項的邏輯函數(shù)時，要充分利用無關項可以當0也可以當1的特點，盡量擴大卡諾圈，使邏輯函數(shù)更簡。第34頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二例10：不考慮無關項時，表達式為：考慮無關項時，表達式為:第35頁，共37頁，2023年，2月20日，星期二注意:在考慮無關項時，哪些無關項當作1